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公務(wù)員期刊網(wǎng) 精選范文 二次函數(shù)范文

二次函數(shù)精選(九篇)

前言:一篇好文章的誕生,需要你不斷地搜集資料、整理思路,本站小編為你收集了豐富的二次函數(shù)主題范文,僅供參考,歡迎閱讀并收藏。

二次函數(shù)

第1篇:二次函數(shù)范文

一、 比賽項(xiàng)目與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會的賽場上,人、球或其他物體在空中運(yùn)動的某一段過程形成的軌跡可以看成拋物線,我們以跳水和足球?yàn)槔?

例1 如圖1,2016年里約奧運(yùn)會,某運(yùn)動員在10米跳臺跳水比賽時估測身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動路線是拋物線y=-[256]x2+[103]x(如圖建立直角坐標(biāo)系,圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件),運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為 米.

【分析】首先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式,從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為多少米.

【解答】y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23],

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是[25,23],

運(yùn)動員在空中運(yùn)動的最大高度離水面為:10+[23]=10[23](米).

例2 如圖2,在某場足球比賽中,球員甲從球門底部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門,足球沿拋物線飛向球門中心線;當(dāng)足球飛離地面高度為3m時達(dá)到最高點(diǎn),此時足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

[圖2]

(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,問此飛行中的足球能否進(jìn)球門?(不計(jì)其他情況)

(2)守門員乙站在距離球門2m處,他跳起時手的最大摸高為2.52m,他能阻止球員甲的此次射門嗎?如果不能,他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門?

【分析】(1)根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,3),利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;

(2)求出當(dāng)x=2時,拋物線的函數(shù)值,與2.52米進(jìn)行比較即可判斷,再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,3),

設(shè)拋物線的解析式是:y=a(x-4)2+3,

把(10,0)代入得36a+3=0,

解得a=-[112],

則拋物線是y=-[112](x-4)2+3,

當(dāng)x=0時,y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]

故能射進(jìn)球門;

(2)當(dāng)x=2時,y=-[112](2-4)2+3=[83]>2.52,

守門員乙不能阻止球員甲的此次射門,

當(dāng)y=2.52時,y=-[112](x-4)2+3=2.52,

解得:x1=1.6,x2=6.4(舍去),

2-1.6=0.4(米).

答:他至少后退0.4米,才能阻止球員甲的射門.

二、 商品與二次函數(shù)

里約當(dāng)?shù)氐纳痰暧泻芏鄪W運(yùn)紀(jì)念品,店家為了獲得更多利潤,要對紀(jì)念品做出合適的定價(jià).

例3 奧運(yùn)會某紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為每件40美元,如果售價(jià)為每件50美元,每天可賣出210件;如果售價(jià)超過50美元但不超過80美元,每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元,則每天少賣1件;如果售價(jià)超過80美元后,若再漲價(jià),則每漲1美元每天少賣3件.設(shè)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x美元,每天的銷售量為y件.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍;

(2)設(shè)每天的銷售利潤為W,請直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)每件紀(jì)念品的售價(jià)定為多少美元時,每天可獲得最大利潤?每天最大利潤是多少美元?

【分析】(1)當(dāng)售價(jià)超過50美元但不超過80美元時,每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元,則每天少賣1件,y=260-x,50≤x≤80;當(dāng)售價(jià)超過80美元后,若再漲價(jià),則每漲1美元每天少賣3件,y=420-3x,80

(2)由利潤=(售價(jià)-成本)×銷售量,列出函數(shù)關(guān)系式.

(3)分別求出兩段函數(shù)的最大值,然后作比較.

【解答】(1)略解,

[y=260-x(50≤x≤80),y=420-3x(80

(2)由利潤=(售價(jià)-成本)×銷售量,可以列出函數(shù)關(guān)系式:

w=-x2+300x-10400(50≤x≤80),

w=-3x2+540x-16800(80

(3)當(dāng)50≤x≤80時,w=-x2+300x-10400,

當(dāng)x=80時有最大值,最大值為7200,

當(dāng)80

當(dāng)x=90時,有最大值,最大值為7500,

故售價(jià)定為90美元,每天利潤最大為7500美元.

三、贊助商與二次函數(shù)

在奧運(yùn)會上有很多簽約的贊助商,在奧運(yùn)會期間他們的廣告無處不在.

例4 如圖3,在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上,剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形,再沿圖中的虛線折起,折成一個長方體形狀的包裝盒(A、B、C、D四個頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)).已知E、F在AB邊上,是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn),設(shè)AE=BF=xcm.[圖3]

某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大,試問x應(yīng)取何值?

【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積,進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可.

【解答】設(shè)包裝盒的底面邊長為acm,高為hcm,則a=[2]x,h=[24-2x2]=[2](12-x),

S=4ah+a2=4[2]x?[2](12-x)+([2]x)2

=-6x2+96x=-6(x-8)2+384,

第2篇:二次函數(shù)范文

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)重點(diǎn)整體難點(diǎn)

二次函數(shù)是初中階段繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后,學(xué)生要學(xué)習(xí)的最后一類重要的代數(shù)函數(shù),它也是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型。初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),用二次函數(shù)的觀點(diǎn)審視一元二次方程,用二次函數(shù)的相關(guān)知識分析和解決簡單的實(shí)際問題。二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣,都是高中階段要學(xué)習(xí)的一般函數(shù)和非代數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。二次函數(shù)的圖像因?yàn)槭菕佄锞€,關(guān)系式變化形式多,應(yīng)用比較復(fù)雜。我在二次函數(shù)的教學(xué)中,整體把握,重點(diǎn)突破,收到了較好的教學(xué)效果。

1 抓住重點(diǎn)組織教學(xué)

1.1 通過對實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的關(guān)系式,并體會二次函數(shù)的意義

這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。教學(xué)中,應(yīng)從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養(yǎng)小兔”等實(shí)際問題入手,引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式。然后,讓學(xué)生觀察、思考:所列的函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)?它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)有什么不同?從而引導(dǎo)出二次函數(shù)的概念,讓學(xué)生認(rèn)識二次函數(shù)的各部分名稱。如此,學(xué)生能夠體會到二次函數(shù)來自生活,感受到二次函數(shù)也是描述一類現(xiàn)實(shí)問題中變量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。

1.2 采用“描點(diǎn)法”畫出二次函數(shù)的圖像,從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)

這是二次函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)。一方面,學(xué)生要學(xué)會畫出二次函數(shù)的圖像;另一方面,要能從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)中,教師要扎實(shí)地讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的圖像(不能一帶而過,就讓學(xué)生去解決與圖像有關(guān)的復(fù)雜題),即運(yùn)用探索函數(shù)圖像的方法――“描點(diǎn)法”,一步一步地列表、描點(diǎn)、連線,加深對二次函數(shù)圖像形狀的認(rèn)識。然后,引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)圖像的形狀、開口方向、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性等方面去理解二次函數(shù)的性質(zhì)(學(xué)生一邊看圖像,一邊說性質(zhì),很直觀)。要提醒的是,不僅要讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的準(zhǔn)確圖像,還要會畫二次函數(shù)的示意圖像。

1.3 利用公式確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸,解決簡單的實(shí)際問題

這里包括兩點(diǎn):一是從二次函數(shù)關(guān)系式上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì),這是學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識;二是列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題,這是學(xué)生學(xué)次函數(shù)的落腳點(diǎn)所在。從直觀的圖像到關(guān)系式認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì),是一個提升;從實(shí)際問題中提煉出二次函數(shù),通過研究,再回到實(shí)際問題中去,這是一個跨越.教學(xué)中,為了突破這一難點(diǎn),可以從二次函數(shù)的圖像入手,將二次函數(shù)的關(guān)系式與其圖像比照著進(jìn)行教學(xué),由圖像認(rèn)識關(guān)系式,由關(guān)系式認(rèn)識圖像。這種“捆綁式”教學(xué),可以促進(jìn)學(xué)生對借助公式確定對二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向的理解和掌握。而在運(yùn)用二次函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題時,應(yīng)將知識塊分類后進(jìn)行教學(xué),這樣效果較好。

1.4 運(yùn)用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解

這是二次函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用。即從函數(shù)的角度審視一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系,并根據(jù)直觀圖形,借助計(jì)算器探索函數(shù)值為0的自變量的值,進(jìn)而得出用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個過程中,應(yīng)通過直觀圖像,研究函數(shù)值與自變量的變化,滲透無限逼近和區(qū)間套的數(shù)學(xué)思想方法,為學(xué)生高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2 立足整體設(shè)計(jì)教法

二次函數(shù)的整體性,體現(xiàn)在其圖像、性質(zhì)以及應(yīng)用上。教材從學(xué)生熟悉的簡單實(shí)際問題出發(fā),建立二次函數(shù)的概念,立足運(yùn)動、變換的觀點(diǎn),由特殊到一般,分別探討各種形式的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),最后以3個探究性問題為例,探討二次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。學(xué)生學(xué)次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的障礙主要體現(xiàn)在解析式、圖像、性質(zhì)的對應(yīng)上,應(yīng)用的主要障礙則是建立二次函數(shù)解析式,并利用解析式解決問題。

2.1 層層遞進(jìn),系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的一般形式及其變換形式共有六種:(1)y=ax2 (a≠0);(2)y=ax2+k(a≠0);(3)y=a(x+h)2(a≠0);(4)y=a(x+h)2 +k(a≠0);(5)y=ax2+bx+c (a≠0);(6)y=ax2+bx(a≠0)。要求學(xué)生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對應(yīng)的性質(zhì),有一定的難度。教學(xué)時,應(yīng)層層遞進(jìn),通過畫示意圖像來說性質(zhì)。同時,在學(xué)習(xí)這六種形式的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì)時,每節(jié)課都復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì),并板書。這樣,當(dāng)學(xué)到最后一種二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)時,學(xué)生已在頭腦中形成了系統(tǒng)、全面的關(guān)于二次函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)的知識網(wǎng)絡(luò)。

2.2 策略分類,明晰掌握二次函數(shù)應(yīng)用的方法

二次函數(shù)是研究單變量最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型。教材從數(shù)量關(guān)系入手,把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,進(jìn)而求出最優(yōu)解,研究了面積最大、利潤最大等問題。然后,從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠(yuǎn)、跨欄等與拋物線有關(guān)的問題。這樣的分類(一會兒求關(guān)系式,一會兒不求;一會兒給應(yīng)用問題,一會兒給圖像),對正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰(zhàn)不小,學(xué)生的思維容易發(fā)生混亂。教學(xué)二次函數(shù)的應(yīng)用問題時,根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和知識基礎(chǔ),按解題策略進(jìn)行分類,有助于學(xué)生理清思路,正確解決問題。

第一類:給二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如,教材第33頁第4題的“火箭升空”、第34頁第9題的“對概念接受能力”、第35頁第12題的“噴泉”等問題,只要將二次函數(shù)的關(guān)系式配方求頂點(diǎn)坐標(biāo),或令x、y等于0,即可順利解決。

第二類:給應(yīng)用問題列二次函數(shù)的關(guān)系式,再用關(guān)系式解決問題。比如,教材第25頁的“最大收益”、“最大面積”等問題,只要分析數(shù)量關(guān)系,列出二次函數(shù)的關(guān)系式,再由二次函數(shù)的關(guān)系式即可解決問題。

第三類:給二次函數(shù)的圖像列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如,教材第27頁的問題2“噴泉”問題,只要從圖像上找到一個或兩個點(diǎn)的坐標(biāo),代入二次函數(shù)的關(guān)系式的一般形式,從而求出二次函數(shù)的關(guān)系式,再由二次函數(shù)的關(guān)系式,即可解決問題。

第四類:建立直角坐標(biāo)系,求出二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如,教材第28頁的“拋物線形拱橋”、第30頁的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題,要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,再由圖像求出二次函數(shù)關(guān)系式,然后由二次函數(shù)關(guān)系式即可解決問題。

3 著手關(guān)鍵化解難點(diǎn)

3.1 將二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式

學(xué)生對前四個形式的二次函數(shù)y=ax2 (a≠0),y=ax2+k(a≠0),y=a(x+h)2 (a≠0),y =a(x+h)2 +k(a≠0)畫圖像、說性質(zhì)相對比較容易,對后兩個形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),y=ax2+bx(a≠0)畫圖像、說性質(zhì),難度就大得多。因?yàn)橐獙⑺鼈冝D(zhuǎn)化為y=a(x+h)2 +k(a≠0)的形式,其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式――這在一元二次方程解法的教學(xué)時已有所涉獵。因此,教學(xué)一元二次方程解法時,就必須注重配方法的教學(xué),到了這個階段再增添求二次三項(xiàng)式的最值問題,學(xué)生因?yàn)檎莆樟伺浞降姆椒ǎ腿菀桌斫夂徒邮芰恕?/p>

3.2 列二次函數(shù)關(guān)系式和應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式

比如,最大效益問題是一元二次方程的利潤類應(yīng)用問題的遷移,關(guān)鍵是把握關(guān)系式“每畝(件、千克)效益(利潤)×畝數(shù)(件數(shù)、千克數(shù))=總效益(總利潤)”;面積類問題,關(guān)鍵是面積公式;給二次函數(shù)圖像列二次函數(shù)關(guān)系式解決問題,關(guān)鍵是設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式;建立直角坐標(biāo)系,求出二次函數(shù)關(guān)系式解決問題,關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系、設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式;應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式,關(guān)鍵是理解關(guān)系式中的字母的意義,看清問題中要求的是關(guān)系式中的哪一個問題,從而確定方法。

參考文獻(xiàn):

第3篇:二次函數(shù)范文

一、封閉性問題的開放性改造

以問題狀態(tài)(條件、過程和結(jié)論)的明確程度為依據(jù),可將數(shù)學(xué)問題分為封閉性和開放性兩個問題.平時所見的大部分問題屬于封閉性問題,而開放性問題對于發(fā)展學(xué)生的個性、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),特別是訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維有著重要意義.對于封閉性問題,如果我們在認(rèn)清題目的實(shí)質(zhì)下對于問題的條件、結(jié)論或者過程予以適當(dāng)修改,則可以使其具有一定的開放性.

題1求函數(shù)f(x)=(x-1)2對稱軸、最值、單調(diào)性.

單純求二次函數(shù)的最值、單調(diào)性,難于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維,如果將此題的結(jié)論作為條件,可以改編成開放性問題,不僅調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且使每名學(xué)生的思維能力都得到較大的發(fā)展.

題2老師給出一個函數(shù)y=f(x),四名學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì).

甲:對x∈R,都有f(1-x)=f(1+x).

乙:在(-∞,0]上是減函數(shù).

丙:在[2,+∞)上是增函數(shù).

?。篺(0)不是函數(shù)的最值.

如果其中恰好有三名學(xué)生說得正確,請寫出這樣一個函數(shù).

適當(dāng)放寬限制條件,使得問題存在多種答案,具有一定的開放性,從而調(diào)動了學(xué)生的思維積極性.

題3已知函數(shù)f(x)=asin2x+bsinx+c(a,b,c均為實(shí)數(shù)).

(1)當(dāng)b=1時,對任意實(shí)數(shù)x,使f(x)≠0,求a,c滿足的條件;

(2)當(dāng)a+c=0時,求證:存在一個實(shí)數(shù)x,使f(x)=0.

此題是比較典型的二次函數(shù)零點(diǎn)問題,如果能放寬數(shù)學(xué)背景,增加適當(dāng)?shù)膶?shí)際情景,可將此題改編為一道開放性較強(qiáng)的問題.不僅增加了數(shù)學(xué)的趣味性,而且培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力.

題4已知函數(shù)f(x)=asin2x+bsinx+c,其中a,b,c為非零實(shí)數(shù).甲、乙兩人做一游戲,他們輪流確定系數(shù)a,b,c(如:甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=3)后,如果對任意實(shí)數(shù)x,使f(x)≠0,那么甲獲勝;如果存在一個實(shí)數(shù)x,使f(x)=0,那么乙獲勝.

(1)甲先選數(shù),他是否有必勝策略?為什么?

(2)如果a,b,c是任意實(shí)數(shù),結(jié)果如何?為什么?

二、常規(guī)型問題的探索性改造

以問題解決者的知識經(jīng)驗(yàn)為依據(jù),可以將數(shù)學(xué)分為常規(guī)性問題與探索性問題.平時所見到的例、習(xí)題大部分是常規(guī)性問題,而探索性問題對于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與主動性有著常規(guī)性問題不可比擬的作用,改變常規(guī)問題的條件、結(jié)論或者設(shè)問方式就可以引導(dǎo)常規(guī)性問題改編為探索性問題.

題5已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1,當(dāng)a=-130時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考慮到a的任意性,我們可以用逆向思維,運(yùn)用設(shè)問方式,將此題改變?yōu)樘剿餍詥栴}.

題6已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1,問是否存在a(a

題7已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x,x∈[m,n](m

這是一道單純性二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,探究性不強(qiáng),我們不妨增加已知條件,改編為下述具有一定探究性的問題.

題8已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x,是否存在實(shí)數(shù)m,n(m

三、純粹性問題的應(yīng)用性改造

以問題性質(zhì)的數(shù)學(xué)過程(抽象、變換、應(yīng)用)為依據(jù),可以將數(shù)學(xué)問題分為純粹性問題和應(yīng)用性問題.平時所見的例、習(xí)題大部分是純粹性問題,而應(yīng)用性問題對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、分析問題與解決問題能力都有著不可替代的作用.對于一些純粹性問題,如果能夠結(jié)合具體的生活、生產(chǎn)實(shí)踐,賦予一定的實(shí)際情景,則可以將其改變?yōu)閼?yīng)用性問題.

題9求函數(shù)y=x+9x(x>0)的最值.

此題可看做特殊二次函數(shù)y=x-3x2+6(x>0)為載體給予一定的實(shí)際背景,將此題改編為方案優(yōu)化型的應(yīng)用問題.

題10制作一個容積為18 m3,深為2 m的長方體無蓋水池.若池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元,求水池最低造價(jià)?

題11已知函數(shù)y=kx1-xm(k>0),定義域?yàn)椋?,m).

(1)求函數(shù)的最值;

(2)當(dāng)0

以y=kx1-xm為載體設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶?shí)際背景的文字表述,可以將此題改編為應(yīng)用性較強(qiáng)的實(shí)際問題.

題12漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸,要保證魚群的生長空間.已知魚群的年增長量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空間率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出該函數(shù)的定義域;

(2)求魚群年增長量的最大值;

(3)當(dāng)魚群的年增長量達(dá)到最大時,求k的取值范圍.

總之,適當(dāng)改造傳統(tǒng)例、習(xí)題確實(shí)能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,但不恰當(dāng)?shù)母脑觳粌H沒有帶來益處,反而給學(xué)生帶來新的負(fù)擔(dān).因此,哪些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題可以改造,如何改造,改造后如何應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué),這些問題需要我們不斷地探索.

第4篇:二次函數(shù)范文

學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的有關(guān)知識后,靈活應(yīng)用這些知識,可以幫助我們解答一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題,現(xiàn)以2007年的部分中考題為例介紹,供同學(xué)們參考。

例1 (2007年煙臺市)某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次,第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件,每件利潤10元,每提高一個檔次,每件利潤增加2元,但一天產(chǎn)量減少4件。

(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元(其中x為正整數(shù),且1≤x≤10),求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1080元,求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次。

析解:(1)當(dāng)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品時,每件利潤為[10+2(x-I)]元,每天產(chǎn)量為[76-4(x一1)]件。

因?yàn)槊刻炜偫麧?每件利潤×每天產(chǎn)量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x2+128x+640

(2)要求產(chǎn)品的質(zhì)量檔次,只要求x的值即可

在y=-8x2+128x+640中

因?yàn)閥=1080,

所以-8x2+128x+640=1080

整理.得X216x+55=0

解之,x1=5,X2=11(不合題意,舍去)

所以當(dāng)一天的總利潤為1080元時,應(yīng)生產(chǎn)第5檔次的產(chǎn)品。

例2 (2007年佛山市)如下圖,隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的長BC為8m,寬AB為2m,以BC所在的直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,y軸是拋物線的對稱軸.頂點(diǎn)E到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為6m.

(1)求拋物線的解析式;

(2)一輛貨運(yùn)卡車高4.5m,寬2.4m,它能通過該隧道嗎?

(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道,為了安全起見,在隧道正中間設(shè)有0.4m的隔離帶,則該輛貨運(yùn)卡車還能通過隧道嗎?

析解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,要求y關(guān)于x的解析式,應(yīng)找到三組x和y的數(shù)值.

因?yàn)辄c(diǎn)E、點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(0,6)、(-4,2)、(4,2),

(2)要判斷高為4.5m,寬2.4m的貨車能否從該隧道內(nèi)通過,其實(shí)質(zhì)在于確定隧道的截面內(nèi),距地面高4.5m的兩點(diǎn)之間的水平距離是否大于2.4m,若大于2.4m,就可以通過;否則,就不能通過。

所以貨車可以通過。

(3)如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道,且在隧道正中間沒有O.4m的隔離帶,那么要判斷這輛貨車是否可以順利通過,只要確定隧道的截面內(nèi),距地面高4.5m的兩點(diǎn)之間的水平距離是否大于(2.4x2+0.4)m,即是否大于5.2m,若大于,就可以通過;否則,就不能通過。

所以如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道,且在隧道正中間設(shè)有0.4m的隔離帶.則這輛貨車不能順利通過。

例3(2007年貴陽市)某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果,物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格調(diào)查,平均每天銷售90箱,價(jià)格每提高l元,平均每天少銷售3箱。

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式。

(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式。

(3)當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?

析解:(1)當(dāng)每箱的銷售價(jià)為x元時,它比每箱50元的價(jià)格提高(x-50)元,那么銷售量將減少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50),

即有y=-3x+240,

(2)當(dāng)每箱的銷售價(jià)為x元時,每箱的銷售利潤為(x-40)元,每天的銷售量為y箱,即(-3x+240)箱.

所以w=(x-40)(-3x+240),

即有w=-3x2+360x-9600

(3)要問每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時,可以獲得最大利潤,只要求出x為何值時w有最大值,為此,應(yīng)把w與x的二次函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方變形。

因?yàn)閣=-3x2+360x-9600

=-3(x-60)2+1200,

又,x≤55,且x

所以當(dāng)x=55時,w有最大值=-3x(55-60)2+1200=1125.

所以當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為55元時,可以獲得1125元的最大利潤。

練習(xí)

1.(2006年鄂爾多斯市)某產(chǎn)品每件成本10元,在試銷階段每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表:

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿紙上描點(diǎn),觀察點(diǎn)的分布,確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)要使每日的銷售利潤最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時每日銷售利潤是多少元?

答案:(1)y=-x+50;(2)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為30元,此時每日銷售利潤是400元。

2.(2007年青島市)某公司經(jīng)銷一種綠茶,每千克成本為50元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在一段時間內(nèi),銷售量w(千克)隨銷售單價(jià)x(元千克)的變化而變化,具體關(guān)系式為:w=-2x+240.設(shè)這種綠茶在這段時間內(nèi)的銷售利潤為y(元),解答下列問題:

(1)求y與x的關(guān)系式;

(2)當(dāng)x取何值時,y 的值最大?

第5篇:二次函數(shù)范文

一、優(yōu)化方式,提高實(shí)效

1.先練后講,積極參與.講與練關(guān)系的實(shí)質(zhì)就是知與行、理論與實(shí)踐的關(guān)系.光講不練,課堂上聽懂的東西不能鞏固,更不能深化;但講得太多,重點(diǎn)不突出,抓不住要害,也會引起“消化不良”.先練后講,是為了讓學(xué)生聽課更有效率和針對性,讓學(xué)生帶著問題聽課,使其在思想上、行動上、內(nèi)容上先進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).例如,在復(fù)習(xí)的第一環(huán)節(jié),可以設(shè)置一下基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題:二次函數(shù)y=-3x2+2x-1,二次項(xiàng)系數(shù)是,一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是.把二次函數(shù)y=2x2-8x+4配方成y=a(x-h)2+k的形式為,它的圖象是,開口向,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是.這樣,可以把基礎(chǔ)概念、定理等習(xí)題化,使函數(shù)圖象的性質(zhì)與變換規(guī)律得到體現(xiàn).

2.用好教材,用活課本.在復(fù)習(xí)時,首先應(yīng)該重視課本知識的復(fù)習(xí).因?yàn)檎n本是數(shù)學(xué)知識的載體,中考的試題也是在課本知識的基礎(chǔ)上引申而淼.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把知識重點(diǎn)、難點(diǎn)前后聯(lián)系,重新組合,靈活而又不拘一格地駕馭教材,既發(fā)揮例、習(xí)題的示范性、典型性,又使解題涉及的知識和方法得到延伸,使學(xué)生從多方面感知數(shù)學(xué)知識和方法,提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力.挖掘課本例、習(xí)題的功能,可以從以下方面入手:(1)改變題目形式(如變解答題為選擇題或填空題);(2)條件與結(jié)論交換或部分交換;(3)增加條件,探索新的結(jié)論;(4)改變題目條件,對結(jié)論進(jìn)行推廣與引申;(5)一題多解或多題一解;(6)類比編題;等等.

3.精講例題,舉一反三.在復(fù)習(xí)教學(xué)中,例題的選擇,應(yīng)具備代表性和典型性,能突出重點(diǎn),反映學(xué)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)最主要、最基本的內(nèi)容和要求.對例題進(jìn)行分析和解答時,要注意例題之間的內(nèi)在聯(lián)系,可用一題多變、一題多解、一圖多用進(jìn)行講解.這樣,串起來的題目比較多,縱向、橫向聯(lián)系的知識點(diǎn)比較多,學(xué)生掌握的知識也就比較系統(tǒng)、全面,實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)知識從量到質(zhì)的轉(zhuǎn)變.

4.結(jié)合考點(diǎn),分析試題.在備考中選擇訓(xùn)練題時,歷年中考試題是最佳選擇.教師要將其歸類,按考查知識點(diǎn)、解題方法等進(jìn)行研究,結(jié)合課本的習(xí)題,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、拓展,然后分類給學(xué)生進(jìn)行限時訓(xùn)練,使學(xué)生圍繞考點(diǎn),做到舉一反三,觸類旁通.

5.在解題教學(xué)中,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)的觀念、思想和方法是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要組成因素,是數(shù)學(xué)科學(xué)的“靈魂”,在促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展中具有決定性的作用,是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的主觀手段.學(xué)生一旦把數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為自己的思維和行為方式,就能獲得智能發(fā)展.能否運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題關(guān)系到中考的成敗.因此,在復(fù)習(xí)過程中,不能只在乎做了多少練習(xí)題,更重要的是對所學(xué)知識進(jìn)行梳理,對推理論證及處理問題的思想方法進(jìn)行總結(jié),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

二、及時反饋,促進(jìn)教學(xué)

在復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師要善于利用課堂教學(xué)反饋,把學(xué)生的錯解作為反面教材,引導(dǎo)學(xué)生反思糾錯,加深學(xué)生對此類問題的理解,避免重蹈覆轍,提高學(xué)生解題的正確率,從而提高復(fù)習(xí)教學(xué)效果.例如,拋物線y=x2-2mx+m+6與x軸交點(diǎn)為(p,0),(q,0),求(p-1)2+(q-1)2的最小值.有的學(xué)生這樣做:(p-1)2+(q-1)2=[(p+q)2-2pq]-2(p+q)+2=4m2-6m-10=4(m-34)2-494,所以當(dāng)m=34時,可求得最小值為-494.事實(shí)上,當(dāng)m=34時,Δ

第6篇:二次函數(shù)范文

〔中圖分類號〕 G633.62 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2013)02—0089—01

我們知道,二次函數(shù)是一個極為重要的初等函數(shù),在中學(xué)數(shù)學(xué)中,許多問題都可以借助于二次函數(shù)來解決.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知它有這樣的性質(zhì):對于二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c ( a>0),(Ⅰ)若f(x)≥0,則Δ=b2-4ac≤0;(Ⅱ)若Δ=b2-4ac≤0,則f(x)≥0;(Ⅲ)若二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c與x軸有兩個交點(diǎn),則Δ=b2-4ac>0.

下面應(yīng)用上述性質(zhì)來證明一些不等式.

一、用性質(zhì)(Ⅰ)來證明不等式,就是設(shè)法構(gòu)造一個二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù),并使得f(x)≥0,從而由Δ≤0推出所需證的不等式

例1:(柯西不等式)設(shè)a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實(shí)數(shù),求證(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2),當(dāng)且僅當(dāng)==…=時,等號成立.

證明:作關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=(a12+a22+…+an2)x2-2(a1b1+a2b2+…anbn)x+(b12+b22+…+bn2).

(1) 若a12+a22+…+an2=0,則a1=a2=…=an=0 ,顯然不等式成立;

(2) 若a12+a22+…+an2≠0,則有f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2-4ac=4(a1b1+a2b2+…anbn)2-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0,所以(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2).

當(dāng)且僅當(dāng)==…=時,等號成立.

二、應(yīng)用性質(zhì)(Ⅱ)來證明不等式,就是把要證明的不等式表示成關(guān)于某一字母的二次三項(xiàng)式(使二次項(xiàng)系數(shù)大于零),再推證其Δ≤0,由此判定所要證的不等式成立

例2:設(shè)x、y、z∈R,求證:x2-xz+z2+3y(x+y-z)≥0.

證明: 設(shè)f(x)=x2-xz+z2+3y(x+y-z) =x2+(3y-z)x+(3y2-3yz+z2),于是f(x)可看作是關(guān)于x的二次函數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)大于零.則有Δ=(3y-z)2-4(3y2-3yz+z2)=-3(y-z)2≤0,f(x)≥0,x2-xz+z2+3y(x+y-z)≥0.

例3:求證:a2+b2+5≥2(2a-b).

證明:設(shè)f(a)= a2+b2+5-2(2a-b)=a2-4a+b2+2b+5,于是f(a)可看作是關(guān)于a的二次函數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)大于零,則Δ=(-4)2-4(b2+2b+5)=-4(b+1)2≤0,f(a)≥0,a2+b2+5≥2(2a-b).

例4:設(shè)x、y、z∈R,且++=,求證x2+y2+z2≥2(xycos+yzcos+zxcos).

證明: 設(shè)f(x)=x2+y2+z2-2(xycos+yzcos+zxcos) =x2-2(ycos+zcos)x+(y2+z2-2yzcos),于是f(x)可看作是關(guān)于x的二次函數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)大于零.則Δ=4(ycos+zcos)2-4(y2+z2-2yzcos)=-4[y2(1-cos2)+z2(1-cos2)-2yzcoscos+2yzcos(+)] =

-4(y2sin2+z2sin2-2yzsinsin)=-4(ysin-zsin)2≤0,f(x)≥0, x2+y2+z2≥2(xycos+yzcos+zxcos).

三、應(yīng)用性質(zhì)(Ⅲ)來證明不等式,就是構(gòu)造一元二次函數(shù),再推證其一元二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn),由Δ=b2-4ac>0判定所要證的不等式成立

第7篇:二次函數(shù)范文

一、進(jìn)一步深入理解二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:AB,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素x對應(yīng),記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則,又表示定義域中的元素x在值域中的象,從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識,在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后,可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題:

1.已知f(x)=x2+x+2,求f(x+1)。

這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值,只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

2.設(shè)f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)。

這個問題可以理解為,已知對應(yīng)法則f和定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定義域中元素x的象,其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。一般有兩種方法:

(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6。

(2)變量代換:它的適應(yīng)性強(qiáng),對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1,則x=t-1f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而f(x)=x2-6x+6。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖象

在高中階段函數(shù)單調(diào)性是重點(diǎn),高考占很大比例,學(xué)習(xí)單調(diào)性時,二次函數(shù)是基礎(chǔ),必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證,使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上,與此同時,進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性,從函數(shù)觀點(diǎn)用定義研究對稱軸,并給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí),使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。比如:

1.畫出下列函數(shù)的圖象,并通過圖象研究其單調(diào)性。

(1)y=x2-1

(2)=x2+2x-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系,掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示,然后畫出其圖象。

2.設(shè)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并畫出y=g(t)的圖象。

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1時取最小值-2。

當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

當(dāng)t>1時,g(t)=f(t)=t2-2t-1

當(dāng)t<0時,g(t)=f(t+1)=t2-2

(函數(shù)圖象略)

首先要使學(xué)生弄清楚題意,一般的,一個二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但當(dāng)定義域發(fā)生變化時,取最大或最小值的情況也隨之變化,為了鞏固和熟悉這方面知識,可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求該函數(shù)的值域,以求培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想。

三、二次函數(shù)的知識可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

第8篇:二次函數(shù)范文

關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù);圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象位置是由系數(shù)a、b、c決定的.對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查一直是中考命題的傳統(tǒng)題目,解決此類問題的方法是數(shù)形結(jié)合,這也是解決函數(shù)問題極為重要的方法。

一、圖象的識別

【例1】 (2006•福州)已知實(shí)數(shù)s、t滿足s2+s-2006=0,t2+t-2006=0,那么,二次函數(shù)y=x2+x-2006的圖象大致是()

【分析】 依題意得s、t是方程x2+x-2006=0的兩實(shí)根,由求根公式可得兩根一正一負(fù),故可能是A、B.又 ,

拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)。解:B.

【小結(jié)】 這是一道結(jié)合一元二次方程考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的試題.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,當(dāng)y=0時,即為一元二次方程,如果此方程有兩不同實(shí)根,則二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點(diǎn).

【例2】 已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,OA=OC,則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個字

母的等式或不等式:① =-1;②ac+b+1=0;③abc>0;④a-b+c>0.正確的序號是 .

【分析】 從圖象中易知a>0,b

由圖象知(-1,a-b+c)在第二象限, a-b+c>0,④正確;設(shè)C(0,c),則OC=|c|, OA=OC=|c|, A(c,0)代入拋物線得ac2+bc+c=0,又c≠0,ac+b+1=0,故②正確.

解:正確的序號為①②③④.

【小結(jié)】 我們研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的時候,首先要明白二次函數(shù)圖象與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸與系數(shù)a、b、c的關(guān)系.

【例3】 (2006•武漢)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為直線x=-1,與x軸的一個交點(diǎn)為(x1,0),且00,其中正確結(jié)論兩個數(shù)是( ).

【分析】 這是一道沒給圖象的題,由已知條件可以大致畫出如下圖所示的圖象, 0

在第一象限,又對稱軸為直線x=-1, (-3,9a-3b+c)在第二象限,故①9a-3b+c>0正確; =-1,

b=2a, b-a=2a-a=a>0. b>a>c,故②不正確;把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0, ③正確;故答案為2個。

【小結(jié)】 將“數(shù)”轉(zhuǎn)達(dá)化為“形”是本題的難點(diǎn),將等量與不等量有機(jī)的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

二、性質(zhì)的應(yīng)用

【例4】 (2006•山東棗莊)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx+ 與y=x2-mx- ,

這兩個二次函數(shù)的圖象中的一條與x軸交于A、B兩個不同的點(diǎn).

(1)試判斷哪個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn);

(2)若A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),試求B點(diǎn)坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,對于經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的二次函數(shù),當(dāng)x取何值時,y的值隨x值的增大而減小?

【分析】 解第(1)問時用b2-4ac是否大于0即可判斷;解(2)時把A點(diǎn)坐標(biāo)代入第(1)問求出的結(jié)果即可;解(3)時根據(jù)對稱軸和開口方向可以判斷.

解:(1)對于關(guān)于x的二次函數(shù)y= , =-m2-2

此函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn).

對于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx-=3m2+4>0,

此函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),故圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的二次函數(shù)為:y=x2-mx-

(2)將A(-1,0)代入y=x2-mx- 得1+m- =0,整理得m2-2m=0, m=0或m=2.

當(dāng)m=0,y=x2-1, 令y=0,x2-1=0,解得x1=-1,x2=1,

此時B點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0).

當(dāng)m=2,y=x2-2x-3, 令y=0,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,

此時B點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0).

(3)當(dāng)m=0,y=x2-1,拋物線開口向上,對稱軸為x=0,

當(dāng)x

當(dāng)m=2,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,拋物線的開口向上,對稱軸為x=1,

當(dāng)x

第9篇:二次函數(shù)范文

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);概念;圖像;教學(xué)

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn),在中招考試中也占據(jù)著非常重要的地位,同時,學(xué)好二次函數(shù)也為高中階段二次三項(xiàng)式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。為此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,必須認(rèn)真搞好二次函數(shù)教學(xué),為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)不好。

一、厘清概念,區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系

要想弄懂二次函數(shù),學(xué)好二次函數(shù),首先必須,厘清二次函數(shù)的概念,并在厘清概念的基礎(chǔ)上,區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系。為了幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念,數(shù)學(xué)教師可以巧妙引入生活當(dāng)中的問題。例如:圓桌桌面的半徑為R,其面積為S,請寫出圓桌桌面面積的表達(dá)式。其實(shí)這個式子學(xué)生們并不陌生,他們順手就可以寫出來:S=лR2。在這個式子的基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)教師就可以生發(fā)開來,引入二次函數(shù)的關(guān)系式:y=ax2+bx+c(c≠0),并概括之處,形如上面的式子就是二次函數(shù)。這樣就將二次函數(shù)的概念和生活緊密相連,使原本非常神秘的二次函數(shù)不再神秘,同時也引發(fā)了學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣。在學(xué)生完整掌握概念的基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)教師還要將二次函數(shù)的定義域做出明確的界定,讓學(xué)生充分明白x和y之間的關(guān)系不單是方程式,它還表達(dá)了兩個未知數(shù)之間的變量關(guān)系,也就是說用一個未知數(shù)可以表達(dá)另一個未知數(shù)。在上面兩個式子中,R和x是自變量,S和y就是R和x的函數(shù),S和R之間是函數(shù)關(guān)系,y和x之間也是函數(shù)關(guān)系。通過這樣的引導(dǎo)以及函數(shù)關(guān)系式的互相比較,學(xué)生就能夠清楚明白方程式與函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。

二、弄懂圖像,理解圖像和函數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)圖象也是學(xué)次函數(shù)的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一,在學(xué)習(xí)的過程中,數(shù)學(xué)教師應(yīng)該充分認(rèn)識到二次函數(shù)圖象的作用,通過引導(dǎo)學(xué)生繪制二次函數(shù)圖像,加深二次函數(shù)圖象和二次函數(shù)之間關(guān)系的理解,這樣不但能夠幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念,而且可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生建立清晰的二次函數(shù)坐標(biāo)影像,在遇到任何二次函數(shù)時,都能夠在頭腦中建立二次函數(shù)圖像,并且能夠準(zhǔn)確描述二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向以及對稱軸等內(nèi)容,只有這樣,學(xué)生才能夠真正做到掌握二次函數(shù)的本質(zhì)特征。在學(xué)生建立二次函數(shù)和圖像之間的關(guān)系基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)教師還要引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù)的變化進(jìn)行認(rèn)真的分析和研究,能夠從各種發(fā)生變化的二次函數(shù)圖像中發(fā)現(xiàn)蛛絲馬跡,從而緊緊抓住二次函數(shù)的主要特征,變換各種角度對二次函數(shù)進(jìn)行仔細(xì)的觀察,找到解決問題的切入點(diǎn),從而輕松解決問題。

三、巧用技術(shù),提高推斷能力

初中階段是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時期,也是邏輯思維能力初步建立和不斷發(fā)展的關(guān)鍵時期,而數(shù)學(xué)又是學(xué)生發(fā)展邏輯思維能力的基礎(chǔ)學(xué)科,為此數(shù)學(xué)教師要在二次函數(shù)教學(xué)過程中努力培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的推斷能力。但是,數(shù)學(xué)教師要充分認(rèn)識到,邏輯思維能力的培養(yǎng)是一個漫長的過程,是在各種教學(xué)手段綜合運(yùn)用的基礎(chǔ)上慢慢培養(yǎng)的,而在各種教學(xué)手段當(dāng)中,現(xiàn)代技術(shù)的巧妙利用無疑是當(dāng)前教學(xué)中最好的教學(xué)手段。無論是二次函數(shù)的概念,還是二次函數(shù)的圖像,都是相當(dāng)抽象的內(nèi)容,特別是二次函數(shù)圖像的建立,更是難以靠數(shù)學(xué)教師描述和板書解決,而現(xiàn)代技術(shù)手段的利用就恰當(dāng)?shù)亟鉀Q了這一難題,不但可以讓學(xué)生通過直觀的圖像理解概念,引發(fā)學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣,同時還可以有效增加整個課堂的知識容量,從而不斷提高學(xué)生的推斷能力。例如:數(shù)學(xué)教師可以通過現(xiàn)代技術(shù)手段展示y=x2、y=x2-a、y=x2+a等二次函數(shù)圖像變化的情況,然后組織學(xué)生總結(jié)其中圖像變化的特點(diǎn),總結(jié)變化的規(guī)律。然后在此基礎(chǔ)上加以引申,讓學(xué)生描述出其他二次函數(shù)圖像變化的特點(diǎn),或者讓學(xué)生自己繪制不同的二次函數(shù)圖像。通過現(xiàn)代技術(shù)手段以及學(xué)生自己動手繪制不同二次函數(shù)圖象,可以幫助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)并掌握二次函數(shù)圖像變化的規(guī)律,促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展,從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

四、層層鋪開,展示多樣化手法

學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的,也不是一種方法就能夠解決的,它必須依靠數(shù)學(xué)教師采取多樣化的教學(xué)手段進(jìn)行慢慢培養(yǎng)。因此,在教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)教師首先必須認(rèn)真分析教材,并在吃透教材的基礎(chǔ)上恰當(dāng)分析究竟采用什么樣的教學(xué)手段,是使用一種教學(xué)手段,還是使用多種教學(xué)手段。切不可在沒有進(jìn)行認(rèn)真分析的前提下多種手段一起上,這樣只能導(dǎo)致課堂的混亂,也無法達(dá)到提高學(xué)生成績的目的。為了加深學(xué)生對二次函數(shù)的理解,數(shù)學(xué)教師可以通過多種教學(xué)手法展示二次函數(shù)的三種形式:一般式(y=ax2+bx+c(c≠0))、頂點(diǎn)式(y=a(x+m)2+n)以及雙根式(y=(x-x1)(x-x2)),然后針對這三種形式的解析式以及圖像變化層層鋪開,并且通過各種變式進(jìn)行引申,從而加深學(xué)生對不同二次函數(shù)解析式的理解,并在此基礎(chǔ)上幫助他們尋找不同的解題策略和方法,這樣就能夠不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。通過多種有效的教學(xué)手段,數(shù)學(xué)教師可以培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)應(yīng)變的能力,培養(yǎng)其發(fā)散性思維,這樣可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)略二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)理念,達(dá)到深層次理解的目的。

五、小結(jié)

總之,作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容,二次函數(shù)教學(xué)是不容忽視的問題,數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真閱讀教材,吃透原理,通過各種策略和方法有效喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,從而不斷培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的綜合素質(zhì)。

參考文獻(xiàn):

[1]路秀梅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何建立起學(xué)生的函數(shù)觀點(diǎn).中學(xué)生數(shù)理化.2009.03

[2]陳玉華.關(guān)于初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)思考.數(shù)理化學(xué)習(xí).2009.11.11

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