高中數(shù)學數(shù)列求和的方法精選(九篇)
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第1篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
【關鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)列 解題技巧與方法
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）35-0100-02
一、數(shù)列在高中數(shù)學教學中的重要地位
數(shù)列式高中數(shù)學教學中必不可少的教學章節(jié)，在高中數(shù)學教材的編寫中將數(shù)列單獨拿出來作為一個獨立的章節(jié)進行教學，此外，數(shù)列還與高中數(shù)學中其他的內(nèi)容存在著密切的聯(lián)系，如函數(shù)、不等式等，并且在高考中數(shù)列也常與其他數(shù)學內(nèi)容聯(lián)合組成一道大題出現(xiàn)在試卷中，這充分證明了數(shù)列在數(shù)學學習中的重要性。因此，在平時的數(shù)學學習中也要注重對于數(shù)列知識的把握，掌握數(shù)列解題方法與解題技巧，提高數(shù)列解題的質(zhì)量與效率，有效提高數(shù)學的學習成績。
二、高中數(shù)列學習的解題方法與解題技巧研究
（一）利用盜謝本概念求解數(shù)列
對于數(shù)列基本概念的掌握是學生學好數(shù)列知識的基礎，由于在初中階段學生并未接觸過數(shù)列知識，因此，在初學數(shù)列知識時許多學生會覺得數(shù)列的學習很困難，然而對于一些數(shù)列的入門問題的解答可以通過套用相關的數(shù)列公式以及概念知識點來加以作答。但隨著數(shù)列學習的深入，數(shù)列問題的難度逐漸加大，這就要求學生要主動學習和掌握相關的數(shù)列解題技巧以及解題方法。同時，在數(shù)列的學習中不能忽視這些簡單問題的作答，因為困難的題目往往是由簡單的題目變形而來，掌握好、解決好這類簡單的題目對于學生今后的數(shù)列學習也是大有裨益。
例1：等差數(shù)列{an}，前n項和Sn（n是正整數(shù)），若已知a4=4，S10=55，則求S4。
求解：在對該題進行解答時要注重靈活套用等差數(shù)列的通項公式，將題目中已有的變量代入公式求解。首先，要先將首項即a1以及公差d求出，再將已有的變量套入公式，最后求出an或Sn，即：將已知變量帶入該式：
an=a1+（n-1）d，Sn={n（a1+a2）}/2
可以得出問題的答案：
a1=1，d=1，最后得出S4=10，通過這種基本簡單的數(shù)列題型我們可以看出，在數(shù)列的解題中對于概念掌握以及運用對于學生有效解題至關重要。
（二）利用數(shù)學性質(zhì)求解數(shù)列
在數(shù)列學習中學生對于數(shù)列性質(zhì)的掌握能夠幫助他們準確、有效的解決數(shù)列問題，這就要求學生在進行數(shù)列學習時深入了解其特性，并將其性質(zhì)應用到數(shù)學解題過程中去。
例2：等比數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a2a5=32，求解a1a6+a3a4。
求解：在本題中我們可以根據(jù)有關等比數(shù)列的一個重要的性質(zhì)，即：m+n=p+q.如果成立，則aman=apaq，由此，我們可以等比數(shù)列這種性質(zhì)很直觀的得到數(shù)列問題的答案：a1a6+a3a4=64.因此，我們可以看到，在這類數(shù)學問題的解決中，只有在具備一定的數(shù)列性質(zhì)的基礎上才能對問題的答案進行求解。
（三）數(shù)列中關于通項公式的解題技巧
在數(shù)學的數(shù)列學習中我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列問題常常呈現(xiàn)出一種多樣化的表現(xiàn)形式，這就使得許多學生在求解數(shù)列時無從下手，為此，學生急需掌握一定的數(shù)列求解技巧幫助其有效的解決數(shù)列難題。這些技巧包括直接利用等比等差數(shù)列的通項公式求解問題;其次，可以通過一定的疊成變換換算成新的等比等差公式再進行相關計算;再次，就是將歸納法求出的數(shù)學公式再次帶入求解的通項公式求解;最后，是通過證明的方法來解答相關的數(shù)列問題，即構造相關的通項公式，通過證明其符合題目條件來解答數(shù)列問題。
（四）數(shù)列中關于前n項和的解題技巧
1.錯位相減
在等比數(shù)列的求和中錯位相減法是最常用到的一種方法。
例3：數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=1，an+1=2Sn，要求求出數(shù)列{an}的通項公式an以及前n項和Sn。
求解：在該題目的求解中我們可以令n=2，3，4…，可以求得a2=2，a3=6，a4=18，a5=54…通過這個式子我們可以看出數(shù)列{an}在n>1時an=2×3n-2，n=1時，an=1，則Sn=1+2×30+2×31+…+2×3n-3，3Tn=3+2×31+2×32+…+（n-2）2×3n-1+（n-1）2×3n-2 +2×3n-1.由此，可以得出數(shù)列的前n項和Sn=■=3n-1（n>1）;當n=1時，前n項和為1.在題目中并未指出{an}是等比數(shù)列，因此，等比數(shù)列的求和公式就不能在此數(shù)列求解時加以應用，但是，我們可以在公式中發(fā)現(xiàn)n>1時，{an}是等比數(shù)列，而且可以看出公比為3，這也就是在錯位相減中我們?nèi)?Sn的原因，同時，這也是這道題目解題的關鍵點所在。
2.分組求和
在數(shù)列求解時，我們會經(jīng)常遇到一道數(shù)列題目既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，在遇到這類題目時，如果只是單純運用通項公式根本無法求解，因此就要對題目進行適當?shù)牟鸱郑瑩Q算成我們熟悉的等差等比數(shù)列在進行求解。
3.合并求和
合并求和與分組求和相同的一點就是所要求解的數(shù)列題目既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但在進行一定的變換，即拆分、合并后就能夠找到數(shù)列題目內(nèi)含的規(guī)律。但在此類題目的拆分、組合中對于學生的數(shù)學能力要求較高，如果不具備一定的數(shù)列基本知識概念以及一定的拆分技巧就不能保證求解出數(shù)列問題的最終答案。
參考文獻：
[1]劉劍鵬.高中數(shù)學中數(shù)列的解題技巧探析[J].數(shù)理化解題研究，2016.
第2篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
【關鍵詞】高中數(shù)學復習實效性
高中數(shù)學的總復習是高三學生將所學數(shù)學貫通的必要路程，也是學生從大量做題到理解數(shù)學的質(zhì)的飛躍。所以如何做好高中數(shù)學的總復習是需要探索的一大課題。因為許多學生對數(shù)學內(nèi)容的理解還停留在表面，并不能真正的融會貫通。本文將從高中數(shù)學知識點的分布情況、高中數(shù)學重難點的把握、高中數(shù)學復習的具體方法等方面闡述如何增強高中數(shù)學復習實效性。讓師生共同努力， 為學生的高考鋪平道路。
一、高中數(shù)學復習的重難點把握
以筆者的教學經(jīng)驗和習慣來看，學生復習期間總是對數(shù)學重難點的把握不準確，不能把最多的精力放到重難點上去。
1.高中數(shù)學復習的重點把握。高中學生應該訂立明確的目標，那就是高考，所以高考的?？键c和易錯點都是平時的復習重點所在。根據(jù)筆者的教學經(jīng)驗，高考數(shù)學主要通過以下幾部分考察學生的數(shù)學能力。第一是三角函數(shù)，第二是立體幾何，第三是概率問題，第四是數(shù)列推理，第五是解析幾何，第六是函數(shù)的微積分。這五部分幾乎涵蓋了所有的數(shù)學內(nèi)容，然而又都是重點內(nèi)容。根據(jù)這幾年的高考題目的難易程度來看，三角函數(shù)、立體幾何、概率問題以及數(shù)列推理問題都屬于重點而題目比較容易。是考生需要下功夫的主要內(nèi)容。尤其是三角函數(shù)和數(shù)列推理兩個問題由于公式繁多，變形比較容易，所以這兩個部分屬于重點注意部分。在筆者講課時，以三角函數(shù)的“積化和差，和差化積”公式為基礎延伸出不同類型題目的處理方法。而對于數(shù)列推理問題，筆者更是研究出一種以公式變形為突破口的思想方法。
2.高中數(shù)學復習難點的把握。根據(jù)高考題目的難易程度而言，解析幾何和函數(shù)微積分應用為難點。解析幾何以雙曲線的移動和雙曲線與橢圓的結合問題最為棘手，也最讓學生頭痛。函數(shù)微積分中的積分問題考的較少，而微分問題變形較多，有涉及到微分方程問題的題目也是十分有難度。所以高中數(shù)學的難點一般在于解析幾何與函數(shù)微積分問題。
3.考生應該如何把握重難點。對于考生來講，把握重難點是學習的基本方法。在高中數(shù)學總復習期間，一定分清自己的重難點，鞏固好自己的優(yōu)勢，弱化自己的劣勢。前期復習要攻堅克難，爭取在把握好重點的同時也能多把握難點內(nèi)容。復習后期，以自己的優(yōu)勢為主，適當放棄一部分難點內(nèi)容，對考試來說也未嘗不是好事。
二、以高考題目為標準培養(yǎng)學生自主總結習慣
高三學生數(shù)學總復習的一大目標就是高考的良好發(fā)揮，所以平時以高考題作為標準無疑是最合適的。教師要以高考題難度以及涉及面為研究對象，提升自主編寫的練習題目的質(zhì)量，爭取趨近去高考題目的質(zhì)量。而作為學生需要在老師的指點下承擔更多的工作。具體說來包括以下三點。
1.對高考題目的總結。學生在大量研究歷年高考題目之后要學會對高考題目進行總結。很多教師都要求學生要自備錯題集，將錯題記錄并多看。這只是總結的一個方面，學生要在研究高考題目時吃透出題人的意圖，明確出題人的考核方法，更要明確各種題目中出題人所設的陷阱，將出題思路與學習重難點結合起來才能真正做好總結。
2.學生要學會自主學習，探究新的知識點和新的解題方法。培養(yǎng)高中生自主學習的方法，增進高中生自主學習能力，不過就目前來講，還無法脫離教師的全面指導，需要老師從內(nèi)因和外因兩個方面入手，給予學生自主學習的動力和信心，加強學生自主學習的效果，從而提高學生通過自主學習而達到的自我價值的滿足感，以此為基礎提高學生的學習自主性。
3. 教師鼓勵學生互相幫助，增強學生學習數(shù)學的自主性。就高中生學習模式而言，不同學生的互相鼓勵和監(jiān)督是保持學生學習自主性的最好方法，利用高中學生的競爭性精神，增強學生自主學習動力，從而以外在條件為發(fā)起點而促進內(nèi)在條件起到作用，從而決定學生的學習自主性。尤其是面臨高考的高三學子們，在高中數(shù)學總復習時肯定是各有所長，所以讓學生自由結合取長補短也是一項極為重要的方法。這樣能使學生建立起互幫的體系，還能讓學生對自己的優(yōu)勢點更加深入的鉆研。所以這無疑是高三學子復習數(shù)學的一大方法。
三、全局性把握講解并串聯(lián)知識點
全局性把握講解知識點是作為教師面臨的巨大挑戰(zhàn)。在學生參與數(shù)學總復習時，就不能僅僅把數(shù)學課當成復習課，要讓學生體會到學到了新的東西而不是一直在復習曾經(jīng)的知識。這就要求老師將課程安排的科學合理，將知識點串聯(lián)起來，應用于不同的題目講解之中。
案例1 筆者在講立體幾何時，以求二面角為例，用傳統(tǒng)方法和向量方法相結合的手法解決同一道題，這樣，可以在一節(jié)課里同時復習傳統(tǒng)二面角的證明方法和向量的求法。僅僅這樣，還是不夠，筆者認為在立體幾何向量法解決問題時，應該加入立體解析幾何的內(nèi)容。雖說立體解析幾何從根本上超出了高中數(shù)學的所學范圍，但是讓學生一直接觸解析幾何的理念對學生處理解析幾何這一難點有著舉足輕重的作用。例如，筆者在講解以正方體為原型的立體幾何時，會加入切割正方體并移動切割線的問題，將立體幾何轉(zhuǎn)化為比較容易的解析幾何。
第3篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
【關鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學；解題
引 言
高中數(shù)學思想方法包括兩類，即知識性的數(shù)學方法和思維性的數(shù)學方法。在知識性的思維方法中，最重要的就是函數(shù)思想。所謂的函數(shù)思想，就是以函數(shù)的觀點去分析數(shù)學問題、解決數(shù)學問題，幫助學生形成數(shù)學建模的思想觀念。在高中數(shù)學的教學內(nèi)容中，函數(shù)板塊是教學的核心，因此將函數(shù)思想應用于高中數(shù)學解題勢在必行。
一、用函數(shù)思想指導高中數(shù)學的方程式問題
高中數(shù)學的方程式問題，主要是將不等式中的未知數(shù)解出，雖然方程式和函數(shù)的概念有較大的差異性，但是二者之間也存在著密切聯(lián)系。當我們用一個解析式來表示函數(shù)的時候，函數(shù)可以等同于方程。因此把函數(shù)思想應用在方程式問題的解題中，可以把函數(shù)作為一個方程，且方程的函數(shù)量為零。這樣做題可以把復雜的知識簡單化，達到舉一反三的目的[1]。將方程問題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)問題之后，方程中未知數(shù)的解，實際上就是函數(shù)圖像的交點。
比如，在解答方式式問題的過程中，具體分為兩種解答方法。第一種方法是針對簡單題目而言的，有直接求解的方程方法，但是耗費的解題時間比較多，而且解答的難度也相對較大。第二種方法是針對復雜題目而言的，是將方程問題轉(zhuǎn)換呈函數(shù)問題的方法，在解答的過程中需要應用函數(shù)思想，對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行分析，最終求出方程的解，也就是函數(shù)圖像的交點。
二、用函數(shù)思想指導高中數(shù)學的不等式問題
函數(shù)是用來表述兩個變量關系的數(shù)學模型，因此在解決不等式問題中發(fā)揮著很大的指導作用。函數(shù)在不同的區(qū)間有著不同的正負關系，將函數(shù)的正負放在不等式中，可以有效解決不等式的問題。
以下面這道題目為例：p是一個實數(shù)，且p大于等于0，小于等于4，那么x2+px+3大于4x+p恒成立，求x的取值范圍。我們在分析這道題目的時候，習慣以x作為自變量，構成一個y的函數(shù)，求出的結果是y=x2+（p-4）x+3-p。從題目條件中已知P大于等于0，小于等于4，y大于0恒成立，求x的范圍，此時可以應用函數(shù)的有關思想，利用二次方程區(qū)間實根分布來解決數(shù)學問題，但是這個過程比較復雜。如果設函數(shù)為（x-1）p+（x2-4x+3），且這個函數(shù)大于0，當p大于等于0小于等于4時恒成立，那么對于這個一次函數(shù)來說，只需保證大于0而且小于4即可，最終求出的x范圍是（-∞，-1）U（3，+∞）。
三、用函數(shù)思想指導高中數(shù)學的數(shù)列問題
高中數(shù)學的數(shù)列問題多是以一組按照順序排列的數(shù)字作為對象，而且其中的每個數(shù)字都是數(shù)列之中的項，在解決高中數(shù)列的問題時，可以把數(shù)列問題看成項數(shù)的函數(shù)問題，那么數(shù)列的通項公式就變成了函數(shù)公式[2]。在解答高中數(shù)學問題的過程中，應用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，可以把函數(shù)的性質(zhì)作為解題依據(jù)，將復雜的解決過程簡單化，提高做題效率。
以下面的題目為例：等差數(shù)列的前n項和等于m，m項和即Sm=n，且m不等于n，那么m+n項的和，即Sm+n應該是多少。在這道題目中應用函數(shù)思想，首先要理解等差數(shù)列前n項和滿足的關系式。從函數(shù)的角度來看，這是一個必過原點的二次函數(shù)，因此在解題的過程中可以設Sn=An2+Bn，則Am2+Bm=n，An2+Bn=m。將兩個式子進行相減，最終可以得出A（m+n）+B=-1，因此A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），最K求出來的結果是Sm+n=-（m+n）。在這道題目的解答中，主要是應用了等差數(shù)列求和公式是二次函數(shù)的函數(shù)思想，把A（m+n）+B看成一個函數(shù)，這樣可以簡化計算步驟，有效解答難題。
四、用函數(shù)思想指導高中數(shù)學的優(yōu)化問題
函數(shù)思想在高中數(shù)學的實際優(yōu)化問題解答中也具有重要作用，可以解決實際問題，為數(shù)學問題提供簡單化和系統(tǒng)化的解答方法。在我們的實際生活中，存在許多量和量之間的相互關系，如路程問題，要考慮路程、時間、速度的關系，如生產(chǎn)問題，要考慮單價、時間、總數(shù)的關系，而其他的價格問題、采購問題等實際問題，也都涉及了函數(shù)的變量。在高考的數(shù)學試卷中，實際問題占有很大的比值，用函數(shù)思想來指導高中數(shù)學的實際優(yōu)化問題，可以引導學生正確地解答題目。
比如，以路程問題為例，我們在解答路程問題時，可以把總路程設為y，把其中的時間變量或是速度變量設為x，讓實際問題的解答成為函數(shù)問題的解答。通過數(shù)量的相互關系，建立一個基本的數(shù)學模型，然后再代入其中的數(shù)值，利用相關知識求出結果[3]。大部分的數(shù)學實際問題在解答時都要利用函數(shù)的圖像進行分析，因此在做題時可以把變量關系以圖像的形式描繪出來。在求出結果后，要把結果代入到實際問題中去，有很多問題在解答之后有兩個結果，此時要根據(jù)題目的要求篩選出最合適的結果。
結 論
函數(shù)思想是數(shù)學思想中的重要思想，對鍛煉數(shù)學思維，提高數(shù)學學習水平具有重要作用，將函數(shù)思想應用于高中數(shù)學的解題中，可以提高解題效率，提升數(shù)學成績。因此高中數(shù)學教師應該在解答方程式問題、不等式問題、數(shù)列問題和實際優(yōu)化問題時應用函數(shù)思想，讓學生對這種思想有更好的掌控能力。
參考文獻：
[1]韓云霞，馬旭.淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的應用[N].寧夏師范學院學報，2016，03：92-95.
第4篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
關鍵詞：高中數(shù)學教學；數(shù)列教學；教學內(nèi)容
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2013）12-0159-01
在高中數(shù)學教學中，數(shù)列教學是其中較為典型的離散函數(shù)代表知識之一，并且在高中數(shù)學中占有相當重要的地位，同時數(shù)列在現(xiàn)實生活當中也具有較大的應用價值.高中數(shù)學教學當中的數(shù)列教學是有效培養(yǎng)學生的思維能力、分析能力以及歸納能力的一種重要的途徑之一，同時也是培養(yǎng)學生在高中數(shù)學學習中對問題的分析能力與解決能力的重要知識.因此應對數(shù)列教學加以重視，結合新課改的教學理念，對數(shù)列教學進行深入研究.
1.1 新課改教學觀念下的教學設計。按照傳統(tǒng)的教學理念來說，教學設計主要是指有效地運用相應的教學系統(tǒng)，有效地將教學與學習理論逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У貙虒W參考資料和教學活動具體規(guī)劃實現(xiàn)系統(tǒng)化的整個過程，其中教學內(nèi)容、教學方法和教學效果問題在教學設計當中得到有效的解決.也可以說，所謂的教學設計就是將教學具體活動步驟制定成合理的教學方案，同時在教學結束后對教學過程進行相應的評估與總結，從而使教學效果得到提升，并實現(xiàn)對教學環(huán)境的優(yōu)化工作.
1.2 數(shù)列主要包括一般的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列的應用四部分。重點是等差數(shù)列以及等比數(shù)列這兩部分。數(shù)列這一部分主要是數(shù)列的概念、特點、分類以及數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩部分內(nèi)容主要介紹了兩類特殊數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式以及數(shù)列的前 n 項和公式；數(shù)列的應用除了滲透在等差與等比數(shù)列內(nèi)賓的堆放物品總數(shù)的計算以及產(chǎn)品規(guī)格設計的某些問題外，重點是新理念下研究性學習專題，即數(shù)列在分期付款中的應用以及儲蓄問題。
數(shù)列這一章蘊含著多種數(shù)學思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學本身中也包含著豐富的數(shù)學方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念、公式的理解，而且運用數(shù)學思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學方法：
①不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀，而且可以幫助學生有效的解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式推導的過程就用到了不完全歸納法。
②倒敘相加法等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點，很好的應用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。
③錯位相減法錯位相減法是另一類數(shù)列求和的方法，它主要應用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導就用到了這種思想方法。
④函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時，可以將它們看成一個函數(shù)，進而運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題。
⑤方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個關于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第 n 項和前 n 項和這些量的數(shù)學公式，而公式本身就是一個等式，因此，在求這些數(shù)學量的過程中，可將它們看成相應的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡化了解題過程。
3.精心探究教學策略
在課堂教學中，教師若想提高教學效率，則需了解學生學情，然后在此基礎上，緊扣教學內(nèi)容，采用多種教學方法，以調(diào)動學生參與性，使其積極思考，把握科學學習方法，從而提高學習效率。
3.1 分析學生學習情況。進入高中后，多數(shù)同學有了較為豐富的經(jīng)驗與知識，也具有了一定的抽象思維、分析概括、演繹推理能力，可通過觀察而抽象出一定的數(shù)學知識。同時，學生思維也由邏輯思維發(fā)展為抽象思維，但需依靠一些感知材料。當然，也有部分同學的數(shù)學基礎知識不牢固，對數(shù)學缺少學習興趣。因此，在高中數(shù)列教學中，教師需要根據(jù)學生認知結構，考慮學生學習特點，以貼近學生生活實際的實例為出發(fā)點，注意適時引導與啟發(fā)，加強學生思維能力訓練，以適應學生學習心理發(fā)展特征。如教師可創(chuàng)設生活化的教學情境，引導學生由生活實際問題來學習數(shù)列知識，構建數(shù)學模型。
第5篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
關鍵詞：數(shù)列教學；數(shù)列教學特點；教學方法；建議
一、數(shù)列的概念和學習數(shù)列的重要性
按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。在整個高中數(shù)學教學中，需要特別注重對數(shù)列的研究和教學，數(shù)列教學是較為典型的離散函數(shù)代表知識之一，在高中數(shù)學中占有重要的位置，是最基礎的知識，同時數(shù)列知識在日常生活當中也有較高的應用價值。如儲蓄、分期付款的有關計算都要用到數(shù)列的一些知識，數(shù)列起著承前啟后的重要作用。一方面，高中數(shù)學的許多內(nèi)容在解決數(shù)列的某些問題中得到了充分運用，數(shù)列與前面學習的函數(shù)等知識有著密切的聯(lián)系；另一方面，學習數(shù)列又為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容作好了準備。數(shù)列是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的良好題材，要經(jīng)常觀察、分析、歸納、猜想，還要綜合運用前面的知識解決數(shù)列中的一些問題，@些都有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維、獨立分析、歸納能力、解決問題的能力。從以上幾點可以看出，數(shù)列教學在高中數(shù)學教學中的重要地位，所以對數(shù)列教學應加以重視。
二、數(shù)列教學的特點
數(shù)列是進行計算、推理等基本訓練以及綜合訓練的重要題材，它是高中數(shù)學各章中最富綜合性的章節(jié)之一，處于數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學思想的交會點。 縱觀數(shù)列一章的整體內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)思維是支柱，運算是主體，應用是歸宿。
1、數(shù)列的重點與難點
數(shù)列一章的重點是數(shù)列的概念，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式。難點是等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式的推導以及公式的綜合運用。突破上述兩個難點的關鍵是：（1）對于公式的推導要講清思路和方法；（2）對于公式的綜合運用要注意結合具體例子加以講解，對于例題、作業(yè)題的選用要注意典型性、新穎性、針對性及適度性原則；（3）加強教學過程中對學生思維能力的培養(yǎng)和鍛煉。
2、內(nèi)容豐富，拓展思維空間
數(shù)列教學內(nèi)容比以前更豐富，增加辯證思維容量，努力促進學生智力成長，培養(yǎng)數(shù)學理性思維。主要表現(xiàn)：（1）明確定義了數(shù)列的遞推公式概念。教材以等差數(shù)列前后項的關系，實例引入，給出遞推公式定義，讓學生理解遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，培養(yǎng)學生由此及彼的聯(lián)想思維能力；（2）增加了子數(shù)列、和數(shù)列、以及數(shù)列的線性運算等內(nèi)容，一方面加深對等差、等比兩類基本數(shù)列有關性質(zhì)的理解，另一面將數(shù)列內(nèi)容中的辯證唯物主義觀點，如對立統(tǒng)一、運動變化、普遍聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的思想方法充分展示出來，拓展了教與學的思維空間，有利于學生理性思維的培養(yǎng)。
三、數(shù)列教學設計
按傳統(tǒng)的教學設計來說，主要是指運用相應的教學系統(tǒng)，有效地將教學與學習理論，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У亟虒W參考資料和教學活動的過程，其中教學內(nèi)容、教學方式和教學效果問題在教學設計中得到有效解決?，F(xiàn)代的教學設計就是將教學具體活動步驟制定成合理的教學方案，同時在教學結束后對教學過程進行相應的評估總結，從而達到提升教學效果的目的，最終對教學環(huán)境得以優(yōu)化。
1、數(shù)列的分類
按項數(shù)分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列的每一項隨序號的變化情況分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列等。
2、數(shù)列與函數(shù)的關系
數(shù)列可以看成以正整數(shù) （或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函數(shù) 當自變量按照由小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數(shù)值。對于函數(shù) ，如果 …）有意義，那么可以得到一個數(shù)列： … …。
四、數(shù)列教學的建議
1、為激發(fā)學生的學習興趣，體會知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出要研究的問題，使學生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)。
2、應及早引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關系，在教學中強調(diào)的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的，次序不同則就是不同的，函數(shù)表示法有列表法、圖像法、解析式法，類似地就有列舉法、圖示法、通項公式法。由于自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項或幾項有關系，從而就有其特殊的表示法――遞推公式法。
3、通項公式寫出的前幾項是簡單的代入法，教師應精心設計例題，使例題為寫通項公式做準備，尤其是對程度差的學生，應多舉例子，讓學生觀察歸納通項公式與各項的結構關系，盡量為寫通項公式提供幫助。
4、要幫助學生分析各項通項公式中的結構特征，由學生歸納一些規(guī)律性的結論，如果學生一時不能寫出通項公式，可以讓學生根據(jù)前幾項的規(guī)律，猜想下一項或下幾項的值，以便尋求項與項數(shù)的關系。
第6篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
關鍵詞：高中數(shù)學； 自主學習； 數(shù)學建模
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2013）10-015-001
隨著社會科技的飛速發(fā)展，高中數(shù)學所涉及的內(nèi)容日趨豐富和靈活。尤其是目前高中數(shù)學在加速與大學數(shù)學接軌，在高中階段完成大學數(shù)學微積分基礎的學習任務，已成定局。在這樣的背景下，如何學習好高中數(shù)學就成為廣大學子面臨的重要問題。本文中，筆者結合自己的學習經(jīng)驗，從三個方面對高中數(shù)學中有效自主學習能力的培養(yǎng)作一些初步的探討和研究。
一、充分認識自主學習的重要性
從素質(zhì)教育到新課程改革，各方面都呼吁要培養(yǎng)學生的自主學習能力，似乎已經(jīng)將自主學習放到了一個重要位置。實際上，對于學生個體而言，并沒有真正落到實處。造成這樣現(xiàn)象的原因很多，有內(nèi)在的也有外在的。外在原因主要是教師們在應試教育的壓力下，無暇顧及培養(yǎng)學生的自主學習能力，也提供不出好的培養(yǎng)途徑和方法。內(nèi)在原因是學生自己沒有充分認識到自主學習的重要性，從而在自主學習中沒有發(fā)揮自己的主觀能動性。筆者認為，在當前的大環(huán)境下，要想在短時間內(nèi)克服外在因素困難很大，因此作為學生就應該積極主動培養(yǎng)自己的自主學習能力。
如今高中數(shù)學知識更新很快，如果學生不積極主動學習，就只會停留在知識的表層，這樣在應用時就會捉襟見肘。比如高中在涉及數(shù)列極限時，教師一般對數(shù)列極限概念的本質(zhì)沒有過多講解。其實，我們可以通過自主學習知道所謂某數(shù)是一數(shù)列的極限，則意味著這個數(shù)近乎包含了該數(shù)列的無窮多項，而之外則只能包含該數(shù)列的有限項。獲得了這層理解，對以后處理數(shù)列極限的相關內(nèi)容就變的容易得多。另外，就應試教育而言，自主學習能力的培養(yǎng)也非常重要，并不是可有可無。比如2013年安徽高考數(shù)學試卷第20題就充分體現(xiàn)了這一點。該題考查了導數(shù)的應用、函數(shù)零點存在性定理、等比數(shù)列求和以及不等式的相關知識。其實，這些內(nèi)容都是微積分中的基本內(nèi)容，如果學生通過自主學習了解到導函數(shù)是研究函數(shù)的一個橋梁，該題的解題思路就能容易獲得。進一步，若了解了一些級數(shù)內(nèi)容，該題要想獲得滿分就非難事。所以，從應試的角度來說，自主學習能力的培養(yǎng)也是十分重要的。
二、培養(yǎng)自主學習能力的途徑
在自主學習能力的培養(yǎng)方面，教師無疑起著至關重要的作用。在課堂上，教師應時刻注意并善于引導學生進入自主學習的情境中。如同學們對那些出現(xiàn)在課本上的各種函數(shù)的平面特別是立體圖形都比較感興趣。借此教師就可以試著讓學生自己繪制相關圖形。這樣做實際上就讓學生自主探究了相關函數(shù)的各種性質(zhì)。筆者在這方面的學習中就曾獲益匪淺。
另外，利用現(xiàn)代化技術以及加強數(shù)學建模訓練也是培養(yǎng)自主學習能力的重要途徑。比如我們可以利用Matlab等軟件直觀觀察收斂數(shù)列的變化趨勢。還可以利用該軟件繪制函數(shù)圖象，通過改變相關參數(shù)來觀察函數(shù)圖象改變情況，從而牢固地掌握該函數(shù)的性態(tài)。數(shù)學建模也是培養(yǎng)學生自主學習能力的重要陣地。目前，國內(nèi)外有各種層次的數(shù)學建模競賽，和中學生相關的數(shù)學建模競賽也很多。我們可以積極參加并多多觀摩，這對提高數(shù)學知識的理解及應用作用非凡。
三、需要注意的問題
在這里需要強調(diào)的是有效自主學習能力的培養(yǎng)。因為對于數(shù)學知識來講枝繁葉茂、紛繁復雜，這就需要我們根據(jù)自己的自身情況來選擇學習內(nèi)容，最好做到與現(xiàn)實需求高度契合，從而讓自主學習能力更好地服務于自己的當前目標。
參考文獻：
第7篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
關鍵詞：組合數(shù) 通項公式 數(shù)列求和
在高中數(shù)學選修2-1的定積分的運算中，我們經(jīng)常使用如下的兩個數(shù)列的求和公式：
12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）（1）
13+23+33+…+n3=■n2（n+1）2（2）
對這兩個公式，課本在高中數(shù)學選修2-2中利用數(shù)學歸納法給出了證明。那么，這兩個公式是如何求得的呢？有一般的規(guī)律可循嗎？本文擬就這一問題做些深入地探討。
一、組合數(shù)公式的延伸
利用組合數(shù)的性質(zhì)和數(shù)學歸納法可證明如下公式：
C■■+C■■+C■■+…+C■■=C■■（n，m∈N*）（3）
該公式可簡記為■C■■=C■■
事實上，C■■+C■■=C■■（n，m∈N*，n≥m）
故有C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■+C■■+…+C■■=C■■
因此（3）式對任意正整數(shù)n都成立。
由于（3）式的左端是n項的和，而右端是一個組合數(shù)，因此我們可以認為（3）式也是一個數(shù)列的前n項和公式。利用它，我們可以求一類特殊數(shù)列{nm}（n，m∈N*）前n項的和。
二、利用公式（3）求數(shù)列{nm}（n，m∈N*）前n項的和
引例：對任意的k，m（k，m∈N*），總存在常數(shù)Ai（i=1，2，3，…，m-1），使得
km=m！C■■+A1（m-1）！C■■+A2（m-2）！C■■+…+Am-1C■■（4）成立。
證明 （4）式等價于
km=k（k-1）（k-2）…（k-m+1）+A1k（k-1）（k-2）…（k-m+2）+A2k（k-1）（k-2）…（k-m+3）+…+Am-1k（5）
（5）式的右端展開整理等價于
km=km+f1（A1）km-1+f2（A1，A2）km-2+f3（A1，A2，A3）km-3+…+fm-1（A1，A2，…，Am-1）k（6）
其中，fi（i=1，2，3，…，m-1）為整函數(shù)。
比較（6）式的兩端可得：
f1（A1）=0f2（A1，A2）=0f3（A1，A2，A3）=0…fm-1（A1，A2，…Am-1）=0（7）
顯然（6）與（7）等價，且（7）有且只有唯一解。根據(jù)“等價”的傳遞和可逆性，（7）與（5）也等價。因此，對（7）的唯一解fm-1（A1，A2，…Am-1）=0，（5）總成立。
該引理實際上給出了求數(shù)列{nm}（n，m∈N*）的前n項和的方法，下面我們舉例來探討它的應用。
例1：求數(shù)列{n2}的前n項和。
解：因為當k≥2時，k2=k（k-1）+k=2！C■■+C■■所以有
12+22+32+…+n2=■k2
=1+■（2！C■■+C■■）
=2！■C■■+■C■■+
=2C■■+C■■
=■（n+1）n（n-1）+■（n+1）n
=■n（n+1）（2n+1）
例2：求數(shù)列{n3}的前n項和。
解：當k≥3時，
k3=k（k-1）（k-2）+A1k（k-1）+A2k
=k3+（A1-3）k2+（A2-A1+2）k
比較兩端同次項的系數(shù)可得，A1=3，A2=1。
故當k≥3時，k3=k（k-1）（k-2）+3k（k-1）+k=3！C■■+3?2！C■■+C■■，
13+23+…+n3=■k3=13+23+■（3！C■■+3×2！C■■+C■■）
=3！■C■■+3×2！■C■■+■C■■
=3！C■■+3×2！C■■+C■■
=■n2（n+1）2
例3：求數(shù)列{n4}的前n項和。
解：我們可以仿照上述兩個例子，利用待定系數(shù)法求得
14+24+……+n4=■（n+1）n（2n+1）（3n2+3n-1）
計算過程略。
通過由上述3個例題的演算我們可以發(fā)現(xiàn)，利用組合數(shù)公式求解形如{nm}（m∈N*）的數(shù)列前n項和，有其一般規(guī)律，都可用待定系數(shù)法。
三、公式（3）的應用推廣
公式（3）的意義不僅僅在于可求形如{nm}（m∈N*）的數(shù)列前n項和，也可以求其他一些更為復雜的數(shù)列的前n項的和。
例4：在n個連續(xù)奇數(shù)1，3，5，…，（2n-1）中，求任意相異兩數(shù)的積的和。
解：我們有，■ak2=■a■■+2■aiaj
因此，上式可變形為■aiaj=■■ak2-■a■■
從而，所求的和為■1+3+…+（2n-1）2-12+32+…+（2n-1）2
=■■2-■（2k-1）2
=■（n2）2-■（4k2-4k+1）
=■n4-4■k2+4■k-n
=■n4-4?■n（n+1）（2n+1）+4?■n（n+1）-n
=■n（n-1）（3n2-n-1）
四、教學啟示
組合數(shù)和數(shù)列是高中數(shù)學中的兩個重要的知識內(nèi)容。它們表面上看似乎相互獨立，其實他們之間有著密切的聯(lián)系，我們不能讓學生一味地搞題海戰(zhàn)術，而是要讓學生勤于思考，善于總結，努力發(fā)現(xiàn)問題的一般規(guī)律。只有這樣才能讓學生學會分析問題、研究問題，領悟數(shù)學思想，最大限度地提高學生的思維品質(zhì)，激發(fā)學生探索數(shù)學的熱情。
參考文獻：
[1]胡巖火.組合數(shù)公式的變形與組合數(shù)數(shù)列求和[J]. 數(shù)學通報，1995（3）.
[2]沈元春.特殊數(shù)列初等求和方法例談[J].新疆石油教育學院學報，2000（1）.
第8篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
【關鍵詞】數(shù)列求和 常用方法 高考難點 高考教學
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）24-0149-01
數(shù)列求和是高中數(shù)學的一個重點，也是高考的難點，縱觀山西省近幾年高考數(shù)學的最后一題，都是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何、導數(shù)、三角、向量、二項式等知識聯(lián)系在一起，以它的復雜多變、綜合性強、解法靈活等特征成為高考的壓軸題，因此搞好數(shù)列求和的學習是非常重要的，經(jīng)過整理，常見的數(shù)列求和的方法有四種：
一 常用公式法
直接利用公式求和是數(shù)列求和最基本的方法。常用的數(shù)列求和公式有：
Sn= =na1+ d （ 為等差數(shù)列）
Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）
（ 為等比數(shù)列）
二 乘比錯位相減法
對于數(shù)列 ，若an=bn·cn且數(shù)列 、 分別是等
差數(shù)列、等比數(shù)列時，求該數(shù)列 前n項和時，可用該方法。
例1：求和Sn= + + + +… 。
設an= =n· ，其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)
列，公比為 ，利用錯位相減法求和。
兩端同乘以 ，再兩式相減得：Sn=2- - 。
說明：乘比錯位相減法實際上是把一個數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題。
三 分組求和法
對于數(shù)列 ，若an=bn± 且數(shù)列 、 …都能
求出其前n項的和，則在求 前n項和時，可采用該法。
例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。
解：設an= =1-10-n
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
=n- （1-10-n）
四 倒序相加法和倒序相乘法
1.倒序相加法
在教材上推導等差數(shù)列 前n項和Sn的公式：Sn=
使用的就是該法，推導過程參看教材。
例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。
解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）
S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）
由（1）+（2）得：S= 。
例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。
解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì) = ，將Sn倒序?qū)憺椋篠n=n +（n-1） + 。
以上兩式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。
因此，Sn=n·2n-1。
2.倒序相乘法
例5：已知a、b為兩個不相等的正數(shù)，在a、b之間插入n個正數(shù)，使它們構成以a為首項，b為末項的等比數(shù)列，求插入的這n個正數(shù)的積pn。
解：設插入的這n個正數(shù)為a1、a2、a3…an，且數(shù)列a1、a2、a3…an、b成等比數(shù)列。
則：ab=a1·an=a2·an-1=…
pn=a1·a2·a3…an （3）
第9篇：高中數(shù)學數(shù)列求和的方法范文
關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)列章節(jié)；問題教學
數(shù)列章節(jié)是高中數(shù)學知識結構體系的重要構建要素，是高考數(shù)學試題命題的重要環(huán)節(jié)，也是學生學習能力技能培養(yǎng)的重要載體。數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學模型，是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，數(shù)列章節(jié)問題案例以其多變的形式和靈活的求解方法而備受高考試題命題者的關注，歷年都是高考命題的熱點。當前，技能型學習人才已成為新課改下能力培養(yǎng)的目標和歸宿。近年來，本人在數(shù)列章節(jié)問題案例教學活動中，通過自身的教學和學生的解答活動，深刻認識到數(shù)列章節(jié)問題案例教學對高中新課改能力培養(yǎng)目標要求進行了有效實施，生動表現(xiàn)出了問題案例教學對學生能力培養(yǎng)所起的促進和提升作用。本人現(xiàn)結合數(shù)列問題案例教學實踐體會，簡要論述利用數(shù)列問題案例培養(yǎng)學生能力發(fā)展方面的策略和體會。
一、利用數(shù)列問題案例探究性，鼓勵學生開展合作探究活動
常言道，千里之行，始于足下。學生進行問題案例解答活動，就是學生之間互助合作進行問題探究、分析、解答的過程。合作探究能力的培養(yǎng)，對高中生有效探索解題要領和方法，具有顯著的推動和促進作用。高中數(shù)學教師在數(shù)列問題案例教學中，要善于利用數(shù)列問題案例在展現(xiàn)知識要點要義上的概括作用，設置具有探究合作特性的問題案例，讓學生在群體合作中，開展問題探索分析活動，實現(xiàn)互助合作探究問題能力的有效提升。
如在“等比數(shù)列的前n項和”問題課教學中，教師根據(jù)“等比數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)以及與函數(shù)的關系”等內(nèi)容，設置了“已知等比數(shù)列{an}的前n項和為2，其后為2n項的和為12，求再后面3n項的和”問題案例，引導學生開展合作探究問題活動，學生組成小組合作探析問題活動時，認識到該問題是考查學生等比數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式的應用。此時，學生之間結合問題條件，共同討論問題案例解題方法，通過集體探討認為，由已知條件，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)前n項和公式列出關于首項a1和公比q及n的兩個方程，解出a1和q關于n的表達式。此時，學生進行問題案例解題活動。學生在集體合作的探究問題過程中，探究問題能力得到了鍛煉，探究效能得到了提升，實現(xiàn)了學生合作意識和探究能力的雙提升。
二、體現(xiàn)數(shù)列問題案例發(fā)散性，引導學生開展創(chuàng)新思維活動
發(fā)散性是數(shù)學問題案例的根本特性之一，數(shù)列章節(jié)問題案例同樣具有此種特性。高中數(shù)學教師可以將發(fā)散性數(shù)列問題作為學生思維靈活性、全面性特性培養(yǎng)的重要抓手，鼓勵和引導學生找尋解題不同“突破口”，實現(xiàn)學生創(chuàng)新思維活動效能的提升和進步。
如在“等差數(shù)列的通項公式”問題課教學中，教師根據(jù)“等差數(shù)列的通項公式”教學重難點，將該節(jié)教學內(nèi)容考查知識點融入滲透到“若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a15=33，a45=153，求a60”問題案例中，引導學生開展問題解答活動。在該問題解答中，教師采用“小組探究”的形式，讓學生組成學習小組開展問題探究分析活動，學生認識到，該問題是關于“等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用”的問題案例。此時，教師要求學生結合等差數(shù)列的性質(zhì)進行該問題案例思路的探析，在探析過程中，有的學生提出，可先利用a1和d求得通項公式，再求a60，有的學生提出可以利用等差數(shù)列通項公式的變形公式an=am+（n-m）d求得d，也有的學生提出可以利用等差數(shù)列中等距離求出各項組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列的性質(zhì)求a60。此時，教師讓學生進行解題活動。最后，教師對學生創(chuàng)新思維活動進行肯定性評價。這一過程中，教師通過學生合作探析發(fā)散問題的不同解題思路及方法，思維活動更加靈活，思維活動更加全面，有效提升學生思維創(chuàng)新能力。
三、放大數(shù)列問題案例綜合性，開展綜合辨析活動
筆者在數(shù)列章節(jié)知識體系的研析和問題案例的教學實踐中，可以看出，數(shù)列章節(jié)知識點與函數(shù)、方程以及不等式等章節(jié)知識內(nèi)容存在密切聯(lián)系。同時，數(shù)列命題也已逐步與函數(shù)、方程、不等式以及幾何等知識綜合，以內(nèi)涵豐富、思想深刻的綜合性問題形式出現(xiàn)，成為培養(yǎng)學生數(shù)學綜合運用能力的有效抓手和綜合性解題技能培養(yǎng)的重要載體。
如在數(shù)列章節(jié)復習課問題教學中，教師設置了“已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=50，d=-0.6，（1）從第幾項開始有an＜0，（2）求此數(shù)列的前n項和的最大值”問題。通過對該數(shù)列問題案例的分析，可以看出此案例是要運用到不等式以及二次函數(shù)等知識內(nèi)容的綜合練習題。如在（1）解題時實質(zhì)上是解一個不等式，但要注意n∈N，（2）實際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律，通過分析發(fā)現(xiàn)，由于等差數(shù)列中的Sn是關于n的二次函數(shù)，可用二次函數(shù)的方法求最值。學生對該類形式新穎、構思巧妙的綜合性問題進行解答時，能夠?qū)W生函數(shù)與方程思想策略的有效運用起到促進作用。高中數(shù)學教師在實際教學中要善于運用綜合性問題案例開展有效教學，提升學生學習思想和素養(yǎng)。
