高等數(shù)學(xué)中微積分經(jīng)濟(jì)的應(yīng)用

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摘要：隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)程不斷加快，科學(xué)技術(shù)水平不斷提升，我國(guó)逐漸轉(zhuǎn)向知識(shí)經(jīng)濟(jì)發(fā)展時(shí)代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位得到有效鞏固，呈現(xiàn)逐漸上升的趨勢(shì)。信息化進(jìn)程快速推進(jìn)，經(jīng)濟(jì)理論中的定性分析方式逐漸變化為定量與定性相結(jié)合的分析方式，主要采用數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行深入論證以及證明。高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)程中起著關(guān)鍵的推動(dòng)作用。目前，我國(guó)各大高校已經(jīng)將高等數(shù)學(xué)應(yīng)用于多個(gè)專業(yè)領(lǐng)域之中，越來(lái)越多的人意識(shí)到可以采用高等數(shù)學(xué)的方式來(lái)對(duì)經(jīng)濟(jì)理論進(jìn)行深入解析。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)微積分經(jīng)濟(jì)應(yīng)用分析

高等數(shù)學(xué)逐漸被廣泛應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，不僅為經(jīng)濟(jì)研究奠定了良好的基礎(chǔ)，還成為一種具有科學(xué)性、合理性的技術(shù)，在日常生活中起著不容小覷的作用。數(shù)學(xué)知識(shí)不僅貫穿于人們生產(chǎn)生活的發(fā)展始終，還被深入應(yīng)用于各大科技領(lǐng)域。高等數(shù)學(xué)中的微積分應(yīng)用較為寬廣，可以將其應(yīng)用于物理、經(jīng)濟(jì)、交通以及工程相關(guān)領(lǐng)域中。因此，在經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的今天，將數(shù)學(xué)價(jià)值充分發(fā)揮出來(lái)成為一項(xiàng)重要任務(wù)，讓學(xué)生全面利用與高等數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)分析社會(huì)中存在的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象成為一項(xiàng)關(guān)鍵內(nèi)容。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的缺陷

高等數(shù)學(xué)中最顯著的特征是抽象性、邏輯性、應(yīng)用性。目前我國(guó)大學(xué)生普遍存在不愛(ài)學(xué)習(xí)高等的現(xiàn)象，沒(méi)有興趣進(jìn)行以后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。高校數(shù)學(xué)老師在考試前會(huì)為學(xué)生圈出重點(diǎn)內(nèi)容，幫助學(xué)生簡(jiǎn)單了解重點(diǎn)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生難以對(duì)其進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)常抱著60分萬(wàn)歲的心態(tài)，嚴(yán)重缺乏積極主動(dòng)性。

二、高等數(shù)學(xué)中微積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

1.采用微積分進(jìn)行邊際分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)邊際問(wèn)題，主要包括邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)等內(nèi)容。邊際問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是問(wèn)題中涉及經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率。如果一個(gè)函數(shù)用f(x)表示，那么其導(dǎo)函數(shù)就可以用f'(x)表示，導(dǎo)函數(shù)就成為該函數(shù)的邊際函數(shù)。對(duì)邊際函數(shù)中某一個(gè)點(diǎn)求值時(shí)，這個(gè)值就成為這個(gè)邊際函數(shù)的邊際值。在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)給出總成本函數(shù)來(lái)求出邊際成本。邊際成本的求法是對(duì)總成本函數(shù)的產(chǎn)量進(jìn)行求導(dǎo)，闡釋的經(jīng)濟(jì)內(nèi)涵為：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位所導(dǎo)致總成本增加的值；邊際收益的求法是對(duì)總收益函數(shù)中的銷售量來(lái)求導(dǎo)，表達(dá)的經(jīng)濟(jì)內(nèi)涵是銷售量為q時(shí)，再銷售一個(gè)單位所導(dǎo)致總收益增加的量；邊際利潤(rùn)是對(duì)總利潤(rùn)函數(shù)中的銷售量來(lái)求導(dǎo)，包含的主要內(nèi)容是當(dāng)銷售量為q時(shí)，對(duì)其銷售一個(gè)單位時(shí)，總利潤(rùn)所增加的值。例如，某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=80-0.1x，成本函數(shù)為C(x)=5000+20x（元）。求邊際利潤(rùn)函數(shù)L'(x)，分別求x=150和x=400時(shí)的邊際利潤(rùn)并說(shuō)出所表達(dá)的經(jīng)濟(jì)含義。解：根據(jù)已知題意，利潤(rùn)函數(shù)L(x)=需求量×價(jià)格-成本函數(shù)=x(80-0.1x)-(5000+20x)=-0.1x2+60x-5000，所以若想求出邊際利潤(rùn)函數(shù)就要對(duì)利潤(rùn)函數(shù)L(x)進(jìn)行求導(dǎo)工作，最終得出邊際利潤(rùn)函數(shù)L'(x)=-0.2x+60，故L'(x)丨(x=150)=-0.2×150+60=30，L'(x)丨(x=400)=-0.2×400+60=-20。當(dāng)x=150時(shí)，表達(dá)的經(jīng)濟(jì)含義為：當(dāng)需求量為150時(shí)，再增加一件利潤(rùn)將會(huì)增加30元。當(dāng)x=400時(shí)，表達(dá)的經(jīng)濟(jì)含義為：當(dāng)需求量為400時(shí)，再增加一件利潤(rùn)將會(huì)虧損20元。該例題可以全面反映出并不是消費(fèi)者的需求量增高就使企業(yè)獲得的利潤(rùn)額度一同升高，相反企業(yè)很有可能出現(xiàn)虧損。雖然例題中邊際利潤(rùn)、邊際成本、邊際收益等相關(guān)問(wèn)題的求解方式較簡(jiǎn)單，但將其應(yīng)用于實(shí)際生活中較難理解，而且在實(shí)際生活之中與邊際相關(guān)的問(wèn)題解決方式起著重要的作用。邊際革命在西方經(jīng)濟(jì)理論之中具有較高的價(jià)值意義，同時(shí)也是一種新的發(fā)展趨勢(shì)。分析價(jià)值意義時(shí)，可以廣泛應(yīng)用邊際效用學(xué)說(shuō)以及計(jì)算邊際效益的方式，促使研究人員能夠?qū)r(jià)值效益進(jìn)行深入認(rèn)識(shí)與研究，全方面了解產(chǎn)品價(jià)值與邊際效用之間的直接聯(lián)系。對(duì)邊際概念進(jìn)行深入了解時(shí)，可以采用高等數(shù)學(xué)中的微積分理念，使個(gè)人獲得最大收益以及能夠妥善處理經(jīng)濟(jì)均衡點(diǎn)，最終促使邊際學(xué)說(shuō)被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的各大分支之中。邊際分析體現(xiàn)的實(shí)質(zhì)內(nèi)容是經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)以及心理學(xué)的全面整合，即微積分，充分利用微積分深入研究經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)理論內(nèi)容。因此，在從事相關(guān)經(jīng)濟(jì)工作時(shí)，相關(guān)工作人員要采用合理且科學(xué)的措施處理相關(guān)邊際問(wèn)題，幫助企業(yè)決策人員做出正確的經(jīng)濟(jì)決策，為企業(yè)帶來(lái)良好的經(jīng)濟(jì)收益。

2.采用微積分開(kāi)展彈性分析

實(shí)際生活之中，我們不僅要對(duì)邊際絕對(duì)改變量以及絕對(duì)變化率進(jìn)行分析，還要對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的相對(duì)改變量以及變化率進(jìn)行深入研究。彈性分析主要研究的內(nèi)容是一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之幾會(huì)對(duì)另一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)變量帶來(lái)哪種影響，實(shí)際就是反映出兩者發(fā)生變化時(shí)對(duì)兩者敏感程度造成的影響。彈性分析不僅廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析之中，在日常生活之中也被廣泛應(yīng)用。彈性公式為：E=數(shù)量的相對(duì)變動(dòng)÷價(jià)格的相對(duì)變動(dòng)。由于經(jīng)濟(jì)函數(shù)不同，彈性也不相同，而且彈性種類較多，較為常見(jiàn)的就是需求價(jià)格彈性。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析過(guò)程中，合理確定需求價(jià)格彈性有助于預(yù)測(cè)市場(chǎng)的走向趨勢(shì)以及定價(jià)策略的制定。若需求函數(shù)為Q=Q(p)，則需求彈性為Ed=-dQ/dP×P/Q。當(dāng)需求彈性大于1時(shí)，說(shuō)明商品需求富含彈性，即商品的需求量變化程度較高且高于價(jià)格的變動(dòng)，這時(shí)可以采取降低價(jià)格的方式增加收入和需求量。當(dāng)需求彈性等于1時(shí)，說(shuō)明商品需求彈性為單位彈性，表明商品需求量與價(jià)格變化同步，采取何種方式都不會(huì)對(duì)收入帶來(lái)影響。當(dāng)需求彈性小于1時(shí)，說(shuō)明商品需求缺乏彈性，表明商品的需求量變化比價(jià)格變化程度低，這時(shí)可以采取提升價(jià)格的方式增加收入。根據(jù)需求彈性所表示的經(jīng)濟(jì)含義，商品需求彈性較高時(shí)，需求量與價(jià)格之間發(fā)生變動(dòng)的程度較為敏感，銷售方可以采用降低價(jià)格的方式促進(jìn)消費(fèi)者消費(fèi)，為企業(yè)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)利益。當(dāng)商品需求組彈性較低時(shí)，兩者之間的相互影響較為緩慢，銷售者可以適當(dāng)提升商品價(jià)格，降低因銷售量減少而對(duì)整體經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生的不利影響。根據(jù)相關(guān)調(diào)查顯示，日常生活中必需品的需求價(jià)格彈性較低，而奢侈品、轎車等商品的需求價(jià)格彈性較高。

3.充分利用微積分求最值

在實(shí)際生活中對(duì)經(jīng)濟(jì)情況進(jìn)行分析時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)最大收益、最佳成本等相關(guān)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)可以將這一系列的問(wèn)題歸類為函數(shù)最值問(wèn)題，即求出邊際函數(shù)上邊際點(diǎn)的極值。最優(yōu)化理論不僅是經(jīng)濟(jì)決策者做出最優(yōu)方案的依據(jù)，同時(shí)還是開(kāi)展經(jīng)濟(jì)分析時(shí)常用的原理。最優(yōu)化位置就是一切經(jīng)濟(jì)活動(dòng)均處于巔峰位置，在這一點(diǎn)的周圍均處于下滑趨勢(shì)，因此必須用微積分中導(dǎo)數(shù)為零這一數(shù)學(xué)理論。例如，某廠每批生產(chǎn)A商品X臺(tái)的費(fèi)用為C(x)=5x+200（萬(wàn)元），所得收入為R(x)=10x-0.01x²（萬(wàn)元），問(wèn)每批生產(chǎn)多少臺(tái)，才能使得利潤(rùn)達(dá)到最大？解：設(shè)利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)，則L(x)=R(x)-C(x)=5x-0.01x²-200，其次對(duì)L(x)求導(dǎo)，得出L'(x)=5-0.02x，另L'(x)=0，得出X=250臺(tái)，由于L''(x)=-0.02＜0，因此，L(250)=425（萬(wàn)元）即為駐點(diǎn)和極大值，同時(shí)也就是最大值，當(dāng)X=250時(shí)，最大利潤(rùn)為425萬(wàn)元。計(jì)算過(guò)程充分利用了微積分相關(guān)內(nèi)容來(lái)求出極值點(diǎn)。在實(shí)際生活之中，大幅度增加產(chǎn)量并不一定會(huì)增加利潤(rùn)，只有確定恰當(dāng)?shù)纳a(chǎn)量才可以為企業(yè)帶來(lái)最佳利潤(rùn)。因此，一名優(yōu)秀的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者要全面掌握數(shù)學(xué)相關(guān)原理以及計(jì)算方式，在經(jīng)營(yíng)決策過(guò)程中為相關(guān)工作人員提出合理意見(jiàn)，幫助其做出正確的經(jīng)濟(jì)決策。

4.采用微積分方式分析經(jīng)濟(jì)總量及其變動(dòng)

對(duì)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行深入分析時(shí)，相關(guān)研究人員經(jīng)常采用微積分的方式綜合評(píng)價(jià)經(jīng)濟(jì)總量，幫助企業(yè)決策者制定正確的決策策略。例如，某類產(chǎn)品的邊際成本為C'(x)=6+0.5x（萬(wàn)元\噸），固定成本C(0)=5萬(wàn)元，邊際收入為R'(x)=12-x（萬(wàn)元\噸），求得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量以及利潤(rùn)？解：總成本C(x)=C(0)+∫(6+0.5x)dx=0.25x²+6x+5，總收益函數(shù)R(x)=R(0)+∫(12-x)dx=-0.5x²+12x，所以總利潤(rùn)L(X)=R(X)-C(x)=-0.75x²+6x-5，所以對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)L'(x)=-1.5x+6，并且將導(dǎo)函數(shù)另為0，得出x=4，因此得出唯一駐點(diǎn)，其就是極值點(diǎn)以及最值點(diǎn)，最大利潤(rùn)L(4)=7（萬(wàn)元）這道試題將微積分中定積分方式與經(jīng)濟(jì)函數(shù)最大值問(wèn)題相聯(lián)系起來(lái)，類似例題中的相關(guān)情景經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在日常生活之中。學(xué)生要全面把握微積分相關(guān)知識(shí)，一旦遇到類似問(wèn)題，可以及時(shí)選取合適的數(shù)學(xué)方式予以解決，而且數(shù)學(xué)知識(shí)的合理運(yùn)用可以為經(jīng)濟(jì)發(fā)展注入積極力量。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，高等數(shù)學(xué)中微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析階段，應(yīng)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，還包括數(shù)學(xué)模型、優(yōu)化理論等。因此，越來(lái)越的國(guó)家將高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)作為經(jīng)濟(jì)分析工具，促使經(jīng)濟(jì)分析變得更加準(zhǔn)確，有助于經(jīng)濟(jì)決策者做出合理的經(jīng)濟(jì)策略。

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[4]陸振剛.高等數(shù)學(xué)中微積分經(jīng)濟(jì)應(yīng)用探究[J].家教世界，2017

作者：李培 單位：江蘇師范大學(xué)