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函數(shù)是中學教學中非常重要的內容，是學生第一次學習數(shù)形式結合，正比例函數(shù)是一次函數(shù)特例，也是初中數(shù)學中的一種簡單最基本的函數(shù)，努力上好正比例函數(shù)才能為后面學習一次函數(shù)打下基礎，為此在教學中通過問題串，引導學生觀察探索，讓學生在學習過程中感悟函數(shù)思想，從而激發(fā)學生學習函數(shù)的信心和興趣。
學情分析
正比例數(shù)是學生第第一次涉及到一個具體的函數(shù)的學習和研究，也是初中數(shù)學中的一種簡單最基本的函數(shù)，為后面學習一次函數(shù)打下基礎，根據(jù)學生基礎和知識層次制定不同的要求，提倡同伴間互相合作，充分遵循學生的認知規(guī)律，教學中注意由易到難、循序漸進，讓每個學生獲得成功的喜悅。
教學目標
知識與技能：能作正比例函數(shù)的圖象，能掌握、運用正比例函數(shù)的性質；過程與方法：通過作正比例函數(shù)圖象的過程，發(fā)展學生的觀察、概括、歸納的能力，感知數(shù)形結合的數(shù)學思想；情感態(tài)度與價值觀：通過描點作圖題培養(yǎng)學生認真的學習習慣。
教學重點：正比例函數(shù)的圖象特征和性質。教學難點：正比例函數(shù)的圖象特征和性質的概括和歸納。
教學過程：
一、回顧舊知、提出問題
問題1 昨天我們初步學習了正比例函數(shù)，你能寫出兩個具體的正比例函數(shù)解析式嗎？什么叫正比例函數(shù)？（學生隨便寫出兩個正比例函數(shù)解析式，如y=2x、y=-2x等?；仡櫿壤瘮?shù)概念，開放性地先讓學生寫出幾個簡單的正比例函數(shù)解析式，既是為了幫助學生回顧正比例函數(shù)的概念，也是為了后面研究函數(shù)性質提供畫圖象的具體函數(shù)。）
問題2 函數(shù)都有哪幾種表示方法？（教師引導學生說出表格法和圖像法。為激發(fā)學生學習本節(jié)課的興趣做好鋪墊。）
問題3 針對函數(shù)y=kx（k≠0），大家還想研究什么？應該怎樣研究？（教師引導學生自然合理地提出要研究的問題――研究函數(shù)圖象，研究步驟：列表、描點、連線。通過回顧，引導學生自然合理地提出正比例函數(shù)圖象的研究任務和研究方法。）
二、合作交流，探究k>0的函數(shù)性質
問題4 讓我們從具體的正比例函數(shù)y=2x的圖象研究開始，畫圖象怎樣畫？
（在學生說出畫圖象的步驟后，教師ppt演示。學生對剛接觸畫圖象，為避免學生因在列表、連線等細節(jié)上出現(xiàn)錯誤，教師示范，為后續(xù)學生獨立作圖提高準確性。）
追問1：看一看，畫出的圖象是什么？追問2：其他的正比例函數(shù)圖象也是一條直線嗎？請三人小組分工，分別取k為1、3、4，每人在練習紙上畫一幅正比例函數(shù)圖象。（類比y=2x的圖象畫法，做出函數(shù)圖象。讓學生畫圖象，觀察、發(fā)現(xiàn)圖象可能是直線。）
問題5 請組內討論交流，你們的圖象有什么共同點？（教師深入組內傾聽學生的發(fā)言，發(fā)現(xiàn)學生的盲點和誤區(qū)，給予指導。實物投影展示組內的三幅圖象，各組互相補充發(fā)言，引導學生逐步完善共同點，得出k>0的正比例函數(shù)性質，是一條經過原點的直線，經過一三象限，從左到右直線上升，y隨x的增大而增大?；ハ嗪献?，共同進步，注重因材施教，充分遵循學生的認知規(guī)律，從而逐步突破本節(jié)難點。）
問題6 同學們通過合作學習，已經找到了k>0時的正比例函數(shù)性質了，同學們還想探究什么？追問1：怎么探究？（引導學生類比學習，組內分工，分別取k為-1、-3、-4，每人在練習紙上畫一幅正比例函數(shù)圖象，尋找共同點，得出k
三、初步應用，鞏固新知
1.在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y=kx（k
2.對于正比例函數(shù)y=kx，當x增大時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍（ ）
A.k0 D.k≥0
3.點（2，y1），（4，y2）為y=-3x圖象上的兩點，請比較y1、y2的大小。（引導學生說出三種做法，提高學生對性質靈活運用的能力）
四、綜合應用，深化理解
1.同學們剛才都找了組內圖象的共同點，再看看這些直線有什么不同點嗎？追問1：看看直線的傾斜程度與什么有關？有什么變化規(guī)律？組內討論交流。（引導學生說出直線的傾斜程度不同，發(fā)現(xiàn)k的絕對值越大，直線的傾斜程度越小，動畫演示。乘勝追擊，適時拔高本節(jié)內容，讓同學們再進行一次攀登，培養(yǎng)學生多角度的觀察、比較能力。）
追問2：你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（引導有能力的學生得出，當k互為相反數(shù)時，兩個函數(shù)圖象分別關于x、y軸對稱。為能力較強的同學提供一個更高的高度。）
2.我們知道y=2x的圖象是一條經過坐標原點的直線，你有畫這幅函數(shù)圖象的簡便畫法了嗎？正比例函數(shù)y=kx（k=0）的圖象是____，它一定經過（0， ）和（1， ）點。你如何畫下列函數(shù)圖象（1）y=x （2）y=-0.5x。
五、小結
參照下面問題，教師引導學生回顧本節(jié)課所學的主要內容，通過相互交流分享觀點：（1）正比例函數(shù)的圖象是什么？怎樣用簡便方法畫正比例函數(shù)圖象？（2）正比例函數(shù)有哪些性質？（3）我們是怎樣對正比例函數(shù)的性質進行研究的？
教師在學生交流的基礎上概況。正比例函數(shù)解析式：y=kx（k是常數(shù)，k≠0）圖象：一條經過原點和（1，k）的直線；性質：①當k>0時，直線y=kx經過第一、三象限；當k0時，從左向右上升，即隨x的增大y而增大；當k
正比例應用題這部分內容是在教學過比例的意義和性質，成正、反比例的量的基礎上進行教學的，這是比和比例知識的綜合運用。教材首先說明應用正、反比例的知識可以解決一些實際問題。例1教學應用正比例的意義來解的基本應用題。為了加強知識之間的聯(lián)系，先讓學生用以前學過的方法解答，然后教學用比例的知識解答。通過方框中的說明突出了怎樣進行思考的過程，特別強調了新科技要判斷題目中兩種相關聯(lián)的量成什么比例聯(lián)系，以及列出比例式所需的相等聯(lián)系，即“行駛的路程和時間成正比例聯(lián)系，所以兩次行的路程和時間的比是相等的”然后再設未知數(shù)，列出等式（方程）解答，并在解答的基礎上引導學生“想一想”，如果改變例1題目里的條件和問題該怎樣解答。
教學對象分析：
成正比例的量，在生活實際中應用很廣，學生在前兩年的學習中，已接觸過這種情況的問題，如歸一應用題，只不過那時是就題論題，沒有上升到一般規(guī)律。這里主要使學生學習用比例的知識來解答，在原有認識的基礎上，再讓學生用其他方法解答同一題目，概括出一般規(guī)律。通過解答使學生進一步熟練地判斷成正比例的量，從而加深對正比例意義的理解。有利于溝通知識間的聯(lián)系，也為中學的數(shù)學、物理、化學等學科中應用比例知識解決一些問題做較好的準備。同時，由于解答時是根據(jù)正比例意義來列等式，又可以鞏固和加深對所學的簡易方程的認識。所以，在教學上要十分重視從舊知識引申出新知識，在這過程中，蘊涵了抽象概括的方法，運用這個概括對新的實際問題進行判斷，這是數(shù)學學習所特有的能力。
正比例應用題教學設計
三元坊小學梁智丹
教學內容：人教版23頁至24頁例1以及相應的“做一做”。
教學目標：
1、掌握用正比例的方法解答相關應用題；
2、通過解答應用題使學生熟練地判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例，
從而加深對正比例意義的理解；
3、培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；
4發(fā)展學生綜合運用知識解決簡單實際問題的能力。
教學重點：掌握用正比例的方法解答應用題
教學難點：能正確判斷兩種相關聯(lián)的量成什么比例，正確列出比例式。
教學過程：
一、談話導入：
1、在上新課之前，先考考大家對廣州的認識。你知道廣州最高的建筑物是什么？它位于何處？
2、對于這座廣州最高的建筑物，你還想了解些什么？怎樣測量它大概的高度呢？
剛才同學們想出了很多的方法去測量中信廣場的大概高度。今天我們學習一種新的方法——正比例應用題，學完后，我們試著用這種方法去計算中信廣場的大概高度?？凑l學得最棒。
二、新課教學：
先來研究這樣一個問題。
1、出示例1
一輛汽車2小時行駛140千米，照這樣的速度，從甲地到乙地共行駛5小時。甲乙兩地之間的公路長多少千米？
2、分析解答應用題
(1)請一位同學讀一讀題目
(2)這道題要求什么？已知什么條件？
(3)能不能用以前學過的方法解答？
(4)讓學生自己解答，邊訂正邊板書：
140÷2×5
=70×5
=350(千米)
答：________________。
3、激勵引新
這兩種方法都合理，還可以有什么方法解答呢？
學生互議，師引導，我們已經學習了比例的知識，能不能用比例解答呢？
三、探討新知
1、提出問題
師：請同學們結合課本上的例題，討論以下問題。
(1)題目中相關聯(lián)的兩種量是________和________。
(2)________必定，_________和_________成_______比例聯(lián)系。
(3)______行駛的_____和_____的________相等。
2、學生自學例題后小組討論。
3、組間交流：小組代表把討論結果在班內交流
4、學生嘗試解答后評價(指名學生板演)
5、怎樣檢驗？把檢驗過程寫出來。
6、概括總結
(1)用比例解答應用題與用算術方法解答應用題教師這道題的解法，如果題目中沒有要求的，我們采取任何一種方法都可以，但如果題目要求用比例解的，就必定要用比例的方法解。
(2)明確解題步驟。(板)
用比例方法解答應用題，具體步驟是怎樣的呢？請根據(jù)我們所做的例題歸納解題步驟。
1．分析判斷
2．找出列比例式所需的相等聯(lián)系
3．設未知數(shù)列等式
4．求解
5．檢驗寫答語
四、練習提高
1、基本練習
（1）例題改編
①如果把這道題的第三個和問題改成：“已知公路長350千米，需要行駛多少小時？”該怎樣解答？
②讓學生解答改編后的應用題，集體訂正。
③小結：比較一下改編后的題和例1有什么聯(lián)系和區(qū)別？
例1的條件和問題以后，題中成正比例的聯(lián)系仍沒變，解答的方法出沒有改變，只是要設需要行駛的小時數(shù)為x，列出的等式是:140/2=350/x
（2）24頁做一做：讓學生直接用比例知識解答。做完后，請幾個同學說一說：你為什么這樣列式？
2、變式練習
3、理論運用
（1）匯報數(shù)據(jù)：剛才我們上課時提到怎教材分析：
正比例應用題這部分內容是在教學過比例的意義和性質，成正、反比例的量的基礎上進行教學的，這是比和比例知識的綜合運用。教材首先說明應用正、反比例的知識可以解決一些實際問題。例1教學應用正比例的意義來解的基本應用題。為了加強知識之間的聯(lián)系，先讓學生用以前學過的方法解答，然后教學用比例的知識解答。通過方框中的說明突出了怎樣進行思考的過程，特別強調了新科技要判斷題目中兩種相關聯(lián)的量成什么比例聯(lián)系，以及列出比例式所需的相等聯(lián)系，即“行駛的路程和時間成正比例聯(lián)系，所以兩次行的路程和時間的比是相等的”然后再設未知數(shù)，列出等式（方程）解答，并在解答的基礎上引導學生“想一想”，如果改變例1題目里的條件和問題該怎樣解答。
教學對象分析：
成正比例的量，在生活實際中應用很廣，學生在前兩年的學習中，已接觸過這種情況的問題，如歸一應用題，只不過那時是就題論題，沒有上升到一般規(guī)律。這里主要使學生學習用比例的知識來解答，在原有認識的基礎上，再讓學生用其他方法解答同一題目，概括出一般規(guī)律。通過解答使學生進一步熟練地判斷成正比例的量，從而加深對正比例意義的理解。有利于溝通知識間的聯(lián)系，也為中學的數(shù)學、物理、化學等學科中應用比例知識解決一些問題做較好的準備。同時，由于解答時是根據(jù)正比例意義來列等式，又可以鞏固和加深對所學的簡易方程的認識。所以，在教學上要十分重視從舊知識引申出新知識，在這過程中，蘊涵了抽象概括的方法，運用這個概括對新的實際問題進行判斷，這是數(shù)學學習所特有的能力。
正比例應用題教學設計
三元坊小學梁智丹
教學內容：人教版23頁至24頁例1以及相應的“做一做”。
教學目標：
1、掌握用正比例的方法解答相關應用題；
2、通過解答應用題使學生熟練地判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例，
從而加深對正比例意義的理解；
3、培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；
4發(fā)展學生綜合運用知識解決簡單實際問題的能力。
教學重點：掌握用正比例的方法解答應用題
教學難點：能正確判斷兩種相關聯(lián)的量成什么比例，正確列出比例式。
教學過程：
一、談話導入：
1、在上新課之前，先考考大家對廣州的認識。你知道廣州最高的建筑物是什么？它位于何處？
2、對于這座廣州最高的建筑物，你還想了解些什么？怎樣測量它大概的高度呢？
剛才同學們想出了很多的方法去測量中信廣場的大概高度。今天我們學習一種新的方法——正比例應用題，學完后，我們試著用這種方法去計算中信廣場的大概高度?？凑l學得最棒。
二、新課教學：
先來研究這樣一個問題。
1、出示例1
一輛汽車2小時行駛140千米，照這樣的速度，從甲地到乙地共行駛5小時。甲乙兩地之間的公路長多少千米？
2、分析解答應用題
(1)請一位同學讀一讀題目
(2)這道題要求什么？已知什么條件？
(3)能不能用以前學過的方法解答？
(4)讓學生自己解答，邊訂正邊板書：
140÷2×5
=70×5
=350(千米)
答：________________。
3、激勵引新
這兩種方法都合理，還可以有什么方法解答呢？
學生互議，師引導，我們已經學習了比例的知識，能不能用比例解答呢？
三、探討新知
1、提出問題
師：請同學們結合課本上的例題，討論以下問題。
(1)題目中相關聯(lián)的兩種量是________和________。
(2)________必定，_________和_________成_______比例聯(lián)系。
(3)______行駛的_____和_____的________相等。
2、學生自學例題后小組討論。
3、組間交流：小組代表把討論結果在班內交流
4、學生嘗試解答后評價(指名學生板演)
5、怎樣檢驗？把檢驗過程寫出來。
6、概括總結
(1)用比例解答應用題與用算術方法解答應用題教師這道題的解法，如果題目中沒有要求的，我們采取任何一種方法都可以，但如果題目要求用比例解的，就必定要用比例的方法解。
(2)明確解題步驟。(板)
用比例方法解答應用題，具體步驟是怎樣的呢？請根據(jù)我們所做的例題歸納解題步驟。
1．分析判斷
2．找出列比例式所需的相等聯(lián)系
3．設未知數(shù)列等式
4．求解
5．檢驗寫答語
四、練習提高
1、基本練習
（1）例題改編
①如果把這道題的第三個和問題改成：“已知公路長350千米，需要行駛多少小時？”該怎樣解答？
②讓學生解答改編后的應用題，集體訂正。
③小結：比較一下改編后的題和例1有什么聯(lián)系和區(qū)別？
例1的條件和問題以后，題中成正比例的聯(lián)系仍沒變，解答的方法出沒有改變，只是要設需要行駛的小時數(shù)為x，列出的等式是:140/2=350/x
（2）24頁做一做：讓學生直接用比例知識解答。做完后，請幾個同學說一說：你為什么這樣列式？
2、變式練習
3、理論運用
（1）匯報數(shù)據(jù)：剛才我們上課時提到怎樣測量和計算中信廣場的大概高度，課前我請幾位同學去測得中信廣場的一些數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在請這些同學跟我們匯報一下。
（2）能用這些數(shù)據(jù)編一道正比例應用題嗎？
（3）小組合作編題
五、總結
今天我們學習的是如何用正比例的方法解答以前學過的應用題。解答的步驟怎樣的呢？
樣測量和計算中信廣場的大概高度，課前我請幾位同學去測得中信廣場的一些數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在請這些同學跟我們匯報一下。
（2）能用這些數(shù)據(jù)編一道正比例應用題嗎？
（3）小組合作編題
《原本》中關于比和比例的內容大多用于幾何問題以及數(shù)論方面的研究，而且對于數(shù)學內容的研究起到了重要的作用。[1]正是這樣的重要性，使得比和比例作為數(shù)學課程與教學的內容，歷經兩千余年而不衰。
一、僅有“生活”情境是不夠的
我國小學數(shù)學中“正比例”和“反比例”的課程內容，在人民教育出版社2013年10月出版的《義務教育教科書數(shù)學》中，安排在六年級下冊。對于“正比例”的學習，教科書中利用的是“購物”的情境（見圖1），也就是通過“購買鉛筆”的實際情境，讓學生感受到當單價固定不變的時候，“數(shù)量”與“總價”是成正比例的。
對于“反比例”的學習，教科書中利用的是把相同體積的水倒入底面積不同的杯子（見圖2），讓學生感受到在水的體積固定不變的情況下，容器的“底面積”和水的“高度”是成反比例的。
這樣的安排應當說利用了學生已有的知識和經驗，對于學生了解“正比例”和“反比例”的含義是有益的。但同時應當認識到，學生在小學的最后階段學習正比例和反比例，具有承上啟下的作用。一方面應當體現(xiàn)對過去所學的相關數(shù)學內容的總結，另一方面應當為初中相關數(shù)學內容的學習奠定基礎。
因此，在教學過程中，不能將正、反比例所適用的情境僅僅定位于所謂的“生活情境”，還應當包括數(shù)學中的內容。比如圓的周長與直徑（或半徑）之間的關系就是典型的正比例關系。另外，正比例和反比例并不是相互割裂的兩個概念，往往表現(xiàn)為同一情境中的不同關系。比如在“行程問題”中，如果速度是固定不變的常量，那么路程和時間就是成正比例的關系；同樣，如果時間是固定不變的常量，那么路程和速度也是成正比例的關系；如果路程是固定不變的常量，那么速度和時間就是成反比例的關系。
事實上，所有正比例和反比例關系都可以概括到數(shù)學模型“a×b=c”中，如果其中一個因數(shù)（a或b）代表固定不變的常量，那么另一個因數(shù)所代表的變量與字母c所代表的變量就是成正比例關系的；如果其中字母c所代表的是固定不變的常量，那么兩個因數(shù)a和b分別代表的變量就是成反比例關系的。因此，凡是具有兩個量之積等于另外一個量的情況，其中就應當有正比例和反比例的關系。
二、長方形中的“正比例”和“反比例”
所有長方形的面積與其邊的長度和寬度的關系可以概括為“長×寬=面積”。其中如果“面積”是固定不變的常量，那么“長”與“寬”的長度就是成反比例的量。如果一條邊的長度，比如“寬”是常量，那么“長”與“面積”就是成正比例的關系（見圖3）。
圖3中的正比例關系可以表達為“A1∶A2=a1∶a2”，或者用分數(shù)的符號表示為“=”。在此基礎上，圖4的長方形中，如果用A1，A2，B1，B2分別代表相應部分的面積，那么就有“=”和“=”同時成立。因此就有“=”成立。
這樣的關系可以進一步推廣，在圖5中，如果每個字母代表相應部分的面積，那么就有下面的正比例關系：
==…=
這樣的模型在解決問題中是有用的，比如圖4中如果已知四個部分中任意三個部分的面積，那么利用=就可以輕易地求出另外一個部分的面積。
三、三角形中的“正比例”與“反比例”
任意三角形的面積與其“底”邊長度和“高”度之間的關系為“底×高=2面積”，如果三角形面積是常量，那么面積的“2倍”自然也是常量，此時三角形的“底”邊長度和“高”度就成反比例關系。如果“高”度是常量，那么三角形的面積與“底”邊長度就是成正比例關系。比如在圖6中，圖中大寫字母A1和A2分別代表相應部分的面積，小寫字母a1和a2分別代表相應底邊的長度。
由于三角形的高度是固定不變的常量，因此底邊長度和面積就是正比例關系，可以表示為如下的形式“A1∶a1=A2∶a2”，或者“=”。這樣的關系可以推廣為圖7的形式。
類似的正比例關系為“A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an”，或者“==…=”。
這樣的正比例關系實質上溝通了邊的長度與相應部分面積之間的關系，這樣的關系在今后中學乃至大學的數(shù)學學習中都是重要的。比如對于三角形重心位置的確定，就可以運用這樣的關系。
在圖8的三角形ABC中，D點是BC邊的中點，E點是AC邊的中點。從三角形的頂點到對邊中點的連線叫作三角形的中線。圖8中的AD和BE都是三角形ABC的中線。三角形ABC的重心就位于中線的交點O處。
下面需要確定重心O點的具置。首先，由于三角形ADC和BCE的面積都是大三角形ABC面積的一半，所以二者面積相等。把這兩個三角形同時去掉公共部分（四邊形OECD），就可以知道三角形AOE和三角形OBD面積相等。同樣方法還可以知道三角形ABO和四邊形OECD面積相等。
再來看看三角形OBD與其相鄰的四邊形OECD的面積是什么關系。為了便于比較，連接O點和C點，把四邊形分割為兩個三角形ODC和OEC（見圖9）。
由于D點是BC邊的中點，因此三角形ODC與鄰近的三角形OBD面積相等，三角形OEC與鄰近的三角形AOE面積相等。聯(lián)系剛才的結果，就可以知道下面兩個關系，三角形ABO的面積等于三角形AOE面積的2倍，也等于三角形OBD面積的2倍。
利用前面所說的面積與邊長的正比例關系，立刻就可以知道線段BO的長度是線段OE長度的2倍，同樣線段AO的長度是線段OD長度的2倍?，F(xiàn)在就知道三角形重心的具置了，任意三角形的重心是三條中線的交點，這個交點位于每一條中線靠近底邊的三等分點處。
四、“正比例”與“反比例”的教學設計
綜上，關于正比例和反比例的教學應當形成的觀點主要有三點：第一，正比例和反比例并非全新的知識，其本質是對所有具有“兩個量之積等于第三個量”的數(shù)量關系進行概括的數(shù)學模型；第二，正比例和反比例往往是同一模型中的兩種關系，所以在教學中可以同時出現(xiàn)，便于學習過程中的對比；第三，這個模型對于學生的數(shù)學學習有承上啟下的作用，所應用的情境不應當局限于所謂的“生活”，還應當包含有數(shù)學中的內容。
“變教為學”倡導知識的呈現(xiàn)應當“突出本質、滲透文化、實現(xiàn)關聯(lián)”。作為我國傳統(tǒng)文化的成語中，有些也蘊含著正比例和反比例的觀念。比如成語“半斤八兩”，中國古時關于重量的計量單位為“1斤=16兩”，“斤”與“兩”的關系其實就是正比例關系。事實上，所有度量單位之間的轉換，都是依據(jù)類似于此的正比例關系。再比如成語“事半功倍”，表達的意思是做事方法巧妙，雖然費力小，但是做出的成果大。也可以把其中的“事”理解為工作時間，“功”理解為工作效率，那么這個成語所說的意思就是在工作總量不變的情況下，工作效率與工作時間是反比例關系，也就是說，提高效率就等于節(jié)約了時間。
有了這些認識，就可以把學習目標敘述為：“總結具有兩個量之積等于第三個量的數(shù)量關系；認識其中的正比例關系和反比例關系?！币罁?jù)這樣的學習目標，可以設計如下的學習任務。
任務1：寫出所有你知道的，具有“×=”形式的公式。比如“長×寬=長方形面積”。在小組內交流，互相補充。
學生依據(jù)這樣的任務，就需要在自己已有的知識和經驗中回憶。可能寫出的關系式主要有如下的類型：度量單位換算；面積和體積公式；工程問題；行程問題；購物問題；等等。這樣的回憶能夠幫助學生對已有的知識和經驗進行歸納，發(fā)現(xiàn)其共性，為下面概括出正比例和反比例關系做好準備。
任務2：在“×=”的三個量中，如果固定其中的一個，那么另外兩個量是什么關系呢？用一個例子進行說明。
設計這個任務的目的是讓學生體會“常量”與“變量”的含義，同時感受兩個量之間依賴與制約的關系。
任務3：自己想想，什么叫作“兩個量成正比例”？什么叫作“兩個量成反比例”？在小組內說說自己的想法。
通過對這些任務的思考討論，學生可以初步經歷比較并且概括的過程。在此基礎上，可以引導學生閱讀教科書，進一步明確“正比例”和“反比例”的含義。在此基礎上，運用前面所說的成語解讀以及相關的數(shù)學問題等內容，讓學生經歷深入理解正比例和反比例關系的過程。
參考文獻：
課堂實錄《小數(shù)大小的比較》、《用正比例解決問題》都具有一定的深度和廣度。我們先來看《小數(shù)大小的比較》一課的教學設計：一開始，該由08奧運引發(fā)一個問題情境，學生在體育課上跳遠成績：2.01米、1.84米，引出課題。立足于解決實際問題，讓學生比較判斷誰跳得遠，并說明理由。學生說出了多種比較的方法。這位老師適時地進行了方法優(yōu)化，哪種方法最簡便？得出結論：比較整數(shù)部分。整數(shù)部分大的那個小數(shù)就大。在此基礎上，延續(xù)剛才的情境，出現(xiàn)整數(shù)部分相同的兩個小數(shù)：1.84與1.95，引發(fā)認知沖突：整數(shù)部分相同如何比較？學生經過探索得出：整數(shù)部分相同，要看十分位，十分位大的那個小數(shù)就大。隨著情境的進一步發(fā)展，學生又經歷了探索百分位比較的過程，并通過知識遷移，理解了百分位相同，比較千分位；千分位相同，比較萬分位……進行到這里，應該說，學生已經掌握了小數(shù)大小的比較方法。老師又別出心裁的總結：把14.25、14.249這兩個小數(shù)的數(shù)字遮住，讓學生生辦法比較兩個小數(shù)的大小。又一次直觀地展示了小數(shù)大小的比較方法，顯示出老師獨具匠心的設計。
在鞏固練習環(huán)節(jié)，老師仍然延續(xù)剛才的情境，從不同的方面詮釋分數(shù)的大小比較的應用。從一般的應用，到50米成績的名次排定，突出了難點，保證了學生掌握知識的廣度。這里，老師還設計了一個猜價格的活動，教師給定一本書的價格范圍，讓學生去猜。由于這一環(huán)節(jié)是有趣的，具有挑戰(zhàn)性，所以，學生參與的積極性非常高。當然，這位老師又適時地進行了情感的升華。
通過以上的教學流程，我們可以看到，該老師在更多地體現(xiàn)了課堂教學的廣度，讓學生學會了基本的小學大小的比較方法，又讓學生經歷了小學大小比較在不同的情境下不同的應用。在橫向上拓展了學生的知識面，形成了應用能力。但如果能在課堂教學的深度上再下一點功夫，讓學生的思維充分動起來，那就更加錦上添花了。我們可以看到，在讓學生探索比較十分位、百分位這個環(huán)節(jié)，該老師是平均用力，先是比較十分位，再比較百分位，然后類推到萬分位等等，學生經歷的只是一種思維的簡單重復，而沒有思維的碰撞。這里，如果該老師能讓學生根據(jù)比較十分位所形成的數(shù)學模型，放手讓學生猜當十分位相同時，應該怎樣比較？學生應該能猜出，當學生猜出后，再讓學生去驗證。在驗證的基礎上再讓學生推想出當前一位相同時，就要看下一位，從而揭示了小數(shù)大小比較的內涵。
人教版新課標六年級下冊數(shù)學教學計劃
一、教學內容
冊教材包括下面內容：負數(shù)、圓柱與圓錐、比例、統(tǒng)計、數(shù)學廣角、整理和溫習等。
教學：百分數(shù)的利用、圓柱的側面積和表面積的計算方法、圓柱和圓錐的體積計算方法、比例的意義和性質、正比例和反比例、扇形統(tǒng)計圖、轉化的解題策略總溫習的四個板塊的系列內容。
教學難點：圓柱和圓錐體積計算方法的推導、成正比例和反比例量的判定、用方向和間隔位置、眾數(shù)和中位數(shù)均勻數(shù)、解題策略的靈活應用。
二、教學要求
1.負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示平常生活中的題目。
2.理解比例的意義和性質，會解比例，理解正比例和反比例的意義，能夠判定兩種量成正比例或反比例，會用比例知識解決簡單的題目;能給出的有正比例關系的數(shù)據(jù)在有坐標系的方格紙上畫圖，并能量的值估計另量的值。
3.會看比例尺，能方格紙等按的比例將簡單圖形放大或縮小。
4.熟悉圓柱、圓錐的特點，會計算圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
5.能從統(tǒng)計圖表提取統(tǒng)計信息，解釋統(tǒng)計結果，并能的判定或簡單的猜測;體會數(shù)據(jù)產生誤導。
6.經歷從生活中題目、題目、解決題目的進程，體會數(shù)學在平常生活中的作用，綜合應用數(shù)學知識解決題目的能力。
7.經歷對抽屜原理的探究進程，抽屜原理，會用抽屜原理解決簡單的題目，發(fā)展分析、推理的能力。
8.系統(tǒng)的整理和溫習，對小學階段所學的數(shù)學知識的理解和，的、靈活的計算能力，發(fā)展思惟能力和空間觀念，綜合應用所學數(shù)學知識解決題目的能力。
9.體會學習數(shù)學的樂趣，學習數(shù)學的愛好，學好數(shù)學的信心。
10.養(yǎng)成作業(yè)、書寫整潔的習慣。
三、教材分析
在數(shù)與代數(shù)，冊教材安排了負數(shù)和比例兩個單元。生活實例使學生熟悉負數(shù)，負數(shù)在生活中的利用。比例的教學，使學生理解比例、正比例和反比例的概念，會解比例和用比例知識解決題目。
在空間與圖形，冊教材安排了圓柱與圓錐的教學，在已有知識和經驗的基礎上，使學生對圓柱、圓錐特點和知識的與學習，圓柱表面積，圓柱、圓錐體積計算的方法，空間觀念的發(fā)展。
在統(tǒng)計，本冊教材安排了數(shù)據(jù)產生誤導的內容。簡單事例，使學生熟悉到統(tǒng)計圖表雖便于判定或猜測，但如不分析也有不的信息錯誤判定或猜測，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)、客觀、的分析的性。
在用數(shù)學解決題目，教材一圓柱與圓錐、比例、統(tǒng)計等知識的學習，教學用所學的知識解決生活中的簡單題目;另外一安排了數(shù)學廣角的教學內容，學生觀察、猜想、實驗、推理等活動，經歷探究抽屜原理的進程，體會如何對簡單的題目模型化，從而學習用抽屜原理解決，感受數(shù)學的魅力，發(fā)展學生解決題目的能力。
本冊教材學生所學習的數(shù)學知識和生活經驗，安排了多個數(shù)學綜合利用的實踐活動，讓學生合作的探究活動或有現(xiàn)實背景的活動，應用所學知識解決題目，體會的樂趣和數(shù)學的利用，感受用數(shù)學的愉悅，培養(yǎng)學生的數(shù)學利意圖識和實踐能力。
整理和溫習單元是在小學數(shù)學的教學內容以后，學生對所學內容一次系統(tǒng)的、的回顧與整理，這是小學數(shù)學教學的環(huán)節(jié)。整理和溫習，使原來分散學習的知識得以梳理，由數(shù)學的知識點串成知識線，由知識線構成知識網，從而幫助學生頭腦中的數(shù)學認知結構，為初中的數(shù)學學習打下的基礎;學生綜合應用所學知識分析題目和解決題目的能力。
四、學情份析
本班共有學生29人，大學生對數(shù)學有上進心;有些學生的學習還需端正;有學生自覺性，上課留意力不;作業(yè)等;還有學生(胡志強、裴玉琴、陳建宏)基礎知識，學習數(shù)學有。在新的學期里，在端正學生學習的，應培養(yǎng)的學習數(shù)學的能力，的學習，使學生在中人人，各抒己見，相互啟發(fā), 找出解決題目的方法，體驗學習數(shù)學的快樂。
五、教學方法：
1、創(chuàng)設愉悅的教學情境，激起學生學習的愛好。提倡學法的多樣性，關注學生的個人體驗。
2、在集體備課基礎上，還應同年級老師交換聽課，反思，真正領會教學設計意圖，駕御課堂的能力。教師應轉變觀念，采用鼓勵性、自主性、性教學策略，以題目為線索，恰當應用教材、媒體、現(xiàn)實材料、難點，變多講多練，為精講精練，真正師生互動、生生互動，從而調動學生學習，教與學的效益。
3、不增減課程和課時，不要求，不購買溫習資料，不留機械、重復、懲罰性作業(yè)和作業(yè)總量不超過規(guī)定，課堂練習的多樣化，一題多解,從不同角度解決題目。
4、基礎知識的教學，使學生好基礎知識。本學期要以新的教學理念，為學生的延續(xù)發(fā)展的教學資源和空間。要教材的上風，在教學進程中，密切數(shù)學與生活的，確立學生在學習中的主體地位，創(chuàng)設愉悅、開放式的教學情境，使學生在愉悅、開放式的教學情境中個性化學習需求，從而基礎知識技能，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力的目的。
5、在教學中留意采用開放式教學，培養(yǎng)學生情境選擇方法解決題目的意識。如一題多解、一題多變、一題多問、一題多編等途徑，拓寬學生的知識面，溝通知識之間的內在，培養(yǎng)學生的應變能力。
6、練習的安排，要由淺入深，體現(xiàn)層次性。同的學生，要有不同的要求和練習，對優(yōu)生、學困生都要體現(xiàn)。數(shù)學實踐活動，讓學生熟悉數(shù)學知識與生活的關系，使學生感到生活中時時處處有數(shù)學，用數(shù)學的意義來引發(fā)和培養(yǎng)學生酷愛數(shù)學的情感。
7、對家庭教育的。家長遵守教育規(guī)律和學生身心發(fā)展的規(guī)律、科學育人。學生對待與失敗，英勇克服學習和生活中的，做學習和生活的強者。
學習：
①預習教材，知識，是途徑理解的，還有哪些疑問。
②查閱資料找出解決題目的方法。
這一冊教材包括下面一些內容：負數(shù)、圓柱與圓錐、比例、統(tǒng)計、數(shù)學廣角、整理和復習等。
教學重點：百分數(shù)的應用、圓柱的側面積和表面積的計算方法、圓柱和圓錐的體積計算方法、比例的意義和基本性質、正比例和反比例、扇形統(tǒng)計圖、轉化的解題策略以及總復習的四個板塊的系列內容。
教學難點：圓柱和圓錐體積計算方法的推導、成正比例和反比例量的判斷、用方向和距離確定位置、眾數(shù)和中位數(shù)平均數(shù)、解題策略的靈活運用。
二、教學目標
這一冊教材的教學目標是讓學生：
1．了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示一些日常生活中的問題。
2．理解比例的意義和基本性質，會解比例，理解正比例和反比例的意義，能夠判斷兩種量是否成正比例或反比例，會用比例知識解決比較簡單的實際問題；能根據(jù)給出的有正比例關系的數(shù)據(jù)在有坐標系的方格紙上畫圖，并能根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的
3．會看比例尺，能利用方格紙等形式按一定的比例將簡單圖形放大或縮小。
4．認識圓柱、圓錐的特征，會計算圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
5．能從統(tǒng)計圖表準確提取統(tǒng)計信息，正確解釋統(tǒng)計結果，并能作出正確的判斷或簡單的預測；初步體會數(shù)據(jù)可能產生誤導。
6．經歷從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，體會數(shù)學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。
7．經歷對“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題，發(fā)展分析、推理的能力。
8．通過系統(tǒng)的整理和復習，加深對小學階段所學的數(shù)學知識的理解和掌握，形成比較合理的、靈活的計算能力，發(fā)展思維能力和空間觀念，提高綜合運用所學數(shù)學知識解決問題的能力。
9．體會學習數(shù)學的樂趣，提高學習數(shù)學的興趣，建立學好數(shù)學的信心。
10．養(yǎng)成認真作業(yè)、書寫整潔的良好習慣。
三、教材分析
在數(shù)與代數(shù)方面，這一冊教材安排了負數(shù)和比例兩個單元。結合生活實例使學生初步認識負數(shù)，了解負數(shù)在實際生活中的應用。比例的教學，使學生理解比例、正比例和反比例的概念，會解比例和用比例知識解決問題。
在空間與圖形方面，這一冊教材安排了圓柱與圓錐的教學，在已有知識和經驗的基礎上，使學生通過對圓柱、圓錐特征和有關知識的探索與學習，掌握有關圓柱表面積，圓柱、圓錐體積計算的基本方法，促進空間觀念的進一步發(fā)展。
在統(tǒng)計方面，本冊教材安排了有關數(shù)據(jù)可能產生誤導的內容。通過簡單事例，使學生認識到利用統(tǒng)計圖表雖便于作出判斷或預測，但如不認真分析也有可能獲得不準確的信息導致錯誤判斷或預測，明確對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行認真、客觀、全面的分析的重要性。
在用數(shù)學解決問題方面，教材一方面結合圓柱與圓錐、比例、統(tǒng)計等知識的學習，教學用所學的知識解決生活中的簡單問題；另一方面安排了“數(shù)學廣角”的教學內容，引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，經歷探究“抽屜原理”的過程，體會如何對一些簡單的實際問題“模型化”，從而學習用“抽屜原理”加以解決，感受數(shù)學的魅力，發(fā)展學生解決問題的能力。
本冊教材根據(jù)學生所學習的數(shù)學知識和生活經驗，安排了多個數(shù)學綜合應用的實踐活動，讓學生通過小組合作的探究活動或有現(xiàn)實背景的活動，運用所學知識解決問題，體會探索的樂趣和數(shù)學的實際應用，感受用數(shù)學的愉悅，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和實踐能力。
整理和復習單元是在完成小學數(shù)學的全部教學內容之后，引導學生對所學內容進行一次系統(tǒng)的、全面的回顧與整理，這是小學數(shù)學教學的一個重要環(huán)節(jié)。通過整理和復習，使原來分散學習的知識得以梳理，由數(shù)學的知識點串成知識線，由知識線構成知識網，從而幫助學生完善頭腦中的數(shù)學認知結構，為初中的數(shù)學學習打下良好的基礎；同時進一步提高學生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。
四、教學方法：
教學方法：
1、創(chuàng)設愉悅的教學情境，激發(fā)學生學習的興趣。提倡學法的多樣性，關注學生的個人體驗。
2、在集體備課基礎上，還應同年級老師交換聽課，及時反思，真正領會教學設計意圖，提高駕御課堂的能力。教師應轉變觀念，采用“激勵性、自主性、創(chuàng)造性”教學策略，以問題為線索，恰當運用教材、媒體、現(xiàn)實材料突破重點、難點，變多講多練，為精講精練，真正實現(xiàn)師生互動、生生互動，從而調動學生積極主動學習，提高教與學的效益。
3、不增減課程和課時，不提高要求，不購買其他復習資料，不留機械、重復、懲罰性作業(yè)和作業(yè)總量不超過規(guī)定時間，課堂訓練形式的多樣化，重視一題多解,從不同角度解決問題。
4、加強基礎知識的教學，使學生切實掌握好這些基礎知識。本學期要以新的教學理念，為學生的持續(xù)發(fā)展提供豐富的教學資源和空間。要充分發(fā)揮教材的優(yōu)勢，在教學過程中，密切數(shù)學與生活的聯(lián)系，確立學生在學習中的主體地位，創(chuàng)設愉悅、開放式的教學情境，使學生在愉悅、開放式的教學情境中滿足個性化學習需求，從而達到掌握基礎知識基本技能，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力的目的。
5、在教學中注意采用開放式教學，培養(yǎng)學生根據(jù)具體情境選擇適當方法解決實際問題的意識。如通過一題多解、一題多變、一題多問、一題多編等途徑，拓寬學生的知識面，溝通知識之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的應變能力。 【1】
6、練習的安排，要由淺入深，體現(xiàn)層次性。對不同的學生，要有不同的要求和練習，對優(yōu)生、學困生都要體現(xiàn)有所指導。增強數(shù)學實踐活動，讓學生認識數(shù)學知識與實際生活的關系，使學生感到生活中時時處處有數(shù)學，用數(shù)學的實際意義來誘發(fā)和培養(yǎng)學生熱愛數(shù)學的情感。
7、加強對家庭教育的指導。引導家長遵循教育規(guī)律和學生身心發(fā)展的規(guī)律、科學育人。引導學生正確對待成功與失敗，勇敢戰(zhàn)勝學習和生活中的困難，做學習和生活的強者。
學習方式：
①預習教材，提出知識重點，自己是通過什么途徑理解的，還有哪些疑問。
②通過查閱資料找出解決問題的方法。
③ 教師作為課堂教學的指導者，以學生自主學習為主，主張?zhí)骄渴?、體驗式的學習方法，培養(yǎng)學生的動手操作能力和發(fā)散思維能力。
④利用小組討論的學習方式，使學生在討論中人人參與，各抒己見，互相啟發(fā), 自己找出解決問題的方法，體驗學習數(shù)學的快樂。
五、課時安排
六年級下學期數(shù)學教學安排了60課時的教學內容，各部分教學內容教學課時大致安排如下，教師教學時可以根據(jù)本班具體情況適當靈活掌握：
一、負數(shù)（3課時）
二、圓柱與圓錐（9課時）
1．圓柱………………………………………………………6課時左右
2．圓錐………………………………………………………2課時左右
整理和復習……………………………………………………1課時
三、比例（14課時）
1．比例的意義和基本性質…………………………………4課時左右
2．正比例和反比例的意義…………………………………4課時左右
3．比例的應用………………………………………………5課時左右
整理和復習…………………………………………………1課時
自行車里的數(shù)學……………………………………………1課時
四、統(tǒng)計（2課時）
節(jié)約用水……………………………………………………1課時
五、數(shù)學廣角（3課時）
六、整理和復習（27課時）
1．數(shù)與代數(shù)…………………………………………………10課時左右
2．空間與圖形………………………………………………9課時左右
3．統(tǒng)計與概率………………………………………………4課時左右
4．綜合應用…………………………………………………4課時
關鍵詞：變異理論；函數(shù)；單調性
變異理論是由瑞典哥德堡大學教育系教授馬飛龍（Ference Marton，又譯“馬騰”）提出的一套教學理論。該理論的基本觀點是：為了認識某個事物，就必須找出它與其它事物不同的關鍵屬性，為了識別其關鍵屬性就要使該屬性在某個維度上變異。為了讓學生更好地理解函數(shù)單調性，筆者就以變異理論為指導進行函數(shù)單調性教學，教學設計如下：
教學目標：
1、通過對一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像的觀察，形成對增（減）函數(shù)的直觀認識，通過具體函數(shù)值大小的比較，得出單調性的定義；明確增函數(shù)、減函數(shù)的圖象特征；
2、讓學生掌握證明函數(shù)單調性的基本步驟；
分析：通過對兩個概念的相同點和不同點的對比分析，可以進一步加深學生對這兩個概念的理解。
變式2：有一邊長為8cm，6cm，4cm的長方體，在底面A處有一只螞蟻，它想吃長方體上面B處的食物，需要爬行的最短路程是 .
分析：長方體與正方體的區(qū)別在于所走的面可以不同，故有多種方法的路徑，分別長度為164，180，212，最短路程是164=241。能把三個解都出來的只有15%，為什么會漏解呢？就是因為分析方法沒有用到位，在出現(xiàn)多個面的路徑時缺乏分類標準導致漏解。
（三）歸納小結
（1）函數(shù)單調性定義；
（2）定義證明單調性的步驟：取值 作差 變形 定號 下結論
（四）布置作業(yè)
教學設計說明：首先是通過對最簡單的正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像的觀察，找出y隨x的變化趨勢，引導學生從“形變”過渡到“數(shù)變”，進而對增減函數(shù)圖像特征有直接的認識，然后根據(jù)其圖像特點總結出增減函數(shù)的定義；其次通過四個思考對增函數(shù)定義中的關鍵詞運用變異理論進行了詳細的講解，讓學生對增函數(shù)的概念有深刻的認識；然后在增函數(shù)的基礎上讓學生自己總結出減函數(shù)的概念，并仿照增函數(shù)作出解釋，并對二者進行對比分析；最后通過一個簡單的例子總結出用定義證明函數(shù)單調性的方法步驟。
參考文獻：
[1] 吳華，周玉霄.變易理論驅動下的動態(tài)幾何“變中不變”[J].數(shù)學教育學報，2010，19（6）：26-29.
適當?shù)靥岢龊脝栴}，不僅可以引導學生的思考和探索活動，使他們經歷觀察實驗、猜測發(fā)現(xiàn)、推理論證、交流反思等理性思維的基本過程，而且還給了學生提問的示范，使他們領悟發(fā)現(xiàn)和提出問題的藝術，引導他們更加主動、有興趣地學，富有探索地學，逐步培養(yǎng)學生的問題意識，孕育創(chuàng)新精神。而“興趣是最好的老師”，有良好的興趣就有良好的學習動機，但不是每個學生都具有良好的學習數(shù)學的興趣。“好奇”是學生的天性，他們對新穎的事物、知道而沒有見過的事物都感興趣，要激發(fā)學生的學習數(shù)學的積極性，就必須滿足他們這些需求。
探索一次函數(shù)的性質時，給出幾個關聯(lián)問題:
問題1：既然一次函數(shù) y=kx+b（k不為零）的圖象是一條直線，那么作圖時，至少要取幾個點就可以了？取哪一些點比較簡單，有代表性？
問題2：在前面的直角坐標系中作一次函數(shù)y=2x-1，y=2x，y=-1/2x的圖象，并觀察四條直線的位置關系。
問題3：正比例函數(shù)y=kx（k不為零）是一次函數(shù)嗎？作圖時需要幾個點？每一個正比例函數(shù)一定能通過哪一個點？
設置的問題由淺入深，使得學生能進行理性的思考，并提升他們思維的深度。
學生是學習的主人。新課標強調，讓學生在自主探索與合作交流中學會學習，提高數(shù)學素養(yǎng)。本節(jié)課充分體現(xiàn)了這一理念，學生有足夠的自主探索時間，有與同學合作互動的空間，有與老師交流表達的機會。學生不是從老師那里獲取知識，而是在數(shù)學活動的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、體驗成功。
【關鍵詞】一次函數(shù) 圖象 性質 探究 教學 應用
1.一次函數(shù)定義及求法
一次函數(shù)是新人教版八年級下冊的一個重要知識點，教學中要特別強調k≠0，一次函數(shù)是形式定義：形如y=kx+b（k≠0，k、b均為常數(shù)）的函數(shù)叫一次函數(shù)，解析式為y=kx+b（k≠0，k、b均為常數(shù)）。求出一次函數(shù)的解析式的方法有待定系數(shù)法、平移變換法、數(shù)形結合法、分類討論法等。從數(shù)形結合法求一次函數(shù)解析式和頻繁出現(xiàn)的一次函數(shù)與坐標系相結合的試題來看，我們可以得出，一次函數(shù)在直角坐標系中的圖像，對于探究函數(shù)的性質有著重要的意義?；诖?，筆者根據(jù)教學的實踐，結合直角坐標系探究一次函數(shù)的性質。
2.一次函數(shù)的性質與函數(shù)圖像
一次函數(shù)圖像的變化與k、b息息相關的，k值的變化影響著圖像呈什么趨勢和陡緩，b值的變化影響圖像與y軸的交點，k、b值的變化影響著函數(shù)圖像與x軸，y軸的交點及其所在的象限，這就是數(shù)與形的內部聯(lián)系。以下是筆者在教學實踐中的一次函數(shù)性質與直角坐標系關系的一個探究過程：
2.1 激發(fā)學生興趣。在學習本節(jié)課之前，學生對函數(shù)、正比例函數(shù)、一次函數(shù)已經有了一定的知識基礎，教師在利用圖像來探究一次函數(shù)的時候，可以先著手對這些前面已有的知識基礎進行復習，加深學生的印象和理解。其次，設計學生的思考問題："任何一個函數(shù)都具有相對應的圖像，那么一次函數(shù)的圖像是怎么樣的，又有什么性質呢？一起來探索"。這樣的問題一拋出，既能激發(fā)學生的興趣，又能聯(lián)系學生已有的知識基礎。
2.2 學生自主操作指導，教師演示。學生是教育教學的主體，因此在探究k、b與函數(shù)圖像的關系的時候，讓學生自主畫圖，改變k、b的值進行探究。在學生探究完的時候，教師利用多媒體課件進行演示，結合學生的情況，出現(xiàn)的情況有以下幾種：
（1）當b=0即函數(shù)為正比例函數(shù)時，學生探究的結果會出現(xiàn)以下兩種圖形 ：
（2）當b≠0即函數(shù)為一次函數(shù)時，學生經過探究，會有以下四種情況
2.3 根據(jù)圖像，學生自主進行初步歸納。在教師與學生進行互動探究完之后，教師可讓學生進行自主歸納與探究，繼而進行小組間的交流與合作，然后將小組歸納的結果進行全班之間的交流，得出初步的歸納成果，可能有如下
（1）函數(shù)是正比例函數(shù)時，可得出k>0時，函數(shù)在一，三象限；當k
（2）當函數(shù)是一次函數(shù)時，k>0，b>0時在一，二，三象限；k>0，b
自主探究教學法有助于提高學生的興趣和求知欲，因此，在實際的教學過程中，教師可以嘗試使用自主探究教學法，讓學生進行嘗試小組合作后填表回答，使學生的討論和學習更有方向，提高學生的學習效率和課堂效率，在學生合作交流后填制完這張表格時，教師在讓學生進行全班之間的交流，得出答案。
在探究的過程中，學生可能會提出"當x值固定時，k、b的值的變化對函數(shù)值的影響是怎么樣"的問題。教師此時可以抓住時機，讓學生上臺主動進行參數(shù)變化的操作，讓其他學生進行觀察與溝通交流。其次，教師可以讓學生進行k、b的實際賦值，如固定k=1，b=1，變換k的值分別為1、2、3時，其函數(shù)值的變化。其次，轉換思路，讓學生探究當k小于0時的函數(shù)值變化情況。從而可以得出"當k>0時，y隨x的增大而增大，當k
這節(jié)課，我對教材進行了探究性重組，同時放手讓學生在探究活動中去經歷、體驗、內化知識的做法是成功的。通過充分的過程探究，學生容易得出也是最早得出了圖象的性質，借助直觀圖象的性質而得到一次函數(shù)的性質。
真正的形成往往來源于真實的自主探究。只有放手探究，學生的潛力與智慧才會充分表現(xiàn)，學生也才會表現(xiàn)真實的思維和真實的自我。在新課程理念的指導下，我們的一切教學都要圍繞學生的成長與發(fā)展做文章，真正讓學生理解、掌握真實的知識和真正的知識。
首先，要設計適合學生探究的素材。教材對一次函數(shù)的性質是從增減來描述的，我們認為這種對性質的表述是教條化的，對這種學術、文本狀態(tài)的知識，學生不容易接受。當然教材強調所呈現(xiàn)內容的邏輯性、嚴密性與科學性是合理的。但是能讓學生理解和接受的知識才是最好的。
其次，探究教學的過程就是實現(xiàn)學術形態(tài)的知識轉化為教育形態(tài)知識的過程。探究教學是追求教學過程的探究和探究過程的自然和本真。只有這樣探究才是有價值的，真知才會有生長性。要表現(xiàn)過程的真實與自然，從建構主義的觀點出發(fā)，就是要尊重學生各自的經驗與思維方式、習慣。結論是一致的，但過程可以是多元的，教師要善于恰倒好處地優(yōu)化提煉學生的結論。追求自然，就要適當放開學生的手、口、腦，例如本文中的"走向"問題，"向上爬"、"向下走"等，如果是講授注入式，我們就聽不到學生真實的聲音了。
最后，教師在學生探究真知之旅上應是一個促進者、協(xié)作者、組織者。要做善于點燃學生探究欲望和智慧火把的人，要善于讓學生說教師要說的話，做教師想做的事，這就是一個成功的促進者。數(shù)學教學的過程是師生共同活動、共同成長與發(fā)展的過程。真正的知識不全是由教材和教師講授的途徑獲取的，其實學生也是課程資源的開發(fā)者，如本課例中的"走向"問題，"同向變化"等，這為函數(shù)性質的得出做了很好的鋪墊。要徹底拋棄"唯書論""唯師論"，與學生一起去探究協(xié)作，尋覓適合學生自己的真知才是最有效的教學。要開展成功的探究，教師要科學設置問題情景或問題素材，使探究的問題具有層次性和探究性，適時、適勢、適度地用教學機智調控課堂。例如本課中，學生老是得不出一次函數(shù)性質的內容，其中引導的過程就是充滿機智的過程。在教學設計中，要預設多種意外和可能，這樣探究真知的過程就會艱辛并順利展開。這才是一個成功的組織者。
3.一次函數(shù)與函數(shù)圖形的應用
在實際的教學情境中，一次函數(shù)與函數(shù)圖像的在教學中的應用主要有歸納如下：
首先，一次函數(shù)與函數(shù)圖像所在象限的問題，例如y=6x-5或y=5x經過的象限問題，還有就是圖像的辨析問題，如"一次函數(shù)y=ax+b與y=ax+c（a>0）在同一坐標系中的圖象可能是怎樣的？位置怎樣？"
其次，可能更加深入的是一次函數(shù)與其他圖形圍成的面積問題。如：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經過點（-1，-5），且與正比例函數(shù)y=x的圖像相交于點（2，a），求：（1）a的值；（2）k、b的值；（3）這兩個函數(shù)圖像與x軸所圍成的三角形的面積。
再者，一次函數(shù)與生活中的問題相結合的試題，如：為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，各地采用價格調控手段達到節(jié)約用水的目的，某市規(guī)定如下用水收費標準：每戶每月的用水量不超過6立方米時，水費按每立方米a元收費，超過6立方米時，不超過的部分每立方米仍按a元收費，超過的部分每立方米按c元收費，該市某戶今年9、10月份的用水量和所交水費如下表所示：
月份用水量（m3）收費（元）
957.5
10927
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