二次函數精選(九篇)

前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的二次函數主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。

第1篇：二次函數范文

一、 比賽項目與二次函數

在奧運會的賽場上，人、球或其他物體在空中運動的某一段過程形成的軌跡可以看成拋物線，我們以跳水和足球為例.

例1 如圖1，2016年里約奧運會，某運動員在10米跳臺跳水比賽時估測身體（看成一點）在空中的運動路線是拋物線y=-[256]x2+[103]x（如圖建立直角坐標系，圖中標出的數據為已知條件），運動員在空中運動的最大高度離水面為 米.

【分析】首先把拋物線解析式配成頂點式，從而得到拋物線的頂點坐標，進而得到運動員在空中運動的最大高度離水面為多少米.

【解答】y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

拋物線的頂點坐標是[25，23]，

運動員在空中運動的最大高度離水面為：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如圖2，在某場足球比賽中，球員甲從球門底部中心點O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線飛向球門中心線；當足球飛離地面高度為3m時達到最高點，此時足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

[圖2]

（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，問此飛行中的足球能否進球門？（不計其他情況）

（2）守門員乙站在距離球門2m處，他跳起時手的最大摸高為2.52m，他能阻止球員甲的此次射門嗎？如果不能，他至少后退多遠才能阻止球員甲的射門？

【分析】（1）根據條件可以得到拋物線的頂點坐標是（4，3），利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）求出當x=2時，拋物線的函數值，與2.52米進行比較即可判斷，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）拋物線的頂點坐標是（4，3），

設拋物線的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

則拋物線是y=-[112]（x-4）2+3，

當x=0時，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]

故能射進球門；

（2）當x=2時，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

守門員乙不能阻止球員甲的此次射門，

當y=2.52時，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球員甲的射門.

二、 商品與二次函數

里約當地的商店有很多奧運紀念品，店家為了獲得更多利潤，要對紀念品做出合適的定價.

例3 奧運會某紀念品的進價為每件40美元，如果售價為每件50美元，每天可賣出210件；如果售價超過50美元但不超過80美元，每件紀念品的售價每上漲1美元，則每天少賣1件；如果售價超過80美元后，若再漲價，則每漲1美元每天少賣3件.設每件紀念品的售價為x美元，每天的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設每天的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的函數關系式；

（3）每件紀念品的售價定為多少美元時，每天可獲得最大利潤？每天最大利潤是多少美元？

【分析】（1）當售價超過50美元但不超過80美元時，每件紀念品的售價每上漲1美元，則每天少賣1件，y=260-x，50≤x≤80；當售價超過80美元后，若再漲價，則每漲1美元每天少賣3件，y=420-3x，80

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量，列出函數關系式.

（3）分別求出兩段函數的最大值，然后作比較.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量，可以列出函數關系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）當50≤x≤80時，w=-x2+300x-10400，

當x=80時有最大值，最大值為7200，

當80

當x=90時，有最大值，最大值為7500，

故售價定為90美元，每天利潤最大為7500美元.

三、贊助商與二次函數

在奧運會上有很多簽約的贊助商，在奧運會期間他們的廣告無處不在.

例4 如圖3，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=xcm.[圖3]

某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？

【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積，進而利用函數最值求出即可.

【解答】設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

S=4ah+a2=4[2]x?[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

第2篇：二次函數范文

【關鍵詞】二次函數重點整體難點

二次函數是初中階段繼一次函數、反比例函數之后，學生要學習的最后一類重要的代數函數，它也是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型。初中階段主要研究二次函數的概念、圖像和性質，用二次函數的觀點審視一元二次方程，用二次函數的相關知識分析和解決簡單的實際問題。二次函數和一次函數、反比例函數一樣，都是高中階段要學習的一般函數和非代數函數的基礎。二次函數的圖像因為是拋物線，關系式變化形式多，應用比較復雜。我在二次函數的教學中，整體把握，重點突破，收到了較好的教學效果。

1 抓住重點組織教學

1.1 通過對實際問題情境的分析確定二次函數的關系式，并體會二次函數的意義

這里體現了數學與生活的關系。教學中，應從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養(yǎng)小兔”等實際問題入手，引導學生列出函數關系式。然后，讓學生觀察、思考：所列的函數關系式有什么共同點？它們與一次函數、反比例函數有什么不同？從而引導出二次函數的概念，讓學生認識二次函數的各部分名稱。如此，學生能夠體會到二次函數來自生活，感受到二次函數也是描述一類現實問題中變量關系的數學模型，激發(fā)學習的積極性。

1.2 采用“描點法”畫出二次函數的圖像，從圖像上認識二次函數的性質

這是二次函數的教學重點。一方面，學生要學會畫出二次函數的圖像；另一方面，要能從圖像上認識二次函數的性質。教學中，教師要扎實地讓學生畫出二次函數的圖像（不能一帶而過，就讓學生去解決與圖像有關的復雜題），即運用探索函數圖像的方法――“描點法”，一步一步地列表、描點、連線，加深對二次函數圖像形狀的認識。然后，引導學生從二次函數圖像的形狀、開口方向、對稱性、頂點坐標、增減性等方面去理解二次函數的性質（學生一邊看圖像，一邊說性質，很直觀）。要提醒的是，不僅要讓學生畫出二次函數的準確圖像，還要會畫二次函數的示意圖像。

1.3 利用公式確定二次函數的頂點、開口方向和對稱軸，解決簡單的實際問題

這里包括兩點：一是從二次函數關系式上認識二次函數的性質，這是學生對二次函數性質的進一步認識；二是列二次函數的關系式解決問題，這是學生學次函數的落腳點所在。從直觀的圖像到關系式認識二次函數的性質，是一個提升；從實際問題中提煉出二次函數，通過研究，再回到實際問題中去，這是一個跨越.教學中，為了突破這一難點，可以從二次函數的圖像入手，將二次函數的關系式與其圖像比照著進行教學，由圖像認識關系式，由關系式認識圖像。這種“捆綁式”教學，可以促進學生對借助公式確定對二次函數的頂點、開口方向的理解和掌握。而在運用二次函數解決簡單的實際問題時，應將知識塊分類后進行教學，這樣效果較好。

1.4 運用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解

這是二次函數的內部應用。即從函數的角度審視一元二次方程與二次函數的關系，并根據直觀圖形，借助計算器探索函數值為0的自變量的值，進而得出用二次函數圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個過程中，應通過直觀圖像，研究函數值與自變量的變化，滲透無限逼近和區(qū)間套的數學思想方法，為學生高中階段的函數學習做好鋪墊。

2 立足整體設計教法

二次函數的整體性，體現在其圖像、性質以及應用上。教材從學生熟悉的簡單實際問題出發(fā)，建立二次函數的概念，立足運動、變換的觀點，由特殊到一般，分別探討各種形式的二次函數的圖像和性質，最后以3個探究性問題為例，探討二次函數在實際中的應用。學生學次函數的圖像和性質的障礙主要體現在解析式、圖像、性質的對應上，應用的主要障礙則是建立二次函數解析式，并利用解析式解決問題。

2.1 層層遞進，系統(tǒng)把握二次函數的圖像和性質

二次函數的一般形式及其變換形式共有六種：（1）y=ax2 （a≠0）；（2）y=ax2+k（a≠0）；（3）y=a（x+h）2（a≠0）；（4）y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5）y=ax2+bx+c （a≠0）；（6）y=ax2+bx（a≠0）。要求學生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對應的性質，有一定的難度。教學時，應層層遞進，通過畫示意圖像來說性質。同時，在學習這六種形式的二次函數的關系式、圖像和性質時，每節(jié)課都復習上節(jié)課學習的二次函數的關系式、圖像和性質，并板書。這樣，當學到最后一種二次函數的解析式、圖像和性質時，學生已在頭腦中形成了系統(tǒng)、全面的關于二次函數的解析式、圖像、性質的知識網絡。

2.2 策略分類，明晰掌握二次函數應用的方法

二次函數是研究單變量最優(yōu)化問題的常用數學模型。教材從數量關系入手，把實際問題數學化，進而求出最優(yōu)解，研究了面積最大、利潤最大等問題。然后，從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠、跨欄等與拋物線有關的問題。這樣的分類（一會兒求關系式，一會兒不求；一會兒給應用問題，一會兒給圖像），對正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰(zhàn)不小，學生的思維容易發(fā)生混亂。教學二次函數的應用問題時，根據學生的年齡特點和知識基礎，按解題策略進行分類，有助于學生理清思路，正確解決問題。

第一類：給二次函數的關系式解決問題。比如，教材第33頁第4題的“火箭升空”、第34頁第9題的“對概念接受能力”、第35頁第12題的“噴泉”等問題，只要將二次函數的關系式配方求頂點坐標，或令x、y等于0，即可順利解決。

第二類：給應用問題列二次函數的關系式，再用關系式解決問題。比如，教材第25頁的“最大收益”、“最大面積”等問題，只要分析數量關系，列出二次函數的關系式，再由二次函數的關系式即可解決問題。

第三類：給二次函數的圖像列二次函數的關系式解決問題。比如，教材第27頁的問題2“噴泉”問題，只要從圖像上找到一個或兩個點的坐標，代入二次函數的關系式的一般形式，從而求出二次函數的關系式，再由二次函數的關系式，即可解決問題。

第四類：建立直角坐標系，求出二次函數的關系式解決問題。比如，教材第28頁的“拋物線形拱橋”、第30頁的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題，要建立適當的直角坐標系，再由圖像求出二次函數關系式，然后由二次函數關系式即可解決問題。

3 著手關鍵化解難點

3.1 將二次函數的一般形式化為頂點式

學生對前四個形式的二次函數y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2 （a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）畫圖像、說性質相對比較容易，對后兩個形式的二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），y=ax2+bx（a≠0）畫圖像、說性質，難度就大得多。因為要將它們轉化為y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式――這在一元二次方程解法的教學時已有所涉獵。因此，教學一元二次方程解法時，就必須注重配方法的教學，到了這個階段再增添求二次三項式的最值問題，學生因為掌握了配方的方法，就容易理解和接受了。

3.2 列二次函數關系式和應用二次函數關系式

比如，最大效益問題是一元二次方程的利潤類應用問題的遷移，關鍵是把握關系式“每畝（件、千克）效益（利潤）×畝數（件數、千克數）=總效益（總利潤）”；面積類問題，關鍵是面積公式；給二次函數圖像列二次函數關系式解決問題，關鍵是設二次函數關系式；建立直角坐標系，求出二次函數關系式解決問題，關鍵是建立適當的直角坐標系、設二次函數關系式；應用二次函數關系式，關鍵是理解關系式中的字母的意義，看清問題中要求的是關系式中的哪一個問題，從而確定方法。

參考文獻：

第3篇：二次函數范文

一、封閉性問題的開放性改造

以問題狀態(tài)（條件、過程和結論）的明確程度為依據，可將數學問題分為封閉性和開放性兩個問題.平時所見的大部分問題屬于封閉性問題，而開放性問題對于發(fā)展學生的個性、優(yōu)化學生的思維品質，特別是訓練學生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維有著重要意義.對于封閉性問題，如果我們在認清題目的實質下對于問題的條件、結論或者過程予以適當修改，則可以使其具有一定的開放性.

題1求函數f(x)=(x-1)2對稱軸、最值、單調性.

單純求二次函數的最值、單調性，難于培養(yǎng)學生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，如果將此題的結論作為條件，可以改編成開放性問題，不僅調動了學生的學習興趣，而且使每名學生的思維能力都得到較大的發(fā)展.

題2老師給出一個函數y=f（x），四名學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的一個性質.

甲：對x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).

乙：在（-∞，0］上是減函數.

丙：在［2，+∞)上是增函數.

丁：f（0）不是函數的最值.

如果其中恰好有三名學生說得正確，請寫出這樣一個函數.

適當放寬限制條件，使得問題存在多種答案，具有一定的開放性，從而調動了學生的思維積極性.

題3已知函數f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均為實數）.

（1）當b=1時，對任意實數x，使f(x)≠0，求a，c滿足的條件；

（2）當a+c=0時，求證：存在一個實數x，使f(x)=0.

此題是比較典型的二次函數零點問題，如果能放寬數學背景，增加適當的實際情景，可將此題改編為一道開放性較強的問題.不僅增加了數學的趣味性，而且培養(yǎng)了學生的探索能力.

題4已知函數f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c為非零實數.甲、乙兩人做一游戲，他們輪流確定系數a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果對任意實數x，使f(x)≠0，那么甲獲勝；如果存在一個實數x，使f(x)=0，那么乙獲勝.

(1)甲先選數，他是否有必勝策略？為什么？

(2)如果a，b，c是任意實數，結果如何？為什么？

二、常規(guī)型問題的探索性改造

以問題解決者的知識經驗為依據，可以將數學分為常規(guī)性問題與探索性問題.平時所見到的例、習題大部分是常規(guī)性問題，而探索性問題對于培養(yǎng)學生的探究能力，激發(fā)學生的學習興趣與主動性有著常規(guī)性問題不可比擬的作用，改變常規(guī)問題的條件、結論或者設問方式就可以引導常規(guī)性問題改編為探索性問題.

題5已知函數f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，當a=-130時，求f(x)的單調區(qū)間.

考慮到a的任意性，我們可以用逆向思維，運用設問方式，將此題改變?yōu)樘剿餍詥栴}.

題6已知函數f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，問是否存在a(a

題7已知二次函數f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m

這是一道單純性二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，探究性不強，我們不妨增加已知條件，改編為下述具有一定探究性的問題.

題8已知二次函數f(x)=-12x2+x，是否存在實數m，n(m

三、純粹性問題的應用性改造

以問題性質的數學過程（抽象、變換、應用）為依據，可以將數學問題分為純粹性問題和應用性問題.平時所見的例、習題大部分是純粹性問題，而應用性問題對于培養(yǎng)學生的數學建模能力、分析問題與解決問題能力都有著不可替代的作用.對于一些純粹性問題，如果能夠結合具體的生活、生產實踐，賦予一定的實際情景，則可以將其改變?yōu)閼眯詥栴}.

題9求函數y=x+9x（x>0）的最值.

此題可看做特殊二次函數y=x-3x2+6(x>0)為載體給予一定的實際背景，將此題改編為方案優(yōu)化型的應用問題.

題10制作一個容積為18 m3，深為2 m的長方體無蓋水池.若池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，求水池最低造價？

題11已知函數y=kx1-xm(k>0)，定義域為（0，m）.

(1)求函數的最值；

(2)當0

以y=kx1-xm為載體設計適當的實際背景的文字表述，可以將此題改編為應用性較強的實際問題.

題12漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，要保證魚群的生長空間.已知魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)殖量x噸與空間率的乘積成正比，比例系數為k（k>0）.

(1)求y關于x的函數關系式，并指出該函數的定義域；

(2)求魚群年增長量的最大值；

(3)當魚群的年增長量達到最大時，求k的取值范圍.

總之，適當改造傳統(tǒng)例、習題確實能調動學生的學習興趣，提高學生分析問題和解決問題的能力，但不恰當的改造不僅沒有帶來益處，反而給學生帶來新的負擔.因此，哪些傳統(tǒng)數學問題可以改造，如何改造，改造后如何應用于數學教學，這些問題需要我們不斷地探索.

第4篇：二次函數范文

學習了二次函數的有關知識后，靈活應用這些知識，可以幫助我們解答一些生產、生活中的實際問題，現以2007年的部分中考題為例介紹，供同學們參考。

例1 (2007年煙臺市)某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次)的產品一天能生產76件，每件利潤10元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少4件。

(1)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元(其中x為正整數，且1≤x≤10)，求出y關于x的函數關系式；

(2)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1080元，求該產品的質量檔次。

析解：(1)當生產第x檔次的產品時，每件利潤為[10+2(x-I)]元，每天產量為[76-4(x一1)]件。

因為每天總利潤=每件利潤×每天產量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x2+128x+640

(2)要求產品的質量檔次，只要求x的值即可

在y=-8x2+128x+640中

因為y=1080，

所以-8x2+128x+640=1080

整理．得X216x+55=0

解之，x1=5，X2=11(不合題意，舍去)

所以當一天的總利潤為1080元時，應生產第5檔次的產品。

例2 (2007年佛山市)如下圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構成，矩形的長BC為8m，寬AB為2m，以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，y軸是拋物線的對稱軸．頂點E到坐標原點O的距離為6m．

(1)求拋物線的解析式；

(2)一輛貨運卡車高4.5m，寬2.4m，它能通過該隧道嗎?

(3)如果該隧道內設雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設有0．4m的隔離帶，則該輛貨運卡車還能通過隧道嗎?

析解：(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，要求y關于x的解析式，應找到三組x和y的數值．

因為點E、點A、點D的坐標分別為(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判斷高為4.5m，寬2.4m的貨車能否從該隧道內通過，其實質在于確定隧道的截面內，距地面高4．5m的兩點之間的水平距離是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通過；否則，就不能通過。

所以貨車可以通過。

(3)如果隧道內設雙行道，且在隧道正中間沒有O．4m的隔離帶，那么要判斷這輛貨車是否可以順利通過，只要確定隧道的截面內，距地面高4．5m的兩點之間的水平距離是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通過；否則，就不能通過。

所以如果隧道內設雙行道，且在隧道正中間設有0.4m的隔離帶．則這輛貨車不能順利通過。

例3(2007年貴陽市)某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調查發(fā)現，若每箱以50元的價格調查，平均每天銷售90箱，價格每提高l元，平均每天少銷售3箱。

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價x(元／箱)之間的函數關系式。

(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元／箱)之間的函數關系式。

(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?

析解：(1)當每箱的銷售價為x元時，它比每箱50元的價格提高(x-50)元，那么銷售量將減少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)當每箱的銷售價為x元時，每箱的銷售利潤為(x-40)元，每天的銷售量為y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x2+360x-9600

(3)要問每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤，只要求出x為何值時w有最大值,為此，應把w與x的二次函數關系式進行配方變形。

因為w=-3x2+360x-9600

=－3(x-60)2+1200，

又，x≤55，且x

所以當x=55時，w有最大值=-3x(55-60)2+1200=1125．

所以當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤。

練習

1．(2006年鄂爾多斯市)某產品每件成本10元，在試銷階段每件產品的日銷售價x(元)與產品的日銷售量y(件)之間的關系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿紙上描點，觀察點的分布，確定y與x的函數關系式．

(2)要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元?此時每日銷售利潤是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件產品的銷售價應定為30元，此時每日銷售利潤是400元。

2．(2007年青島市)某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元，市場調查發(fā)現，在一段時間內，銷售量w(千克)隨銷售單價x(元千克)的變化而變化，具體關系式為：w=-2x+240．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y(元)，解答下列問題：

(1)求y與x的關系式；

(2)當x取何值時，y 的值最大?

第5篇：二次函數范文

一、優(yōu)化方式，提高實效

1.先練后講，積極參與.講與練關系的實質就是知與行、理論與實踐的關系.光講不練，課堂上聽懂的東西不能鞏固，更不能深化；但講得太多，重點不突出，抓不住要害，也會引起“消化不良”.先練后講，是為了讓學生聽課更有效率和針對性，讓學生帶著問題聽課，使其在思想上、行動上、內容上先進入學習狀態(tài).例如，在復習的第一環(huán)節(jié)，可以設置一下基礎復習題：二次函數y=-3x2+2x-1，二次項系數是，一次項系數是，常數項是.把二次函數y=2x2-8x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式為，它的圖象是，開口向，頂點坐標是，對稱軸是.這樣，可以把基礎概念、定理等習題化，使函數圖象的性質與變換規(guī)律得到體現.

2.用好教材，用活課本.在復習時，首先應該重視課本知識的復習.因為課本是數學知識的載體，中考的試題也是在課本知識的基礎上引申而淼.教師應引導學生把知識重點、難點前后聯系，重新組合，靈活而又不拘一格地駕馭教材，既發(fā)揮例、習題的示范性、典型性，又使解題涉及的知識和方法得到延伸，使學生從多方面感知數學知識和方法，提高學生綜合分析問題、解決問題的能力.挖掘課本例、習題的功能，可以從以下方面入手：（1）改變題目形式（如變解答題為選擇題或填空題）；（2）條件與結論交換或部分交換；（3）增加條件，探索新的結論；（4）改變題目條件，對結論進行推廣與引申；（5）一題多解或多題一解；（6）類比編題；等等.

3.精講例題，舉一反三.在復習教學中，例題的選擇，應具備代表性和典型性，能突出重點，反映學業(yè)標準最主要、最基本的內容和要求.對例題進行分析和解答時，要注意例題之間的內在聯系，可用一題多變、一題多解、一圖多用進行講解.這樣，串起來的題目比較多，縱向、橫向聯系的知識點比較多，學生掌握的知識也就比較系統(tǒng)、全面，實現復習知識從量到質的轉變.

4.結合考點，分析試題.在備考中選擇訓練題時，歷年中考試題是最佳選擇.教師要將其歸類，按考查知識點、解題方法等進行研究，結合課本的習題，進行適當的變形、拓展，然后分類給學生進行限時訓練，使學生圍繞考點，做到舉一反三，觸類旁通.

5.在解題教學中，加強數學思想方法的訓練.數學的觀念、思想和方法是數學科學的重要組成因素，是數學科學的“靈魂”，在促進學生的發(fā)展中具有決定性的作用，是學生獲得數學知識的主觀手段.學生一旦把數學思想方法內化為自己的思維和行為方式，就能獲得智能發(fā)展.能否運用數學思想方法分析問題、解決問題關系到中考的成敗.因此，在復習過程中，不能只在乎做了多少練習題，更重要的是對所學知識進行梳理，對推理論證及處理問題的思想方法進行總結，提高學生分析問題、解決問題的能力.

二、及時反饋，促進教學

在復習教學中，教師要善于利用課堂教學反饋，把學生的錯解作為反面教材，引導學生反思糾錯，加深學生對此類問題的理解，避免重蹈覆轍，提高學生解題的正確率，從而提高復習教學效果.例如，拋物線y=x2-2mx+m+6與x軸交點為（p，0），（q，0），求（p-1）2+（q-1）2的最小值.有的學生這樣做：（p-1）2+（q-1）2=[（p+q）2-2pq]-2（p+q）+2=4m2-6m-10=4（m-34）2-494，所以當m=34時，可求得最小值為-494.事實上，當m=34時，Δ

第6篇：二次函數范文

〔中圖分類號〕 G633.62 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）02—0089—01

我們知道，二次函數是一個極為重要的初等函數，在中學數學中，許多問題都可以借助于二次函數來解決.

根據二次函數的圖象可知它有這樣的性質：對于二次函數f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，則Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，則f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函數f（x）= ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點，則Δ=b2－4ac>0.

下面應用上述性質來證明一些不等式.

一、用性質（Ⅰ）來證明不等式，就是設法構造一個二次項系數為正數的二次函數，并使得f（x）≥0，從而由Δ≤0推出所需證的不等式

例1：（柯西不等式）設a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn為任意實數，求證（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），當且僅當==…=時，等號成立.

證明：作關于x的二次函數f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.

（1） 若a12+a22+…+an2=0，則a1=a2=…=an=0 ，顯然不等式成立；

（2） 若a12+a22+…+an2≠0，則有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.

當且僅當==…=時，等號成立.

二、應用性質（Ⅱ）來證明不等式，就是把要證明的不等式表示成關于某一字母的二次三項式（使二次項系數大于零），再推證其Δ≤0，由此判定所要證的不等式成立

例2：設x、y、z∈R，求證：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

證明： 設f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是關于x的二次函數，且二次項系數大于零.則有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，f（x）≥0，x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

例3：求證：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

證明：設f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是關于a的二次函數，且二次項系數大于零，則Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，f（a）≥0，a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

例4：設x、y、z∈R，且＋＋＝，求證x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

證明： 設f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是關于x的二次函數，且二次項系數大于零.則Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =

-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，f（x）≥0， x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

三、應用性質（Ⅲ）來證明不等式，就是構造一元二次函數，再推證其一元二次函數與x軸有兩個交點，由Δ=b2－4ac>0判定所要證的不等式成立

第7篇：二次函數范文

一、進一步深入理解二次函數的概念

二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

1.已知f（x）=x2+x+2，求f（x+1）。

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

2.設f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）。

這個問題可以理解為，已知對應法則f和定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則。一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6。

（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6從而f（x）=x2－6x+6。

二、二次函數的單調性、最值與圖象

在高中階段函數單調性是重點，高考占很大比例，學習單調性時，二次函數是基礎，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，從函數觀點用定義研究對稱軸，并給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數有關的一些函數單調性，培養(yǎng)學生的數形結合思想。比如：

1.畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2－1

（2）=x2+2x－1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系，掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

2.設f（x）=x2－2x－1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖象。

解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1時取最小值－2。

當1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－2

當t＞1時，g（t）=f（t）=t2－2t－1

當t＜0時，g（t）=f（t+1）=t2－2

（函數圖象略）

首先要使學生弄清楚題意，一般的，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域，以求培養(yǎng)學生的分類討論思想。

三、二次函數的知識可以準確反映學生的數學思維

第8篇：二次函數范文

關鍵詞：數形結合；二次函數；圖像和性質

二次函數的圖象位置是由系數a、b、c決定的.對二次函數圖象與性質的考查一直是中考命題的傳統(tǒng)題目，解決此類問題的方法是數形結合，這也是解決函數問題極為重要的方法。

一、圖象的識別

【例1】 （2006•福州）已知實數s、t滿足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函數y=x2+x-2006的圖象大致是（）

【分析】 依題意得s、t是方程x2+x-2006=0的兩實根，由求根公式可得兩根一正一負，故可能是A、B.又 ，

拋物線對稱軸在y軸的左側。解：B.

【小結】 這是一道結合一元二次方程考查二次函數圖象和性質的試題.二次函數y＝ax2＋bx＋c中，當y＝0時，即為一元二次方程，如果此方程有兩不同實根，則二次函數圖象與x軸有兩個交點.

【例2】 已知：二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，OA=OC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個字

母的等式或不等式：① =-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正確的序號是 .

【分析】 從圖象中易知a>0，b

由圖象知（-1，a-b+c）在第二象限， a-b+c>0，④正確；設C（0，c），則OC=|c|， OA=OC=|c|， A（c，0）代入拋物線得ac2+bc+c=0，又c≠0，ac+b+1=0，故②正確.

解：正確的序號為①②③④.

【小結】 我們研究二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的時候，首先要明白二次函數圖象與x、y軸的交點坐標以及頂點坐標、對稱軸與系數a、b、c的關系.

【例3】 （2006•武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點為（x1，0），且00，其中正確結論兩個數是（ ）.

【分析】 這是一道沒給圖象的題，由已知條件可以大致畫出如下圖所示的圖象， 0

在第一象限，又對稱軸為直線x=-1， （-3，9a-3b+c）在第二象限，故①9a-3b+c>0正確； =-1，

b=2a， b-a=2a-a=a>0. b>a>c，故②不正確；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ③正確；故答案為2個。

【小結】 將“數”轉達化為“形”是本題的難點，將等量與不等量有機的結合是解決本題的關鍵.

二、性質的應用

【例4】 （2006•山東棗莊）已知關于x的二次函數y=x2-mx+ 與y=x2-mx- ，

這兩個二次函數的圖象中的一條與x軸交于A、B兩個不同的點.

（1）試判斷哪個二次函數的圖象經過A、B兩點；

（2）若A點坐標為（-1，0），試求B點坐標；

（3）在（2）的條件下，對于經過A、B兩點的二次函數，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減??？

【分析】 解第（1）問時用b2-4ac是否大于0即可判斷；解（2）時把A點坐標代入第（1）問求出的結果即可；解（3）時根據對稱軸和開口方向可以判斷.

解：（1）對于關于x的二次函數y= ， =-m2-2

此函數的圖象與x軸沒有交點.

對于關于x的二次函數y=x2-mx-=3m2+4>0，

此函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，故圖象經過A、B兩點的二次函數為：y=x2-mx-

（2）將A（-1，0）代入y=x2-mx- 得1+m- =0，整理得m2-2m=0， m=0或m=2.

當m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此時B點的坐標是（1，0）.

當m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此時B點的坐標是（3，0）.

（3）當m=0，y=x2-1，拋物線開口向上，對稱軸為x=0，

當x

當m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，拋物線的開口向上，對稱軸為x=1，

當x

第9篇：二次函數范文

【關鍵詞】二次函數；概念；圖像；教學

二次函數是中學數學中的教學重點、難點，在中招考試中也占據著非常重要的地位，同時，學好二次函數也為高中階段二次三項式等內容的學習打下了堅實的基礎。為此，在初中數學教學中，必須認真搞好二次函數教學，為學生以后的學習打下堅實的基礎不好。

一、厘清概念，區(qū)分方程和函數的關系

要想弄懂二次函數，學好二次函數，首先必須，厘清二次函數的概念，并在厘清概念的基礎上，區(qū)分方程和函數的關系。為了幫助學生理解二次函數的概念，數學教師可以巧妙引入生活當中的問題。例如：圓桌桌面的半徑為R，其面積為S，請寫出圓桌桌面面積的表達式。其實這個式子學生們并不陌生，他們順手就可以寫出來：S=лR2。在這個式子的基礎上，數學教師就可以生發(fā)開來，引入二次函數的關系式：y=ax2+bx+c（c≠0），并概括之處，形如上面的式子就是二次函數。這樣就將二次函數的概念和生活緊密相連，使原本非常神秘的二次函數不再神秘，同時也引發(fā)了學生學次函數的興趣。在學生完整掌握概念的基礎上，數學教師還要將二次函數的定義域做出明確的界定，讓學生充分明白x和y之間的關系不單是方程式，它還表達了兩個未知數之間的變量關系，也就是說用一個未知數可以表達另一個未知數。在上面兩個式子中，R和x是自變量，S和y就是R和x的函數，S和R之間是函數關系，y和x之間也是函數關系。通過這樣的引導以及函數關系式的互相比較，學生就能夠清楚明白方程式與函數的本質區(qū)別。

二、弄懂圖像，理解圖像和函數的關系

二次函數圖象也是學次函數的重點、難點之一，在學習的過程中，數學教師應該充分認識到二次函數圖象的作用，通過引導學生繪制二次函數圖像，加深二次函數圖象和二次函數之間關系的理解，這樣不但能夠幫助學生理解二次函數的概念，而且可以培養(yǎng)學生的觀察能力。數學教師要引導學生建立清晰的二次函數坐標影像，在遇到任何二次函數時，都能夠在頭腦中建立二次函數圖像，并且能夠準確描述二次函數圖象的頂點坐標、開口方向以及對稱軸等內容，只有這樣，學生才能夠真正做到掌握二次函數的本質特征。在學生建立二次函數和圖像之間的關系基礎上，數學教師還要引導學生對二次函數的變化進行認真的分析和研究，能夠從各種發(fā)生變化的二次函數圖像中發(fā)現蛛絲馬跡，從而緊緊抓住二次函數的主要特征，變換各種角度對二次函數進行仔細的觀察，找到解決問題的切入點，從而輕松解決問題。

三、巧用技術，提高推斷能力

初中階段是數學學習的關鍵時期，也是邏輯思維能力初步建立和不斷發(fā)展的關鍵時期，而數學又是學生發(fā)展邏輯思維能力的基礎學科，為此數學教師要在二次函數教學過程中努力培養(yǎng)鍛煉學生的推斷能力。但是，數學教師要充分認識到，邏輯思維能力的培養(yǎng)是一個漫長的過程，是在各種教學手段綜合運用的基礎上慢慢培養(yǎng)的，而在各種教學手段當中，現代技術的巧妙利用無疑是當前教學中最好的教學手段。無論是二次函數的概念，還是二次函數的圖像，都是相當抽象的內容，特別是二次函數圖像的建立，更是難以靠數學教師描述和板書解決，而現代技術手段的利用就恰當地解決了這一難題，不但可以讓學生通過直觀的圖像理解概念，引發(fā)學生學次函數的興趣，同時還可以有效增加整個課堂的知識容量，從而不斷提高學生的推斷能力。例如：數學教師可以通過現代技術手段展示y=x2、y=x2-a、y=x2+a等二次函數圖像變化的情況，然后組織學生總結其中圖像變化的特點，總結變化的規(guī)律。然后在此基礎上加以引申，讓學生描述出其他二次函數圖像變化的特點，或者讓學生自己繪制不同的二次函數圖像。通過現代技術手段以及學生自己動手繪制不同二次函數圖象，可以幫助學生快速發(fā)現并掌握二次函數圖像變化的規(guī)律，促進學生抽象思維能力的發(fā)展，從而不斷培養(yǎng)學生的抽象思維能力。

四、層層鋪開，展示多樣化手法

學生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，也不是一種方法就能夠解決的，它必須依靠數學教師采取多樣化的教學手段進行慢慢培養(yǎng)。因此，在教學過程中，數學教師首先必須認真分析教材，并在吃透教材的基礎上恰當分析究竟采用什么樣的教學手段，是使用一種教學手段，還是使用多種教學手段。切不可在沒有進行認真分析的前提下多種手段一起上，這樣只能導致課堂的混亂，也無法達到提高學生成績的目的。為了加深學生對二次函數的理解，數學教師可以通過多種教學手法展示二次函數的三種形式：一般式（y=ax2+bx+c（c≠0））、頂點式（y=a（x+m）2+n）以及雙根式（y=（x-x1）（x-x2）），然后針對這三種形式的解析式以及圖像變化層層鋪開，并且通過各種變式進行引申，從而加深學生對不同二次函數解析式的理解，并在此基礎上幫助他們尋找不同的解題策略和方法，這樣就能夠不斷提高學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力。通過多種有效的教學手段，數學教師可以培養(yǎng)學生隨機應變的能力，培養(yǎng)其發(fā)散性思維，這樣可以促進學生認真領略二次函數中的數學理念，達到深層次理解的目的。

五、小結

總之，作為初中數學教學中最重要的內容，二次函數教學是不容忽視的問題，數學教師必須認真閱讀教材，吃透原理，通過各種策略和方法有效喚起學生學習的積極性，從而不斷培養(yǎng)其發(fā)現問題、分析問題、解決問題的綜合素質。

參考文獻：

[1]路秀梅.初中數學教學中如何建立起學生的函數觀點.中學生數理化.2009.03

[2]陳玉華.關于初中數學函數教學設計的幾點思考.數理化學習.2009.11.11