培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的數(shù)學(xué)教學(xué)論文

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一、問題的提出

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是社會發(fā)展的需要?？v觀當(dāng)今的科學(xué)技術(shù)，人文社會、經(jīng)濟發(fā)展、生活變化各個方面，數(shù)學(xué)化已經(jīng)成為一種強大的趨勢，任何領(lǐng)域都離不開數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用。數(shù)感的培養(yǎng)有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。數(shù)學(xué)的現(xiàn)展，人們也進一步認(rèn)識到:數(shù)學(xué)不應(yīng)被等同于知識的簡單匯集，而應(yīng)主要地被看成人類的一種活動，一種以“數(shù)學(xué)共同體”為主體、并在一定文化環(huán)境中所從事的創(chuàng)造性活動。國內(nèi)外心理學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者都對小學(xué)生數(shù)感進行了不同程度的研究，這些研究涉及到數(shù)感的內(nèi)涵、數(shù)感的構(gòu)成要素、數(shù)感的發(fā)展水平、數(shù)感發(fā)展水平的評估以及數(shù)感的培養(yǎng)等問題。然而，在有關(guān)小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征研究中，還存在著這樣一個普遍的問題，那就是這些研究更多地從心理學(xué)的角度出發(fā)對學(xué)生的數(shù)感進行的研究，因此，如何更多地從數(shù)學(xué)課程的角度出發(fā)通過數(shù)感要素測試結(jié)果的統(tǒng)計分析來研究小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)感發(fā)展規(guī)律與特征，并對小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展規(guī)律與特征有更清晰地認(rèn)識，是我們在數(shù)學(xué)課程構(gòu)建中面臨的問題。本研究正是基于這樣考慮明確所要研究的問題。

二、新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)感的理解

1.數(shù)感是關(guān)于數(shù)字（量）的直覺

1954年，Dantzig首次提出數(shù)感的概念，認(rèn)為數(shù)感是對微小數(shù)量變化的一種直覺感受?？ㄅ硖氐热耍–arpenter,Cpburn,Reys,&Wislon,1976年）在分析國家教育發(fā)展評價（NAEP）數(shù)據(jù)在估算上的作用之后，得出結(jié)論：在學(xué)生能很好地進行估算之前,他們一定發(fā)展一種數(shù)量的直覺，一種用數(shù)字表現(xiàn)量的感覺。后來人們把這種關(guān)于數(shù)量的直覺稱為數(shù)感[2]。

2.數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

JudithSowder（1988年）將數(shù)感定義為：“一個具有良好組織的概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它能夠使一個數(shù)字和它相關(guān)的操作特性相關(guān)聯(lián)，并且以靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字問題?！边@就是說，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是隨著數(shù)概念的不斷擴大（自然數(shù)→小數(shù)→有理數(shù)→實數(shù)→復(fù)數(shù)）在人腦中逐步形成的，它幫助人腦接納數(shù)學(xué)中的其他知識，使人開始以數(shù)為基礎(chǔ)逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)，并且能夠自覺地選擇靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字（量）的問題。

3.數(shù)感是與數(shù)字相關(guān)的教育目的的非精確形式

Resnick（1989年）用其它的非決定論的、開放式的推論和思考對數(shù)感進行分類，她藉由其所著的EducationandLearningtoThink（1987年）一書，在“關(guān)于較高思維替換數(shù)感”的思考技術(shù)的描寫中，闡述了數(shù)感的特色。以下是她具有教育性的考慮：“數(shù)感抵抗我們已經(jīng)在學(xué)校教育中所設(shè)定的以聯(lián)系被指定目的的精確形式?！?/p>

4.數(shù)感是對于數(shù)與運算的一般理解

馬云鵬、史炳星（2002年）認(rèn)為,“數(shù)感是人對數(shù)與運算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題作出有用的策略，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感主要是指：使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；能夠判定不同的算術(shù)運算，有能力進行計算，并具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缧乃?、筆算、使用計算器）實施計算的經(jīng)驗；能依據(jù)數(shù)據(jù)進行推論，并對數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進行檢驗，建立數(shù)感就是學(xué)會“數(shù)學(xué)地”思考”。

5.數(shù)感是數(shù)概念擴展中產(chǎn)生的一種對數(shù)學(xué)的敏感與理解

滕發(fā)祥認(rèn)為：數(shù)感是數(shù)概念擴展中產(chǎn)生的一種對數(shù)學(xué)的一種敏感與理解。表現(xiàn)在：這種敏感與理解是對數(shù)字（量）的直感迅速地反應(yīng)為數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)問題從感知層面敏捷地鏈接到數(shù)學(xué)思維；這種敏感與理解是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)幫助人們以數(shù)為基礎(chǔ)掌握更多的數(shù)學(xué)知識，以選擇靈活而有創(chuàng)新的方式解決數(shù)量問題；這種敏感與理解具有非算法、非單一、非確定、非邏輯等特點，其反應(yīng)時間短，穩(wěn)定性差，是所需要解決的問題與數(shù)學(xué)思維之間的按鈕，其靈敏度與數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的個性化有關(guān)。

6.“數(shù)感”是對數(shù)的“感悟”

史寧中、呂世虎（2006年）認(rèn)為：“數(shù)感”不只限于“感覺”或“感知”的范圍，而含有思維的成分?！懊绹鴶?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中對“NumberSense”一詞的使用也具有同樣的特征。

7.數(shù)感是關(guān)于數(shù)及其運算等方而的程序性知識

湯服成、郭海燕認(rèn)為：“數(shù)感應(yīng)屬于知識的范疇。它主要是后天習(xí)得的結(jié)果，是在大量的學(xué)習(xí)和生活實踐后積累起來的一種儲存在潛意識中的內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)性的關(guān)于數(shù)及其運算等方而的程序性知識”。

8.數(shù)感是對數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力

徐文彬、喻平認(rèn)為：數(shù)感是對數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力，其核心是指計算策略中的靈活性和創(chuàng)造性，而非“沒有思維的”計算程序。2001年，我國教育部制定并頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗稿）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）的總體目標(biāo)中提出要使學(xué)生“經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維。”并且在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的幾個階段都闡述了數(shù)感的問題，明確地把數(shù)感作為學(xué)習(xí)內(nèi)容，還把數(shù)感列在六個學(xué)習(xí)內(nèi)容（數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應(yīng)用意識、推理能力）的首位，并且在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的幾個階段中都闡述了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的問題，《課程標(biāo)準(zhǔn)》描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)：“理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情景中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)表達和交流信息；能為解決問題選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋”。從《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，我們不難看出，對學(xué)生進行數(shù)感教育，就是要讓學(xué)生能夠?qū)λ佑|的事物有一個數(shù)學(xué)的認(rèn)識：能用數(shù)學(xué)的思維去思考事物的本質(zhì)；能以數(shù)學(xué)的理論去解釋事物的原理；能用數(shù)學(xué)的方法去解決所遇問題。在數(shù)學(xué)知識的運用上，不在時簡單的計算，而是能活用數(shù)學(xué)知識，就好比：一個西瓜與兩個蘋果，他們之間的比較可以是一個西瓜大于兩個蘋果，也可以是一個西瓜小于兩個蘋果，大于是比較它們的重量、體積；小于是比較它們的數(shù)量。

三、建立數(shù)感的重要意義

數(shù)感是人們對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感悟，以及運用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進行推理與解決問題的能力，是一種主體主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識，是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。作為公民素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的。學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實際問題，能從現(xiàn)實的情境中建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。建立數(shù)感可以理解為學(xué)會“數(shù)學(xué)地”思考的一個重要方面，我們沒有必要讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但應(yīng)當(dāng)使每一個公民都在一定程度上會數(shù)學(xué)地思考。

（一）建立數(shù)感是進行數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)

美國學(xué)者格勞斯(Grouws)認(rèn)為，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考就是形成數(shù)學(xué)化和抽象化的數(shù)學(xué)觀點，運用數(shù)學(xué)進行預(yù)測的能力，以及運用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實問題的能力。把數(shù)與實際背景聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)的方式思考問題，這對每一個人都是至關(guān)重要的。數(shù)感使人眼中看到的世界有了量化的意味，數(shù)感較強的人眼中看到的世界可能與其他人不同，一旦遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時，就能自然地、有意識地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，并試圖用數(shù)學(xué)的觀點和方法來處理和解釋。也就是說，數(shù)感是人對數(shù)量關(guān)系和運算方式的理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方式做出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題提出有用的策略。數(shù)感是建立明確數(shù)概念和有效地進行計算等數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題聯(lián)系起來的橋梁。

（二）數(shù)感的建立是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實踐能力的需要

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一方面是為進一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，另一方面是學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法和數(shù)學(xué)的觀點認(rèn)識和理解周圍的事物，處理有關(guān)的問題。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感就是讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實問題，有意識地將現(xiàn)實問題與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，學(xué)會將一個生活中的問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題。并自覺主動地與一定的數(shù)學(xué)知識和技能建立起聯(lián)系，這樣才有可能建構(gòu)與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型。具備良好的數(shù)感是將現(xiàn)實問題與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來重要保證。

（三）數(shù)感的建立是適應(yīng)現(xiàn)代信息生活的需要

現(xiàn)代信息社會生活各個方面數(shù)學(xué)化已經(jīng)成為一種強大的趨勢，任何領(lǐng)域都離不開數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用。當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的突出特點是定量化，精確定量思維是對當(dāng)代科技人員的基本要求，20世紀(jì)后期，計算機與數(shù)學(xué)的結(jié)合，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用出現(xiàn)了新的特點，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅僅是通過在其他學(xué)科或工程技術(shù)中進行單純的計算來間接應(yīng)用，而是從幕后走向臺前，直接開發(fā)新技術(shù)和新產(chǎn)品，為社會創(chuàng)造價值。從生活化的角度來看，數(shù)學(xué)的定量化特征己越來越多地出現(xiàn)在人們的日常生活中，與人們生活密切相關(guān)大量的數(shù)學(xué)信息無時無刻地影響著人們的日常生活，而分析判斷這些數(shù)學(xué)信息需要有很好的數(shù)感。

四、培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略

學(xué)生對數(shù)的意義的理解是學(xué)生數(shù)感發(fā)展的基礎(chǔ)。對基數(shù)和序數(shù)的區(qū)分是人類數(shù)字思維的一個質(zhì)的飛躍，它表明人類已經(jīng)有能力用抽象的方式理解計數(shù)的本質(zhì)，即已經(jīng)認(rèn)識到計數(shù)的本質(zhì)是明確數(shù)量之間的關(guān)系，而不僅僅是簡單地羅列出各種數(shù)量。數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾將數(shù)的意義分為計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計算的數(shù)幾個方面?？梢妼W(xué)生對于數(shù)的意義的理解從計數(shù)開始，到計算結(jié)束，貫穿于數(shù)的教學(xué)過程的始終，換言之，數(shù)的意義的理解處于數(shù)感培養(yǎng)中的基礎(chǔ)地位，而且在數(shù)的關(guān)系、數(shù)的運算及數(shù)的問題解決等后續(xù)層次的教學(xué)過程中，也要不斷完善學(xué)生對數(shù)的意義的理解。

一、聯(lián)系生活，獲取數(shù)感

許多小學(xué)數(shù)學(xué)知識比較抽象，學(xué)生在頭腦中不能很好地建立表象，更不能真正理解知識的內(nèi)涵和概念的本質(zhì)屬性。這就需要教師善于結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生采擷生活事例。如我在教小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊對時間的認(rèn)識時，在教案中設(shè)計了大量的生活事例說明“時、分、秒”在人們?nèi)粘Ｉ畹淖饔?，人若沒有時間概念，許多事情是做不成的，讓學(xué)生充分感知時間這個詞，然后充分利用游戲活動感知1秒、1分、1小時，臨下課時，我又布置作業(yè)讓學(xué)生在實踐中去找時間。這樣就充分培養(yǎng)了學(xué)生時間方面的數(shù)感，在以后的上課中遇到和時間有關(guān)的問題時，學(xué)生就能很輕松地解答。又如在教長度測量和計算面積時，可帶領(lǐng)學(xué)生在操場中走走、測測、量量，讓他們感受1米、10米、100米的長短及1平方米、1公頃的大小。這些活動深受學(xué)生的喜愛，他們在不知不覺中受到了數(shù)感的啟蒙。

二、自主探索，體驗數(shù)感

著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中教師要創(chuàng)造各種形式的探討機會，讓學(xué)生在自主探討的過程中具有良好的數(shù)感。如在教“認(rèn)識鐘表”一課時可以就學(xué)生自己動手制作簡易鐘表模型，再讓學(xué)生對自己一天的作息時間進行規(guī)劃，并在時間的表達上用：數(shù)字、文字、圖形三種表達方式表達，從而培養(yǎng)學(xué)生對時間的數(shù)字、文字、圖形三種表現(xiàn)形式的整體印象，加強數(shù)感。

三、合作學(xué)習(xí)，交流數(shù)感

小組合作學(xué)習(xí)有利于人人參與學(xué)習(xí)的全過程，它不僅能挖掘?qū)W生的潛能，還能培養(yǎng)學(xué)生集體合作的精神，人人可以嘗到成功的甜頭。學(xué)生之間的語言易理解，數(shù)感也能進一步得到加強。如我在教學(xué)“有趣的‘11’”中，在黑板上直接寫出了36*11=396、28*11=308、57*11=627……學(xué)生很感興趣，再讓小組合作討論“老師為什么能直接寫出結(jié)果”。學(xué)生討論很熱烈。有的學(xué)生說：“老師是心算法算出來的吧？”有的同學(xué)說：“不可能，肯定用的是速算法?！本瓦@樣，幾個人一小組開始仔細(xì)觀察這幾個算式的第一個因數(shù)和積，終于得出規(guī)律，這樣學(xué)生的數(shù)感在討論和觀察中得到進一步發(fā)展。

四、拓展運用，強化數(shù)感

有良好數(shù)感的人，在需要數(shù)感發(fā)揮的時候，它便會自然出現(xiàn)。特別是在新授課時，良好的數(shù)感可幫學(xué)生進行綜合運用，從而使學(xué)生對知識融會貫通，而要達到這樣的境界，則需要一個長期的培養(yǎng)過程。如某教師在教“百分比的計算”后，引導(dǎo)學(xué)生思考討論：某種商品的利潤為20%，如果進貨價降低20%，售出價保持不變，那么此時的利潤應(yīng)是多少呢？學(xué)生對這道題產(chǎn)生了濃厚的興趣，這時教師進行了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生不僅掌握了百分比的計算，而且理解了經(jīng)濟效益和社會效益的概念。

總之，教學(xué)中要注意讓學(xué)生運用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式，在各種生動具體的情境或現(xiàn)實情境中，體驗和理解數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考與合作交流，引導(dǎo)他們自主探索，注意培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，鼓勵算法多樣化，解題策略多樣化，培養(yǎng)應(yīng)用意識和解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程，注重數(shù)知識間的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)實踐過程中積累豐富的經(jīng)驗，充分體會數(shù)的概念，通過實踐、思考、探索、交流獲得數(shù)感、發(fā)展數(shù)感，從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實世界。