數(shù)學(xué)史對職前教師教學(xué)知識影響

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摘要：教學(xué)知識是教師特有的專業(yè)知識，對教師的教學(xué)有著重要的影響．以無理數(shù)的教學(xué)為例，研究數(shù)學(xué)史對職前教師教學(xué)知識的影響．研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史能提升職前教師的無理數(shù)教學(xué)知識．在學(xué)科內(nèi)容知識方面，數(shù)學(xué)史能幫助職前教師了解無理數(shù)和其它知識點之間的聯(lián)系，了解無理數(shù)及其名稱的由來．而數(shù)學(xué)史對職前教師教學(xué)內(nèi)容知識的影響更大，能幫助職前教師更準(zhǔn)確地判斷學(xué)生的思維過程，更好地把握教學(xué)的重難點，使得教學(xué)設(shè)計變得更加合理．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；教學(xué)知識；無理數(shù)

1研究背景

教師是一項專業(yè)性較強的職業(yè)，教師有效教學(xué)所需要的知識是教師的專業(yè)知識，可稱為教師教學(xué)知識或者教師知識，它有別于一般的學(xué)科知識，是教師職業(yè)專業(yè)化的必備特質(zhì)．以數(shù)學(xué)為例，一般學(xué)過數(shù)學(xué)的人只要能理解并運用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識即可，但作為數(shù)學(xué)教師除了需要掌握這些學(xué)科知識以外，還需要了解并掌握該知識點的重點和難點是什么，學(xué)生最容易出現(xiàn)哪些錯誤，該怎么教最適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，知識點與學(xué)生已掌握的知識之間有怎樣的聯(lián)系，該知識點需要講到什么深度即可，等等，這些都屬于教師教學(xué)知識的范疇．知識是個體的核心特質(zhì)，教師的教學(xué)知識直接影響著教師的教學(xué)行為，提升教師的教學(xué)知識，對促進教育的發(fā)展有著重要的價值．那么，哪些因素會影響教師的教學(xué)知識？教師教育中數(shù)學(xué)史課程的學(xué)習(xí)對教師的教學(xué)知識有著怎樣的影響？這些問題目前還缺乏深入研究，這里將以無理數(shù)的教學(xué)為例，探索數(shù)學(xué)史對職前教師教學(xué)知識的影響．

2理論基礎(chǔ)

在20世紀(jì)初期，就有學(xué)者關(guān)注教師的知識結(jié)構(gòu)和知識深度對教師教學(xué)的影響，并開始探討教師的有效教學(xué)都需要具備哪些知識[1]．在早期，學(xué)者們都意識到教師所具備的學(xué)科知識對教師的教學(xué)會產(chǎn)生直接的影響．有學(xué)者研究表明，教師的學(xué)科知識與學(xué)生的學(xué)業(yè)成就在一定程度內(nèi)（例如幾門課程內(nèi)）具有正相關(guān)性[2]；也有學(xué)者研究表明，教師的學(xué)科知識越多，教學(xué)越有效，與其它知識的聯(lián)結(jié)也越多[3]．但是，學(xué)科知識并不等價于教學(xué)知識，并不意味著教師掌握的學(xué)科知識越高深，教學(xué)效果就一定會越好，這點從很多一流數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)教學(xué)方面并不擅長就可以看出．在對教師教學(xué)所需要的知識進行深入探索后，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)除了學(xué)科知識影響教師的教學(xué)以外，有關(guān)教學(xué)方法的知識也會影響教師的教學(xué)，并在教學(xué)中扮演著重要的角色．甚至有學(xué)者認(rèn)為，怎么教比教什么更為重要[4]；也有學(xué)者認(rèn)為有關(guān)教學(xué)方法的知識是教師教學(xué)知識的核心[5]．在美國學(xué)者Shulman提出PCK的概念以后，人們逐漸開始從學(xué)科知識和教學(xué)方法的知識兩個方面對教師知識進行了研究，也提出了很多種教學(xué)知識的結(jié)構(gòu)模型．其中美國學(xué)者Ball所提出的MKT模型，近年來受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注．該模型基于扎根理論，將教師教學(xué)知識分為學(xué)科內(nèi)容知識（SMK）和教學(xué)內(nèi)容知識（PCK）兩個部分．其中學(xué)科內(nèi)容知識又分為一般內(nèi)容知識（CCK）、專門內(nèi)容知識（SCK）、水平內(nèi)容知識（HCK）3個方面；教學(xué)內(nèi)容知識分為內(nèi)容與學(xué)生的知識（KCS）、內(nèi)容與教學(xué)的知識（KCT）、內(nèi)容與課程的知識（KCC）3個部分[6]，具體如圖1所示．由于該模型和教師教學(xué)的特點比較吻合，能從“教什么”和“怎么教”兩個方面闡述教師有效教學(xué)所需要的知識結(jié)構(gòu)，在教學(xué)知識的研究中得到較為廣泛的運用．研究將以MKT模型為依據(jù)，分析教師教學(xué)知識的變化情況。數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的影響已有較多的研究，也有很多學(xué)者探討了數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教師的影響[7]，數(shù)學(xué)史對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響[8]，以及數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的各種策略[9]．但是從教學(xué)知識的視角，探討數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教師教學(xué)影響的研究還不多．鑒于教學(xué)知識的重要性和數(shù)學(xué)史的教育性，有必要對數(shù)學(xué)史和教師教學(xué)知識的聯(lián)系進行研究分析．在無理數(shù)的教學(xué)中，如何讓學(xué)生更好地認(rèn)識和接受無理數(shù)，是教師在教學(xué)中面臨的困難之一．之所以會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，有其必然性．因為在學(xué)習(xí)無理數(shù)以前，學(xué)生所接觸到的基本都是有限的世界，所學(xué)的概念都有著較強的現(xiàn)實背景；而無理數(shù)涉及到了無限的現(xiàn)象，要讓學(xué)生更好地理解無理數(shù)的概念，教師需要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生無限的意識．從知識點的歷史發(fā)展看，學(xué)生有這種困境也是必然的．無理數(shù)從出現(xiàn)，到被廣泛接受，歷經(jīng)了一千多年的時間，根據(jù)人類學(xué)習(xí)的歷史相似性，知識形成經(jīng)歷如此漫長的發(fā)展過程，要讓學(xué)生在短短的一節(jié)課中接受和理解它是十分困難的．目前，已有很多學(xué)者對無理數(shù)的教學(xué)進行了研究，有教師介紹了自己的無理數(shù)教學(xué)經(jīng)驗[10]，也有教師指出無理數(shù)教學(xué)所存在的幾種誤區(qū)[11]．有學(xué)者研究表明，學(xué)生雖然對無理數(shù)的形式定義掌握較好，但是存在概念表象比較單一、直覺與形式知識不一致、直覺與運算法則不一致等不足[12]．也有研究表明，職前教師對無理數(shù)和有理數(shù)的個數(shù)的理解比較弱[13]．在無理數(shù)的教學(xué)方面，有學(xué)者從定義、概念等7個方面對無理數(shù)的教學(xué)提出了建議[14]，也有研究表明可以用數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史來幫助教師改進無理數(shù)教學(xué)[15]．由此可見，雖然在無理數(shù)的教與學(xué)方面已有較多的研究，但是對于無理數(shù)教學(xué)中所需要的教師知識，以及影響因素有哪些還缺乏研究．這里就無理數(shù)的發(fā)展歷史對職前教師教學(xué)知識的影響情況進行分析．

3研究過程與結(jié)果

3.1研究方法與過程

不同的研究目的，需要不同的研究方法．一般來說，量化研究可以用來解決“是什么”的問題，而在研究“為什么”和“怎么樣”方面，質(zhì)性研究更適合[16]．鑒于教學(xué)知識的內(nèi)蘊性和復(fù)雜性，難以通過合適的量表來測量教師的教學(xué)知識，因此采用質(zhì)性研究會更為清晰地了解教師內(nèi)心的變化過程．在研究對象方面，從某高師院校的三年級數(shù)學(xué)師范生中隨機選取10位進行研究，在研究中分別用PT1-PT10表示．由于研究者即為數(shù)學(xué)史課程的授課教師，因此也屬于行動研究的范疇，研究者將通過數(shù)學(xué)史課堂內(nèi)外的觀察，更好地了解職前教師教學(xué)知識的變化情況．研究過程可分為5個步驟：（1）要求職前教師在微格教室，對浙教版七年級上冊3.2實數(shù)的內(nèi)容進行模擬教學(xué)（1課時），并提交教學(xué)視頻和教學(xué)設(shè)計．（2）隨后，研究者向他們介紹了無理數(shù)的發(fā)展歷史，包括從公元前Pythagoras學(xué)派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，到Eudoxus和Archytas的新比例理論；從西方學(xué)者對無理數(shù)的排斥到東方學(xué)者對無理數(shù)的巧妙處理；從近代部分西方學(xué)者開始逐步接受無理數(shù)，到Weierstrass、Meray、Dedekind和Cantor等數(shù)學(xué)家所建立的無理數(shù)理論．以及無理數(shù)名詞的由來，無理數(shù)教與學(xué)的現(xiàn)狀，并向他們展示了若干數(shù)學(xué)史融入無理數(shù)教學(xué)的案例．（3）在了解無理數(shù)的發(fā)展歷史后，職前教師對原先自己的模擬教學(xué)進行反思．（4）反思過后，職前教師對原先的教學(xué)設(shè)計進行修改，并再次進行模擬上課，以及撰寫自己的心得體會．（5）最后，研究者對職前教師逐一進行訪談，訪談的主要目的是為了解他們的無理數(shù)教學(xué)知識是否出現(xiàn)了變化？有什么變化？這些變化是否屬于數(shù)學(xué)史的影響？等等．訪談過程結(jié)合他們的模擬教學(xué)視頻和教學(xué)設(shè)計，以幫助訪談?wù)哌M行刺激回憶．

3.2研究結(jié)果

通過對職前教師的訪談，以及他們前后兩次教學(xué)視頻和教學(xué)設(shè)計的對比發(fā)現(xiàn)，職前教師在了解無理數(shù)發(fā)展歷史前后教學(xué)知識的變化情況存在較強的一致性，但是在變化強度方面存在較大的區(qū)別。數(shù)學(xué)史對職前教師無理數(shù)教學(xué)的一般內(nèi)容知識（CCK，主要指學(xué)科的本體性知識）和專門內(nèi)容知識（SCK，指分析和解釋學(xué)科內(nèi)容的知識，包括掌握多種解題方法、能解釋解題過程、分析錯誤原因等）有所影響，但變化不大．例如有部分職前教師是通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，才知道了可以用反證法來證明2是無理數(shù)；也有部分教師通過數(shù)學(xué)史才了解無限不循環(huán)和兩數(shù)不可比之間的聯(lián)系．當(dāng)然，也有部分教師是在這之前就知道了．相比較而言，在無理數(shù)教學(xué)的水平內(nèi)容知識（HCK）方面，職前教師的變化更大一些．教師的水平內(nèi)容知識指教師能用聯(lián)系的視角看待數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)概念在不同階段的發(fā)展情況．在接觸實數(shù)數(shù)學(xué)史知識前，職前教師對實數(shù)的認(rèn)識還是孤立的．例如在教學(xué)的開始階段，他們一般就會向?qū)W生介紹什么是無理數(shù)，進而用大量的時間來說明實數(shù)的分類，如何在數(shù)軸上表示實數(shù)等練習(xí)性內(nèi)容．而在了解了無理數(shù)的發(fā)展過程以后，職前教師改變了這種認(rèn)識，他們從歷史中知道了無理數(shù)概念的產(chǎn)生是社會發(fā)展的必要、無理數(shù)名稱的由來、歷史上無理數(shù)的各種定義、無理數(shù)和有理數(shù)個數(shù)的比較等，并都意識到只有從根本上理解了無限不循環(huán)，才能更好地理解無理數(shù)．從職前教師的訪談和教學(xué)反思中可證明他們的這種變化．從歷史中可以知道無理數(shù)的存在是因為它是有用的，因此教學(xué)中除了通過數(shù)軸說明無理數(shù)是存在的以外，還要指出無理數(shù)的價值，而不能很快地給出這個定義（PT6）；以前只知道有理數(shù)不夠用了，產(chǎn)生了無理數(shù)，但是不知道無理數(shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了這么曲折的過程，而且最后竟然發(fā)現(xiàn)無理數(shù)比有理數(shù)還多（PT2）；原來無理數(shù)有這么多的定義，但是還是現(xiàn)在書上的那個定義最好記（PT4）；聽了課以后才知道無理數(shù)和有理數(shù)名稱的來歷，無論這部分內(nèi)容要不要對學(xué)生說，教師自己掌握這些知識都是十分必要的（PT1）．由此可看出，通過對無理數(shù)發(fā)展歷史的了解，職前教師知道了無理數(shù)存在的必要性，無限不循環(huán)的特點；了解了無理數(shù)的產(chǎn)生除了需要有理數(shù)的知識基礎(chǔ)以外，還需要分割理論，等等．這些都說明了，無理數(shù)的歷史幫助教師了解了無理數(shù)與其它知識點的聯(lián)系，屬于水平內(nèi)容知識的范疇．（2）數(shù)學(xué)史對教師教學(xué)內(nèi)容知識的影響．研究發(fā)現(xiàn)，與學(xué)科內(nèi)容知識相比，數(shù)學(xué)史對職前教師無理數(shù)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容知識有著更大的影響，尤其是在內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）和內(nèi)容與學(xué)生知識（KCS）這兩個方面．內(nèi)容與教學(xué)知識是教師的數(shù)學(xué)知識與教學(xué)知識兩者的綜合體，具體體現(xiàn)在教師能根據(jù)不同的數(shù)學(xué)知識，設(shè)計合適的教學(xué)方式，選取合適的例子和練習(xí)題．從研究情況看，在數(shù)學(xué)史課程前，職前教師大多都是嚴(yán)格按照教材上的順序進行教學(xué)設(shè)計，對教學(xué)方式的優(yōu)缺點也沒有深入的思考．但是在了解了相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容后，他們都意識到無理數(shù)的發(fā)展不是一蹴而就的，是在長期的發(fā)展中逐步完善的．因此教學(xué)的設(shè)計不能過于簡單，而應(yīng)該由易到難逐步遞進，需要對教學(xué)的重點和難點做更多的設(shè)計．因此，都在新的教學(xué)設(shè)計中增加了例子，或者具有數(shù)學(xué)文化背景的教學(xué)內(nèi)容．教學(xué)中不僅更加重視了對學(xué)習(xí)無理數(shù)必要性的強調(diào)，還針對學(xué)生可能存在的疑慮進行了強化．例如，在研究中職前教師發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)這一論述的理解是教學(xué)的難點，學(xué)生對“無限”過程中是否一直都會“不循環(huán)”會存有疑慮．因此在后期的教學(xué)中，多數(shù)職前教師融入了阿基米德的反證法，用較為通俗的語言向?qū)W生介紹了2是無理數(shù)的證明過程．這不僅可以很好地消除學(xué)生的疑慮，突破教學(xué)難點，也在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．內(nèi)容與學(xué)生知識是教師關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)特點和知識基礎(chǔ)，以及所教學(xué)的知識點的類型、難度等方面的綜合體，包括教師能估計學(xué)生可能的想法，可能遇到的困難等方面的知識．在了解無理數(shù)的歷史以前，職前教師的教學(xué)設(shè)計較為單一，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程大多以教科書為參照。在簡單演示2的無限循環(huán)性后，提出了無理數(shù)的概念，然后做練習(xí)．訪談表明，職前教師之所以這么設(shè)計，是因為他們覺得無理數(shù)概念比較簡單，學(xué)生應(yīng)該能會比較容易理解．但是，在了解了無理數(shù)的相關(guān)歷史以后，職前教師意識到無理數(shù)是經(jīng)歷了一千多年才被大家所接受，要學(xué)生很快理解無限不循環(huán)的含義是比較困難的，有必要減緩教學(xué)的坡度，增加理解性的內(nèi)容或題目，此舉讓他們的教學(xué)設(shè)計更加合理．職前教師的訪談和教學(xué)反思都證明了他們的這一變化過程．例如PT4認(rèn)為，原來對教學(xué)想的太簡單了，以為用課本那個表格，可以讓學(xué)生理解2就是無限不循環(huán)的，從而接受無理數(shù)的概念，現(xiàn)在看來這種方式可能不太行，即使學(xué)生不反對無限不循環(huán)這種說法，他們的認(rèn)知里并沒有真正理解這一過程；PT2認(rèn)為，原來把學(xué)生想的太理想化了，認(rèn)為他們應(yīng)該很快就能接受無理數(shù)的概念，現(xiàn)在看看無理數(shù)被人接受經(jīng)歷了如此長期曲折的過程，要讓學(xué)生很快理解無限不循環(huán)就太不現(xiàn)實了，應(yīng)該設(shè)置一些情境，用例子來輔助說明，最重要的是要把無限不循環(huán)的這個特點講得清楚；PT6認(rèn)為，原來的教學(xué)設(shè)計即使學(xué)生課堂上知道了什么是無理數(shù)，也屬于死記硬背，缺乏理解很快就會忘記的，從歷史中可得知要學(xué)生理解無理數(shù)的概念，應(yīng)該讓學(xué)生充分地理解無理數(shù)的無限不循環(huán)，而不能簡單地拋出概念，然后要求他們不停地計算、解題．由此可看出，職前教師從無理數(shù)的發(fā)展歷史中得到了借鑒，對無理數(shù)的教學(xué)有了更深刻的認(rèn)識，認(rèn)為對于無理數(shù)的概念不能簡單地一筆帶過，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生充分地理解無限不循環(huán)的過程．可以說，數(shù)學(xué)史對職前教師無理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容知識產(chǎn)生了較大的影響．但是，研究中也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史對個別職前教師（PT7）的內(nèi)容與課程知識（KCC）產(chǎn)生了負(fù)面的影響．內(nèi)容與課程知識指教師要了解數(shù)學(xué)內(nèi)容在不同年級的課程中的出現(xiàn)順序以及難度等信息的知識．無理數(shù)的發(fā)展史上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理后，發(fā)現(xiàn)了直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊長度無法表示成兩個數(shù)之比，導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生．受到這段歷史的影響，研究者發(fā)現(xiàn)有職前教師利用勾股定理引出無理數(shù)2，這與教材中內(nèi)容出現(xiàn)的次序是相悖的．因為在教材中，學(xué)生是先接觸無理數(shù)，此后才學(xué)習(xí)勾股定理的知識．由于歷史和課程教學(xué)內(nèi)容的安排并不是完全不一致的，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史對個別職前教師無理數(shù)的內(nèi)容與課程知識有了負(fù)面的影響．由此可看出，數(shù)學(xué)史對教師教學(xué)知識的影響也可能是負(fù)面的，尤其是在知識點的歷史發(fā)展順序和知識點在教科書中出現(xiàn)的次序不一致的時候．

4研究結(jié)論

通過研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史對職前教師無理數(shù)教學(xué)的學(xué)科內(nèi)容知識有影響，但是幅度不大．對一般內(nèi)容知識沒什么影響，在專門內(nèi)容知識方面雖然有所促進，例如能正確的解釋并證明2是無理數(shù)，但是還不能認(rèn)為其有本質(zhì)上的提升．只在水平內(nèi)容知識方面有了一些提升，主要表現(xiàn)為了解了無理數(shù)和有理數(shù)的名詞來源，能用聯(lián)系的觀點看待無理數(shù)知識，也了解了無理數(shù)和高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，但是幅度還不大．而數(shù)學(xué)史對職前教師無理數(shù)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容知識有了較大提升，尤其是在內(nèi)容與教學(xué)知識和內(nèi)容與學(xué)生知識這兩個方面．這主要體現(xiàn)在，職前教師從無理數(shù)的發(fā)展歷史中意識到知識點是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展才逐步完善，才逐步被人所接受，學(xué)生要理解無理數(shù)不會那么容易，應(yīng)該在概念的呈現(xiàn)中優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，通過創(chuàng)設(shè)情境、展示不同例子，或者增加具有數(shù)學(xué)文化背景的內(nèi)容，讓學(xué)生更好地理解無理數(shù)，而不是簡單地引出概念后重復(fù)各種課堂練習(xí)．研究還發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史對個別教師無理數(shù)的內(nèi)容與課程知識產(chǎn)生了一些負(fù)面影響，這主要是由于教材中知識點出現(xiàn)的次序和歷史發(fā)展不完全一致引起的，后續(xù)研究需要引起重視．但是這點并不能掩蓋無理數(shù)的發(fā)展歷史有助于提升職前教師的無理數(shù)教學(xué)知識這一研究結(jié)論．從研究中可看出，了解知識點的歷史，教師不僅可以擴大知識面，加深學(xué)科知識的理解，還可以從知識點的歷史發(fā)展中，更好地判斷學(xué)生接受知識點的難易度，從而讓教學(xué)設(shè)計更加合理．一些歷史素材可以直接或者間接作為教學(xué)素材呈現(xiàn)給學(xué)生，提升課堂的文化品味．?dāng)?shù)學(xué)史是一座大寶藏，如果認(rèn)為數(shù)學(xué)史僅僅是可以讓教師在課堂教學(xué)中講一些數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這種認(rèn)識是十分片面和狹隘的．研究表明，數(shù)學(xué)史可以提升教師的教學(xué)知識，促進教師的專業(yè)發(fā)展．讓教師的教學(xué)更有自信，也能更好地實現(xiàn)“立德樹人”的教育目的．研究也說明了，在教師教育中開設(shè)數(shù)學(xué)史課程，從教學(xué)的視角向職前教師闡述數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是十分有必要的。

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作者：黃友初 單位：南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所