線性規(guī)劃精選(九篇)

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第1篇：線性規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞:線性規(guī)劃 概率

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支,它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,提高經(jīng)濟(jì)效果是人們不可缺少的要求,而提高經(jīng)濟(jì)效果一般通過(guò)兩種途徑:一是技術(shù)方面的改進(jìn),例如改善生產(chǎn)工藝,使用新設(shè)備和新型原材料.二是生產(chǎn)組織與計(jì)劃的改進(jìn),即合理安排人力物力資源.線性規(guī)劃所研究的是:在一定條件下,合理安排人力物力等資源,使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好.一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域.決

策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素.而此類問(wèn)題在課本中已經(jīng)有了很多體現(xiàn),在此筆者不再贅述.本文中,筆者想敘述線性規(guī)劃應(yīng)用的一種情況,就是用線性規(guī)劃的方法解決一類概率問(wèn)題.此類概率問(wèn)題一般是幾何概率的問(wèn)題.

請(qǐng)看下面兩例:

例1.甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘,過(guò)時(shí)即可離去.求兩人能會(huì)面的概率.

稍加分析我們不難發(fā)現(xiàn),本題中顯然不是一個(gè)變量,而是兩個(gè)變量,即甲、乙各自到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,所以可以假設(shè)兩個(gè)變量.那么可以在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,y軸表示乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,用0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段,則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)就表示甲、乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間.而能會(huì)面的時(shí)間由x-y≤15

所對(duì)應(yīng)的圖中陰影部分表示.

反思說(shuō)明:

(1)三角形三邊長(zhǎng)度都是在0到l之間,故每一對(duì)結(jié)果對(duì)應(yīng)三條邊長(zhǎng),分別用x,y軸上的數(shù)表示,則每一個(gè)結(jié)果(x,y)就對(duì)應(yīng)于圖中三角形內(nèi)的任一點(diǎn);

(2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出來(lái)分別計(jì)算面積即可;

(3)本題的難點(diǎn)是把三條邊長(zhǎng)分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)分別表示,構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y),從而把邊長(zhǎng)是一段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形中的線性規(guī)劃問(wèn)題,轉(zhuǎn)化成面積為測(cè)度的幾何概型的問(wèn)題.

但是對(duì)于類似問(wèn)題我們一定要注意是否是以面積為測(cè)度的概率問(wèn)題,有些仍然是古典概率,如下例:

例3.如下圖,從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高,測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160)、第二組[160,165)、……第八組[190,195),下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生,記他們的身高分別為x、y,求滿足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法顯然是錯(cuò)誤的,問(wèn)題出在哪兒呢?主要是人的個(gè)數(shù)不是連續(xù)的,而是只能取自然數(shù),所以本題并非幾何概率,而是古典概型的概率問(wèn)題.正確的解法為:

第2篇：線性規(guī)劃范文

一、目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)

這個(gè)參數(shù)往往與直線的斜率有關(guān)系，并且已知最優(yōu)解，因此解題時(shí)可充分利用斜率的特征加以轉(zhuǎn)化。

1.目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為參數(shù)

例1、(2009年陜西理11)若x，y滿足約束條件x+y?叟1x-y?叟-12x-y?燮2，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是（ ）

A. (-1,2) B. (-4,2) C. (-4,0) D.(-2,4)

分析：明確a的幾何意義，與直線的斜率有關(guān)，根據(jù)圖形特征確定怎樣才能保證僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值。

解：作出約束條件所形成的區(qū)域圖形，目標(biāo)函數(shù)化成y=-■x+■，則斜率k=-■，截距為■，要使截距最小，則-1

2.目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為參數(shù)

例2 (2006湖北理) 已知平面區(qū)域D由以A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值,則m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.4

分析：最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，往往是指目標(biāo)函數(shù)與其中一條直線重合，此外要注意到參數(shù)為或的系數(shù)上的不一致。

解：要使目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則直線z=x+my應(yīng)與直線AC或AB，BC重合，但要使目標(biāo)函數(shù)Z=X+my取得最小值，必須使得函數(shù)斜率為負(fù)值，且斜率的絕對(duì)值要大，從而只能與直線AC重合，則-■=kAC=-1，所以m=1，選C。

3.目標(biāo)函數(shù)中x,y的系數(shù)均為參數(shù)

例3 (2009年山東理12) 設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6?燮0x-y+2?叟0x?叟0,y?叟0，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by，(a>0,b>0)的值是最大值為12，則■+■的最小值為( )。

A.■ B.■ C.■ D. 4

分析：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求■+■的最小值常用乘積進(jìn)而用均值不等式解答。

解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線z=ax+by(a>b,b>0)過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)A(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,4a+6b=12,即2a+3b=6,而■+■=(■+■)■=■+(■+■)?叟■+2=■,故選A。

二、約束條件中含有參數(shù)

約束條件中某一個(gè)約束條件含有參數(shù)，意味著約束條件是變動(dòng)的，這種變動(dòng)導(dǎo)致了目標(biāo)函數(shù)最值的變動(dòng)。

1.已知目標(biāo)函數(shù)最值，求參數(shù)的值

例4 （2010年浙江理7）若實(shí)數(shù)，滿足不等式組x+3y-3?叟0，2x-y-3?燮0，x-my+1?叟0，且z=x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=（ ）。

A.-2 B.-1

C.1 D.2

分析：已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的值，關(guān)鍵是找到最優(yōu)解，代入到目標(biāo)函數(shù)中，求出參數(shù)的值。

解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，把目標(biāo)函數(shù)化為y=-x+z，則當(dāng)直線y=-x+z過(guò)A點(diǎn)時(shí)z最大，由2x-y-3=0，x-my+1=0，得到A(■，■)，代入目標(biāo)函數(shù)得■+■=9，所以m=1。

2.已知目標(biāo)函數(shù)最值范圍，求參數(shù)的范圍

例5 (2011年高考湖南卷理科7)設(shè)m>1，在約束條件y?叟xy?燮mxx+y?燮1下，目標(biāo)函數(shù)Z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為

。

分析：本題關(guān)鍵是理解參數(shù)的幾何意義是直線的斜率，找到關(guān)于m的一個(gè)不等式。

解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，把目標(biāo)函數(shù)化為y=-■x+■，(m>1)，則-1

第3篇：線性規(guī)劃范文

1. 滿足線性約束條件[2x+y≤3，x+2y≤3，x≥0，y≥0]的目標(biāo)函數(shù)[z=x+y]的最大值是（ ）

A. 1 B. [32]

C. 2 D. 3

2. 若實(shí)數(shù)[x]，[y]滿足不等式組[x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，]且[x+y]的最大值為9，則實(shí)數(shù)[m=]（ ）

A. [-2] B. [-1]

C. 1 D. 2

3. 設(shè)不等式組[x+y-11≥0，3x-y+3≥0，5x-3y+9≤0，]表示的平面區(qū)域?yàn)閇D]，若指數(shù)函數(shù)[y=ax]的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則[a]的取值范圍是（ ）

A. [（1，3]] B. [[2，3]]

C. [（1，2]] D. [[3，+∞）]

4. 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗[A]原料1千克、[B]原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗[A]原料2千克，[B]原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗[A]，[B]原料都不超過(guò)12千克. 通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（ ）

A. 1800元 B. 2400元

C. 2800元 D. 3100元

5. 在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，[M]為不等式組[2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0]所表示的平面區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則[OM]斜率的最小值為（ ）

A. [2] B. [1]

C. [-13] D. [-12]

6. 已知[a>0]，[x，y]滿足約束條件[x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），]若[z=2x+y]的最小值為[1]，則[a=]（ ）

A. [14] B. [12]

C. [1] D. [2]

7. 某旅行社租用[A]，[B]兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，[A]，[B]兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且[B]型車不多于[A]型車7輛. 則租金最少為（ ）

A. 31200元 B. 36000元

C. 36800元 D. 38400元

8. 設(shè)變量[x，y]滿足[x+y≤1，]則[x+2y]的最大值和最小值分別為（ ）

A. 1，-1 B. 2，-2

C. 1，-2 D. 2，-1

9. 已知變量[x，y]滿足[2x-y≤0，x-2y+3≥0，x≥0，]則[z=log12（x+y+5）]的最小值為（ ）

A. -8 B. -4

C. -3 D. -2

10. 已知實(shí)數(shù)[x，y]滿足[y≥0y≤2x-1x+y≤m]，如果目標(biāo)函數(shù)[z=x-y]的最小值的取值范圍是[-2，-1]，則目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍是（ ）

A. [1，2] B. [3，6]

C. [5，8] D. [7，10]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 已知[z=2x-y]，式中變量[x]，[y]滿足約束條件[y≤x，x+y≥1，x≤2，]，則[z]的最大值為 .

12. 拋物線[y=x2]在[x=1]處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)閇D]（包含三角形內(nèi)部和邊界） . 若點(diǎn)[P（x，y）]是區(qū)域[D]內(nèi)的任意一點(diǎn)，則[x+2y]的取值范圍是 .

13. 設(shè)[P]是不等式組[x，y≥0，x-y≥-1，x+y≤3]表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量[m=（1，1）]，[n=（2，1）]，若[OP=λm][+μn]（[λ，μ]為實(shí)數(shù)），則[2λ+μ]的最大值為 .

14. 記不等式組[x≥0x+3y≥43x+y≤4]，所表示的平面區(qū)域?yàn)閇D]，若直線[y=a（x+1）]與[D]有公共點(diǎn)，則[a]的取值范圍是 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）若變量[x，y]滿足約束條件[3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，]求[z=x+2y]的最小值.

16. （10分）設(shè)不等式組[x≥1，x-2y+3≥0，y≥x]所表示的平面區(qū)域是[Ω1]，平面區(qū)域是[Ω2]與[Ω1]關(guān)于直線[3x-4y-9=0]對(duì)稱，對(duì)于[Ω1]中的任意一點(diǎn)[A]與[Ω2]中的任意一點(diǎn)[B]， [|AB|]的最小值.

第4篇：線性規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；題型變化；高考復(fù)習(xí)

線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)新課程改革后的新增內(nèi)容，因其集形于一身，又能把眾多知識(shí)交叉在一起，已成為高考的必考題，每年占4分到5分，選擇、填空居多?？v觀從2004年以來(lái)的浙江高考試題，它出題的形式越來(lái)越靈活，高考題型變化模式也很多，今天就線性規(guī)劃問(wèn)題類型變化及策略分4個(gè)演變階段進(jìn)行歸納總結(jié)。

一、第一階段：考基本簡(jiǎn)單題：

例1.①畫出表示的平面區(qū)域；（即圖1）

          

  ②若（2，1）與（2，0）在的兩側(cè)，求a的范圍。   圖1

析：  

變題：在同側(cè)呢？

③試畫出不等式組所表示的平面區(qū)域                          圖2

④、如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,2),B(-2,3),C（2,6），試寫出（包括邊界）所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式組。

注：一些方法規(guī)律：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：

①直線定邊界，測(cè)試點(diǎn)定區(qū)域。

②注意不等式中不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線。測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過(guò)原點(diǎn)，測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn)。也可選（1，0）、（0，1）等。

③應(yīng)學(xué)會(huì)逆向使用。

例2、（2009 年浙理改編）已知滿足

①求的最大值 ②求的最小值 ③求的最大值

師生分析：1、概念先弄清：有線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等概念；

2.第一小題為直線的截距型，

步驟：①先畫出可行域（作圖必須要精確）

方法一：②畫出直線，并平移直線至C時(shí)Z取到最大值；

③求出最優(yōu)解C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到Z的最大值；

方法二：這類問(wèn)題往往在端點(diǎn)出能取得最優(yōu)解，所以只要代入A、B、C端點(diǎn)，找到最大值即可，

解這類題型，注意Z與截距符號(hào)是否一致，（例）

此時(shí)Z最大，反而直線截距的是最小值。

變題：①、如求的最大值。 ②、如求的最大值

3.第二小題為斜率型，看成（x,y）與（-1，-1）的斜率范圍。

這樣的題目一般是先找角的變化情況，利用圖象，從而得到斜率的范圍。

4.第三小題為距離型，看成（x,y）與（-1，-1）的距離的平方。

注意點(diǎn)：與的區(qū)別

變題：的最小值。

5.有時(shí)最優(yōu)解沒(méi)有或不止一個(gè)。

6.有一個(gè)題型：求整數(shù)解，

例3、 （2011年浙理）若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，若x,y為整數(shù)，則的最小值為（  ）  A、 14     B、16     C、17     D、19

規(guī)律方法：要求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準(zhǔn)確的可行域，令目標(biāo)函數(shù)等于0，將其過(guò)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直線平行移動(dòng)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)便是要找的最優(yōu)解。

特別提醒：解線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能的精確，另外也要明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是什么，是解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵。

以上為線性規(guī)劃最基本的題型。

二、第二階段：考以實(shí)際生活為背景的線性規(guī)劃

例2、（2012年世紀(jì)金榜P112）某企業(yè)生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用原料3噸，B原料2噸；銷售每噸甲產(chǎn)品可獲利3萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲利5萬(wàn)元，。那么該企業(yè)可獲得的最大利潤(rùn)是（  ）

（A）12萬(wàn)元                   （B）20萬(wàn)元

（C）25萬(wàn)元                    (D)27萬(wàn)元

析:設(shè)乙為x噸，甲為y噸

   求的最大值。

接下來(lái)就是第一階段的解法。

2.在解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，審題是關(guān)鍵

規(guī)律方法：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，需要通過(guò)審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，有時(shí)先列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，再按如下步驟完成：

（1） 作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域；

（2） 平移——畫出目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過(guò)原點(diǎn)的那一條直線L,并將直線L平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的位置；

（3） 求值——解方程組求出M點(diǎn)坐標(biāo)（即最優(yōu)解），代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值。

第三階段：含有參數(shù)的線性規(guī)劃

（一）線性約束條件不定型

例4、（廣東惠州10屆三模）已知x、y滿足（k為常數(shù)）。若的最大值為8，求k。

析：此題是斜率定、截距在動(dòng)問(wèn)題：方法就是將直線進(jìn)行“平移”。

方法一：k>0,觀察為不可能；k<0,向上移，可形成可行域

① 觀察發(fā)現(xiàn)為最優(yōu)解，

代入

方法二：B點(diǎn)為交點(diǎn)，既先求出交點(diǎn)。再求出k即可。

總之，這類題都是先找到最優(yōu)解，再進(jìn)行解題。

例5、（2010年浙理數(shù)）

  若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=（  ）

A、 -2   B、  -1  C、  1   D、2

析：此題是過(guò)定點(diǎn)（-1,0），斜率動(dòng)問(wèn)題，方法就是直線進(jìn)行將“旋轉(zhuǎn)”。接下來(lái)方法如上

（二）、目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)型

例6、（09年安徽理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則k的值為（   ）   A、  B、    C、  D、

例7、（09年陜西卷）若x、y滿足且，僅在點(diǎn)（1,0）處取得最小值，則a的取值范圍是（  ）   A、（-1,2）   B、（-4,2）    C、（-4,0）     D、（-2,4）

方法總結(jié) ：不管是將直線進(jìn)行平移或是進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最終是先找到最優(yōu)解在哪是關(guān)鍵。

（三）線性條件含參數(shù)，且目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)

例8、設(shè)m﹥1，在x、y滿足下，目標(biāo)函數(shù)的最大值小于2，則m的取值范圍是（A  ）     A、   B、    C、  D、

小小結(jié)：線性規(guī)劃含參問(wèn)題，從各個(gè)角度可以分為：

線性約束條件

目標(biāo)函數(shù)

定

定

定

不定

不定

定

不定0

不定

各個(gè)題型都鞏固一下，方法要學(xué)會(huì)歸納。

四、第四階段：綜合性強(qiáng)、或隱藏性比較深的線性規(guī)劃

例9、（2012年臺(tái)州四校聯(lián)考理改編）實(shí)系數(shù)方程的一根在（0,1）內(nèi)，另一根在（1,2）內(nèi)。求的最值。

析：①根的分布與線性規(guī)劃的綜合題

   ②因?yàn)椋?nbsp;      求的最值。

例10、（2011年浙江臺(tái)州一模卷）如圖，在梯形ABCD中,點(diǎn)P在陰影區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍。

方法一：

運(yùn)用投影思想，在D點(diǎn)最大，在B、C最小。

方法二：如圖建系

寫出直線BC、BD、DC方程  ,從而寫出線性約束條件

設(shè)P（x,y） ,寫出線性目標(biāo)函數(shù)Z=即可

例11、（2011年臺(tái)州四校聯(lián)考）在直角梯形ABCD中，  ,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)

則的取值范圍是（   ）

分析：同例10，建系，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題

第5篇：線性規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；教學(xué)模式；實(shí)效性

本文為2013年河北省人力資源與社會(huì)保障廳課題（編號(hào)：JRS-2013-2017）；2012年度河北省社會(huì)科學(xué)發(fā)展研究課題（編號(hào)：201204001）階段性成果

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2014年3月13日

線性規(guī)劃是最優(yōu)化問(wèn)題的重要領(lǐng)域之一，很多運(yùn)籌學(xué)的實(shí)際問(wèn)題都可以用線性規(guī)劃的形式來(lái)表述。線性規(guī)劃的理論與方法起源于20世紀(jì)初、發(fā)展于20世紀(jì)中，完善于二戰(zhàn)后期、成熟于冷戰(zhàn)時(shí)期。線性規(guī)劃的理論與方法構(gòu)成了軍事運(yùn)籌學(xué)的基礎(chǔ)，不僅在軍事領(lǐng)域獲得了巨大成功，同時(shí)也在經(jīng)濟(jì)決策、科學(xué)研究以及其他領(lǐng)域都獲得了普遍應(yīng)用。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)理解解決線性規(guī)劃問(wèn)題的工作步驟及其特點(diǎn)，掌握建立、分析和解決生產(chǎn)、生活及科學(xué)研究和管理工作中各種問(wèn)題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的基本理論、基本方法和技術(shù)。特別要關(guān)注這些模型在解決物流及供應(yīng)鏈管理系統(tǒng)、信息管理系統(tǒng)、交通運(yùn)輸系統(tǒng)、金融工程和經(jīng)濟(jì)管理問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用。

線性規(guī)劃的傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中，大部分情況是全程板書進(jìn)行詳細(xì)講解。因?yàn)榫€性規(guī)劃這門課的獨(dú)特性，教師在講解線性規(guī)劃主體知識(shí)點(diǎn)之初就應(yīng)該把線性代數(shù)中的矩陣的逆，矩陣的初等行變換，線性方程組求解等等知識(shí)點(diǎn)重新幫助學(xué)生們貫穿起來(lái)，在保證這些知識(shí)點(diǎn)深刻理解的前提下進(jìn)行單純形法的講解自然就水到渠成。鑒于課時(shí)的有限性，講解的任務(wù)量會(huì)非常重。然而，最關(guān)鍵的問(wèn)題還不是任務(wù)量重，而是如果按照我們這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式會(huì)使得很多學(xué)生聽(tīng)課時(shí)覺(jué)得云里霧里，抓不到重點(diǎn)。線性規(guī)劃具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的最終目的是會(huì)用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中就必須充分體現(xiàn)出這一鮮明的特點(diǎn)?？偟恼f(shuō)來(lái)，在線性規(guī)劃的傳統(tǒng)教學(xué)中存在很多不足之處，而這些不足之處往往使得教學(xué)效果事倍功半。

在線性規(guī)劃課程的具體教學(xué)中往往會(huì)碰到如下問(wèn)題：一方面是講解知識(shí)時(shí)如何使學(xué)生把比較難的知識(shí)點(diǎn)理解掌握；另一方面是該科目的實(shí)效性如何提高。這是讓高校任課教師非常頭疼的，怎么才能在時(shí)間短、任務(wù)重的情況下，讓學(xué)生能更好地理解掌握并且熟練應(yīng)用本門課所講的基本技能呢？下面就筆者的一些教學(xué)實(shí)踐，淺談一下對(duì)這門課程教學(xué)改革的一點(diǎn)體會(huì)。

一、了解基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度，把握教學(xué)難易進(jìn)度

大部分高校對(duì)線性規(guī)劃的課程定位仍是純理論化的教學(xué)，盡管高校在資金投入、人員配置等方面已經(jīng)做了大量的工作，但由于種種原因使得該課程的實(shí)效性和功效性沒(méi)有完全發(fā)揮出來(lái)，而教學(xué)的目的不應(yīng)該僅僅是讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，更應(yīng)該是在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上能夠熟練應(yīng)用該知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題。

實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，很多時(shí)候多數(shù)學(xué)生是在對(duì)于線性代數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)掌握薄弱的情況下學(xué)習(xí)線性規(guī)劃，而線性代數(shù)對(duì)于線性規(guī)劃有不言而喻的重要作用，正是因?yàn)閷?duì)于線性代數(shù)的掌握不佳使得大部分學(xué)生不能真正地理解線性規(guī)劃的理論依據(jù)，故而很多學(xué)生反映上課講解的式子多而雜，記不住，顯然做題效果就比較差。所以，在講解線性規(guī)劃之前應(yīng)先對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況有詳盡的了解，對(duì)于他們的薄弱環(huán)節(jié)先要加以鞏固，加深他們對(duì)線性代數(shù)等內(nèi)容的理解，為講解后面線性規(guī)劃的核心內(nèi)容做好知識(shí)鋪墊。

二、運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式

目前，大多數(shù)線性規(guī)劃教學(xué)模式為全程板書或全程多媒體兩種。

對(duì)于基礎(chǔ)課來(lái)說(shuō)，按照教案平鋪直敘的講解是傳統(tǒng)課堂的授課方式，采用全程板書的教學(xué)模式來(lái)系統(tǒng)地進(jìn)行公式的推演和傳授巧妙的解題技巧，這樣的講解模式有其優(yōu)勢(shì)所在：學(xué)生對(duì)于知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程有更清晰的理解。不過(guò)也有其劣勢(shì)所在：全程板書會(huì)使學(xué)生們一開始就覺(jué)得這門課很高深、很難，覺(jué)得自己學(xué)不會(huì)，更不會(huì)去想如何才能在這門課中有所作為，使得學(xué)生把目標(biāo)定位在被動(dòng)學(xué)習(xí)的位置上；再加上有限的黑板容量，對(duì)于線性規(guī)劃來(lái)說(shuō)就更顯得渺小，因?yàn)榫€性規(guī)劃解題的運(yùn)算量相對(duì)較大，很多時(shí)候解一道題就至少要用3黑板才能結(jié)束，這樣不僅不利于把握教學(xué)時(shí)間，更是因?yàn)橐磸?fù)擦黑板使得學(xué)生想翻看前面的解題過(guò)程變也只能是奢望，這不僅不利于學(xué)生們抓住重點(diǎn)、把握難點(diǎn)，也不利于課堂總結(jié)，更無(wú)法在提高實(shí)踐能力上投入較多的時(shí)間。這樣的教學(xué)方式雖然使學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)模型的解法技巧，但是對(duì)于提高實(shí)踐能力卻收效甚微。

當(dāng)然，全程多媒體的講解模式也是有不足之處。雖然多媒體的應(yīng)用會(huì)使得講解效率大大提高，一堂課下來(lái)學(xué)生對(duì)于重點(diǎn)難點(diǎn)也會(huì)一目了然，但是全程多媒體教學(xué)會(huì)因?yàn)槎嗝襟w的過(guò)度使用使得大部分學(xué)生聽(tīng)得云里霧里的，甚至連筆記都沒(méi)辦法及時(shí)補(bǔ)全，更別提對(duì)知識(shí)理解的深度了，故全程多媒體教學(xué)對(duì)于知識(shí)的理解掌握不利。

線性規(guī)劃課程教學(xué)中應(yīng)該適當(dāng)采用多媒體技術(shù)，板書和多媒體結(jié)合起來(lái)使得各自優(yōu)勢(shì)能發(fā)揮出來(lái)，避免各自的劣勢(shì)，這其實(shí)對(duì)于教師的要求是比較高的，任課教師不僅對(duì)于課件的把握要相當(dāng)熟悉，還要對(duì)于板書的設(shè)計(jì)要精準(zhǔn)，不然反而起不到相應(yīng)的效果。在教學(xué)中一些難懂的抽象的內(nèi)容，教師使用傳統(tǒng)的教學(xué)工具不好表達(dá)清楚的，可以借助于計(jì)算機(jī)的圖形、演示等功能，使學(xué)生能更好地理解領(lǐng)悟，這樣我們?cè)诒ＷC教學(xué)質(zhì)量的前提下不僅提高了教學(xué)效率，更是為培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力提供了時(shí)間的保證。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件

線性規(guī)劃本身就是一門注重實(shí)踐的課程，在教學(xué)過(guò)程中不應(yīng)該重理論而輕實(shí)踐，理論的最終目標(biāo)就是實(shí)踐，通過(guò)實(shí)踐來(lái)理解掌握、鞏固加深知識(shí)，甚至改革創(chuàng)新出更好的算法也是極有可能的。在越來(lái)越提倡學(xué)以致用，增強(qiáng)實(shí)效性的當(dāng)今，教師不應(yīng)該埋頭于教材，而應(yīng)該以教材為踏板，把眼光放在生活實(shí)際中，使學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)這門課能真正地提高自己解決實(shí)際生活中問(wèn)題的能力。

對(duì)于提高課程的實(shí)效性來(lái)說(shuō)，可以適當(dāng)添加一些數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件的學(xué)習(xí)，如利用Lingo、Lindo和Matlab等工具軟件求解線性規(guī)劃問(wèn)題。在講解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，如何才能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到軟件在求解線性規(guī)劃問(wèn)題上的方便快捷，尤其是在實(shí)踐課上更應(yīng)該切實(shí)讓學(xué)生練習(xí)掌握相關(guān)軟件的應(yīng)用。比如，筆者在講解單純形法時(shí)，就通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明理論推導(dǎo)的結(jié)果和運(yùn)用Lingo軟件的運(yùn)行結(jié)果是一致的；在講解靈敏度分析時(shí)，通過(guò)Lingo軟件直接得到結(jié)果，不僅讓學(xué)生深切認(rèn)識(shí)到線性規(guī)劃知識(shí)的重要性，同時(shí)又使學(xué)生熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件，為他們以后的學(xué)以致用構(gòu)建好鋪墊。

四、針對(duì)不同的專業(yè)舉出不同的案例

目前，學(xué)生們對(duì)于可以直接應(yīng)用的知識(shí)表現(xiàn)出的熱情極高，而這對(duì)于數(shù)學(xué)中的大部分科目來(lái)說(shuō)是個(gè)很大的挑戰(zhàn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)的理論性和抽象性，很難找到特別切合學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際生活案例來(lái)呈現(xiàn)。然而，這個(gè)難題在線性規(guī)劃中幾乎不存在，因?yàn)檎n程本身就是來(lái)源于生活又反饋于生活的，在生活實(shí)際中諸如此類的例子很多。只要多注意總結(jié)，就能在不同專業(yè)的教學(xué)過(guò)程中，找到與其認(rèn)識(shí)的實(shí)際生活息息相關(guān)的例子。通過(guò)對(duì)這類實(shí)際問(wèn)題的解決，會(huì)讓學(xué)生更深切的體會(huì)到線性規(guī)劃知識(shí)的學(xué)以致用，提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。此外，各大高校的很多學(xué)生都有參加數(shù)學(xué)建模的興趣或經(jīng)歷，所以在實(shí)踐課上也可以通過(guò)練習(xí)歷年賽題的求解來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。特別是，對(duì)于金融、管理等專業(yè)的學(xué)生更要選用適合本專業(yè)的教材和應(yīng)用軟件，適時(shí)地通過(guò)線性規(guī)劃的知識(shí)來(lái)解決本專業(yè)的相關(guān)問(wèn)題，這樣會(huì)使得學(xué)生對(duì)金融、管理的專業(yè)知識(shí)掌握得更加深深刻。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]徐玖平，胡知能等.運(yùn)籌學(xué)（II類）[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[2]徐玖平，胡知能等.運(yùn)籌學(xué)（I類）[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3]廖宇波.Bland規(guī)則的一點(diǎn)改進(jìn)[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005.2.

第6篇：線性規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 單純形法 矩陣 求解

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究提出了更新更高的要求，而線性規(guī)劃問(wèn)題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用廣泛，所以對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解法要求也越來(lái)越高。教材中介紹的主要是用單純形法求解，由于線性約束條件是由線性方程組構(gòu)成的，而方程組的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為矩陣的形式。所以本文結(jié)合自己的學(xué)習(xí)，通過(guò)認(rèn)真分析查閱資料，整理出了用矩陣法求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟，以期對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的研究有一定的參考價(jià)值。

1、線性規(guī)劃問(wèn)題基本知識(shí)簡(jiǎn)介

1.1線形規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式

我們考慮下列線性規(guī)劃問(wèn)題：

約束條件為

其中，稱為決策變量，變量表示決策方案，滿足上述約束條件的決策變量的值稱為線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解，我們把使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大的可行解叫最優(yōu)解，這個(gè)最大的值我們稱為最優(yōu)值；叫價(jià)值系數(shù). 在解問(wèn)題時(shí)若要求線性規(guī)劃問(wèn)題的極小值，即

這時(shí)只需令

即可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

即可.

當(dāng)約束條件為不等式時(shí)，有兩種處理方式：當(dāng)約束條件為“ ”的不等式時(shí)，可在不等式的左端加入非負(fù)松弛變量，將不等式變?yōu)榈仁?；?dāng)約束條件為“”的不等式，可在不等式左端減去一個(gè)非負(fù)剩余變量（也可稱松弛變量），把不等式變?yōu)榈仁郊s束.

1.2線性規(guī)劃問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)形式的矩陣形式

線性規(guī)劃問(wèn)題用矩陣描述時(shí)為：

其中：

―約束條件的維系數(shù)矩陣，一般

―資源向量； ―價(jià)值向量； ―決策變量向量

為便于使用矩陣法求解上述線性規(guī)劃問(wèn)題，我們構(gòu)造如下初始矩陣

這里是一個(gè)由約束方程的增廣矩陣和價(jià)值系數(shù)組成的

矩陣，其中是約束條件的個(gè)數(shù)，是決策變量的個(gè)數(shù).而問(wèn)題中涉及的 表示的是矩陣秩，即 .問(wèn)題的基變量可由矩陣中列向量的最大線性無(wú)關(guān)組的選取方式來(lái)確定。

1.3線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解

(1)可行解

線性規(guī)劃問(wèn)題：

中，滿足約束條件的

稱為線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解，而使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最大的可行解稱為該問(wèn)題的最優(yōu)解.

(2)基

設(shè)是約束方程組的維系數(shù)矩陣，其秩為,是矩陣中階非奇子矩陣（）,則稱是線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基.這就是說(shuō)，矩陣是由個(gè)線性獨(dú)立的列向量組成,不失一般性，可設(shè)

稱為基向量，與基向量相應(yīng)的變量 為基變量，否則稱為非基變量. 為了進(jìn)一步討論線性規(guī)劃問(wèn)題的解，下面研究約束方程組(1-1) 的求解問(wèn)題.假設(shè)該方程組系數(shù)矩陣的秩為，因 ，故它有無(wú)窮多個(gè)解，假設(shè)前個(gè)變量的系數(shù)列向量是線性獨(dú)立的，這時(shí)(1-1)式可寫成

或

方程組(1-3)的一個(gè)基是

設(shè) 是對(duì)應(yīng)于這個(gè)基的基變量

現(xiàn)若令(1-3)式的非基變量 ，這時(shí)變量的個(gè)數(shù)等于線性方程的個(gè)數(shù).用高斯消去法求出一個(gè)解

該解的非零分量的數(shù)目不大于方程的個(gè)數(shù) ，稱為基解.由此可見(jiàn)，有一個(gè)基，就可以求出一個(gè)基解.

(3)基可行解

滿足非負(fù)條件，的基解，稱為基可行解.

(4)可行基

對(duì)應(yīng)于基可行解的基稱為可行基.

單純形法的基本思想是用迭代法從初始基可行解出發(fā)，判斷當(dāng)前基可行解是否為最優(yōu)解，如果是則求解結(jié)束，否則要進(jìn)行換基，即將一個(gè)非基變量變?yōu)橐粋€(gè)基變量（叫做入基），同時(shí)將一個(gè)基變量變?yōu)榉腔兞浚ń凶龀龌瑩Q基的原則是換入使目標(biāo)函數(shù)變化最大的,不斷重復(fù)上述過(guò)程找到問(wèn)題的最優(yōu)解為止.

1.4用矩陣法求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟

(1)確定初始基變量，求得初始基可行解.

將矩陣第一列中 ，得到新的矩陣.重復(fù)(2)-(5)直到終止.

2、應(yīng)用舉例

例1.某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品需要設(shè)備1臺(tái)時(shí)，原材料 4千克，生產(chǎn)單位產(chǎn)品需要設(shè)備2臺(tái)時(shí)，原材料 4千克，且該工廠共有設(shè)備8臺(tái)時(shí)，原材料 16千克，原材料12千克.該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利3元，問(wèn)應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠獲利最多？

解 設(shè)分別表示在計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品的產(chǎn)量，則該問(wèn)題可用數(shù)學(xué)模型表示為

第二步，比較價(jià)值系數(shù)，確定進(jìn)基變量.

因?yàn)閮r(jià)值系數(shù)的大小對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的改變有影響，價(jià)值系數(shù)大的可以加快目標(biāo)函數(shù)值的改變，故從所有價(jià)值系數(shù)中選擇絕對(duì)值最大的正數(shù)如，確定該數(shù)在矩陣中的位置，然后把該列代表的決策變量 作為一個(gè)新的基變量取代前一個(gè)基變量中的一個(gè)變量.在本題中由于2＜3，所以此題中價(jià)值系數(shù)最大的正數(shù)為，它在中占第二列，于是就把 作為一個(gè)新的基變量.

第三步，依據(jù)最小比值原理,找到出基變量，進(jìn)而求得基可行解.

將 所對(duì)的那一列的前三個(gè)正數(shù)分別去除最后列的對(duì)應(yīng)元素，選出所得商中最小的正值并確定出其在中所占的行數(shù)，于是把該行所代表的基變量作為出基變量.通過(guò)計(jì)算可知

那么其對(duì)應(yīng)的行所代表的基變量就作為出基變量被換出而成為非基變量.于是得到矩陣 如下：

將矩陣作一系列初等變換，將矩陣中第三行第二列處的值變?yōu)?，第二列的其他位置的值變?yōu)?，這樣得到矩陣

令代入約束條件就求得該可行基對(duì)應(yīng)的可行解

第四步，比較確定矩陣中的最后一行是否還有正數(shù)，有則重復(fù)二三步，直到最后一行所有元全為非正數(shù)為止.題中的最后一行中有正數(shù)=2，故重復(fù)上述二三步，因，且占中的第一行，故將作為新的基變量，作為非基變量，對(duì)作同的初等變換得到

從上面的例子我們可以看出，如果所給定的線性規(guī)劃問(wèn)題有現(xiàn)成的基，那么我們可以直接寫出初始單純形矩陣.如果所給定的線性規(guī)劃問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的基，則可通過(guò)引入人工變量的方法得到一個(gè)人造基，從而構(gòu)造一個(gè)輔助問(wèn)題.然后利用例一中使用的單純形法來(lái)求得輔助問(wèn)題的最優(yōu)解或判斷輔助問(wèn)題無(wú)最優(yōu)解.此時(shí)原問(wèn)題和輔助問(wèn)題的解的情況相同.如果原問(wèn)題有無(wú)最優(yōu)解無(wú)法判定，且輔助問(wèn)題的最優(yōu)解中已不含人工變量可以去掉輔助問(wèn)題的單純形表中對(duì)于原問(wèn)題來(lái)說(shuō)是多余的行及多余的列.如果輔助問(wèn)題的最優(yōu)基中含有人工變量，這時(shí)若人工變量所對(duì)應(yīng)的行中非人工變量的系數(shù)全為0，則可將此行去掉而使輔助問(wèn)題的最優(yōu)基中少一個(gè)人工變量.若人工變量所對(duì)應(yīng)的行中某一非人工變量的系數(shù)不為0，則以此出發(fā)對(duì)單純形表進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q進(jìn)行換基.目的是迫使人工變量離基，經(jīng)有限個(gè)步驟以后總可以使輔助問(wèn)題的最優(yōu)基中不再含有人工變量，從而得到原問(wèn)題的初始單純形表.以上所有的工作都可以用相應(yīng)的單純形矩陣代替單純形表而對(duì)單純形矩陣施行初等行變換達(dá)到預(yù)期的目的.

3、靈敏度分析

靈敏度分析也叫優(yōu)化后分析，是研究線性規(guī)劃模型某些參數(shù)或限制量的變化對(duì)最優(yōu)解的影響及其程度的分析過(guò)程.靈敏度分析的主要內(nèi)容包括研究目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)對(duì)最優(yōu)解的影響，約束方程右端系數(shù)發(fā)生變化時(shí)對(duì)最優(yōu)解的影響以及約束方程組系數(shù)陣發(fā)生變化時(shí)對(duì)最優(yōu)解的影響.針對(duì)上述情況，我們會(huì)作如下思考：如果上述問(wèn)題中涉及的系數(shù)有一個(gè)或幾個(gè)發(fā)生變化時(shí)，那么我們所求得的最優(yōu)解又回隨這些問(wèn)題的變化而發(fā)生變化嗎？或者說(shuō)它們會(huì)發(fā)生怎么樣的變化以及這些系數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)變化時(shí)不會(huì)影響原問(wèn)題的最優(yōu)解或者說(shuō)不會(huì)使問(wèn)題的最優(yōu)基發(fā)生變化呢？下面我將從資源數(shù)量變化和技術(shù)系數(shù)兩方面的變化來(lái)討論它們的變化對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解和最優(yōu)基的影響.

3.1資源數(shù)量變化的分析

3.2技術(shù)系數(shù)的變化

討論技術(shù)系數(shù)的變化，下面我們以具體例子來(lái)說(shuō)明

例4.分析在原計(jì)劃中是否應(yīng)該安排一種新產(chǎn)品.以例1為例，設(shè)該廠除了生產(chǎn)產(chǎn)品 外，現(xiàn)有一種新產(chǎn)品 ，已知生產(chǎn)產(chǎn)品每件需消耗原材料A,B各為6千克，3千克，使用設(shè)備2臺(tái)時(shí)，每件可獲利5元.問(wèn)改廠是否生產(chǎn)該產(chǎn)品和生產(chǎn)多少？

4、結(jié)束語(yǔ)

線性規(guī)劃的求解問(wèn)題在運(yùn)籌學(xué)中中是最重要的知識(shí)點(diǎn)，且是貫穿運(yùn)籌學(xué)各個(gè)章節(jié)的重要理論，在研究其他規(guī)劃方面有非常重要的作用.本文通過(guò)對(duì)線性規(guī)劃的矩陣求解法的描述加深了對(duì)單純形法實(shí)質(zhì)的理解，矩陣形式是表達(dá)最為簡(jiǎn)潔又便于理論推證的形式，單純形法的矩陣描述也為研究修正單純形法奠定了基礎(chǔ).靈敏度分析作為優(yōu)化后分析對(duì)于線性規(guī)劃的應(yīng)用是非常重要的，但在考慮系數(shù)變化時(shí)一般每次只考慮一個(gè)，當(dāng)多個(gè)系數(shù)同時(shí)變化時(shí)，就需要用參數(shù)線性規(guī)劃進(jìn)行處理，因此，可以把參數(shù)線性規(guī)劃看作是靈敏度分析的擴(kuò)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊民助．運(yùn)籌學(xué)[M]．西安：西安交通大學(xué)出版社，2000

[2]陶謙坎主編.運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用案例[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1993

第7篇：線性規(guī)劃范文

一、注意知識(shí)的交匯及變量間的轉(zhuǎn)變，找出約束條件

這類線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件是隱藏在其他知識(shí)背景下，同時(shí)約束條件中的變量不要總是認(rèn)為是x，y，也可以是其他變量，如a，b或m，n等.

例1（2011年重慶卷）設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2―kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為

A.―8B.8C.12D.13

解析該題的約束條件是隱藏在函數(shù)與方程背景下.方程mx2―kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）=mx2―kx+2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故滿足

m>0，

f（1）>0，

Δ=k2―8m>0 k2>8m，

m>0，

m―k+2>0.

將k看成函數(shù)值，m看成自變量，畫出可行域如圖1陰影部分所示.因?yàn)閙，k均為整數(shù)，結(jié)合可行域可知m=6，k=7時(shí)，m+k最小，最小值為13.

例2在平面區(qū)域D中任取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）=d的面積D的面積.在區(qū)間[―1，1]上任取兩值a，b使方程x2+ax+b=0有實(shí)根的概率為P，則

A.0

C.916

解析方程x2+ax+b=0有實(shí)根，則Δ≥0，即a2―4b≥0，依題意得到約束條件

―1

―1

a2―4b≥0.

作出可行域如圖2陰影部分所示.

設(shè)陰影部分的面積為S1，則

2

S總=4，

所以概率P的取值范圍12

即選B.

二、注意換元法，構(gòu)造新元形成新的約束條件

通過(guò)換元法，構(gòu)造出新元形成新的約束條件是這類問(wèn)題的關(guān)鍵，其他方法不奏效時(shí)可試一試.

例3若函數(shù)y=3sinx2+4cosx2的定義域?yàn)閇0，2π]，求此函數(shù)的值域.

解析令u=cosx2，y=sinx2，x2∈[0，π]，則點(diǎn)（u，v）在單位圓的上半圓上，原函數(shù)的值域即當(dāng)點(diǎn)（u，v）在單位圓的上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)y=3v+4u所對(duì)應(yīng)的直線l在v軸上的截距的取值范圍，如圖3.

由圖3經(jīng)過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)l與上半圓相切于點(diǎn)A時(shí)，ymax=5；當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，ymin=―4.所以所求函數(shù)值域?yàn)閇―4，5].

三、注意發(fā)散思維，找出或利用約束條件，巧用線性規(guī)劃求解

教學(xué)中要多培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.很多時(shí)候換位思考問(wèn)題往往能化繁為簡(jiǎn).下面兩題用線性規(guī)劃思想來(lái)解也是一條捷徑.

例4設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析由已知a1≥6，

a11>0，

S14≤77，

化為a1≥6，

a1+10d>0，

2a1+13d≤11.

將d看成函數(shù)值，a1看成自變量，畫出可行域如圖4陰影部分所示.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求a1及公差d的整數(shù)解.

由圖可得d=―1，a1=11或12.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=12―n或an=13―n.

例5若直線l：mx+y+2=0與點(diǎn)A（―2，3），B（3，2）為端點(diǎn)的線段AB有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析直線l與線段AB有交點(diǎn)，等價(jià)于A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線上.由線性規(guī)劃知識(shí)，A、B點(diǎn)滿足約束條件

（―2m+3+2）（3m+2+2）≤0，

即（2m―5）（3m+4）≥0，

解得m≥52或m≤―43.

第8篇：線性規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：數(shù)形；教學(xué)；規(guī)劃；案例；應(yīng)用

一、請(qǐng)同學(xué)們畫出下列不等式表示的平面區(qū)域

1.①x+y-2≥0②x+y-2≤0

2.若將上述不等式中的等號(hào)去掉，結(jié)論如何

設(shè)計(jì)目的：

1.理解數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

2.通過(guò)圖像理解每個(gè)不等式所表示的區(qū)域的區(qū)別與聯(lián)系。

教學(xué)過(guò)程：首先讓學(xué)生在電腦上用幾何畫板畫直線x+y-2=0（無(wú)電腦的學(xué)?？勺寣W(xué)生在練習(xí)本上畫）。引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)一條直線將平面分為兩部分，每一部分的點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程所得到的不等式是一樣的，因此到底哪一部分表示x+y-2≥0，只需取一點(diǎn)驗(yàn)證就行，從而總結(jié)結(jié)論：畫二元一次不等式，Ax+By+C≥0（≤0）的平面區(qū)域常采用“直線定界，選點(diǎn)定域”的方法，不等式有等號(hào)時(shí)，直線畫成實(shí)線，無(wú)等號(hào)時(shí)，直線畫成虛線。

二、畫出下列不等式組3≤2x+y≤96≤x-y≤9 表示的平面區(qū)域

設(shè)計(jì)目的：借助圖像的直觀性，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，使學(xué)生清楚畫二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域要注意尋找各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。

教學(xué)過(guò)程：借助多媒體教學(xué)手段做出四條直線：2x+y=3，2x+y=9，x-y=6，x-y=9，分別找不等式所代表的平面區(qū)域取其交集，最后得到結(jié)論：該不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅巍?/p>

三、（2011新課標(biāo)高考）

若變量滿足約束條件3≤2x+y≤96≤x-y≤9 ，則z=x+2y的最小值是

設(shè)計(jì)目的：借助高考題，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想。

教學(xué)過(guò)程：

1.做出可行域即不等式組所表示的平面區(qū)域。

2.理解的幾何意義。

3.做出目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的特殊直線，并且將之平移，在可行域中找到最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

4.求出線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。

5.總結(jié)結(jié)論：線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界上取得。當(dāng)表示目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域的邊界平行時(shí)，其最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)。

四、求取值范圍

1.已知函數(shù)滿足不等式組x≥1y≥0x-y≥0，則■的取值范圍是

（ ）

A.[-■，1） B.[-1，1） C.（-1，1） D.[-■，1]

2.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組x+y-3≥0x-y+1≥0x≤2，求z=■的最值。

設(shè)計(jì)目的：近幾年高考有關(guān)線性規(guī)劃的考題中，有許多試題是結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)的綜合題，在作出可行域后，要充分利用代數(shù)式本身的幾何意義，解決其最值問(wèn)題。

教學(xué)過(guò)程：

1.引導(dǎo)學(xué)生理解■所表示的幾何意義，即動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-1，1）連線的斜率，而■的幾何意義即動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（0，0）的距離。

2.引伸：

若1題改為求■最值又如何處理呢？

運(yùn)用配湊手段： ■=■=1+■實(shí)質(zhì)上仍然研究斜率的變化。

若2題改為求最值又該如何解呢？

通過(guò)以上教學(xué)片斷可使學(xué)生清楚利用線性規(guī)劃的知識(shí)理解高中數(shù)學(xué)中非線性函數(shù)的最值問(wèn)題，主要是利用其代數(shù)式的幾何意義運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想加以解決。利用線性或非線性函數(shù)的幾何意義，通過(guò)作圖解決最值問(wèn)題既形象又直觀，既可提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，又使學(xué)生掌握了知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

第9篇：線性規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 土地管理 土地利用 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O29 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2015）06-0260-01

對(duì)土地進(jìn)行規(guī)劃和管理是城市對(duì)區(qū)域土地進(jìn)行總體上規(guī)劃、引導(dǎo)和管理的有效手段，實(shí)踐證明，在土地管理過(guò)程中對(duì)土地利用總體規(guī)劃是土地用途管理中，最有效的方法之一。為了能夠合理利用土地資源，在對(duì)土地進(jìn)行管理過(guò)程中，采用有效的規(guī)劃方案就顯得十分重要了。在現(xiàn)有的對(duì)土地利用總體規(guī)劃的基礎(chǔ)上，線性規(guī)劃方法十分符合那些人地復(fù)合系統(tǒng)中用地類型結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和決策。這種規(guī)劃方法的基本思路是從區(qū)域內(nèi)土地利用的綜合效益中提煉出一個(gè)土地資源特點(diǎn)和社會(huì)發(fā)展要求單一的效益，而將其作為其他效益的約束條件進(jìn)行分析和考慮。本次研究主要分析了線性規(guī)劃地對(duì)土地管理和利用的適用性，并建立了相應(yīng)的土地利用和管理模型結(jié)構(gòu)。

一、土地管理中總體規(guī)劃系統(tǒng)的定位分析

對(duì)土地進(jìn)行總體的利用和管理是在人類活動(dòng)的持續(xù)或者周期性干預(yù)之下進(jìn)行的土地資源的再生產(chǎn)等一系列復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的過(guò)程。從系統(tǒng)理論角度出發(fā)，對(duì)土地進(jìn)行管理和利用的本質(zhì)就是在人地關(guān)系系統(tǒng)中由資源、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)以及社會(huì)環(huán)境因素相互作用、相互影響而形成的一種具有生態(tài)性的經(jīng)濟(jì)生態(tài)系統(tǒng)，以及土地在生態(tài)系統(tǒng)中如何持續(xù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。對(duì)土地進(jìn)行管理和利用是一個(gè)多層次和多復(fù)雜結(jié)構(gòu)的生態(tài)系統(tǒng)，土地在管理過(guò)程中其及結(jié)構(gòu)與相應(yīng)的系統(tǒng)功能有著十分密切的聯(lián)系。這兩者之間存在著明顯的結(jié)構(gòu)互聯(lián)性，結(jié)構(gòu)決定了功能能否得以實(shí)現(xiàn)，而功能的體現(xiàn)是合理利用土地資源的有效方式，能夠有效的產(chǎn)生結(jié)構(gòu)效應(yīng)，從而有效的保證土地系統(tǒng)管理結(jié)構(gòu)的提升和相應(yīng)功能的增強(qiáng)，提高土地利用的效率。

二、土地總體規(guī)劃的原則分析

1.目的性原則

在對(duì)土地進(jìn)行管理過(guò)程中，土地利用的優(yōu)化目標(biāo)最終通過(guò)對(duì)土地管理的經(jīng)濟(jì)效益、社會(huì)效益以及環(huán)境效益三個(gè)方面全面體現(xiàn)出來(lái)。但是這個(gè)目標(biāo)并不是目標(biāo)間均衡或者活動(dòng)目標(biāo)中的最大化，是一種主導(dǎo)向目標(biāo)輔助其他目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)。

2.持續(xù)協(xié)調(diào)的原則

在全新修訂的《土地法》中，強(qiáng)調(diào)了土地和自然、社會(huì)以及經(jīng)濟(jì)發(fā)展的可持續(xù)性，并對(duì)全新的土地管理和規(guī)劃提出了全新的要求，要求將工作的重點(diǎn)全面突出區(qū)域土地持續(xù)利用的思想方面。采用科學(xué)思想、對(duì)土地、產(chǎn)業(yè)以及部門之間的資源分配進(jìn)行協(xié)調(diào)發(fā)展，從而達(dá)到資源合理分配的目的，繼而使區(qū)域土地供求關(guān)系持續(xù)平衡，確保土地生產(chǎn)力的持續(xù)和穩(wěn)定發(fā)展。

3.適宜的原則

土地管理的結(jié)構(gòu)必須符合本地區(qū)土地資源的適宜性和限制性原則，將土地的自然屬性連同土地管理的要求進(jìn)行不斷的匹配，最終做到人盡其才，各盡其用的目的，只有這樣才能算得上對(duì)土地資源進(jìn)行合理的優(yōu)化配置。

4.動(dòng)態(tài)漸進(jìn)的原則

土地的管理和規(guī)劃是一個(gè)動(dòng)態(tài)和漸進(jìn)的社會(huì)發(fā)展過(guò)程。在進(jìn)行土地管理過(guò)程中，任何一個(gè)土地總體管理和規(guī)劃方案的提出首先應(yīng)該針對(duì)當(dāng)期土地管理過(guò)程中存在的問(wèn)題，土地在管理過(guò)程中，其總體的規(guī)劃和利用方案只能是愿望滿足程度的接近，并不能達(dá)到這個(gè)目標(biāo)。在對(duì)土地進(jìn)行管理過(guò)程中，動(dòng)態(tài)漸進(jìn)的原則就是要求我們?cè)趯?shí)施土地利用總體規(guī)劃過(guò)程中，根據(jù)當(dāng)前土地管理過(guò)程中存在的問(wèn)題進(jìn)行分析，并對(duì)今后管理發(fā)展過(guò)程中的趨勢(shì)不斷地對(duì)總體的規(guī)劃進(jìn)行修訂，從而保證管理不斷向著目標(biāo)前進(jìn)。

三、線性規(guī)劃在土地管理中的應(yīng)用分析

1.線性規(guī)劃方法簡(jiǎn)介

線性規(guī)劃是從區(qū)域土地利用的綜合效益中提煉出來(lái)的一種全新的能夠全面體現(xiàn)本地土地資源特色的和社會(huì)發(fā)展需求的單一效益方式，并將其他的效益作為一種約束條件其考，在對(duì)土地進(jìn)行線性規(guī)劃過(guò)程中其思路為：首先，在規(guī)劃過(guò)程中，根據(jù)區(qū)域土地資源的特點(diǎn)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需求，從整個(gè)區(qū)域中的經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以及環(huán)境等三個(gè)效益中選取一個(gè)沒(méi)內(nèi)容作為規(guī)劃的主導(dǎo)性目標(biāo)；其次，確定好目標(biāo)之后，制定若干個(gè)不同類型的土地利用類型，并對(duì)各種土地利用類型的效益權(quán)重進(jìn)行確定，然后將這些權(quán)重構(gòu)成最終的權(quán)重集；再次，構(gòu)建相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)S（x）=KW1xi。其中在函數(shù)中S（x）就是目標(biāo)函數(shù)，而K表示的各地效益的總體系數(shù)，其是一個(gè)常數(shù)。而W1主要表示的各類土地相對(duì)權(quán)重的數(shù)值，xi表示分類土地的面積大小。第四，根據(jù)耕地的效益對(duì)每公頃耕地的產(chǎn)出效益進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)，最終確定常數(shù)K的數(shù)值大??；第五，在規(guī)劃過(guò)程中，選取區(qū)域內(nèi)土地的面積、規(guī)劃目標(biāo)年耕地保有面積、規(guī)劃期內(nèi)建設(shè)需要用地的面積、園林施工建設(shè)需要的土地面積，退耕還林增加林地的面積，以及區(qū)域內(nèi)適合農(nóng)業(yè)發(fā)展，林業(yè)發(fā)展以及畜牧發(fā)展所需要的土地面積等幾種，作為約束條件；最后，通過(guò)上述的函數(shù)列出等式和不等式組，運(yùn)算求解。最終就能夠得到土地線性規(guī)劃最佳的面積。

2.線性規(guī)劃在土地管理中的要求

2.1主導(dǎo)性目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)

線性規(guī)劃最大的特點(diǎn)就是在規(guī)劃過(guò)程中能夠選取唯一的目標(biāo)作為規(guī)劃的主導(dǎo)目標(biāo)，而這一個(gè)目標(biāo)還能夠全面體現(xiàn)出本地區(qū)土地資源的特點(diǎn)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的本質(zhì)需求。當(dāng)這個(gè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)之后就能夠保證土地資源效益利用的最大化，這種規(guī)劃方式就能夠有效的避免在規(guī)劃過(guò)程中對(duì)多種效益的進(jìn)行復(fù)雜的操作，整個(gè)規(guī)劃方式也將更加簡(jiǎn)單易行。同時(shí)，在規(guī)劃過(guò)程中將其他的條件作為限制條件，又不會(huì)導(dǎo)致對(duì)其他客觀條件忽略的現(xiàn)象，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)土地總體規(guī)劃的實(shí)現(xiàn)。

2.2可持續(xù)利用的實(shí)現(xiàn)

采用線性規(guī)劃的方法通過(guò)選取區(qū)域內(nèi)土地的面積、規(guī)劃目標(biāo)年耕地抱有面積、規(guī)劃期內(nèi)建設(shè)需要用地的面積等具有嚴(yán)格意義上的數(shù)據(jù)作為約束條件，其結(jié)果就是限制了對(duì)某些土地利用類型的利用程度，避免規(guī)劃的不協(xié)調(diào)和不整體，實(shí)現(xiàn)了土地資源在各個(gè)領(lǐng)域的優(yōu)化配置。在規(guī)劃過(guò)程中因?yàn)楦鱾€(gè)階段規(guī)劃的目標(biāo)和效益系數(shù)不同，因此，實(shí)現(xiàn)了各類資源在時(shí)間和空間上的合理分配。這對(duì)確保資源有效利用和經(jīng)濟(jì)社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展有著十分重要的作用和實(shí)踐意義。

2.3修編簡(jiǎn)便易行

對(duì)于一個(gè)土地規(guī)劃的總體方案，其能否更好的適應(yīng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的變化，動(dòng)態(tài)化的對(duì)歸還目標(biāo)進(jìn)行改善，其關(guān)鍵點(diǎn)就在修編是否方便，在規(guī)劃過(guò)程中，線性規(guī)劃能夠很好的解決修編不便的特點(diǎn)，當(dāng)規(guī)劃中各種用地類型的產(chǎn)出效益發(fā)生了改變之后，只需要對(duì)常數(shù)系數(shù)K以及用地的效益權(quán)重系數(shù)進(jìn)行修正即可。在規(guī)劃過(guò)程中即使總體的形式都發(fā)生了改變之后，也可以通過(guò)重新對(duì)規(guī)劃目標(biāo)進(jìn)行劃分和調(diào)整制定全新的規(guī)劃方案。

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