數(shù)學(xué)史有理數(shù)下的乘法教學(xué)

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［摘要］當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師不再局限于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的講授，而是越來(lái)越注重在課堂設(shè)計(jì)中融入數(shù)學(xué)史或者數(shù)學(xué)小故事。隨著新課程的實(shí)施，數(shù)學(xué)學(xué)科的“文化價(jià)值”受到越來(lái)越多的關(guān)注。文章對(duì)有理數(shù)的乘法課程教學(xué)進(jìn)行積極探索，將數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的一種載體，研究基于數(shù)學(xué)史的課堂教學(xué)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)史

一、引言

在有理數(shù)乘法的教學(xué)過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題：一是學(xué)生只是簡(jiǎn)單記住了有理數(shù)乘法法則，卻不理解運(yùn)算法則的本質(zhì)含義與聯(lián)系，并且運(yùn)用不夠靈活；二是學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的思維比較固定，沒(méi)有真正達(dá)到解決問(wèn)題的層面。隨著新課程的實(shí)施，數(shù)學(xué)學(xué)科的“文化價(jià)值”受到越來(lái)越多的關(guān)注，如何合理利用數(shù)學(xué)史料幫助學(xué)生理解知識(shí)，是教師需要思考的問(wèn)題。

二、引入數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)想

雖然之前也學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)的乘法運(yùn)算，但是引進(jìn)負(fù)數(shù)之后，由于學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)含義理解不夠深刻，并且七年級(jí)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)也不多，因此對(duì)有理數(shù)乘法的歸納會(huì)存在一定的困難，尤其是對(duì)兩數(shù)之積的符號(hào)和“負(fù)負(fù)得正”的理解更困難。在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法法則的過(guò)程中，教師把前面的幾個(gè)式子中的符號(hào)抽離出來(lái)，讓學(xué)生直觀感受這些式子符號(hào)的變化，從而可以很快總結(jié)出有理數(shù)乘法法則；但是這個(gè)總結(jié)是學(xué)生根據(jù)表面的認(rèn)識(shí)得出來(lái)的，對(duì)于“正正得正、負(fù)正得負(fù)、正負(fù)得負(fù)”都比較好理解，而對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”就比較模糊，此時(shí)教師引入相關(guān)的數(shù)學(xué)史材料，介紹司湯達(dá)在遇到同樣問(wèn)題時(shí)候的困惑，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面烏龜爬行的情況，幫助司湯達(dá)解決困惑，從而更深刻的理解為什么“負(fù)負(fù)得正”。通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)故事去解釋為什么“負(fù)負(fù)得正”，師生一同交流探討，這樣數(shù)學(xué)課堂就能變得生動(dòng)有趣，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的難點(diǎn)也更容易理解了。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)舊知，為探究做鋪墊問(wèn)題1：同學(xué)們，通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了正負(fù)數(shù)是一對(duì)具有相反意義的量，那么你能舉幾個(gè)例子嗎？問(wèn)題2：同學(xué)們，我們?cè)谛W(xué)學(xué)過(guò)了哪幾種情形的乘法運(yùn)算？現(xiàn)在引入負(fù)數(shù)之后，大家想一想，又會(huì)有哪幾種情形的有理數(shù)乘法運(yùn)算呢？（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后提問(wèn)回答）教師引導(dǎo)學(xué)生從正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的角度去考慮，并歸納出有理數(shù)乘法的幾種情形。

（二）創(chuàng)設(shè)情景，初步探究有理數(shù)乘法法則早晨，小明在一條直線跑道l上跑步鍛煉身體。假設(shè)小明現(xiàn)在的位置恰好在直線跑道l上的o點(diǎn)處。規(guī)定：區(qū)分方向與時(shí)間，方向向左為負(fù)，向右為正；時(shí)間現(xiàn)在之前為負(fù)，現(xiàn)在之后為正。（圖1）問(wèn)題3：如果小明一直以每分鐘10米的速度向右跑步，3分鐘后他在什么位置？結(jié)合數(shù)軸，你能用數(shù)學(xué)式子表示上面的關(guān)系嗎？（圖2）我們可以觀察到，小明以每分鐘10米的速度向右跑步，那就是（+10），3分鐘后即為（+3），最后它所在的位置為（+30），我們可以用式子表示為（+10）×（+3）=（+30）問(wèn)題4：同樣的式子（+10）×（+3）=（+30），你能用其他情形來(lái)描述嗎？問(wèn)題5：你能結(jié)合上面的情景設(shè)置，或者自己預(yù)設(shè)一個(gè)情景，賦予下列式子一個(gè)具體情形，并根據(jù)具體情形得出結(jié)果嗎？（1）（+10）×（-3）（2）（-10）×（+3）（3）（-10）×（-3）（學(xué)生進(jìn)行小組討論，合作探究，最后小組派代表展示交流）

（三）類比歸納，深入探究有理數(shù)乘法法則問(wèn)題6：前面學(xué)習(xí)了有理數(shù)加減法法則，知道有理數(shù)加減法法則需要考慮符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面。同樣，通過(guò)上面的探究，兩個(gè)有理數(shù)相乘，也要關(guān)注符號(hào)和絕對(duì)值?，F(xiàn)在把上述4個(gè)式子的符號(hào)抽離出來(lái)，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)和計(jì)算結(jié)果的符號(hào)有何關(guān)系。（1）（+）×（+）=（+）（2）（-）×（+）=（-）（3）（+）×（-）=（-）（4）（-）×（-）=（+）問(wèn)題7：那么對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”是為什么呢？哪位同學(xué)可以解釋一下？（學(xué)生回答，之后教師引入數(shù)學(xué)史內(nèi)容）其實(shí)在19世紀(jì)中葉以前，“負(fù)負(fù)得正”這一運(yùn)算法則在學(xué)校代數(shù)課本中并沒(méi)有得到合理的解釋，有很多名人在學(xué)習(xí)時(shí)都遇到了困難。比如說(shuō)司湯達(dá)，小時(shí)候他很喜愛(ài)數(shù)學(xué)，但當(dāng)格勒諾布爾中心學(xué)校的數(shù)學(xué)教師迪皮伊先生教到“負(fù)負(fù)得正”這個(gè)運(yùn)算法則時(shí)，司湯達(dá)一點(diǎn)都不理解，他希望老師能對(duì)負(fù)負(fù)得正的緣由作出解釋。面對(duì)司湯達(dá)的提問(wèn)，迪皮伊先生“只是不屑一顧地莞爾一笑”，而靠死記硬背學(xué)數(shù)學(xué)的一位高材生則對(duì)司湯達(dá)的疑問(wèn)“嗤之以鼻”。補(bǔ)習(xí)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師夏貝爾先生被司湯達(dá)問(wèn)得十分尷尬，只得不斷重復(fù)課程內(nèi)容，說(shuō)什么負(fù)債如同欠款，而那正是司湯達(dá)的疑問(wèn)所在：“一個(gè)人該怎樣把500法郎的債與10000法郎的債乘起來(lái)，才能得到5000000法郎的收入呢？”司湯達(dá)被“負(fù)負(fù)得正”困擾了很久，最后在萬(wàn)般無(wú)奈下只好接受了它。問(wèn)題8：從上述的探究中，我們解釋了為什么“負(fù)負(fù)得正”，那么對(duì)于故事里面司湯達(dá)的疑惑，你們能夠幫他解決嗎？問(wèn)題9：你覺(jué)得司湯達(dá)的故事給我們什么啟示？問(wèn)題10：觀察上述4個(gè)式子，你能從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面敘述有理數(shù)乘法法則嗎？觀察還缺哪個(gè)數(shù)，并總結(jié)出計(jì)算的步驟。問(wèn)題11：在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之前，我們學(xué)習(xí)過(guò)倒數(shù)，你記得倒數(shù)的含義嗎？怎樣找一個(gè)數(shù)的倒數(shù)呢，請(qǐng)你舉例。現(xiàn)在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，怎樣定義倒數(shù)呢？

（四）鞏固練習(xí)，理解有理數(shù)乘法法則課本P30，練習(xí)1~3題。四、教學(xué)啟示通過(guò)上面有理數(shù)的乘法教學(xué)過(guò)程的探索，在“有理數(shù)的乘法”這一節(jié)課中引入數(shù)學(xué)史材料，有以下幾點(diǎn)啟示。一是在備課的過(guò)程中，要了解本節(jié)課知識(shí)的形成歷史及發(fā)展過(guò)程中的困難所在，通過(guò)歷史相似性問(wèn)題研究，化解學(xué)生出現(xiàn)的認(rèn)知障礙及困惑，突破教學(xué)難點(diǎn)。二是在探究有理數(shù)乘法法則的過(guò)程中，應(yīng)該注意創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫叭ソ忉屜嚓P(guān)符號(hào)的變化，讓學(xué)生理解每個(gè)式子的現(xiàn)實(shí)意義，理解符號(hào)間的變化。設(shè)置的問(wèn)題要聯(lián)系設(shè)計(jì)且與教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系密切，讓學(xué)生有思維的增長(zhǎng)點(diǎn)，拓展學(xué)生思考的空間和價(jià)值。三是在數(shù)學(xué)課堂的探索中，要注意設(shè)置一些觀察、探究、分析、歸納等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生的邏輯思維得到鍛煉；同時(shí)還要注意從中滲透一些數(shù)學(xué)思想，比如類比、歸納、分類討論等，讓學(xué)生慢慢熟悉相關(guān)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。四是在教學(xué)過(guò)程中要注意滲透數(shù)學(xué)史或者數(shù)學(xué)故事，活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)借助數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)情感或數(shù)學(xué)精神啟發(fā)學(xué)生，實(shí)現(xiàn)課程育人的功能。

五、小結(jié)

數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的促進(jìn)作用，很大程度表現(xiàn)在學(xué)生可以根據(jù)歷史上該知識(shí)的發(fā)生過(guò)程體會(huì)其中思維的變化，從而使學(xué)生的認(rèn)知得到發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

［1］汪曉勤,栗小妮.數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)———理論、實(shí)踐與案例［M］.上海:華東師范大學(xué)出版社,2019.

［2］朱思奧,潘繼斌.數(shù)學(xué)文化在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］.科教導(dǎo)刊(下旬),2019(09):161-162.

［3］鐘聞,李碧榮,周偉.圓的課例分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2015(20):20-21.

作者：劉釗伶 李碧榮 羅環(huán) 單位：南寧師范大學(xué)