集合的含義與表示精選(九篇)

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第1篇：集合的含義與表示范文

一、遺忘空集和本身

例1.滿足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的個(gè)數(shù)有()。

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè) (D)4個(gè)

錯(cuò)解：由已知，M?哿{0，2}，用列舉法得M為{0}，{2}，{0，2}，故選（C）。

剖析：忽視了M=／，故應(yīng)選（D）。

點(diǎn)評：在集合部分，空集是一個(gè)特殊的集合，其定義為不含任何元素的集合，它的具體表現(xiàn)形式很多，可能是方程（組）無解，也可能是不等式（組）無解，或者為其他完全不存在的集合對象。課本上明確指出了它的很多性質(zhì)，如（1）／?哿A，其中A為任一集合，當(dāng)A非空時(shí)／?芴A；（2）／I A=／，

次考試，筆者都發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤率很高。

二、忽視集合中元素的互異性

例5.設(shè)A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠／，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：|a|≠-1，由已知A∩B≠／|a|=aa≥0。

剖析：當(dāng)a=1時(shí)，B={1，1}和集合中元素的互異性發(fā)生矛盾，所以a的范圍應(yīng)為{a|a≥0且a≠1}，故本題應(yīng)考慮|a|≠1這一隱藏條件。

剖析：當(dāng)m=1時(shí)，A中有元素1重復(fù)，和互異性矛盾，應(yīng)舍去，m=-1。

剖析：本題C的值出現(xiàn)了增解，因?yàn)楫?dāng)C=1時(shí)，集合B出現(xiàn)了相同的元素，和互異性矛盾，故應(yīng)舍去，C=- 。

點(diǎn)評：集合中的元素有三大性質(zhì)：⑴確定性、⑵互異性、⑶無序性，其中的互異性在解題時(shí)最易被忽視，所以在已知兩個(gè)集合滿足某些條件，確定某些字母時(shí)要注意將所求得的結(jié)果代入檢驗(yàn)集合中有無重復(fù)元素。

三、不能正確理解集合中元素的形式和真正含義

例7.下列哪個(gè)集合不同于另外三個(gè)集合（ ）。

錯(cuò)解：筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生大部分選（A）、（B）或（D）。

剖析：事實(shí)上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）則表示的以“x=1”這個(gè)表達(dá)式為元素的集合，應(yīng)選（C）。

分析：上述五小題出錯(cuò)率都很高，應(yīng)分別選（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了這些集合中元素的表示形式及真正含義，它們有時(shí)表示定義域，有時(shí)為值域，有時(shí)表示點(diǎn)集，只有認(rèn)真審題，了解元素的真正含義，才能立于不敗之地。

點(diǎn)評：集合有多種表示方法，如列舉法，描述法，圖示法等。描述法{x|x具有性質(zhì)p}用得最多，我們稱之為代表元素描述法，它被廣泛應(yīng)用于方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等的表示，學(xué)生往往只留意表示方法中豎線右邊的內(nèi)容，而忽視其左邊的內(nèi)容，造成對集合中元素的真正含義模糊不清，解題時(shí)屢屢犯錯(cuò)，常見錯(cuò)誤有{x＞2}=

四、對“／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符號不能正確識記

點(diǎn)評：本題錯(cuò)誤率很高，正確答案為（B），只有關(guān)系式②是正確的，“∈”表示集合和元素之間的關(guān)系，“?哿”表示集合與集合之間的關(guān)系，值得注意的是一個(gè)集合可以一個(gè)元素的形式出現(xiàn)在另一個(gè)集合中，此時(shí)它們即為元素和集合之間的關(guān)系，如②和③，對⑤來說，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我們還應(yīng)注意符號“?芴”不包括相等這種情況，因此①當(dāng)A=／時(shí)出現(xiàn)了問題。

例10.若A、B、C為三個(gè)集合，A∪B=B∩C，則一定有（ ）。

（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=／

錯(cuò)解：筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生選（A）、（B）、（C）或（D）均有。

剖析：學(xué)生不能正確理解集合中符號“∩，∪，?哿，∈”的含義。方法一：利用定義轉(zhuǎn)化抽象的符號語言，設(shè)任意元素x∈A或x∈B，A∪B=B∩C x∈B且x∈C，A?哿C，選（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等價(jià)的圖形語言轉(zhuǎn)化抽象的符號語言。

五、區(qū)間端點(diǎn)取舍模糊不清

（1）若A?芴B，求a的取值范圍；

（2）若A∩B=B，求a的取值范圍；

（3）若A∩B為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值。

分析：在考試中發(fā)現(xiàn)學(xué)生答案較多，如在解（2）時(shí)，至少會出現(xiàn)1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四種答案，（1）和（3）亦存在類似問題，我們歸納起來發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤的共同特征是區(qū)間端點(diǎn)問題。解答這類問題的方法是借助數(shù)軸求解，首先要特別注意已知集合是否包括區(qū)間的端點(diǎn)，如本題集合B改為B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都發(fā)生變化，本題正確答案依次為（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，筆者據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為對區(qū)間端點(diǎn)如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得區(qū)間端點(diǎn)是否滿足題意。

例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。

（1）若A∩B≠／，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若A∩B≠／，且A∩B≠A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：本題所揭示問題和上題類似，讀者不妨一試，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，將本題中集合A改為A={ x|-2＜x＜4}，答案有何變化？集合B改為B={x|x≥a}，答案又如何？

總之，集合的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位十分重要，且應(yīng)用非常廣泛，被高考列入必考內(nèi)容。我們應(yīng)高度重視，對其概念能夠透徹理解，減少考試中的不必要的失分。

第2篇：集合的含義與表示范文

一、說教材

集合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想。從學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其實(shí)就已經(jīng)在運(yùn)用集合的思想了，例如：把1個(gè)人、2朵花、3支鉛筆等用一條封閉的曲線圈起來表示。又如，學(xué)生學(xué)習(xí)過的分類思想和方法實(shí)際上就是集合理論的基礎(chǔ)。但是，學(xué)生只是對集合有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識基礎(chǔ)，但還沒有抽象成集合的思想，以前所接觸到的也只是單獨(dú)的一個(gè)個(gè)集合圖，而本節(jié)課所要用到的含有重復(fù)部分的集合圖，學(xué)生并沒有接觸過。

教材例1編排的意圖是借助學(xué)生熟悉的題材，通過統(tǒng)計(jì)表的方式列出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的學(xué)生名單，而總?cè)藬?shù)并不是這兩個(gè)小組的人數(shù)之和，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)，教材利用直觀圖（即韋恩圖）把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀地表示出來，從而滲透集合的有關(guān)思想，幫助學(xué)生找到解決問題的辦法。當(dāng)然，針對三年級學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，思維力度較強(qiáng)，有一定的挑戰(zhàn)性。因此教材只是讓學(xué)生通過生活中容易理解的題材去初步體會集合思想，為后繼學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，學(xué)生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了。

基于以上思考，我設(shè)定以下教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：經(jīng)歷韋恩圖的產(chǎn)生過程，初步體會集合思想，理解“韋恩圖”中各部分表示的意義，并能用數(shù)學(xué)語言表述，會利用集合思想解決簡單的實(shí)際問題。

過程與方法：在觀察、猜測、操作、比較、交流等數(shù)學(xué)活動中體會集合思想，會借助集合思想解決簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生用不同的方法解決問題的意識。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：利用生活事例讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，進(jìn)一步樹立學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識。

根據(jù)學(xué)情分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：理解“韋恩圖”中各部分表示的含義，并能用數(shù)學(xué)語言表述，會利用集合思想解決簡單的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)是：對重復(fù)部分的理解。

評析：數(shù)學(xué)廣角是人教版教材中的一大亮點(diǎn)。教師在教學(xué)數(shù)學(xué)廣角“重疊問題”時(shí)，善于根據(jù)教材和編者意圖，著力讓學(xué)生真正體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想方法――“集合”，并有具體的活動目標(biāo)、重點(diǎn)。

二、說教法與學(xué)法

本課教學(xué)我采取“先學(xué)后教，以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)”的教學(xué)策略，讓學(xué)生充分自學(xué)、嘗試、探究、交流、展示，讓他們在猜一猜、說一說、畫一畫、算一算等一系列活動來理解重疊的含義，并能用學(xué)到的知識解決生活中的問題。

評析：教師在教法、學(xué)法上，將數(shù)學(xué)教學(xué)活動建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)上，沒有讓學(xué)習(xí)活動單純模仿與記憶，而是讓動手實(shí)踐、自主探索、合作交流，以生為本，讓課堂動態(tài)生成。

三、說教學(xué)過程

為了更好地突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，達(dá)到已定教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)了以下四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，初步感悟。

“施教之功，貴在引路，妙在開竅?！币_啟學(xué)生通竅之門，就要讓學(xué)生先學(xué)，然后依據(jù)先學(xué)中暴露出來的問題實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教。

首先，我根據(jù)即將到來的“六一”兒童節(jié)創(chuàng)設(shè)問題情境出示一份通知，讓學(xué)生收集了解信息。然后提問：“根據(jù)要求，每個(gè)班一共要選多少人參加這兩項(xiàng)比賽？”絕大多數(shù)學(xué)生會根據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為需要17人。這時(shí)，教師反問“一定是17人嗎？”引導(dǎo)學(xué)生深入思考其他可能性，教師順勢出示參賽名單。隨著參賽名單實(shí)時(shí)呈現(xiàn)，學(xué)生的腦海里會躍出一個(gè)大大的問號――過去求總數(shù)就是直接把各部分的數(shù)量加起來的呀，怎么在這里行不通了呢？通過仔細(xì)觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)之前脫口而出的答案錯(cuò)誤了，因?yàn)椤坝兄貜?fù)參加項(xiàng)目的”，從而自然地引出本節(jié)課的課題“重疊問題”。

評析：學(xué)生是在思維活動中學(xué)會思維的。通過學(xué)生自學(xué)與嘗試，暴露的問題是：過去用部分?jǐn)?shù)相加就能求出總數(shù)的方法解決不了今天的新問題。問題激起學(xué)生強(qiáng)烈認(rèn)知沖突，研究“重疊問題”變成學(xué)生源自內(nèi)心的學(xué)習(xí)需求。

第二環(huán)節(jié)：合作探究，逐步領(lǐng)悟。

本環(huán)節(jié)中，我大膽放手，適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生合作交流，將時(shí)間和空間交給學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都參與到活動中來。本環(huán)節(jié)我設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)教學(xué)活動。

1.提出問題，明確要求

首先我讓學(xué)生繼續(xù)觀察表格：既參加書法又參加繪畫的是哪幾人？只參加書法比賽的是哪幾人？只參加繪畫比賽的是哪幾人？引導(dǎo)學(xué)生思考：這些信息，可不可以用圖表示出來？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造，自主構(gòu)建韋恩圖的雛形。

2.獨(dú)立探究，自主實(shí)踐

問題的提出，如一石激起千層浪，激發(fā)了學(xué)生挑戰(zhàn)新問題的欲望，此時(shí)，我讓學(xué)生靜靜思考，然后再嘗試擺一擺。學(xué)生自主活動的同時(shí)，我深入到學(xué)生之中，仔細(xì)收集和分析學(xué)生的方法，以便后面的教學(xué)中能以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)。

3.合作交流，自主展示

通過學(xué)生獨(dú)立嘗試、探究，此時(shí)學(xué)生對問題的解決有了一定的思考，還可能出現(xiàn)了多種不同的解決問題的策略。特別是對于兩項(xiàng)比賽都參加的3名同學(xué)，因?yàn)槊种挥幸粋€(gè)，所以在擺的過程中必然會產(chǎn)生矛盾沖突：這幾個(gè)名字究竟是任意貼在其中一個(gè)圈中，還是擺在中間？此時(shí)我因勢利導(dǎo)，安排了兩個(gè)層次的交流展示。（1）組內(nèi)交流。組內(nèi)四人，通過交流，形成一致的擺法。（2）小組展示。組內(nèi)交流完成后，請進(jìn)入全班展示的環(huán)節(jié)。在小組展示的過程中，建議展示的學(xué)生除了展示自己小組的擺法和想法，還要詢問其他同學(xué)對本組擺法的看法和意見。此時(shí)，也要要求其余學(xué)生對其展示的擺法做出評價(jià)，提出問題。在這樣“詢問―回應(yīng)―再詢問―再回應(yīng)”的過程中，教師適時(shí)參與其中，生生之間，師生之間，相互啟迪，思維的火花得到了碰撞，對韋恩圖的認(rèn)知也逐步走向深入，最終完成韋恩圖的創(chuàng)作。此時(shí)順勢介紹韋恩圖的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生深深感受數(shù)學(xué)文化，以及隱藏在文化背后的數(shù)學(xué)思想。

4.再次感知，深化理解

在揭示韋恩圖的名稱之后，我要求學(xué)生用數(shù)學(xué)化的語言描述韋恩圖各部分的含義，在學(xué)生描述交流的過程中，教師完善板書：紅色的圈表示參加書法比賽的同學(xué)，藍(lán)色的圈表示參加繪畫比賽的同學(xué)，兩個(gè)圈中間重疊的部分恰好可以表示“既參加了書法比賽又參加了繪畫比賽的同學(xué)”，左邊的月牙形表示“只參加了書法比賽的同學(xué)”，右邊的月牙形表示“只參加了繪畫比賽”的同學(xué)。讓學(xué)生在小組內(nèi)再互相指一指、說一說，最后通過多媒體課件的光、色等多種信息渠道進(jìn)一步明確韋恩圖各部分的含義。

5.抽象概括，完善認(rèn)知

在學(xué)生明確了韋恩圖各部分的含義之后，讓學(xué)生根據(jù)韋恩圖列算式解決三（1）班一共有多少人參加了這兩項(xiàng)比賽的問題。再在組內(nèi)和全班交流自己的方法。由于學(xué)生思考問題的角度不同，必然會有不同的解決問題的策略。而教師對于學(xué)生提出的多種方法，都予以及時(shí)的評價(jià)和肯定。對于算式中每個(gè)數(shù)字表示的含義，也讓學(xué)生講清講透，如對于8+9-3=14（人）一一對應(yīng)板書中的信息和問題，讓學(xué)生說說為什么減“3”。這樣做一方面是讓學(xué)生感受到韋恩圖能很好地幫助理清思路，找到解決問題的方法。另一方面通過學(xué)生個(gè)性化的解讀，使知識到位到每個(gè)人，讓孩子們感受到解決問題的多樣性。

評析：整個(gè)新授課環(huán)節(jié)，教師從學(xué)生的自學(xué)開始，先嘗試后內(nèi)化，先自主再交流，教師則在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開合作、交流，有針對性地點(diǎn)撥，充分開發(fā)學(xué)生潛能，充分激發(fā)學(xué)生的主動性、創(chuàng)造性。

第三環(huán)節(jié)：反饋應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)深悟。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我安排了以下幾個(gè)層次的練習(xí)。

1.基本練習(xí)：動物運(yùn)動會（出示110頁第1題）

第一題是練十四的第一題，本題是在學(xué)生有利用集合的思想方法解決簡單問題經(jīng)歷的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生辨析集合圖的含義，完成對一些動物的分類并填寫。最后我添加了一個(gè)問題：“大伙正在為自己報(bào)了拿手的項(xiàng)目而高興時(shí)，有一種動物11號（小兔）卻在圈外垂頭喪氣。這是為什么呢？”相信學(xué)生能夠說出因?yàn)樗炔粫斡居植粫w。這樣順利把集合圖由圈內(nèi)引向了圈外，將學(xué)生的視野拓展開來。

2.綜合練習(xí)：文具店開業(yè)（出示110頁第2題）

第二題是練十四的第二題，文具店昨天與今天進(jìn)的貨有重復(fù)的，要求學(xué)生列式計(jì)算兩天一共進(jìn)了多少種貨。本題給學(xué)生提供再次感知、認(rèn)識集合的思想方法的機(jī)會，加深對相應(yīng)集合思想方法的體驗(yàn)。解決問題中，放手讓學(xué)生用自己喜歡的方式，有效落實(shí)問題策略多樣性的改革理念，提高學(xué)生解題的靈活性。

3.拓展練習(xí)

在課開始，對于每個(gè)班要選多少人參加比賽，很多學(xué)生脫口而出的答案是17人，后來通過觀察三（1）班參賽名單，發(fā)現(xiàn)有人重復(fù)了，實(shí)際只有14人?，F(xiàn)在再回頭看這個(gè)問題，三（1）班是14人，那其他班級呢？在這里我通過判斷小明和小軍的結(jié)論再次引起學(xué)生思考，小組交流得出“每班參賽的同學(xué)最多是17人，最少是8人”。這樣在課始問題基礎(chǔ)上做出縱向和橫向的自然延伸，使學(xué)生對“重疊問題”的理解更具深度與廣度。

評析：練習(xí)是學(xué)生掌握知識、形成技能和能力、發(fā)展智力的重要方法，也是課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。通過不同層次的練習(xí)鞏固強(qiáng)化所學(xué)知識，拓展學(xué)生的思維空間，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

第四環(huán)節(jié)：提煉升華，延伸回悟。

這是本節(jié)課的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，首先讓學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，談體會和收獲。同時(shí)詢問“關(guān)于韋恩圖和重疊問題，你還有新的問題嗎？老師更喜歡那些在解決了問題之后還能提出新問題的同學(xué)！”這樣一方面在最后給學(xué)生回憶梳理全課知識的時(shí)間，另一方面鼓勵(lì)學(xué)生主動提出新問題。

最后老師再出示以下表格并提問學(xué)生：從這份名單中你發(fā)現(xiàn)了什么？怎么用韋恩圖來表示這三個(gè)小組的重疊問題呢？有興趣的同學(xué)可以課后繼續(xù)研究。這樣做是讓學(xué)生帶著問號進(jìn)入課堂展開學(xué)習(xí)，又帶著問號走出課堂繼續(xù)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)海洋的無窮奧秘。

評析：學(xué)生自己總結(jié)、提煉，梳理思想，明晰方法。讓學(xué)生滋生新疑，是學(xué)習(xí)深入、理解深刻的體現(xiàn)，是繼續(xù)深化學(xué)習(xí)、向更多領(lǐng)域拓展學(xué)習(xí)的動力。

總評：本說課設(shè)計(jì)立足教材，超越教材，采取大版塊、大線條，采用學(xué)生自由的學(xué)習(xí)形式，以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)。在開放性的課堂里，學(xué)生有充分的學(xué)習(xí)時(shí)空，大膽質(zhì)疑，廣泛交流，充分討論，通過不同的角度、形式獲得知識的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，汲取自己最需要的知識，鍛煉自己新的思維。學(xué)生智慧的生成，讓課堂更具蓬勃生命活力。

第3篇：集合的含義與表示范文

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)挖掘；關(guān)聯(lián)規(guī)則；Apriori算法；購物籃分析；頻繁項(xiàng)集

中圖分類號：TP391.4

先從著名的啤酒與尿布的案例說起。美國某零售業(yè)企業(yè)對過去的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，意外發(fā)現(xiàn)很多購買尿布的顧客會購買啤酒。這樣的結(jié)論按平常的思維根本不能解釋，經(jīng)過仔細(xì)調(diào)查，商家發(fā)現(xiàn)了潛在的秘密：美國的媽媽們習(xí)慣將購買尿布的任務(wù)交給下班后的小孩爸爸，其中有一些爸爸在買完尿布之后再去購買自己喜歡的啤酒，啤酒與尿布兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)的事物就這樣聯(lián)系了起來。得到這一結(jié)論后，這家企業(yè)立即采取行動，將啤酒與尿布放在距離相近的位置，大大提高了銷售額。由此，誕生了購物籃分析（Market Basket Analysis）方法，衍生到數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域稱之為關(guān)聯(lián)規(guī)則（Association Rules）。關(guān)聯(lián)規(guī)則揭示了事物之間的相互依存性和關(guān)聯(lián)性。關(guān)聯(lián)規(guī)則在當(dāng)今生活中應(yīng)用十分廣泛，如電商根據(jù)顧客近期的消費(fèi)記錄向顧客推送相似商品的廣告信息，60%購買了牛奶的顧客會購買面包等。

1 關(guān)聯(lián)規(guī)則概述

1.1 規(guī)則與關(guān)聯(lián)規(guī)則

形如“如果…那么…”，通過條件得到結(jié)果，就是一項(xiàng)規(guī)則。關(guān)聯(lián)規(guī)則可以用蘊(yùn)含式：R：X Y表示，度量一項(xiàng)規(guī)則是否夠好有兩個(gè)指標(biāo)：置信度（Confidence）和支持度（Support）。

1.2 置信度和支持度

置信度：表示一條規(guī)則值得信賴的程度。如果A表示條件，B表示結(jié)果，則置信度的數(shù)學(xué)表示為Confidence（A―>B）=P（B|A），其含義是在條件A發(fā)生的情況中同時(shí)條件B發(fā)生的概率。

支持度：表示在總體情況下當(dāng)前情況發(fā)生的概率。如果A、B均表示一種可能發(fā)生的情況，則支持度數(shù)學(xué)表示為Support（A―>B）=P（AB），其含義是A、B同時(shí)發(fā)生的概率。

1.3 關(guān)聯(lián)規(guī)則的相關(guān)概念

項(xiàng)目（Item）：集合I={k1，k2，…，kn}中每一個(gè)kn（n=1，2，…，n）叫做一個(gè)項(xiàng)目。集合I叫做項(xiàng)集（Itemset）。集合中元素個(gè)數(shù)為k的項(xiàng)集叫做k-項(xiàng)集（k-Itemset）。

交易（Transaction）：集合I的子集構(gòu)成的集合稱為交易，記為T，T I。每一筆交易有自己唯一的編號，即交易號TID。若干交易構(gòu)成的集合D稱為交易集D，交易集D中包含的交易個(gè)數(shù)記為count（D）。

項(xiàng)集支持度：對于規(guī)則X Y，Support（X Y）=count（X∪Y）/count（D），X、Y I，支持度的含義就是含X、Y的交易數(shù)與總交易數(shù)之比。

項(xiàng)集置信度：Confidence（X Y）=Support（X Y）/Support（X），置信度的含義是包含X、Y的交易與包含X的交易之比。支持度與置信度刻畫了用戶興趣程度，一般來說，兩者都高表示用戶對其興趣越高。

1.4 最小支持度與頻繁項(xiàng)集

關(guān)聯(lián)規(guī)則作用的集合必須滿足一個(gè)最小支持閾值，即存在最小支持度（Minimum Support）。所有項(xiàng)的支持度均大于等于最小支持度的集合，稱之為頻繁項(xiàng)集（Frequent Itemset）。同樣也存在一個(gè)最小置信度（Minimum Confidence）。最小支持度與最小置信度用來衡量關(guān)聯(lián)規(guī)則的最低可靠程度。

1.5 強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則

滿足支持度大于等于最小支持度，置信度大于等于最小置信度的關(guān)聯(lián)規(guī)則稱之為強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則（Strong Rules）。反之，稱為弱關(guān)聯(lián)規(guī)則。

2 Apriori算法的實(shí)現(xiàn)

Apriori算法是一種生成關(guān)聯(lián)規(guī)則的頻繁項(xiàng)集挖掘經(jīng)典算法，利用該算法，可以找到項(xiàng)之間關(guān)系。Apriori算法有兩個(gè)重要的性質(zhì)：

（1）頻繁項(xiàng)集的子集一定是頻繁項(xiàng)集。

（2）非頻繁項(xiàng)集的超集一定是非頻繁項(xiàng)集。

Apriori算法挖掘的步驟：

（1）掃描數(shù)據(jù)庫，算出初始項(xiàng)集K1各個(gè)項(xiàng)的支持度，即1-項(xiàng)集的支持度，通過最小支持度篩選得到1-項(xiàng)集的頻繁集，記為Q1。

（2）掃描數(shù)據(jù)庫，通過Q1中項(xiàng)與項(xiàng)之間連接∞得到備選項(xiàng)集K2，K2是2-項(xiàng)集。

（3）通過最小支持度篩選K2得到頻繁集Q2，即將K2中不滿足最小支持度的項(xiàng)舍去得到Q2。

（4）通過Q2以（2）中的方法計(jì)算出K3，通過K3以（3）中的方法計(jì)算出Q4，繼續(xù)掃描數(shù)據(jù)庫，用（2）（3）中方法繼續(xù)計(jì)算更高層次的頻繁項(xiàng)集，（2）中使用的的方法叫做連接（Join），（3）中使用的方法叫做剪枝（Prune），重復(fù)步驟連接、剪枝，直到不再產(chǎn)生新的項(xiàng)集為止。例：

K1={k1，k2，k3，k4，k5}，最小支持度Supmin=45%，最小置信度Conmin=45%

（1）計(jì)算k1各項(xiàng)支持度：sup{k1}=50%，sup{k2}=75%，sup{k3}=75%，sup{k4}=25%，sup{k5}=75%。

sup（k4）

（2）Q1中項(xiàng)與項(xiàng)之間做連接 ：K2={{k1，k2}，{k1，k3}，{k1，k5}，{k2，k3}，{k2，k5}，{k3，k5}}。

（3）計(jì)算K2各項(xiàng)支持度，得到sup{k1，k2}

（4）循環(huán)（2）（3）中步驟，最終得到頻繁項(xiàng)集{k2，k3，k5}。通過{k2，k3，k5}的非空子集和最小置信度即可產(chǎn)生強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則。

3 Apriori算法的不足

Apriori算法存在一個(gè)很嚴(yán)重的問題是效率低。因?yàn)锳priori算法是從1-項(xiàng)集開始逐層計(jì)算得到最大項(xiàng)集的，從k-項(xiàng)集通過連接、剪枝到k+1項(xiàng)集需要掃描一次數(shù)據(jù)庫，如果項(xiàng)集中項(xiàng)數(shù)越多，則掃描次數(shù)越多。比如：項(xiàng)集中含10個(gè)項(xiàng)，則要掃描數(shù)據(jù)庫10次，I/O負(fù)載特別大。針對它的不足，Jiawei Han等人提出了FP-growth算法，也有人研究出一些改進(jìn)算法，大大提高了算法的效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊文博.零售業(yè)數(shù)據(jù)挖掘的再認(rèn)識[J].商業(yè)時(shí)代，2004（11）：10-11.

[2]劉華婷，郭仁祥，姜浩.關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘Apriori算法的研究與改進(jìn)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2009（01）：146-149.

[3]趙洪英，蔡樂才，李先杰.關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的Apriori算法綜述[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（01）：66-70.

[4]張紅艷，都娟.關(guān)聯(lián)規(guī)則中Apriori算法的應(yīng)用[J].數(shù)字技術(shù)與應(yīng)用，2011（08）：14-15.

第4篇：集合的含義與表示范文

依據(jù)教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和福建省教育廳頒布的《福建省普通高中新課程數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)實(shí)施指導(dǎo)意見（試行）》、《福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會考方案（試行）》、《2018年福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會考數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱（試行）》，并結(jié)合我省普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)實(shí)際情況進(jìn)行命題.

二、命題原則

1．導(dǎo)向性原則.面向全體學(xué)生，有利于促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、健康的發(fā)展，有利于中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科新課程理念，充分發(fā)揮基礎(chǔ)會考對普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的正確導(dǎo)向作用.

2．基礎(chǔ)性原則.突出學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本技能，注重學(xué)科基本思想和方法，考查初步應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，試題難易適當(dāng)，不出偏題和怪題.

3．科學(xué)性原則.試題設(shè)計(jì)必須與考試大綱要求相一致，具有較高的信度、效度.試卷結(jié)構(gòu)合理，試題內(nèi)容科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，試題文字簡潔、規(guī)范，試題答案準(zhǔn)確、合理.

4．實(shí)踐性原則.堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際，試題背景應(yīng)來自學(xué)生所能理解的生活現(xiàn)實(shí)，符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用及其與社會的聯(lián)系.

5．公平性原則.試題的考查內(nèi)容、素材選取、試卷形式對每個(gè)學(xué)生而言要體現(xiàn)公平性，制定合理的評分標(biāo)準(zhǔn)，尊重不同的解答方式和表現(xiàn)形式.

三、考試目標(biāo)與要求

高中畢業(yè)會考數(shù)學(xué)科考試的主要考查方面包括：中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法.

1．知識

知識是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中所規(guī)定的必修課程中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理.

基本技能包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等.

對知識的要求依次是了解、理解、掌握三個(gè)層次.

（1）了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認(rèn)識，知道這一知識內(nèi)容是什么，能按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會）在有關(guān)的問題中識別和認(rèn)識它.

這一層次所涉及的主要行為動詞有了解，知道，識別，模仿等.

（2）理解：要求對所列知識內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識，知道知識間的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R作正確的描述說明并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能夠利用所學(xué)的知識內(nèi)容對有關(guān)問題進(jìn)行比較、判別、討論，具備利用所學(xué)知識解決簡單問題的能力.

這一層次所涉及的主要行為動詞有：理解，描述，說明，表達(dá)，推測，想像，比較，判別，會求，會解，初步應(yīng)用等.

（3）掌握：要求能夠?qū)λ械闹R內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)、證明，能夠利用所學(xué)知識對問題進(jìn)行分析、研究、討論，并且加以解決.

這一層次所涉及的主要行為動詞有：掌握，導(dǎo)出，分析，推導(dǎo)，證明，研究，討論，選擇，決策，運(yùn)用、解決問題等.

2．能力

能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

（1）空間想象能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進(jìn)行分解、組合與變形；會運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì).

（2）抽象概括能力：對具體的實(shí)例，通過抽象概括，能發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)屬性；并從給定的信息材料中，概括出一般性結(jié)論，同時(shí)能將其用于解決問題或作出新的判斷.

（3）推理論證能力：推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.應(yīng)學(xué)會運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明.會根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性.

（4）運(yùn)算求解能力：會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求借助計(jì)算器對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.

（5）數(shù)據(jù)處理能力：會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定實(shí)際問題.

（6）應(yīng)用意識：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解決相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題進(jìn)而加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明.應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決.

（7）創(chuàng)新意識：對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.

3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中.對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括的考查，主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、必然與或然思想等.對數(shù)學(xué)思想方法的考查要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合進(jìn)行，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握程度.考查時(shí)，要從學(xué)科整體意義上考慮，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.

4．個(gè)性品質(zhì)

個(gè)性品質(zhì)是指學(xué)生個(gè)體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎思維的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.

四、考試內(nèi)容

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的五個(gè)必修模塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容.具體分述如下：

（一）集合

1.集合的含義與表示

了解集合的含義，了解元素與集合的關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述具體問題.

2.集合間的基本關(guān)系

理解集合之間包含與相等的含義；了解全集、子集、空集的含義.

3．集合的基本運(yùn)算

理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；理解補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；會用Venn圖表達(dá)兩個(gè)簡單集合間的關(guān)系及運(yùn)算.

（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）

1.函數(shù)

了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用（函數(shù)分段不超過三段）；理解函數(shù)的單調(diào)性、（?。┲导捌鋷缀我饬x；了解函數(shù)奇偶性的含義；會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).

2．指數(shù)函數(shù)

理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算及性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會畫底數(shù)為2、3、10、 、 的指數(shù)函數(shù)的圖象；知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

3. 對數(shù)函數(shù)

理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，會用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用；理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會畫底數(shù)為2、10、 的對數(shù)函數(shù)的圖象；知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，知道指數(shù)函數(shù) （ > 0,且 ≠1） 與對數(shù)函數(shù) （ > 0,且 ≠1）互為反函數(shù).

4. 冪函數(shù)

了解冪函數(shù)的概念；了解冪函數(shù)y= ,y= 2,y= 3, , 的圖象的變化情況.

5．函數(shù)與方程

了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)；會用二分法求某些方程的近似解.

6.函數(shù)模型及其應(yīng)用

了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.

（三）立體幾何初步

1.空間幾何體

了解柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,會用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三圖視與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式；了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式.

2. 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，會用以下公理和定理進(jìn)行推理：

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.

理解以下判定定理，并用以證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題：

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直.

掌握以下性質(zhì)定理并用以證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題：

一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行.

兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行.

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

（四）平面解析幾何初步

1．直線與方程

掌握確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；掌握直線方程的三種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；能用解方程組的方法求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離.

2．圓與方程

掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.

3．空間直角坐標(biāo)系

了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置；會求空間兩點(diǎn)間的距離.

（五）算法初步

1.算法的含義、程序框圖

了解算法的含義，了解算法的思想；理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán).

2. 基本算法語句

了解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義.

3．算法案例

了解秦九韶算法、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)等算法案例.

（六）統(tǒng)計(jì)

1. 隨機(jī)抽樣

理解隨機(jī)抽樣；會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.

2. 用樣本估計(jì)總體

了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，了解他們各自的特點(diǎn)；理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差（不要求記憶公式）；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋；會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解樣本估計(jì)總體的思想；會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題.

3. 變量的相關(guān)性

會作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）.

（七）概率

1. 事件與概率

了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別；了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.

2．古典概型

理解古典概型及概率計(jì)算公式；會計(jì)算一些隨機(jī)事件的基本事件數(shù)及其發(fā)生的概率.

3．隨機(jī)數(shù)與幾何概型

了解隨機(jī)數(shù)的意義，了解幾何概型的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.

（八）基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）

1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制的概念；能進(jìn)行弧度與角度的互化.

2．三角函數(shù)

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式及 的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；能畫出 ， ， 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)（如單調(diào)性、值和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在（ ）上的單調(diào)性；理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ， ；了解函數(shù) 的物理意義，了解函數(shù) 中參數(shù)A， ， 對函數(shù)圖象變化的影響；會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題.

（九）平面向量

1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念

了解向量的實(shí)際背景；理解平面向量概念和兩個(gè)向量相等的含義；理解向量的幾何表示.

2．向量的線性運(yùn)算

掌握向量加、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義；掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

4．平面向量的數(shù)量積

理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；會運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

5．向量的應(yīng)用

會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題；會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.

（十）三角恒等變換

1．兩角和與差的三角函數(shù)公式

會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

2．簡單的三角恒等變換

能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.

（十一）解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

2．正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

（十二）數(shù)列

1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法

了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；知道數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù).

2．等差數(shù)列、等比數(shù)列

理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能判斷數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

（十三）不等式

1．不等關(guān)系與一元二次不等式

了解不等式（組）的實(shí)際背景，會從實(shí)際問題的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式.

2．二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.

3．基本不等式： （ ）

了解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單的（?。┲祮栴}.

五、考試形式

考試采用閉卷筆試的形式，全卷100分，考試時(shí)間90分鐘.考試不使用計(jì)算器．

六、試卷結(jié)構(gòu)

第5篇：集合的含義與表示范文

一、會計(jì)主體理論評述

對所有者權(quán)益性質(zhì)的認(rèn)定依賴于人們對會計(jì)主體性質(zhì)的認(rèn)定。迄今為止，所有者權(quán)益并沒有一個(gè)統(tǒng)一的定義，現(xiàn)有的定義也并沒有揭示所有者權(quán)益的本質(zhì)，其根源在于人們對會計(jì)主體性質(zhì)認(rèn)識的差異。

(一)所有權(quán)理論評述所有權(quán)理論的基本出發(fā)點(diǎn)是“股東是企業(yè)的所有者”，“股東擁有企業(yè)的所有權(quán)”。所有權(quán)理論認(rèn)為，所有者擁有資產(chǎn)和負(fù)債，資產(chǎn)是所有者所擁有的權(quán)利，而負(fù)債是所有者所承擔(dān)的義務(wù)，權(quán)利減去負(fù)債后的凈額便是所有者權(quán)益。所有權(quán)理論的資產(chǎn)負(fù)債表方程式為：資產(chǎn)一負(fù)債=所有者權(quán)益，其所對應(yīng)的資產(chǎn)負(fù)債表則為報(bào)告式。

所有權(quán)理論的主要目標(biāo)就是確定和分析所有者的凈財(cái)富，也就是所有權(quán)的價(jià)值。嚴(yán)格的所有權(quán)理論進(jìn)一步認(rèn)為，負(fù)債為“負(fù)資產(chǎn)”，“資產(chǎn)一負(fù)債”就是企業(yè)的凈資產(chǎn)，而所有者權(quán)益就成為“凈資產(chǎn)”。美國財(cái)務(wù)會計(jì)概念公告第6號《財(cái)務(wù)報(bào)表的各種要素》對所有者權(quán)益的定義是：“所有者權(quán)益或凈資產(chǎn)是某一個(gè)主體的資產(chǎn)扣除其負(fù)債的剩余部分”，這里將所有者權(quán)益等同于凈資產(chǎn)，可見美國財(cái)務(wù)會計(jì)準(zhǔn)則概念公告對所有者權(quán)益的定義的依據(jù)正是所有權(quán)理論。

一般認(rèn)為，所有權(quán)理論只適用于獨(dú)資和合伙這類不公開募股的公司，并不適用于公眾公司。除了股東之外，企業(yè)還有許多利益相關(guān)者，如債權(quán)人、職工、社區(qū)居民、政府等，這些利益相關(guān)者也擁有對企業(yè)的特定權(quán)益，企業(yè)主體理論正是對這種現(xiàn)實(shí)的反映。另外，企業(yè)的剩余索取權(quán)并不總是歸股東所有，在某些特定情況下(如企業(yè)經(jīng)營不善導(dǎo)致資不抵債)企業(yè)的所有權(quán)將被債權(quán)人接收，剩余權(quán)益理論正是對這種現(xiàn)實(shí)的反映。

所有權(quán)理論將負(fù)債抽象為“負(fù)資產(chǎn)”，實(shí)質(zhì)上將負(fù)債的義務(wù)屬性抽象掉了，負(fù)債不再是一個(gè)獨(dú)立的會計(jì)要素，而成為特定類別的“資產(chǎn)”；所有者權(quán)益的所有權(quán)屬性也被抽象掉了，而成為“凈資產(chǎn)”，成為總資產(chǎn)的一個(gè)部分，所有權(quán)理論實(shí)質(zhì)上否定了所有權(quán)的存在，與其基本的出發(fā)點(diǎn)相矛盾。按照所有權(quán)理論編制的資產(chǎn)負(fù)債表所提供的信息只是有關(guān)資產(chǎn)、負(fù)資產(chǎn)和凈資產(chǎn)的信息，降低了資產(chǎn)負(fù)債表的信息含量，這是所有權(quán)理論最致命的缺陷。

(二)企業(yè)主體理論評述企業(yè)主體理論認(rèn)為應(yīng)將企業(yè)主體與所有者和其他利益相關(guān)者分離開來，企業(yè)主體是有別于供資者的一個(gè)主體，將企業(yè)視為具有獨(dú)立人格的獨(dú)立主體，這也是被法律和制度認(rèn)可的事實(shí)。企業(yè)主體擁有企業(yè)的資源，負(fù)有向所有者和債權(quán)人支付的義務(wù)。相應(yīng)的資產(chǎn)負(fù)債表方程式為：資產(chǎn)=權(quán)益，或者，資產(chǎn)：負(fù)債十所有者權(quán)益。在這一等式中，負(fù)債和所有者權(quán)益被置于相同的地位，都是企業(yè)資產(chǎn)的來源，其區(qū)別僅在于，債權(quán)人的權(quán)益不受其他計(jì)價(jià)項(xiàng)目的影響，而所有者權(quán)益則是一種剩余權(quán)益，或者說，負(fù)債是企業(yè)的特定義務(wù)，而剩余部分則是歸屬于所有者的權(quán)益。

企業(yè)主體理論將“資產(chǎn)”定義為歸屬于企業(yè)主體的權(quán)利，“權(quán)益”定義為資產(chǎn)的來源，所有者權(quán)益則是權(quán)益扣除負(fù)債后的剩余權(quán)益。企業(yè)主體理論的缺陷在于對“權(quán)益”的定義。毫無疑問，企業(yè)的資產(chǎn)主要來源于債權(quán)人和所有者，會計(jì)實(shí)務(wù)核算的負(fù)債和所有者權(quán)益也主要是債權(quán)人和所有者向企業(yè)投入資源形成的，但企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營過程中會形成新的資產(chǎn)(主要體現(xiàn)為資產(chǎn)價(jià)值的增加)，這也是企業(yè)存在的根本目的，這部分資產(chǎn)并不是來源于債權(quán)人和所有者的投入，這說明會計(jì)實(shí)務(wù)核算的權(quán)益并不全是“資產(chǎn)的來源”。另外，有許多權(quán)益項(xiàng)目的形成也并不是“資產(chǎn)的來源”，如，“應(yīng)計(jì)利息”產(chǎn)生的原因不是債權(quán)人向企業(yè)提供了資金，而是源于企業(yè)占用了債權(quán)人的資金；“應(yīng)交稅金”產(chǎn)生的原因也不是政府向企業(yè)提供了資產(chǎn)，而是企業(yè)法定的義務(wù)；“留存收益”記錄的是企業(yè)經(jīng)營活動導(dǎo)致的所有者權(quán)益增加，而不是所有者向企業(yè)投人資產(chǎn)?？梢姡瑢ⅰ皺?quán)益”定義為資產(chǎn)的來源與會計(jì)實(shí)務(wù)相矛盾。

(三)剩余權(quán)益理論評述剩余權(quán)益理論是介于所有權(quán)理論和企業(yè)主體理論之間的一種理論，其目的是為了更好地向普通股股東提供與決策有關(guān)的信息。該理論所對應(yīng)的資產(chǎn)負(fù)債表方程式為：資產(chǎn)－特定權(quán)益=剩余權(quán)益。

特定權(quán)益包括債權(quán)人權(quán)益和優(yōu)先股東權(quán)益。在通常情況下，優(yōu)先股票既具有債權(quán)的性質(zhì)又有所有者權(quán)益的性質(zhì)。有些優(yōu)先股票實(shí)際上具有到期日和金額，到期時(shí)必須用現(xiàn)金償還。這樣的優(yōu)先股票與一般債權(quán)并無不同。特定權(quán)益的主要特征是它的數(shù)額通常不受資產(chǎn)計(jì)價(jià)程序的影響，而歸屬于普通股的權(quán)益則受到資產(chǎn)計(jì)價(jià)程序的影響，即要按上述資產(chǎn)負(fù)債表方程式來計(jì)算剩余權(quán)益。

剩余權(quán)益理論兼具所有權(quán)理論和企業(yè)主體理論缺陷。如果按所有權(quán)理論將特定權(quán)益定義為“負(fù)資產(chǎn)”，則剩余權(quán)益也就成為“凈資產(chǎn)”，資產(chǎn)負(fù)債表也就只能提供有關(guān)“資產(chǎn)”的信息。如果按企業(yè)主體理論將“特定權(quán)益”和“剩余權(quán)益”定義為“企業(yè)資產(chǎn)來源”，則與會計(jì)實(shí)務(wù)核算的特定權(quán)益和所有者權(quán)益相矛盾。

(四)基金理論評述基金理論將從事業(yè)務(wù)活動的單位作為會計(jì)核算的對象，這一業(yè)務(wù)活動單元的利益范圍成為基金。該理論所對應(yīng)的會計(jì)等式為：資產(chǎn)=基金。基金可按用途分為基金項(xiàng)目。我國在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)時(shí)期采用了基金理論，將資產(chǎn)限定為流動資產(chǎn)、固定資產(chǎn)和專項(xiàng)資產(chǎn)，并為之設(shè)立了三個(gè)相對應(yīng)的基金，即流動基金、固定基金和專項(xiàng)基金，其根本目的在于控制資產(chǎn)的運(yùn)用，以達(dá)到?？顚Ｓ?。這種做法對國家直接管理企業(yè)能發(fā)揮一定的作用，但限制了企業(yè)成為一個(gè)產(chǎn)權(quán)清晰、權(quán)責(zé)明確、政企分開、管理科學(xué)、追逐利潤的主體?；鹄碚撊毕菰谟诤鲆暳似髽I(yè)所有權(quán)的存在，也忽視了企業(yè)是一個(gè)獨(dú)立的主體，因此，基金理論所建立的會計(jì)主體并不適合于企業(yè)。

二、資產(chǎn)扣除負(fù)債的含義

我國會計(jì)準(zhǔn)則對資產(chǎn)和負(fù)債的定義是：“資產(chǎn)是指企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的、由企業(yè)擁有或者控制的、預(yù)期會給企業(yè)帶來經(jīng)濟(jì)利益的資源；負(fù)債是指企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的、預(yù)期會導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)利益流出企業(yè)的現(xiàn)時(shí)義務(wù)?！痹摱x所揭示出的資產(chǎn)的最本質(zhì)特性是“資源”，負(fù)債的最本質(zhì)特性是“義務(wù)”。那么，資產(chǎn)能扣除負(fù)債?

(一)兩個(gè)集合的扣除運(yùn)算借助兩個(gè)集合的差來探討“扣除”的含義。設(shè)A和B表示兩個(gè)任意的集合，從集合A中扣除集合B的元素得到的集合稱為A和B的差集，記為A―B。集合A和B之間存在三

種可能的關(guān)系，A包含B、A與B不相交、A與B相交，如圖1所示。

從圖1可知：(1)當(dāng)A包含B，A扣除B就是將集合B從集合A中扣除，剩余部分為A中沒有陰影的部分，是集合A的一個(gè)子集。(2)由于A與B不相交，集合A扣除集合B，剩余部分仍然為集合A，或者說從集合A中扣除集合B沒有產(chǎn)生任何實(shí)質(zhì)的影響。(3)當(dāng)A與B相交，集合A扣除集合B就是將兩集合相交部分從集合A中扣除，剩余部分為A中沒有陰影部分，是集合A的一個(gè)子集。由此可以看出，集合A扣除集合B剩余部分一定是集合A的一個(gè)子集，當(dāng)A與B不相交時(shí)，集合A扣除集合B還是集合A本身，“扣除”沒有產(chǎn)生任何實(shí)際影響。

(二)資產(chǎn)與負(fù)債的關(guān)系用符號A表示企業(yè)的資產(chǎn)集合。按照資產(chǎn)的定義，集合A的構(gòu)成元素為具備特定條件的“資源”，或者說具備“企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的”、“由企業(yè)擁有或者控制的”、“預(yù)期會給企業(yè)帶來經(jīng)濟(jì)利益的”這三個(gè)條件的資源構(gòu)成了集合A。用符號B表示企業(yè)的負(fù)債集合。按照負(fù)債的定義，集合B的構(gòu)成元素為具備特定條件的“義務(wù)”，或者說具備“企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的”、“預(yù)期會導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)利益流出企業(yè)的”、“現(xiàn)時(shí)的”這三個(gè)條件的義務(wù)構(gòu)成了集合B。

資源包含自然資源和社會資源兩大類，前者如陽光：空氣、水、土地、森林、草原、動物、礦藏等，后者包括人力資源、信息資源以及經(jīng)過勞動創(chuàng)造的各種物質(zhì)財(cái)富。義務(wù)的本質(zhì)屬性為人與人之間的社會關(guān)系，指政治上、法律上或道義上應(yīng)盡的責(zé)任。因此，資源與義務(wù)屬于完全不同的范疇，或者說，不存在既是資源又是義務(wù)的資源，也不存在既是義務(wù)又是資源的義務(wù)。進(jìn)而可知，集合A和集合B的構(gòu)成元素沒有相同的，也即集合A與集合B不相交，因此，集合A扣除集合B剩余部分仍然是集合A，即資產(chǎn)集合扣除負(fù)債集合仍然為資產(chǎn)集合，或者說，資產(chǎn)扣除負(fù)債沒有任何實(shí)際意義。

(三)資產(chǎn)扣除負(fù)債的特定含義“資產(chǎn)=負(fù)債+所有者權(quán)益”是復(fù)式記賬和編制資產(chǎn)負(fù)債表的基石，由該等式可以得到“資產(chǎn)－負(fù)債=所有者權(quán)益”。但資產(chǎn)負(fù)債表等式僅僅反映的是等式兩邊的價(jià)值相等，并不表示“資產(chǎn)”與“負(fù)債+所有者權(quán)益”性質(zhì)相同。資產(chǎn)負(fù)債表等式可以更為準(zhǔn)確地表述為“資產(chǎn)的價(jià)值=負(fù)債的價(jià)值+所有者權(quán)益的價(jià)值”，“資產(chǎn)－負(fù)債=所有者權(quán)益”則實(shí)質(zhì)上是“資產(chǎn)的價(jià)值－負(fù)債的價(jià)值=所有者權(quán)益的價(jià)值”。因此，“資產(chǎn)－負(fù)債=所有者權(quán)益”只能用來計(jì)量所有者權(quán)益的價(jià)值，并不是對所有者權(quán)益屬性的規(guī)定。“資產(chǎn)扣除負(fù)債”的特定含義就是資產(chǎn)的價(jià)值減去負(fù)債的價(jià)值，這只是規(guī)定了所有者權(quán)益的計(jì)量方法，并不是對所有者權(quán)益的定義。

三、所有者權(quán)益定義的改進(jìn)

企業(yè)主體理論將“資產(chǎn)”定義為歸屬于企業(yè)主體的權(quán)利，“權(quán)益”定義為資產(chǎn)的來源，提出的資產(chǎn)負(fù)債表等式為“資產(chǎn)=權(quán)益”。本文不贊同企業(yè)主體理論對“資產(chǎn)”和“權(quán)益”的定義，但接受將“資產(chǎn)=權(quán)益”作為資產(chǎn)負(fù)債表等式。筆者不贊同所有權(quán)理論將“負(fù)債”看作是“負(fù)資產(chǎn)”，也不贊同將所有者權(quán)益定義為“凈資產(chǎn)”，但接受所有者權(quán)益為“剩余權(quán)益”的觀點(diǎn)。以此為基礎(chǔ)，筆者對所有者權(quán)益會計(jì)定義進(jìn)行改進(jìn)。

第6篇：集合的含義與表示范文

一、注意符號的識別與記憶

例1 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程x2=1的解組成的集合；（2）不等式3x≥4-2x的解集。

錯(cuò)解：（1）｛x|-1，1｝，｛x=-1或x=1｝；（2）｛x≥■｝。

集合語言主要有三種形態(tài)，即自然語言、符號語言和圖形語言。平時(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá)更多的是使用符號語言。表示集合的方法，課本上介紹了列舉法和描述法。例1兩小題的錯(cuò)因是學(xué)生把兩種表示方法混淆了，同時(shí)用描述法和列舉法來表示集合。筆者建議在教學(xué)中多強(qiáng)調(diào)兩種表示法的特點(diǎn)和適用條件，多讓學(xué)生練習(xí)體會它們的區(qū)別。

例2 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合；（2）二次函數(shù)y=x2-4的函數(shù)值組成的集合。

錯(cuò)解：（1）｛1，4｝；（2）｛（x，y）|y=x2-4｝。

高中數(shù)學(xué)主要涉及的集合有兩類：數(shù)集和平面點(diǎn)集。例2兩小題的錯(cuò)因是學(xué)生沒有弄清楚集合的元素是什么：（1）表示兩個(gè)數(shù)1和4組成的集合；（2）表示二次函數(shù)y=x2-4圖象上的點(diǎn)組成的集合，與題目要求不符。列舉法表示數(shù)集和平面點(diǎn)集的區(qū)別在于集合元素是數(shù)還是點(diǎn)，或者看看每個(gè)元素之間有沒有用括號隔開；描述法表示數(shù)集和平面點(diǎn)集的區(qū)別是豎線前面的元素符號是數(shù)還是點(diǎn)。

符號語言是一種高度抽象的人工符號系統(tǒng)，因此它常常成為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。正確理解集合符號語言的前提是對集合符號能正確地識別和記憶。筆者建議廣大教師重視數(shù)學(xué)符號語言的教學(xué)，組織學(xué)生對一些符號進(jìn)行辨析、識別和記憶，同時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，加深學(xué)生對符號的理解和記憶。

二、注意空集?芰的概念和性質(zhì)

例3 用正確的符號填空：（1）?芰_________｛0｝；（2）0________?芰；（3）?芰_________｛?芰｝。

錯(cuò)解：（1）=；（2）∈；（3）=。

空集是不含任何元素的集合，記為?芰。例3中（1）（2）兩題的錯(cuò)因是學(xué)生把空集概念中“沒有”元素中的沒有和0表示“沒有”的意思混淆了；（3）的錯(cuò)因是學(xué)生前面接觸的集合都要加｛｝，所以誤以為所有的集合都要加｛｝。實(shí)際上｛?芰｝可以理解為有一個(gè)元素是?芰的集合。筆者建議在教學(xué)中可以把不用加｛｝就表示集合的符號羅列一下（如：?芰，N，Z，Q，R），方便學(xué)生記憶。

例4 已知集合A=｛x|a+1＜x＜2a｝，B=｛x|x＜4｝，若A?哿B，求a取值范圍。

錯(cuò)解：A?哿B，2a≤4，a≤2。

空集是一個(gè)特殊且重要的集合，所以它有一些獨(dú)特的性質(zhì)：1.對任意的集合A，有A∩?芰=?芰；2.對任意的集合A，有A∪?芰=A；3.空集是任何集合A的子集，即?芰?哿A。例4的錯(cuò)因是忽視了空集的第三個(gè)性質(zhì)。所以這題要分A=?芰和A≠?芰兩種情況討論。

三、注意臨界點(diǎn)的取舍

例5 已知集合A=｛x|-2＜x≤4｝，B=｛x|x＜a｝，若A?哿B，求實(shí)數(shù)a取值范圍。

■

錯(cuò)解：a≤4。

臨界點(diǎn)的討論一直是含參問題的難點(diǎn)。例5的錯(cuò)因是學(xué)生誤以為字母a取到等號集合B就含有4這個(gè)元素。實(shí)際上集合B是否含有4這個(gè)元素主要是看x＜a中不等號是否有等號。筆者建議引導(dǎo)學(xué)生單獨(dú)考慮臨界點(diǎn)的等號，把取等號時(shí)兩個(gè)集合的情況寫出來，對照條件是否滿足，再進(jìn)行最后的取舍。

例6 若全集U=｛x|x≥-3｝，A=｛x|x＞1|｝，則?奩UA=__________。

■

錯(cuò)解：?奩UA=｛x|-3＜x＜1｝。

集合運(yùn)算中臨界點(diǎn)的取舍是考試考查的重點(diǎn)。例6的錯(cuò)因是學(xué)生沒有理解補(bǔ)集的概念。筆者建議在講解補(bǔ)集概念時(shí)，重點(diǎn)突出補(bǔ)集中元素的兩個(gè)特點(diǎn)：1.在全集U中；2.不在集合A中。在解題過程中可以運(yùn)用補(bǔ)集的兩個(gè)性質(zhì)：（?奩UA）∩A=?芰和（?奩UA）∪A=U對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，這樣就知道臨界點(diǎn)是否可以取到。

四、注意新定義集合的理解和運(yùn)算

例7 設(shè)集合S=｛0，1，2，3，4，5｝，A是S的子集，當(dāng)x∈A時(shí)，若有x-1?埸A且x+1?埸A，則稱x是A的一個(gè)“孤立元素”；如果A中含有4個(gè)元素，且沒有“孤立元素”，則這樣的集合有_________。

錯(cuò)解：｛0，1，2，3｝；｛1，2，3，4｝；｛2，3，4，5｝。

例7 的錯(cuò)因是學(xué)生沒有正確理解“孤立元素”的含義。本題轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的內(nèi)容是：不含“孤立元素”是指集合A中每個(gè)元素的前一個(gè)或后一個(gè)數(shù)也在A中。而不是指集合A中元素必須全部相鄰。

第7篇：集合的含義與表示范文

【關(guān)鍵詞】集合；子集；特征函數(shù)；包含與排除

為了證明本原理的定理，我們事先要做一些引導(dǎo)，我們討論一個(gè)有限或無窮的集合U.U的子集A的特征函數(shù)A（x）是U中變元x的函數(shù).根據(jù)x屬于或不屬于A定義

A（x）=1或0.

U的特征函數(shù)為常數(shù)1（因此U也表示單位數(shù)），空集的特征函數(shù)是常數(shù)0，U的子集A，B，C，…的特征函數(shù)分別用A（x），B（x），C（x），…表示，如果不致發(fā)生誤解的話，也可以把A（x），B（x），C（x），…簡寫成A，B，C，…即用同樣的符號表示U的子集和它的特征函數(shù).

A是B的一個(gè)子集的充要條件是對所有x成立A（x）≤B（x）或簡寫成A≤B.

如果U是一個(gè)有限集，那么子集A中元素的個(gè)數(shù)是∑A（x），其中和式取遍U中所有元素.

定理1 設(shè)有N個(gè)對象，令Nα，Nβ，…，Nμ，Nλ分別表示這些對象中具有某種性質(zhì)α，β，…，μ和λ的對象的個(gè)數(shù).類似的，令Nαβ，Nαγ，…，Nαβλ，…，Nαβγ…μλ分別表示同時(shí)具有性質(zhì)α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的對象的個(gè)數(shù).那么不具有性質(zhì)α，β，γ，…，μ，λ中任一性質(zhì)的對象個(gè)數(shù)N0等于

N-Nα-Nβ-Nγ-…-Nμ-Nλ+Nαβ+Nαγ+…+ Nμλ-Nαβλ-…±Nαβγ…μλ.

證明 設(shè)A，B，C，…分別為具有性質(zhì)α，β，γ…的對象所組成的子集，則A，B，C，…的余集的交集表示不具有性質(zhì)α，β，γ…中的任何一個(gè)性質(zhì)的對象所組成的集合.我們需要找出它所含元素的個(gè)數(shù)，令N0是它所含元素的個(gè)數(shù)，N是對象的個(gè)數(shù)，其他Nα，Nβ，…的含義同定理.由上可得A，B，C，…的余集的交集的特征函數(shù)是：

（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-…

所以它的元素個(gè)數(shù)N0等于

∑[（1-A）（1-B）（1-C）…]= ∑1-∑A-∑B-∑C-…+∑（AB）+∑（AC）+∑（BC）+…-

∑（ABC）-…= N-Nα-Nβ- Nγ-…+Nαβ+Nαγ+ Nβγ-…-Nαβγ-….

即求出所需求元素的個(gè)數(shù)，定理即證.

定理2 假定有N個(gè)對象，像在定理1中那樣，它們能夠具有性質(zhì)α，β，…，μ，λ，給每個(gè)對象帶上一個(gè)權(quán)數(shù).用Wα表示具有性質(zhì)α的所有對象所帶的權(quán)數(shù)總值（那些對象所帶權(quán)數(shù)數(shù)值的和），用Wβ表示具有性質(zhì)β的所有對象所帶的權(quán)數(shù)總值等等.類似的，令Wαβ，Wαγ，…，Wαβλ，…，Wαβγ…μλ分別表示同時(shí)具有性質(zhì)α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的對象所帶權(quán)數(shù)總值.如果W是所有對象所帶的權(quán)數(shù)總值，那么不具有性質(zhì)α，β，γ，…，μ，λ中任一性質(zhì)的那些對象所帶的權(quán)數(shù)總值等于W-Wα-Wβ-Wγ-…-Wμ-Wλ+Wαβ+Wαγ+…+ Wμλ- Wαβλ-…±Wαβγ…μλ.

證明 設(shè)A，B，C，…分別為具有性質(zhì)α，β，γ，…的對象所組成的子集，則不具有性質(zhì)α，β，γ，…中的任何一個(gè)性質(zhì)的對象所組成的集合是A，B，C，…的余集的交集，則有∑xA是具有性質(zhì)α的所有對象的權(quán)數(shù)總值，類似的∑xB表示具有性質(zhì)β的所有對象的權(quán)數(shù)總值……我們需要找出A，B，C，…的余集的交集中對象所帶的權(quán)數(shù)總值，由此可得，它的特征函數(shù)是：

（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-….

那么，不具有性質(zhì)α，β，γ，…中任一性質(zhì)的那些對象所帶的權(quán)數(shù)總值W0等于

a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±m(xù)in（a，b，c，…，k，l）.

證 令N=max（a，b，c，…，k，l）.當(dāng)N=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)N>0時(shí)，將數(shù)1，2，…，N看作對象，并對它們應(yīng)用定理1.如果一個(gè)數(shù)≤a，則稱該數(shù)具有性質(zhì)α，若≤b，則稱具有性質(zhì)β，等等，既沒有性質(zhì)α也沒有性質(zhì)β…的對象的個(gè)數(shù)顯然等于0.于是

N-[a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±m(xù)in（a，b，c，…，k，l）]=0，即證.

在這里我們從集合的角度，證明了包含與排除原理的兩個(gè)定理，其中定理2是定理1的推廣，而定理1是定理2的特殊情況.并通過例題對所證明的定理進(jìn)行了應(yīng)用，在實(shí)際的運(yùn)用過程中通常應(yīng)用定理2即可.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉翹，陳漢卿.集合初步知識[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1980.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2007.

第8篇：集合的含義與表示范文

目前現(xiàn)有的針對煙草營銷策略的研究，多采用數(shù)據(jù)挖掘的思想，基于數(shù)據(jù)挖掘的營銷策略是對終端客戶進(jìn)行分類，根據(jù)用戶的銷量和誠信記錄把用戶分為多個(gè)等級，但這種分級策略只能反應(yīng)用戶的銷量信息，把這個(gè)分類作為營銷策略依據(jù)太單薄，只能起一定的輔助作用。更深入地研究是根據(jù)客戶的資料和歷史訂單數(shù)據(jù)對現(xiàn)有商戶進(jìn)行聚類，獲取到自主的商戶分類，但盲目的聚類會導(dǎo)致商戶的分類沒有實(shí)際意義，或獲取的結(jié)果是無助于營銷目的的。

2技術(shù)關(guān)鍵

本系統(tǒng)采用基于營銷目的的商戶聚類，技術(shù)關(guān)鍵包括三部分內(nèi)容：數(shù)據(jù)預(yù)處理中的特征選擇、基于限制目標(biāo)的商戶精確聚類和基于聚類結(jié)果的多層關(guān)聯(lián)規(guī)則算法的研究。

2.1特征選擇

假定獲取的數(shù)據(jù)的維數(shù)為n，通常情況下n是很大的一個(gè)數(shù)，為簡化模型，也為了防止模型陷入過擬合（維數(shù)災(zāi)難），需要進(jìn)行降維處理，即僅把對項(xiàng)目改造判定起關(guān)鍵作用的因素挑選出來。本系統(tǒng)采用PCA算法來進(jìn)行降維處理，過程如下：

1)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣Z的樣本的協(xié)方差矩陣Cov；

2)計(jì)算協(xié)方差矩陣Cov的本征向量e1,e2,…,en的本征值。本征值按大到小排序；

3)投影數(shù)據(jù)

到本征矢張成的空間之中，利用貢獻(xiàn)分析取前m個(gè)向量Y1,Y2,…,Ym。

2.2基于營銷目標(biāo)限制的商戶精確聚類算法

現(xiàn)有聚類算法一般沒有約束條件，只根據(jù)相似度來進(jìn)行聚類，為了能夠體現(xiàn)約束條件，需要在聚類相似度或者樣本距離之間把限制條件增加進(jìn)去，這樣在樣本聚類的時(shí)候即可使得具有相同營銷特性的樣本或者客戶被劃分到同一個(gè)類中。煙草終端商戶的大部分屬性是分類屬性，例如：地區(qū)、類別等，此外還有數(shù)字型屬性、日期型屬性，由于存在不同類型的屬性，常規(guī)的聚類算法無法使用，為此，采用把數(shù)字屬性和日期屬性劃分區(qū)間的思路，這樣可以轉(zhuǎn)化成分類屬性的方式來進(jìn)行聚類。進(jìn)而可建立如下商戶模型：分類對象X∈Ω，X=[A1=x1]∧[A2=x2]∧…∧[Am=xm]，其中xj∈DOM(Aj)，1≤j≤m，為簡便起見，將對象X∈Ω用向量（x1,x2,…,xm）表達(dá)，如果屬性Aj的值不存在，則Aj=ε。令Χ={X1,X2,…,Xn}為n個(gè)分類對象的集合，用集合方式表達(dá)分類對象，則Xi={xi,1,xi,2,…,xi,m}，如果屬性Aj的值不存在，則集合中不出現(xiàn)xi,j，容易得到|Xi|≤m。如果存在Xi,j=Xk,j，1≤j≤m，則Xi=Xk。為方便聚類，利用聚類匯總來壓縮原始數(shù)據(jù)，從而達(dá)到提高算法效率的目的。一個(gè)類C可以由如下三元組（n,I,S）來表示。其中n為類C中的對象數(shù)量，I={i1,i2,…,iu}是C內(nèi)所有屬性值的集合，S={s1,s2,…,su}，其中sj為ij在類C中的數(shù)量，ij∈I，1≤j≤u。集合S按升序排列，即s1≤s2≤…≤su，這同時(shí)也暗示集合I的元素按其在C中的數(shù)量按升序排列。三元組（n,I,S）被稱作類C的聚類匯總CS，CS的三個(gè)成員分別記作CS.n、CS.I和CS.S；對于CS.I的任一元素ij∈CS.I，則記作CS.I.ij，對于sj∈CS.S，則記作CS.S.sj，其中1≤j≤u。

2.3基于煙草營銷的多層關(guān)聯(lián)規(guī)則的研究

針對本項(xiàng)目，對關(guān)聯(lián)規(guī)則定義進(jìn)行擴(kuò)展，對形如：XY的關(guān)聯(lián)規(guī)則，不再限定X和Y為一個(gè)項(xiàng)目集，而把X和Y定義為條件的合取范式，每個(gè)條件Ai=True/False為布爾表達(dá)式。此時(shí)的Ai為一個(gè)項(xiàng)目集，它的含義與原來的X和Y的含義相同，如果把結(jié)果中的條件布爾表達(dá)式寫成Cj=True/False，則關(guān)聯(lián)規(guī)則有如下形式：（A1=True/False）∧（A2=True/False）∧…∧（An=True/False）（C1=True/False）∧（C2=True/False）∧…∧（Cm=True/False）關(guān)聯(lián)規(guī)則的開采問題可以分解成以下兩個(gè)子問題：

①從數(shù)據(jù)集合或交易集合D中發(fā)現(xiàn)所有的頻繁項(xiàng)目集。

②從頻繁項(xiàng)目集中生成所有置信度不小于用戶定義的最小置信度minconf的關(guān)聯(lián)規(guī)則。即對任一個(gè)頻繁項(xiàng)目集F和F的所有非空真子集S，SF，如果sup（F）/sup（F－S）≥minconf，則（F－S）S就是一條有效的關(guān)聯(lián)規(guī)則。按上述方法發(fā)現(xiàn)所有類似的規(guī)則。這兩個(gè)步驟中第2步要相對容易，因此項(xiàng)目的研究將更關(guān)注第1步，由于最大頻繁項(xiàng)目集已經(jīng)隱含了所有頻繁項(xiàng)目集，所以可以把發(fā)現(xiàn)頻繁項(xiàng)目集的問題轉(zhuǎn)化為發(fā)現(xiàn)最大頻繁項(xiàng)目集的問題。針對煙草營銷的客戶，進(jìn)行關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘時(shí)，是在上一步的基礎(chǔ)上，即針對每一個(gè)商戶群進(jìn)行規(guī)則挖掘。在獲取到最大頻繁項(xiàng)目集后，順序生成頻繁項(xiàng)目集，然后獲取到可用的關(guān)聯(lián)規(guī)則。此時(shí)獲取的關(guān)聯(lián)規(guī)則是底層關(guān)聯(lián)規(guī)則，然后再采用概念樹的方法對獲取的底層關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)行匯總。概念樹由煙草領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)屬性的領(lǐng)域知識提供，按特定屬性的概念層次從一般到具體排序。樹的根結(jié)點(diǎn)是用any表示最一般的概念，葉結(jié)點(diǎn)是最具體的概念即屬性的具體值。

第9篇：集合的含義與表示范文

一、思考“本質(zhì)屬性”

對“學(xué)什么”這一問題的思考，實(shí)際上就是對學(xué)生“學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）”的確定過程。如果把學(xué)生視為學(xué)習(xí)的主體，那么這樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)相對于學(xué)生來說就具有客觀性，是課程編制者或者教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)“學(xué)什么”的期望（Expectation）。對“怎樣學(xué)”的思考，首先是將學(xué)習(xí)目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生應(yīng)當(dāng)執(zhí)行并完成的學(xué)習(xí)任務(wù)（Task），之后是思考學(xué)生為完成任務(wù)所需要經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動（Activity）。對“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”這兩個(gè)問題的思考并不是截然分開的，二者的思考應(yīng)當(dāng)是融合在一起，并且都要基于對所學(xué)知識點(diǎn)及其認(rèn)識過程本質(zhì)屬性的認(rèn)識。

比如“平行四邊形的面積”，[2]這一知識點(diǎn)反映的是一個(gè)平行四邊形面積的大小與這個(gè)平行四邊形內(nèi)部元素（底邊長度和高的長度）之間相互依賴與制約的關(guān)系，其本質(zhì)屬性是對客觀規(guī)律的描述，此類知識的特點(diǎn)相對于學(xué)習(xí)者來說具有“確定性”，不依人的意志為轉(zhuǎn)移。認(rèn)識這種知識的基本方法是“發(fā)現(xiàn)（Discover）”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發(fā)現(xiàn)共性，這樣的共性就成為了具有一定普遍意義的規(guī)律。

數(shù)學(xué)課程中另外一類知識其本質(zhì)屬性是人的“發(fā)明（Invention）”，這一類知識通常是依賴于人的主觀“需求（Need）”而出現(xiàn)的。以分?jǐn)?shù)為例，這種“需求”至少表現(xiàn)在三個(gè)方面。從語言的視角看，當(dāng)表達(dá)數(shù)量關(guān)系的時(shí)候，同一種數(shù)量關(guān)系通常會有兩種說法，這兩種說法往往是“雙向同義”的。如果說“甲的收入比乙的收入多100元”，就會有反過來并且意義相同的說法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果說“甲的收入是乙的3倍”，需要反過來并且要求意義相同的說法，那么沒有分?jǐn)?shù)，這樣的說法就難以實(shí)現(xiàn)。有了分?jǐn)?shù)，就可以說“乙的收入是甲收入的三分之一”，從而實(shí)現(xiàn)了“雙向同義”的語言描述。

歷史上人們對分?jǐn)?shù)的“需求”還表現(xiàn)在“量（Magnitude）”的測量方面。在沒有度量單位的時(shí)候，人們對量與量之間的比較通常都是“用小量大”，當(dāng)出現(xiàn)“量不盡”的情況時(shí)，就“用余量小”，如此反復(fù)，量盡為止。比如圖1兩條線段分別表示量A和量B，其中A是較大的量。

量A：― ― ― ― ― ―

量B：―――

圖1 量的比較示意圖

如果需要了解并且表達(dá)兩個(gè)量之間關(guān)系的時(shí)候，人們首先就會用較小的量B去與較大的量A重疊測量，目的是為了知道幾次量盡，從而就可以知道量A中包含了幾個(gè)量B。但是測量過程中經(jīng)常出現(xiàn)量不盡的情況，也就是有剩余的情況出現(xiàn)。（見圖2）

量A：

量B：

圖2 “量不盡”示意圖

圖2中用量B測量量A重疊2次后，出現(xiàn)了小于量B的剩余量C，這時(shí)候人們通常會用剩余的量C反過來去與量B重疊測量，如果仍然量不盡，就繼續(xù)重復(fù)這一“用余量小”的過程。圖2用C量B的結(jié)果恰好三次量盡。這時(shí)候就需要用數(shù)來描述量A與量B之間的關(guān)系，此時(shí)僅有整數(shù)就不夠了，有了分?jǐn)?shù)就可以說“A是B的2（或者）”，也可以說“B是A的”。用“比”的語言說就是A與B的比是7∶3，或者B與A的比是3∶7。

數(shù)學(xué)家對分?jǐn)?shù)的“需求”還表現(xiàn)為對除法運(yùn)算“封閉”的愿望。在整數(shù)范圍內(nèi)，兩個(gè)整數(shù)相除，可能得不到整數(shù)的結(jié)果，這種情況就叫作“整數(shù)集合對除法運(yùn)算不封閉”，也就是整數(shù)集合內(nèi)兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果跑到了整數(shù)集合的外面了。因此需要擴(kuò)大整數(shù)集合的范圍，把分?jǐn)?shù)合并到整數(shù)集合中來，由此形成了數(shù)學(xué)中的有理數(shù)集合，在這個(gè)集合中除法運(yùn)算就能保證封閉了，即任何兩個(gè)有理數(shù)相除的結(jié)果一定還是有理數(shù)。

“發(fā)現(xiàn)”的知識與“發(fā)明”的知識屬性不同，當(dāng)然學(xué)習(xí)的方式也就有了差異。發(fā)現(xiàn)的過程核心環(huán)節(jié)是“觀察與比較”，發(fā)明的過程重在“需求與創(chuàng)造”。針對不同屬性的知識，備課中就要思考如何為學(xué)生設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動。

二、如何設(shè)計(jì)“發(fā)現(xiàn)”的過程

對客觀規(guī)律的認(rèn)識至少應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)方面。首先應(yīng)當(dāng)是定性的認(rèn)識，比如對于“平行四邊形面積”來說，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識無論什么樣的平行四邊形，其面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；在定性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，就可以有定量的認(rèn)識，即面積的大小等于底邊與高的乘積。針對定性的認(rèn)識，需要觀察并且比較不同的平行四邊形，在不同中發(fā)現(xiàn)共性，也就是所有平行四邊形面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；而對于定量的認(rèn)識，也就是平行四邊形的面積等于底邊與高的乘積，需要觀察平行四邊形與面積相等的長方形之間的關(guān)系而得到。如果把長方形視為特殊的平行四邊形，那么就可以將定性的認(rèn)識與定量的認(rèn)識合為一體，把學(xué)習(xí)目標(biāo)確定為“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”。

既然這一學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)依賴于觀察與比較，那么教師在備課中需要思考的就是如何設(shè)計(jì)能夠溝通學(xué)習(xí)目標(biāo)及觀察與比較活動之間聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。這種任務(wù)的設(shè)計(jì)是否有效，取決于兩個(gè)前提，第一是觀察者為什么需要觀察，也就是要為學(xué)生提供觀察的理由，這種理由可以使得學(xué)生具有觀察的動機(jī)；第二是觀察什么，也即需要為學(xué)生提供觀察對象以及思考方向。學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述可以是以問題的形式出現(xiàn)的，不妨稱之為“問題型”任務(wù)。比如針對學(xué)習(xí)目標(biāo)“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊及高的關(guān)系”，可以設(shè)計(jì)如下的問題型任務(wù)：“下面是三組平行四邊形，每一組中兩個(gè)平行四邊形面積是否相等？你是怎么得到結(jié)論的？”

圖3 平行四邊形面積比較圖

第一組中兩個(gè)平行四邊形的底邊長度不相等，但是高的長度相等；第二組中兩個(gè)平行四邊形的底邊長度相等，但是高的長度不相等；第三組中兩個(gè)平行四邊形的底邊長度相等，同時(shí)高的長度也相等。為了回答這樣兩個(gè)問題，學(xué)生可能的學(xué)習(xí)活動有用眼睛“看”，看不出來還可以用尺子“量”，當(dāng)然也可以用剪刀把兩個(gè)平行四邊形“剪”下來重疊在一起“看”。所有的活動都是針對“是否相等”以及“為什么”這樣兩個(gè)問題，因此活動就不是盲目的，而是有目的的，活動的目的性使得學(xué)生具有了參與活動的動機(jī)。同時(shí)，教師為學(xué)生提供的三組圖形相當(dāng)于為學(xué)生的觀察提供了對象。通過活動最終期望學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊以及高有關(guān)。

學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學(xué)生做什么。比如在前面任務(wù)已經(jīng)完成的基礎(chǔ)上，為了能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積公式，可以給學(xué)生布置如下任務(wù)：“在方格紙上畫出一個(gè)長方形，再畫出一個(gè)與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法?！睂W(xué)生依據(jù)前面觀察的經(jīng)驗(yàn)，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯(lián)系。在以上學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)上，最后可以通過布置指令性任務(wù)：“請自己總結(jié)出計(jì)算平行四邊形的面積公式，將你的結(jié)論寫出來?！蓖ㄟ^以上三項(xiàng)任務(wù)，學(xué)生經(jīng)歷一系列以觀察與比較為核心的學(xué)習(xí)活動，就應(yīng)當(dāng)可以達(dá)成“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”這一學(xué)習(xí)目標(biāo)。

三、“發(fā)明”的過程需要經(jīng)歷

對于“發(fā)明”的知識，認(rèn)識的核心環(huán)節(jié)是感受需求，并且經(jīng)歷自主發(fā)明的過程。以分?jǐn)?shù)為例，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)包括分?jǐn)?shù)概念的形成與語言表述、分?jǐn)?shù)之間的相等與不等關(guān)系、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)與除法和比的關(guān)系等內(nèi)容，這些內(nèi)容需要一個(gè)螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。如果把分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性定位于語言，那么其學(xué)習(xí)過程就應(yīng)當(dāng)遵循語言學(xué)習(xí)的規(guī)律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進(jìn)行學(xué)習(xí)的。通過“聽說”可以感受到分?jǐn)?shù)的存在以及分?jǐn)?shù)概念的含義，通過“讀寫”讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)明”的過程，感受數(shù)學(xué)中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關(guān)系。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之初，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受到對分?jǐn)?shù)的“需求”，體現(xiàn)“讓知識因需要而產(chǎn)生”的教學(xué)原則。因此小學(xué)三年級“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識”的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以確定為如下三個(gè)：感受分?jǐn)?shù)在語言中的存在及其必要性；經(jīng)歷分?jǐn)?shù)符號從“多樣”到“統(tǒng)一”的發(fā)明過程；了解分?jǐn)?shù)的含義。

針對第一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以設(shè)計(jì)如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“鐘表上表示的時(shí)間是‘7點(diǎn)半’，思考其中的‘半’是什么意思？與同伴交流自己的想法?！保ㄒ妶D4）

圖4 鐘表示意圖

學(xué)生在執(zhí)行并完成這一任務(wù)的過程中，自然要思考和交流分針轉(zhuǎn)動一圈與半圈的關(guān)系，或者時(shí)針轉(zhuǎn)動一格與半格之間的關(guān)系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現(xiàn)實(shí)存在，同時(shí)也能初步感受到分?jǐn)?shù)用于描述局部與整體關(guān)系的含義。類似的任務(wù)還可以設(shè)計(jì)為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關(guān)系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關(guān)系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系。

這樣的任務(wù)可以啟發(fā)學(xué)生在思考和交流的過程中，溝通描述數(shù)量關(guān)系的多種語言之間的聯(lián)系。比如關(guān)于“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系，學(xué)生可能利用先前熟悉的描述加減關(guān)系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學(xué)生還可能利用二年級學(xué)習(xí)過的“倍的認(rèn)識”說：“5個(gè)2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時(shí)恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產(chǎn)生了。

通過“聽說”初步感受分?jǐn)?shù)的含義后，就需要用符號來表示分?jǐn)?shù)。符號作為一種數(shù)學(xué)的語言，具有“人造（Artificial）”的特點(diǎn)，其發(fā)生與發(fā)展必然是從“多樣”走向“統(tǒng)一”的過程。如果把分?jǐn)?shù)的符號表示方法直接告知學(xué)生，表面看省時(shí)省力，但失去的是學(xué)生經(jīng)歷發(fā)明符號的思考過程。為了讓學(xué)生經(jīng)歷這種“發(fā)明”的思考過程，針對第二個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以設(shè)計(jì)這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)：“你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發(fā)明。”在北京小學(xué)萬年花城分校“變教為學(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)”的課堂中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生依據(jù)這個(gè)任務(wù)開展活動后，的確出現(xiàn)了“多樣”的符號表達(dá)。（見圖5）

圖5 學(xué)生分?jǐn)?shù)符號表達(dá)

在這些符號表達(dá)中，學(xué)生運(yùn)用斜線、橫線、逗號等多種方式表達(dá)“分”的含義。而且還發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在寫“二分之一”的符號時(shí)，喜歡將2寫在左側(cè)或者上面。這實(shí)際上反映出平時(shí)習(xí)慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的符號是有影響的。分?jǐn)?shù)“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學(xué)生書寫也是這樣的順序。

在學(xué)生“多樣”的發(fā)明充分交流和展示之后，教師可以補(bǔ)充一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)：“同一個(gè)二分之一出現(xiàn)了這么多不同的符號，行嗎？應(yīng)當(dāng)怎么辦呢？”補(bǔ)充這個(gè)任務(wù)的目的在于引發(fā)學(xué)生思考，分?jǐn)?shù)符號作為一種數(shù)學(xué)語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統(tǒng)一，統(tǒng)一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個(gè)任務(wù)之后，為了進(jìn)一步溝通不同語言之間的聯(lián)系，深化對分?jǐn)?shù)含義的理解，可以再為學(xué)生布置一個(gè)任務(wù)：“舉個(gè)例子說明的意思，在小組內(nèi)交流不同的想法。”學(xué)生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個(gè)任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中自然會加深對分?jǐn)?shù)含義的理解。

如果時(shí)間允許，還可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科溝通聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。比如中國傳統(tǒng)文化中成語和詩詞的學(xué)習(xí)通常是語文課程中的內(nèi)容，如果引入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，一方面可以溝通不同學(xué)科知識之間的聯(lián)系，同時(shí)也能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義。在前面已經(jīng)初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)之后，可以利用成語“半斤八兩”設(shè)計(jì)如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“中國古代用‘斤’和‘兩’作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩’的說法，請你用今天學(xué)習(xí)的知識描述這個(gè)成語的意思。”這個(gè)任務(wù)的思考討論實(shí)際上已經(jīng)滲透了六年級將要學(xué)習(xí)的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關(guān)系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊(yùn)含著分?jǐn)?shù)含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖?！倍赐ズ呛鲜『秃笔〉姆纸?，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側(cè)，在樓中能夠遠(yuǎn)眺君山。“樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖”可以用分?jǐn)?shù)的語言描述為，把樓外的風(fēng)景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠(yuǎn)小的視覺效果。

“變教為學(xué)”教學(xué)改革期望的是學(xué)生“自由、自主、自信”地開展學(xué)習(xí)活動，為此就需要教師在備課中準(zhǔn)確把握知識的本質(zhì)屬性，合理設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，“把目標(biāo)變成任務(wù)、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學(xué)生對于執(zhí)行學(xué)習(xí)任務(wù)具有積極性和主動性，也就是所謂內(nèi)在的動機(jī)（Motivation），讓學(xué)習(xí)活動成為學(xué)生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學(xué)生都能夠明白自己應(yīng)當(dāng)做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學(xué)生都有做好的愿望，活動過程中有機(jī)會向同伴學(xué)習(xí)，也有機(jī)會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學(xué)生都有活動，每位學(xué)生都有機(jī)會”。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹.“變教為學(xué)”從哪兒做起[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（9）.