數(shù)學史對職前教師教學知識影響

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摘要：教學知識是教師特有的專業(yè)知識，對教師的教學有著重要的影響．以無理數(shù)的教學為例，研究數(shù)學史對職前教師教學知識的影響．研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史能提升職前教師的無理數(shù)教學知識．在學科內(nèi)容知識方面，數(shù)學史能幫助職前教師了解無理數(shù)和其它知識點之間的聯(lián)系，了解無理數(shù)及其名稱的由來．而數(shù)學史對職前教師教學內(nèi)容知識的影響更大，能幫助職前教師更準確地判斷學生的思維過程，更好地把握教學的重難點，使得教學設(shè)計變得更加合理．

關(guān)鍵詞：數(shù)學史；教學知識；無理數(shù)

1研究背景

教師是一項專業(yè)性較強的職業(yè)，教師有效教學所需要的知識是教師的專業(yè)知識，可稱為教師教學知識或者教師知識，它有別于一般的學科知識，是教師職業(yè)專業(yè)化的必備特質(zhì)．以數(shù)學為例，一般學過數(shù)學的人只要能理解并運用相關(guān)的數(shù)學知識即可，但作為數(shù)學教師除了需要掌握這些學科知識以外，還需要了解并掌握該知識點的重點和難點是什么，學生最容易出現(xiàn)哪些錯誤，該怎么教最適合學生的學習，知識點與學生已掌握的知識之間有怎樣的聯(lián)系，該知識點需要講到什么深度即可，等等，這些都屬于教師教學知識的范疇．知識是個體的核心特質(zhì)，教師的教學知識直接影響著教師的教學行為，提升教師的教學知識，對促進教育的發(fā)展有著重要的價值．那么，哪些因素會影響教師的教學知識？教師教育中數(shù)學史課程的學習對教師的教學知識有著怎樣的影響？這些問題目前還缺乏深入研究，這里將以無理數(shù)的教學為例，探索數(shù)學史對職前教師教學知識的影響．

2理論基礎(chǔ)

在20世紀初期，就有學者關(guān)注教師的知識結(jié)構(gòu)和知識深度對教師教學的影響，并開始探討教師的有效教學都需要具備哪些知識[1]．在早期，學者們都意識到教師所具備的學科知識對教師的教學會產(chǎn)生直接的影響．有學者研究表明，教師的學科知識與學生的學業(yè)成就在一定程度內(nèi)（例如幾門課程內(nèi)）具有正相關(guān)性[2]；也有學者研究表明，教師的學科知識越多，教學越有效，與其它知識的聯(lián)結(jié)也越多[3]．但是，學科知識并不等價于教學知識，并不意味著教師掌握的學科知識越高深，教學效果就一定會越好，這點從很多一流數(shù)學家在數(shù)學教學方面并不擅長就可以看出．在對教師教學所需要的知識進行深入探索后，學者們發(fā)現(xiàn)除了學科知識影響教師的教學以外，有關(guān)教學方法的知識也會影響教師的教學，并在教學中扮演著重要的角色．甚至有學者認為，怎么教比教什么更為重要[4]；也有學者認為有關(guān)教學方法的知識是教師教學知識的核心[5]．在美國學者Shulman提出PCK的概念以后，人們逐漸開始從學科知識和教學方法的知識兩個方面對教師知識進行了研究，也提出了很多種教學知識的結(jié)構(gòu)模型．其中美國學者Ball所提出的MKT模型，近年來受到學者們的廣泛關(guān)注．該模型基于扎根理論，將教師教學知識分為學科內(nèi)容知識（SMK）和教學內(nèi)容知識（PCK）兩個部分．其中學科內(nèi)容知識又分為一般內(nèi)容知識（CCK）、專門內(nèi)容知識（SCK）、水平內(nèi)容知識（HCK）3個方面；教學內(nèi)容知識分為內(nèi)容與學生的知識（KCS）、內(nèi)容與教學的知識（KCT）、內(nèi)容與課程的知識（KCC）3個部分[6]，具體如圖1所示．由于該模型和教師教學的特點比較吻合，能從“教什么”和“怎么教”兩個方面闡述教師有效教學所需要的知識結(jié)構(gòu)，在教學知識的研究中得到較為廣泛的運用．研究將以MKT模型為依據(jù)，分析教師教學知識的變化情況。數(shù)學史對數(shù)學教育的影響已有較多的研究，也有很多學者探討了數(shù)學史對數(shù)學教師的影響[7]，數(shù)學史對學生數(shù)學學習的影響[8]，以及數(shù)學史融入數(shù)學教學的各種策略[9]．但是從教學知識的視角，探討數(shù)學史對數(shù)學教師教學影響的研究還不多．鑒于教學知識的重要性和數(shù)學史的教育性，有必要對數(shù)學史和教師教學知識的聯(lián)系進行研究分析．在無理數(shù)的教學中，如何讓學生更好地認識和接受無理數(shù)，是教師在教學中面臨的困難之一．之所以會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，有其必然性．因為在學習無理數(shù)以前，學生所接觸到的基本都是有限的世界，所學的概念都有著較強的現(xiàn)實背景；而無理數(shù)涉及到了無限的現(xiàn)象，要讓學生更好地理解無理數(shù)的概念，教師需要在教學中培養(yǎng)學生無限的意識．從知識點的歷史發(fā)展看，學生有這種困境也是必然的．無理數(shù)從出現(xiàn)，到被廣泛接受，歷經(jīng)了一千多年的時間，根據(jù)人類學習的歷史相似性，知識形成經(jīng)歷如此漫長的發(fā)展過程，要讓學生在短短的一節(jié)課中接受和理解它是十分困難的．目前，已有很多學者對無理數(shù)的教學進行了研究，有教師介紹了自己的無理數(shù)教學經(jīng)驗[10]，也有教師指出無理數(shù)教學所存在的幾種誤區(qū)[11]．有學者研究表明，學生雖然對無理數(shù)的形式定義掌握較好，但是存在概念表象比較單一、直覺與形式知識不一致、直覺與運算法則不一致等不足[12]．也有研究表明，職前教師對無理數(shù)和有理數(shù)的個數(shù)的理解比較弱[13]．在無理數(shù)的教學方面，有學者從定義、概念等7個方面對無理數(shù)的教學提出了建議[14]，也有研究表明可以用數(shù)學文化和數(shù)學史來幫助教師改進無理數(shù)教學[15]．由此可見，雖然在無理數(shù)的教與學方面已有較多的研究，但是對于無理數(shù)教學中所需要的教師知識，以及影響因素有哪些還缺乏研究．這里就無理數(shù)的發(fā)展歷史對職前教師教學知識的影響情況進行分析．

3研究過程與結(jié)果

3.1研究方法與過程

不同的研究目的，需要不同的研究方法．一般來說，量化研究可以用來解決“是什么”的問題，而在研究“為什么”和“怎么樣”方面，質(zhì)性研究更適合[16]．鑒于教學知識的內(nèi)蘊性和復雜性，難以通過合適的量表來測量教師的教學知識，因此采用質(zhì)性研究會更為清晰地了解教師內(nèi)心的變化過程．在研究對象方面，從某高師院校的三年級數(shù)學師范生中隨機選取10位進行研究，在研究中分別用PT1-PT10表示．由于研究者即為數(shù)學史課程的授課教師，因此也屬于行動研究的范疇，研究者將通過數(shù)學史課堂內(nèi)外的觀察，更好地了解職前教師教學知識的變化情況．研究過程可分為5個步驟：（1）要求職前教師在微格教室，對浙教版七年級上冊3.2實數(shù)的內(nèi)容進行模擬教學（1課時），并提交教學視頻和教學設(shè)計．（2）隨后，研究者向他們介紹了無理數(shù)的發(fā)展歷史，包括從公元前Pythagoras學派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，到Eudoxus和Archytas的新比例理論；從西方學者對無理數(shù)的排斥到東方學者對無理數(shù)的巧妙處理；從近代部分西方學者開始逐步接受無理數(shù)，到Weierstrass、Meray、Dedekind和Cantor等數(shù)學家所建立的無理數(shù)理論．以及無理數(shù)名詞的由來，無理數(shù)教與學的現(xiàn)狀，并向他們展示了若干數(shù)學史融入無理數(shù)教學的案例．（3）在了解無理數(shù)的發(fā)展歷史后，職前教師對原先自己的模擬教學進行反思．（4）反思過后，職前教師對原先的教學設(shè)計進行修改，并再次進行模擬上課，以及撰寫自己的心得體會．（5）最后，研究者對職前教師逐一進行訪談，訪談的主要目的是為了解他們的無理數(shù)教學知識是否出現(xiàn)了變化？有什么變化？這些變化是否屬于數(shù)學史的影響？等等．訪談過程結(jié)合他們的模擬教學視頻和教學設(shè)計，以幫助訪談?wù)哌M行刺激回憶．

3.2研究結(jié)果

通過對職前教師的訪談，以及他們前后兩次教學視頻和教學設(shè)計的對比發(fā)現(xiàn)，職前教師在了解無理數(shù)發(fā)展歷史前后教學知識的變化情況存在較強的一致性，但是在變化強度方面存在較大的區(qū)別。數(shù)學史對職前教師無理數(shù)教學的一般內(nèi)容知識（CCK，主要指學科的本體性知識）和專門內(nèi)容知識（SCK，指分析和解釋學科內(nèi)容的知識，包括掌握多種解題方法、能解釋解題過程、分析錯誤原因等）有所影響，但變化不大．例如有部分職前教師是通過數(shù)學史的學習，才知道了可以用反證法來證明2是無理數(shù)；也有部分教師通過數(shù)學史才了解無限不循環(huán)和兩數(shù)不可比之間的聯(lián)系．當然，也有部分教師是在這之前就知道了．相比較而言，在無理數(shù)教學的水平內(nèi)容知識（HCK）方面，職前教師的變化更大一些．教師的水平內(nèi)容知識指教師能用聯(lián)系的視角看待數(shù)學，了解數(shù)學概念在不同階段的發(fā)展情況．在接觸實數(shù)數(shù)學史知識前，職前教師對實數(shù)的認識還是孤立的．例如在教學的開始階段，他們一般就會向?qū)W生介紹什么是無理數(shù)，進而用大量的時間來說明實數(shù)的分類，如何在數(shù)軸上表示實數(shù)等練習性內(nèi)容．而在了解了無理數(shù)的發(fā)展過程以后，職前教師改變了這種認識，他們從歷史中知道了無理數(shù)概念的產(chǎn)生是社會發(fā)展的必要、無理數(shù)名稱的由來、歷史上無理數(shù)的各種定義、無理數(shù)和有理數(shù)個數(shù)的比較等，并都意識到只有從根本上理解了無限不循環(huán)，才能更好地理解無理數(shù)．從職前教師的訪談和教學反思中可證明他們的這種變化．從歷史中可以知道無理數(shù)的存在是因為它是有用的，因此教學中除了通過數(shù)軸說明無理數(shù)是存在的以外，還要指出無理數(shù)的價值，而不能很快地給出這個定義（PT6）；以前只知道有理數(shù)不夠用了，產(chǎn)生了無理數(shù)，但是不知道無理數(shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了這么曲折的過程，而且最后竟然發(fā)現(xiàn)無理數(shù)比有理數(shù)還多（PT2）；原來無理數(shù)有這么多的定義，但是還是現(xiàn)在書上的那個定義最好記（PT4）；聽了課以后才知道無理數(shù)和有理數(shù)名稱的來歷，無論這部分內(nèi)容要不要對學生說，教師自己掌握這些知識都是十分必要的（PT1）．由此可看出，通過對無理數(shù)發(fā)展歷史的了解，職前教師知道了無理數(shù)存在的必要性，無限不循環(huán)的特點；了解了無理數(shù)的產(chǎn)生除了需要有理數(shù)的知識基礎(chǔ)以外，還需要分割理論，等等．這些都說明了，無理數(shù)的歷史幫助教師了解了無理數(shù)與其它知識點的聯(lián)系，屬于水平內(nèi)容知識的范疇．（2）數(shù)學史對教師教學內(nèi)容知識的影響．研究發(fā)現(xiàn)，與學科內(nèi)容知識相比，數(shù)學史對職前教師無理數(shù)教學的教學內(nèi)容知識有著更大的影響，尤其是在內(nèi)容與教學知識（KCT）和內(nèi)容與學生知識（KCS）這兩個方面．內(nèi)容與教學知識是教師的數(shù)學知識與教學知識兩者的綜合體，具體體現(xiàn)在教師能根據(jù)不同的數(shù)學知識，設(shè)計合適的教學方式，選取合適的例子和練習題．從研究情況看，在數(shù)學史課程前，職前教師大多都是嚴格按照教材上的順序進行教學設(shè)計，對教學方式的優(yōu)缺點也沒有深入的思考．但是在了解了相關(guān)的數(shù)學史內(nèi)容后，他們都意識到無理數(shù)的發(fā)展不是一蹴而就的，是在長期的發(fā)展中逐步完善的．因此教學的設(shè)計不能過于簡單，而應(yīng)該由易到難逐步遞進，需要對教學的重點和難點做更多的設(shè)計．因此，都在新的教學設(shè)計中增加了例子，或者具有數(shù)學文化背景的教學內(nèi)容．教學中不僅更加重視了對學習無理數(shù)必要性的強調(diào)，還針對學生可能存在的疑慮進行了強化．例如，在研究中職前教師發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)這一論述的理解是教學的難點，學生對“無限”過程中是否一直都會“不循環(huán)”會存有疑慮．因此在后期的教學中，多數(shù)職前教師融入了阿基米德的反證法，用較為通俗的語言向?qū)W生介紹了2是無理數(shù)的證明過程．這不僅可以很好地消除學生的疑慮，突破教學難點，也在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性．內(nèi)容與學生知識是教師關(guān)于學生學習特點和知識基礎(chǔ)，以及所教學的知識點的類型、難度等方面的綜合體，包括教師能估計學生可能的想法，可能遇到的困難等方面的知識．在了解無理數(shù)的歷史以前，職前教師的教學設(shè)計較為單一，教學內(nèi)容和教學過程大多以教科書為參照。在簡單演示2的無限循環(huán)性后，提出了無理數(shù)的概念，然后做練習．訪談表明，職前教師之所以這么設(shè)計，是因為他們覺得無理數(shù)概念比較簡單，學生應(yīng)該能會比較容易理解．但是，在了解了無理數(shù)的相關(guān)歷史以后，職前教師意識到無理數(shù)是經(jīng)歷了一千多年才被大家所接受，要學生很快理解無限不循環(huán)的含義是比較困難的，有必要減緩教學的坡度，增加理解性的內(nèi)容或題目，此舉讓他們的教學設(shè)計更加合理．職前教師的訪談和教學反思都證明了他們的這一變化過程．例如PT4認為，原來對教學想的太簡單了，以為用課本那個表格，可以讓學生理解2就是無限不循環(huán)的，從而接受無理數(shù)的概念，現(xiàn)在看來這種方式可能不太行，即使學生不反對無限不循環(huán)這種說法，他們的認知里并沒有真正理解這一過程；PT2認為，原來把學生想的太理想化了，認為他們應(yīng)該很快就能接受無理數(shù)的概念，現(xiàn)在看看無理數(shù)被人接受經(jīng)歷了如此長期曲折的過程，要讓學生很快理解無限不循環(huán)就太不現(xiàn)實了，應(yīng)該設(shè)置一些情境，用例子來輔助說明，最重要的是要把無限不循環(huán)的這個特點講得清楚；PT6認為，原來的教學設(shè)計即使學生課堂上知道了什么是無理數(shù)，也屬于死記硬背，缺乏理解很快就會忘記的，從歷史中可得知要學生理解無理數(shù)的概念，應(yīng)該讓學生充分地理解無理數(shù)的無限不循環(huán)，而不能簡單地拋出概念，然后要求他們不停地計算、解題．由此可看出，職前教師從無理數(shù)的發(fā)展歷史中得到了借鑒，對無理數(shù)的教學有了更深刻的認識，認為對于無理數(shù)的概念不能簡單地一筆帶過，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境，讓學生充分地理解無限不循環(huán)的過程．可以說，數(shù)學史對職前教師無理數(shù)的教學內(nèi)容知識產(chǎn)生了較大的影響．但是，研究中也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史對個別職前教師（PT7）的內(nèi)容與課程知識（KCC）產(chǎn)生了負面的影響．內(nèi)容與課程知識指教師要了解數(shù)學內(nèi)容在不同年級的課程中的出現(xiàn)順序以及難度等信息的知識．無理數(shù)的發(fā)展史上，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理后，發(fā)現(xiàn)了直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊長度無法表示成兩個數(shù)之比，導致了無理數(shù)的產(chǎn)生．受到這段歷史的影響，研究者發(fā)現(xiàn)有職前教師利用勾股定理引出無理數(shù)2，這與教材中內(nèi)容出現(xiàn)的次序是相悖的．因為在教材中，學生是先接觸無理數(shù)，此后才學習勾股定理的知識．由于歷史和課程教學內(nèi)容的安排并不是完全不一致的，導致了數(shù)學史對個別職前教師無理數(shù)的內(nèi)容與課程知識有了負面的影響．由此可看出，數(shù)學史對教師教學知識的影響也可能是負面的，尤其是在知識點的歷史發(fā)展順序和知識點在教科書中出現(xiàn)的次序不一致的時候．

4研究結(jié)論

通過研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學史對職前教師無理數(shù)教學的學科內(nèi)容知識有影響，但是幅度不大．對一般內(nèi)容知識沒什么影響，在專門內(nèi)容知識方面雖然有所促進，例如能正確的解釋并證明2是無理數(shù)，但是還不能認為其有本質(zhì)上的提升．只在水平內(nèi)容知識方面有了一些提升，主要表現(xiàn)為了解了無理數(shù)和有理數(shù)的名詞來源，能用聯(lián)系的觀點看待無理數(shù)知識，也了解了無理數(shù)和高等數(shù)學之間的聯(lián)系，但是幅度還不大．而數(shù)學史對職前教師無理數(shù)教學的教學內(nèi)容知識有了較大提升，尤其是在內(nèi)容與教學知識和內(nèi)容與學生知識這兩個方面．這主要體現(xiàn)在，職前教師從無理數(shù)的發(fā)展歷史中意識到知識點是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展才逐步完善，才逐步被人所接受，學生要理解無理數(shù)不會那么容易，應(yīng)該在概念的呈現(xiàn)中優(yōu)化教學設(shè)計，通過創(chuàng)設(shè)情境、展示不同例子，或者增加具有數(shù)學文化背景的內(nèi)容，讓學生更好地理解無理數(shù)，而不是簡單地引出概念后重復各種課堂練習．研究還發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史對個別教師無理數(shù)的內(nèi)容與課程知識產(chǎn)生了一些負面影響，這主要是由于教材中知識點出現(xiàn)的次序和歷史發(fā)展不完全一致引起的，后續(xù)研究需要引起重視．但是這點并不能掩蓋無理數(shù)的發(fā)展歷史有助于提升職前教師的無理數(shù)教學知識這一研究結(jié)論．從研究中可看出，了解知識點的歷史，教師不僅可以擴大知識面，加深學科知識的理解，還可以從知識點的歷史發(fā)展中，更好地判斷學生接受知識點的難易度，從而讓教學設(shè)計更加合理．一些歷史素材可以直接或者間接作為教學素材呈現(xiàn)給學生，提升課堂的文化品味．數(shù)學史是一座大寶藏，如果認為數(shù)學史僅僅是可以讓教師在課堂教學中講一些數(shù)學故事，激發(fā)學生的學習興趣，這種認識是十分片面和狹隘的．研究表明，數(shù)學史可以提升教師的教學知識，促進教師的專業(yè)發(fā)展．讓教師的教學更有自信，也能更好地實現(xiàn)“立德樹人”的教育目的．研究也說明了，在教師教育中開設(shè)數(shù)學史課程，從教學的視角向職前教師闡述數(shù)學的發(fā)展歷史是十分有必要的。

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作者：黃友初 單位：南京師范大學課程與教學研究所