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正方形性質(zhì)
邊:兩組對邊分別平行;四條邊都相等;鄰邊互相垂直。
內(nèi)角:四個角都是90°,內(nèi)角和為360°。
對角線:對角線互相垂直;對角線相等且互相平分;每條對角線平分一組對角。
對稱性:既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形(有四條對稱軸)。
特殊性質(zhì):正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形,對角線與邊的夾角是45°;正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。
一、驗證平方差公式
例1從邊長為的大正方形紙板中挖去一個邊長為的小正方形紙板后,將其裁成四個相同的等腰梯形(如圖1-1),然后拼成一個平行四邊形(如圖1-2),那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積,可以驗證成立的公式為_________.
解析:從邊長為的大正方形紙板中挖去一個邊長為的小正方形,則圖1-1陰影部分的面積為22;每個等腰梯形的高為,則每個等腰梯形的面積為×.
兩個圖形中陰影部分的面積相等,
22 = 4××.
可以驗證成立的公式為
22 = ( + )().
例2 如圖2,在邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形(>),然后將陰影部分拼成一個長方形,分別計算這兩個陰影部分的面積,驗證的公式是_______.
解析:從邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形,則左圖面積表示為22.將陰影部分拼成一個長方形,則右圖的面積表示為( + )().因為這兩個陰影部分的面積相等,所以22 = ( + )().
即驗證的公式為22 = ( + )().
二、驗證完全平方公式
例3 如圖3,將邊長為 + 的正方形割成四個部分:兩個邊長分別為 和的正方形,兩個長為 、寬為的長方形,請你分別計算分割前和分割后的圖形的面積,寫出一個代數(shù)恒等式__________.
解析:利用分割前與分割后的圖形面積相等的關(guān)系,
可列出( + )2 = 2 +++ 2 = 2 + 2 + 2.
代數(shù)恒等式為( + )2 = 2 + 2 + 2.
三、驗證其它代數(shù)恒等式
例4閱讀材料并解答問題:
我們已經(jīng)知道,完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示,實際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示,例如(2 + )( + )= 22 + 3 + 2就可以用圖4-1或圖4-2等圖形的面積表示.
(1)請寫出圖4-3所表示的代數(shù)恒等式__________.
(2)試畫出一個幾何圖形,使它的面積能表示( + )( + 3)= 2 + 4 + 32.
(3)請仿照上述方法另寫一個含有、的代數(shù)恒等式,并畫出與之對應(yīng)的幾何圖形.
解析:(1)仿照例題,結(jié)合圖4-3可知:( + 2)(2 + )= 22 + 5 + 22.
(2)如圖4-4,畫一個長為+ 3,寬為+的長方形,然后把它分割成1個邊長為的正方形,4個長為、寬為的長方形和3個邊長為 的小正方形.
(3)按題目要求可寫出一個與上述不同的代數(shù)恒等式,畫出與所寫代數(shù)恒等式對應(yīng)的平面幾何圖形即可(具體過程略).
例5如圖5-1是一個邊長為( + )的正方形,小穎將圖5-1中的陰影部分拼成圖5-2的形狀,則由圖5-1和圖5-2能驗證的式子是().
A.( + )2()2 = 4 B.( + )2(2 + 2) = 2
C.()2 + 2 = 2 + 2 D.( + )() = 22
解析:由題意可知,拼圖前后陰影部分的面積保持不變.
一個小直角三角形的斜邊長的平方為2 + 2,
小正方形的面積為2 + 2.
又圖5-1中大正方形的面積為( + )2,
拼圖前陰影部分的面積為( + )2(2 + 2).
拼圖后形成的菱形(即圖5-2)的面積為2,
蘇教版義務(wù)教育實驗教材《數(shù)學(xué)》三年級(下冊)
教學(xué)目標(biāo)
1.理解長方形、正方形面積計算公式的推導(dǎo)過程,掌握運用公式計算長方形、正方形的面積。
2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、操作、概括和解決問題的能力。
3.通過比較正方形和長方形面積計算方法的異同,滲透事物間相互聯(lián)系的辯證唯物主義觀念。
教學(xué)重點
讓學(xué)生通過動手實踐、交流發(fā)現(xiàn)長方形、正方形面積的計算方法,掌握面積計算公式。
教學(xué)難點
長方形、正方形面積計算公式的推導(dǎo)。
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)舊知,引入新課
1.復(fù)習(xí)面積單位
師:同學(xué)們,上節(jié)課我們學(xué)習(xí)有關(guān)面積的知識,常用的面積單位有哪些呢?(平方厘米、平方分米、平方米)
2.出示一個邊長為1厘米的正方形,它的面積是l平方厘米,再出示一個長方形,問:這個長方形含有()個1平方厘米的正方形,它的面積是()。(多媒體演示過程)
3.小結(jié):剛才我們通過用數(shù)面積單位的方法,知道長方形的面積。
多媒體出示:姚明照片。問:他是誰呀?再出示籃球場,如果想知道籃球場的面積是多少,也運用這樣的面積單位去量,會有什么感覺?(學(xué)生說太麻煩了)所以有沒有一種更好、更簡便的方法計算長方形的面積呢?今天我們這節(jié)課就一起來研究長方形和正方形的面積計算。(揭示課題)
(設(shè)計意圖:聯(lián)系學(xué)生熟悉的生活環(huán)境,以舊引新,激發(fā)認知沖突。同時感受到數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實生活,數(shù)學(xué)能解決實際問題,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。)
二、動手操作,探究新知
1.多媒體出示一個長方形,進行圖形變化,得到四個大小不同的長方形。通過這個長方形的變化,猜一猜:長方形的面積大小可能與什么有關(guān)?(學(xué)生說與長和寬有關(guān))長方形的面積是不是與長和寬有關(guān)呢?我們來做一個小小的實驗。
(設(shè)計意圖:“猜一猜”有利于活躍課堂氣氛,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。放手讓學(xué)生大膽地猜想,是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的前提。)
2.動手操作,驗證猜想
(1)師:請每小組拿出準備好的1平方厘米的正方形,小組合作擺出長方形,然后一起看一看擺成的每個長方形長是多少厘米,寬是多少厘米,用了多少個1平方厘米的正方形,面積是多少。
(2)由每組的小組長匯報結(jié)果,老師板書:
(設(shè)計意圖:兒童天性好動,在活動中容易使他們集中注意力誘發(fā)學(xué)習(xí)興趣。通過動手操作,使學(xué)生能真正參與知識的發(fā)生過程,能更深刻地理解長方形面積的計算公式。培養(yǎng)了學(xué)生的操作能力,促進學(xué)生動作思維的發(fā)展,同時滲透了學(xué)習(xí)方法。)
(3)請同學(xué)們仔細地觀察記錄表中的數(shù)據(jù),你發(fā)現(xiàn)了什么?
生:長方形的面積所含的平方厘米數(shù)就是它的長與寬所含的厘米數(shù)的乘積。
師:我們簡單地記為(板書):長方形面積=長×寬
(4)驗證。
師:這個發(fā)現(xiàn)是否準確無誤呢?我們還要對這個發(fā)現(xiàn)進行驗證。仍舊以小組為單位,用若干個1平方厘米的小正方形拼成長方形,怎么想怎么拼,并填表。
為了更簡明,我們還可以用字母表示這個公式:s=a×b(板書)
(設(shè)計意圖:發(fā)現(xiàn)也有可能是錯誤或部分錯誤的,因此,發(fā)現(xiàn)后必須進行驗證,這是科學(xué)研究的重要環(huán)節(jié)。有拼面積相同的長方形到拼各種大小、形狀各異的長方形,滲透了從特殊到一般的推理方法。)
3.小結(jié):
師:在各小組的努力下,我們證實了你們的發(fā)現(xiàn):長方形的面積=長×寬是正確的,讓我們用熱烈的掌聲對自己表示祝賀!
三、實踐應(yīng)用,鞏固新知
1.師:同學(xué)們,在剛開始用1平方厘米的正方形去量籃球場的面積太麻煩了,現(xiàn)在你們能計算出籃球場的面積嗎?
(設(shè)計意圖:運用課堂學(xué)習(xí)的方法,立即解決課始的問題,既培養(yǎng)了學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識和能力,又起到鞏固知識、加深理解公式的作用,更有首尾呼應(yīng)之妙!)
2.搶答,求面積。
由(3)變化到(4),當(dāng)學(xué)生答出3×3=9(平方米)時,教師追問:這個圖形實際是個什么圖形?(學(xué)生說正方形)那么正方形的面積可以怎樣計算?學(xué)生回答,老師板書:正方形的面積=邊長×邊長
3.智力沖浪:看來,同學(xué)們都掌握了長方形和正方形的面積計算方法,現(xiàn)在蘇老師來考考你們:
(1)出示:手工課上,張老師要求學(xué)生在一張長8厘米,寬5厘米的長方形紙上剪下一個面積最大的正方形。你們知道剩下紙片的面積是多少嗎?
(2)一個長方形的稻田,長是40米,寬是長的一半,這塊稻田的周長和面積各是多少?
(設(shè)計意圖:練習(xí)設(shè)計與學(xué)生的生活實際相聯(lián)系,能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識生活化、生活知識數(shù)學(xué)化。練習(xí)設(shè)計有層次、有坡度,有利于全體學(xué)生都參與。)
四、總結(jié)評價,促進發(fā)展
姓名:________
班級:________
成績:________
小朋友們,經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí),你們一定進步不少吧,今天就讓我們來檢驗一下!
一、選擇題
(共8題;共16分)
1.
(2分)
1平方米和1米的大?。?/p>
)。
A
.
1平方米大
B
.
1米大
C
.
不能比較
2.
(2分)
面積相等的兩個長方形,它們的周長是(
)
A
.
不相等
B
.
相等
C
.
不一定相等
3.
(2分)
用8個同樣大的正方形拼成一個長方形,有(
)種拼法。
A
.
1
B
.
2
C
.
3
D
.
4
4.
(2分)
用8分米的鐵絲圍成一個正方形,正方形的面積是(
)平方分米。
A
.
4
B
.
8
C
.
2
5.
(2分)
一個長方形的寬是1.2分米,長是寬的2.4倍,求這個長方形的面積下面列式正確的是(
)
A
.
(1.2+2.4)×2
B
.
1.2×2.4
C
.
1.2×2.4×1.2
6.
(2分)
(2018三下·云南月考)
一個正方形邊長擴大3倍,面積就擴大(
)。
A
.
3倍
B
.
6倍
C
.
9倍
7.
(2分)
周長相同的圓、正方形和長方形,面積最大的是(
)。
A
.
正方形
B
.
長方形
C
.
圓
8.
(2分)
一個正方形的周長是80cm,它的面積是(
)。
A
.
80cm2
B
.
6400
cm2
C
.
400
cm2
二、非選擇題
(共17題;共61分)
9.
(2分)
長方形的面積=________×________。
10.
(3分)
我會填。
(1)
一款平板電腦的屏幕長14厘米、寬7厘米,這款平板電腦屏幕的面積是________平方厘米。
(2)
一個正方形的邊長是6厘米,它的周長是________厘米,面積是________平方厘米。
11.
(2分)
計算下列圖形的周長和面積.(單位:cm)
周長:________cm
面積:________
12.
(4分)
長方形的面積=________×________,正方形的面積=________×________。
13.
(2分)
一個長4cm、寬3cm的長方形按3:1放大,得到的圖形的周長是________cm,面積是________cm2
.
A.36B.42C.72D.108.
14.
(2分)
一個長方形花壇的長是a
m,寬是b
m,它的面積是________?m2
,
周長是________?m。
15.
(2分)
(2015·紅花崗)
在一張邊長10厘米的正方形紙中剪一個最大的圓,這個圓的面積是________ 平方厘米,它占正方形面積的________%.
16.
(1分)
一個長方形長7米,寬3米,面積是________。
17.
(4分)
長加寬括起來乘以2求的是長方形的________,長方形的面積公式是________,邊長乘以4求的是________的周長,它的面積公式是________。
18.
(1分)
邊長是10m的正方形中放置一個最大的圓,這個圓的面積是________m2
.
19.
(3分)
王小剛家的客廳地面長6________,寬5________,面積是30________。
20.
(2分)
邊長是1千米的正方形土地,它的面積是________平方米,也是________平方千米.
21.
(1分)
(2018六下·云南期末)
當(dāng)長方形、正方形和圓的周長相等時,________的面積較大。
22.
(2分)
乒乓桌的桌面是一個長方形,它的長約27dm,面積約405dm2
,
它的寬是________,周長是________.
23.
(5分)
一個零件的形狀如下圖。(單位:厘米)這個零件的面積和周長分別是多少?
24.
(20分)
先測量,再計算面積。
(1)
(2)
(3)
(4)
25.
(5分)
王爺爺?shù)牟说亻L40米,寬30米,王爺爺在菜地里收了兩條寬2米的小路,剩下菜地的面積是多少?(如圖)
參考答案
一、選擇題
(共8題;共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、非選擇題
(共17題;共61分)
9-1、
10-1、
10-2、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、
23-1、
24-1、
24-2、
24-3、
第六冊第123—124頁。
教材分析:本節(jié)課要使學(xué)生初步理解長方形和正方形面積的計算方法,學(xué)會運用公式正確地計算長方形、正方形的面積。為此教學(xué)時,要先使學(xué)生認識到求平面圖形的面積,用面積單位直接度量,這種方法比較麻煩。再通過嘗試、操作,導(dǎo)出求長方形面積的計算公式,在此基礎(chǔ)上,類推出正方形面積計算公式。在學(xué)生的操作實踐活動中,培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、推理、抽象概括的能力。
學(xué)生分析:前面剛剛學(xué)習(xí)面積和面積單位這一知識點,學(xué)生已初步感知面積和面積單位,具備了一定的生活經(jīng)驗。他們樂于探究、善于合作。
設(shè)計理念:
1、聯(lián)系現(xiàn)實,創(chuàng)設(shè)情境,注重融合。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》倡導(dǎo):要"選取密切聯(lián)系學(xué)生生活、生動有趣的素材"、"素質(zhì)應(yīng)當(dāng)來源于學(xué)生的現(xiàn)實",這里的現(xiàn)實應(yīng)該是學(xué)生在自己的生活中能夠見到的、聽到的、感受到的。在其中又具有一定的數(shù)學(xué)價值。
2、在開放中合作,在交流中收獲。
新課程標(biāo)準明確指出:應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生主動參與,樂于探究,培養(yǎng)學(xué)生合作的能力。而小組學(xué)習(xí)是合作交流的重要形式,學(xué)生在開放的小組群體中,可以自由自在地交談,無拘無束地討論,獨立思考,相互學(xué)習(xí)。在討論與交流中,思維呈開放的態(tài)勢,不同見解,不同觀點相互碰撞,相互引發(fā),實現(xiàn)個人與他人,小組與全班的全程互動。
教學(xué)過程:
一、 聯(lián)系實際,導(dǎo)入新課。
1、 提問:上節(jié)課,同學(xué)們認識了面積和面積單位。什么叫做面積?常用的面積單位有哪些?
2、 出示下圖,并提問:這兩個圖形哪個面積比較大,大多少?你們有什么辦法比較嗎?
(生:用1平方分米的面積單位進行測量)
教師及時肯定學(xué)生愛動腦,積極地想出解決的辦法
3、 提問:要想知道學(xué)校足球場面積有多大,你們怎么測量呢?(生:用1平方米的面積單位去測量。)
教師笑而不答,繼續(xù)問:要想知道中國土地面積有多大,你們怎么測量呢?自然使學(xué)生悟出:用面積單位一個一個擺,去測量的方法太麻煩,也不實際。
4、 教師與此同時及時巧妙設(shè)疑,引導(dǎo)學(xué)生去探索。
用面積單位去測量的方法不現(xiàn)實,那么有沒有一種簡便的計算方法可以求出長方形和正方形的面積呢?這節(jié)課我們就來研究。(板書:長方形、正方形面積的計算。)
(設(shè)計意圖:聯(lián)系實際,巧妙設(shè)疑,激活學(xué)生探求新知的欲望,調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性)
二、 研討新課。
1、 分組操作
(1) 學(xué)生分成四個小組,按組分別發(fā)給每個同學(xué)一個長方形紙板,要求學(xué)生先用直尺量出長方形的長和寬。
(2) 用面積是1平方厘米的正方形量一量長方形的面積,邊量邊思考以下問題:
1) 你用1平方厘米的小正方形沿長方形的長邊擺,一排可以擺()個1平方厘米,擺一排的面積是()平方厘米。
2) 沿著長方形的寬邊可以擺()個1平方厘米的正方形,也就是說可以擺()排。
3) 長方形的面積與它的長和寬有什么關(guān)系?
2、 組織討論
四個小組測量操作完畢,圍繞以上三個問題組織討論。
結(jié)合討論結(jié)果教師板書:
每排平方厘米數(shù)×排數(shù)=面積
(長的厘米數(shù))(寬的厘米數(shù))(長和寬厘米數(shù)的乘積)
一組:5×3=15
二組:6×2=12
三組:5×4=20
四組:6×3=18
長×寬大=面積
3、 抽象概括并板書:
長方形的面積=長×寬
4、 理解反饋
(1)指導(dǎo)并完成書第123頁()里的問題
(2)指名說出5×3=15(平方厘米)中的5表示什么?3表示什么?15表示什么?
5、 驗證結(jié)論
要求用12個1平方厘米的正方形拼長方形,怎樣想就怎樣拼。拼后回答問題(在媒體展示臺上向?qū)W生展示)
(1) 你是怎么拼的?
(2) 你拼的長方形的面積是多少?
(3) 長方形的面積與長和寬所含的厘米的乘積有什么關(guān)系?
(4) 怎樣用簡便辦法求長方形面積?
(設(shè)計意圖:強化了算理教學(xué),在學(xué)生充分操作感知基礎(chǔ)上,抓內(nèi)在聯(lián)系,讓學(xué)生先直觀理解,再去抽象概括和驗證長方形面積的公式,讓學(xué)生全方位參與整個過程,實現(xiàn)了學(xué)生的自我評價。)
6、公式應(yīng)用。
(1)口答長方形的面積
①長15厘米,寬3厘米。
②長8分米,寬4分米。
③長4米,寬2米。
(2)計算圖形(出示邊長為4分米的正方形)的面積先讓每個學(xué)生試算,再讓學(xué)生說說正方形的面積該怎樣計算?
板書:正方形的面積=邊長×邊長
(3)出示例題,讓學(xué)生獨立解答,填在書上。
7、師生小結(jié),并讓學(xué)生質(zhì)疑、釋疑。
(巧妙地運用長方形與正方形之間聯(lián)系,讓學(xué)生得出正方形的面積計算公式,既突出重點,又溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系。)
三、開放練習(xí),拓展提高。
1、量教學(xué)課本封面長與寬,并計算它的面積。
2、做出第124的做一做。
3、走進聰明屋:一張紙長3分米,寬2分米,如果要把這張紙剪成一個最大正方形,剪去部分的面積是多少平方分米?
(設(shè)計意圖:巧用層次性練習(xí),給學(xué)生營造一個綜合應(yīng)用的空間,更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。)
四、課堂作業(yè),練十八第2、5題。
五、課堂小結(jié)
又到了本節(jié)課的實話實說的時刻,這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你最想說什么?(自己的收獲或者同學(xué)之間的評價)
教學(xué)一點思考:
1、在新的課程改革的理念下,實現(xiàn)教材多樣化,因此作為教師應(yīng)努力實現(xiàn)成為教材的開發(fā)者和研究者。聯(lián)系生活,整合教材;匯集眾家之長,依據(jù)學(xué)生的認識水平,創(chuàng)設(shè)探索性和開放性的情境,使數(shù)學(xué)問題生活化,從而激發(fā)學(xué)生求知的欲望,有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。
2、強化了算理教學(xué),在學(xué)生動手操作充分感知的基礎(chǔ)上,緊抓事物之間的內(nèi)在聯(lián)系,逐步推導(dǎo),讓學(xué)生先理解,再去抽象、概括和驗證。體現(xiàn)學(xué)生元認知的形成過程,從而實現(xiàn)學(xué)生的自我評價和發(fā)展。使學(xué)生的個性得以充分彰顯。
我在教學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形的面積時,就體驗到數(shù)學(xué)圖形鏈的潛在的生命力,它充滿了價值,對幫助學(xué)生更好地掌握知識有巨大的推動作用。
一、認識載體,探索“圖形鏈”
由于小學(xué)階段對平面圖形的學(xué)習(xí)是從長方形(矩形)和正方形的認識開始的,在教學(xué)圖形面積計算時,為了找到一種內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律,我把長方形的面積公式作為載體。在推導(dǎo)公式時,我以長方形為基本圖形,通過拼圖、平移、數(shù)格子、課件演示等形式去探索解決的途徑,讓學(xué)生領(lǐng)會和掌握每一步的來龍去脈,把有關(guān)長方形的理論概念歸納出來,把情境和思路創(chuàng)設(shè)出來,把問題疏理出來,使探索的每一步不迷失方向、推理不失控。在推導(dǎo)過程中,我鼓勵學(xué)生反思,同時允許學(xué)生質(zhì)疑,這樣有利于促進學(xué)生定勢思維向抽象思維遷移,為下一步推導(dǎo)新公式打下堅實的基礎(chǔ)。
二、溫故知新,發(fā)現(xiàn)“圖形鏈”
為了進一步探索和發(fā)現(xiàn)圖形鏈,可在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)回歸生活、貼近實際的教學(xué)情境,如我們每天面對的黑板是長方形,它是我們長知識、學(xué)知識的用武之地;毛巾也是長方形,它是我們?nèi)粘I畹谋匦杵贰ㄟ^舉例使學(xué)生的情感和興趣始終處于最佳狀態(tài),從而保證教學(xué)活動的有效性和預(yù)見性。由于長方形是其他圖形的本體,在推導(dǎo)其他圖形面積公式時,都從長方形的面積公式入手,通過作圖和拼圖,再引導(dǎo)學(xué)生觀察、體驗、發(fā)現(xiàn)。緊接著在教學(xué)正方形的面積計算時,首先給學(xué)生一個結(jié)論“正方形是特殊的長方形”,這樣學(xué)生就會想到“長方形的面積=長×寬”,那么正方形的面積也可以等于長乘寬,只不過是正方形的邊長沒有長寬之分,長和寬都稱為邊長,于是得出正方形的面積=邊長×邊長。又如在推導(dǎo)三角形(一般以直角三角形為例)面積公式時,也是根據(jù)長方形的面積公式推導(dǎo)出來的,即在長方形中,作一條對角線,分割后便可得到兩個完全一樣的直角三角形,而其中的任何一個直角三角形的面積便是該長方形面積的一半,因為長方形的長和寬正好是直角三角形的底和高,所以三角形的面積=底×高÷2。往后還可以推導(dǎo)梯形和平行四邊形的面積公式??傊辛碎L方形面積這個特定的計算方法后,學(xué)生明顯感到推導(dǎo)其他圖形的面積公式非常方便。
三、編兒歌,歸納“圖形鏈”
背詩歌、唱民謠是兒童的拿手好戲。在教學(xué)中,我根據(jù)學(xué)生的接受能力和實際需要,根據(jù)圖形的不同特征編成通俗易懂的兒歌,讓學(xué)生帶著興趣、帶著感情去學(xué)。由于長方形和正方形是統(tǒng)一體,只是正方形是特殊的長方形,它們計算方法都是一致的,于是我將它們編成兒歌:計算圖形的面積,都從長方形開始,正方形是好鄰居,計算方法相一致。因為三角形也是從長方形中平均分割出來的,所以三角形的面積公式更容易記,即:三角形是小旗紙,長方形中暫分離,長寬等于底和高,一半便是它面積。同樣,將長方形平均斜割后便可得到兩個完全一樣的梯形,這時梯形上下底之和正好是長方形的長,高就是長方形的寬,于是梯形的面積又可編為:梯形面積要牢記,矩形懷中兩分離,上下之和一條底,一半便是它面積。顯而易見,只要將能活動的長方形模型向左或向右稍作平移,一個完整的平行四邊形就出來了,然后將平行四邊形割補又成了長方形,其實平行四邊形的面積是根據(jù)長方形的長乘寬延伸為底乘高,所以平行四邊形的面積也可編為:平行四邊形面積,矩形定出好主意,割補拼成同一體,計算方法是一致。
四、實踐操作,體驗“圖形鏈”
讓學(xué)生動手操作,實踐應(yīng)用是課堂教學(xué)中強化鞏固的一個重要環(huán)節(jié)。教學(xué)中,我順應(yīng)新課程理念,倡導(dǎo)實際操作,親身體驗,不主張死記硬背、機械照搬,注重培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)與實踐能力,鼓勵學(xué)生通過動手操作和實踐應(yīng)用來認識問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。為了便于學(xué)生操作,我設(shè)法給學(xué)生提供具有針對性和實用性的課件或教具,如直尺、膠片、模型等多種感性材料讓學(xué)生操作,鎖定圖形后,再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)需要計算面積。在計算圖形面積時,我會引導(dǎo)學(xué)生:它們都是從哪個圖形推導(dǎo)出來的?它們各部分間的關(guān)系如何?你能作圖并能說出它們的名稱嗎?等等。如要計算三角形的面積,并不是一開始就演示三角形,而是要求學(xué)生作一個長方形,再從長方形中割一個三角形,通過對照比較,找出三角形的底邊和高,最后套入計算公式。這樣,學(xué)生的操作能力得到發(fā)揮,運用能力也得到鞏固,有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立獲取知識和解決問題的能力。通過上述方法進行教學(xué),學(xué)生對常見的平面圖形的計算方法有了質(zhì)的認識,對不同的圖形能靈活運用公式且不混淆。
平方差公式
同步測試題
班級:_____________姓名:_____________
一、選擇題
(本題共計
8
小題
,每題
3
分
,共計24分
,
)
1.
若x2-y2=100,x+y=-25,則x-y的值是(
)
A.5
B.4
C.-4
D.以上都不對
2.
下列可以用平方差公式計算的式子是(
)
A.(x-y)(y-x)
B.(a+3)(a+3)
C.(-x+y)(-x-y)
D.(-a-3)(a+3)
3.
下列各式中,計算結(jié)果為81-x2的是(
)
A.(x+9)(x-9)
B.(x+9)(-x-9)
C.(-x+9)(-x-9)
D.(-x-9)(x-9)
4.
觀察下面圖形,從圖1到圖2可用式子表示為(
)
A.a+ba-b=a2-b2
B.a2-b2=a+ba-b
C.a+b2=a2+2ab+b2
D.a2+2ab+b2=a+b2
5.
已知M=4-122+124+128+1216+1,則M的個位為(
)
A.1
B.3
C.5
D.7
6.
3a-2b-3a-2b=(
)
A.9a2-6ab-b2
B.b2-6ab-9a2
C.9a2-4b2
D.4b2-9a2
7.
在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形()(如圖甲),把余下的部分拼成一個矩形(如圖乙),根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等,可以驗證(
)
A.
B.
C.
D.
8.
如圖,從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形,然后將剩余部分剪后拼成一個長方形,上述操作能驗證的等式是(
)
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.a2+ab=a(a+b)
二、填空題
(本題共計
7
小題
,每題
3
分
,共計21分
,
)
9.
已知a+b=4,a-b=3,則a?2-b2=________.
10.
計算:(-1-2a)(2a-1)=________.
11.
計算:(x+2)(x-2)(x2+4)=________.
12.
若(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,則a+b=________.
13.
若(2x-3y)?N=9y2-4x2,那么代數(shù)式N應(yīng)該是________.
14.
已知x-ax+a=x2-9,那么a=________.
15.
在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形(a>b)(如圖(1)),把余下的部分沿虛線剪開,拼成一個矩形(如圖(2)),分別計算這兩個圖形陰影部分的面積,可以驗證的乘法公式是________.(用字母表示)
三、解答題
(本題共計
8
小題
,共計75分
,
)
16.
怎樣簡便就怎樣計算:
(1)1232-124×122???????????????????????????(2)(2a+b)(4a2+b2)(2a-b)
17.
化簡:3a+2b-3a+2b9a2+4b2.
18.
(1+2a)(1-2a)(1-4a2)
19.
計算:2x+12x-14x2+1.
20.
解答下列小題:
25=(??)2,9x2=(??)2?.
觀察多項式x2-25,9x2-y2,它們有什么共同特征?嘗試將它們分別寫成兩個因式的乘積,并與同伴交流.
平方差公式:把乘法公式a+ba-b=a2-b2反過來,就得到____________.
21.
觀察下列算式:39×41=402-12,48×52=502-22,65×75=702-52,83×97=902-72…,請你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示出來.(給定字母m,n)
22.
乘法公式的探究及應(yīng)用.
(1)如左圖,可以求出陰影部分的面積是________(寫成兩數(shù)平方差的形式);
(2)如右圖,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個長方形,它的寬是________,長是________,面積是________.(寫成多項式乘法的形式)
(3)比較左、右兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式________.(用式子表達)
(4)運用你所得到的公式,計算下列各題:
①10.3×9.7
②(2m+n-p)(2m-n+p)
23.
在邊長為a的正方形的一角減去一個邊長為的小正方形(a>b),如圖①
(1)由圖①得陰影部分的面積為________.
(2)沿圖①中的虛線剪開拼成圖②,則圖②中陰影部分的面積為________.
【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A
【文章編號】0450-9889(2012)12A-0066-02
【教學(xué)片斷】
這是一節(jié)關(guān)于圓的面積計算的練習(xí)課。在基本練習(xí)之后,教師用課件依次出示3道練習(xí)題。
1.一張正方形紙的邊長是10厘米,把這張紙剪成一個最大的圓,這個圓的面積是多少平方厘米?(如下圖所示)
2.一張正方形紙的面積是144平方厘米,把這張紙剪成一個最大的圓,這個圓的面積是多少平方厘米?
3.一張正方形紙的面積是80平方厘米,把這張紙剪成一個最大的圓,這個圓的面積是多少平方厘米?
第1題,學(xué)生都能用常規(guī)的方法解答。
師:第一題,誰能說說這道題的解題思路與方法。
生1:這個圓的面積是3.14×()2=3.14×25=78.5(平方厘米)。我是這樣想的:要求圓的面積必須知道圓的半徑,正方形的邊長與圓的直徑相等,先用正方形的邊長除以2算出圓的半徑,然后再運用公式算出圓的面積。
第2題,按照一般的解法需要知道正方形的邊長,可題目提供的是正方形的面積,144是一個完全平方數(shù),這時,學(xué)生的思維受阻,在學(xué)生困惑時教師作了提示:
從正方形的面積是144平方厘米,你能算出它的邊長嗎?
生1:正方形的面積是144平方厘米,144等于某個數(shù)的平方。
生2:也就是144是兩個相同的數(shù)的乘積。
生3用了湊數(shù)法:10×10=100,11×11=121,12×12=144,所以這個正方形的邊長是12厘米。
生4用了分解質(zhì)因數(shù)法:144=2×2×2×2×3×3,所以144=12×12,這個正方形的邊長是12厘米。
有了正方形的邊長,學(xué)生很快就解決了這個問題,圓的面積是:3.14×()2=3.14×36=113.04(平方厘米)。
有了第2題的解題經(jīng)驗,學(xué)生認為第三題只要根據(jù)正方形的面積找出正方形的邊長就可以了??墒?0并不是一個完全平方數(shù),用“湊”的方法是“湊”不出正方形的邊長了,學(xué)生們陷入了思維的困境。
這時教師適時點撥:是啊,80不是一個完全平方數(shù),用我們現(xiàn)有的方法求不出正方形的邊長。那么如果不求出正方形的邊長,可以求出圓的面積嗎?
教師啟發(fā)后,進行小組內(nèi)交流、討論,不久,有些小組就有了自己的想法。
組1:我們組是這樣想的:設(shè)圓的半徑是r,那么這個圓的面積是3.14r2;正方形的邊長是圓的直徑,也就是2r,所以正方形面積是4r2,由此可以知道圓的面積是正方形的=。圓的面積就等于正方形的面積乘,即:80×=62.8平方厘米。
組2:我們組是這樣想的:設(shè)正方形的邊長是a,那么圓的半徑是,正方形的面積是a2,圓的面積是3.14×()2=a2,因為正方形的面積是80平方厘米,所以圓的面積是80×=62.8平方厘米。
師:你們兩個小組真棒!用字母表示正方形的邊長和圓的半徑,找出了它們面積之間的關(guān)系,也能求出圓的面積。如果正方形的面積是200平方厘米,你能算出圓的面積嗎?正方形的面積是a平方厘米,圓的面積是多少呢?
學(xué)生最后發(fā)現(xiàn),這里的圓的面積其實就是正方形面積的。
【反思】
小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的過程是思維發(fā)展的過程。在上述片斷里,通過層層遞進的題組設(shè)計,引起思維沖突,不斷提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。
一、打破平衡,激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
布魯納說過:“學(xué)習(xí)的最好刺激,是對所學(xué)材料的興趣。”在進行了一定量的常規(guī)練習(xí)后,學(xué)生對圓周長的計算方法已基本掌握并形成了一定的技能,如果再繼續(xù)做一些常規(guī)性的練習(xí),其作用也只能是機械重復(fù),學(xué)生的思維只能停留在原有的認知層面上,甚至對練習(xí)失去興趣。因此只有打破學(xué)生已有的平衡,讓學(xué)生在對富有挑戰(zhàn)性的問題的思考中不斷建立新的平衡。
第一個問題無疑是基本的問題,學(xué)生根據(jù)已有的圓的面積公式就能求出;第二個問題的出現(xiàn),打破了學(xué)生已有的平衡,根據(jù)第一題的經(jīng)驗,要先求出正方形的邊長,學(xué)生根據(jù)正方形的面積是144平方厘米,運用列舉、分解質(zhì)因數(shù)等方法求出正方形的面積,實現(xiàn)了新的平衡;第三個問題,學(xué)生根據(jù)已有的知識不能求出正方形的邊長,又一次打破了平衡。這時圓的面積該怎樣求呢?學(xué)生在分組討論、交流,借助字母再次實現(xiàn)了平衡,發(fā)現(xiàn)根據(jù)正方形與圓的面積關(guān)系同樣可以求出圓的面積。
這三個問題的層次是不一樣的。在層層深入的思考中,不斷激活了學(xué)生的思維。
二、建構(gòu)模型,提升學(xué)生的思維品質(zhì)
學(xué)生會做題,不一定就完成了教學(xué)任務(wù)。數(shù)學(xué)練習(xí)的關(guān)鍵是看學(xué)生的思維品質(zhì)是否得到提升。上述片斷中,教師不只滿足于解題,而是滲透著數(shù)學(xué)模型的思想,幫助學(xué)生在層層深入的解題過程中實現(xiàn)了知識模型的建構(gòu)。
在上述題組練習(xí)中,教師改動題中數(shù)據(jù),從特殊(完全平方數(shù))到一般(非完全平方數(shù)),讓學(xué)生通過觀察、分析發(fā)現(xiàn)了圓面積與正方形之間的關(guān)系,成功建立起數(shù)學(xué)模型。在建立數(shù)學(xué)模型后,教師又稍作修改,促使學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題。此舉大大提高了學(xué)生建立、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的自覺性和主動性,從而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
縱觀整個學(xué)習(xí)過程,學(xué)生經(jīng)歷了逐層抽象,運用列舉、推理等方法建立了數(shù)學(xué)模型和利用模型解決問題的過程,并在解題過程中提升了思維品質(zhì)。
三、適時啟發(fā),引領(lǐng)思維向縱深發(fā)展
新課程改革以來,“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人”這一理念不斷深入人心,然而也出現(xiàn)了很多課堂上教師不敢講的“缺位”現(xiàn)象。事實上,由于學(xué)生的知識水平和閱歷有限,在多數(shù)情況下他們的思維是不可能自發(fā)地得到提升的。在他們學(xué)習(xí)困惑處,在似懂非懂、似通非通、欲言難言時,最需要教師的啟發(fā)。
在上述片斷中,第1題,無疑是解決圓的面積的基礎(chǔ),然而第2題的出現(xiàn),學(xué)生出現(xiàn)了困惑,教師給出了提示:“你能算出正方形的邊長嗎?”在第3題學(xué)生無法找尋出正方形的邊長時,教師又適時提示:“那么如果不求出正方形的邊長,可以求出圓的面積嗎?”隨著條件的變化,學(xué)生越來越覺得根據(jù)正方形的面積求出邊長“此路不通”時,教師啟發(fā)學(xué)生尋求新的思路,激起了學(xué)生強烈的探究欲望。在學(xué)生用字母假設(shè)正方形的邊長或圓的半徑后,發(fā)現(xiàn)了這類問題的圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系。
例1 如圖,ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點,則cos∠ABC等于( ).
分析 要突破思維定勢,不僅要把∠B看作鈍角ABC的角,更要把∠B看作格點直角三角形的內(nèi)角,直角邊分別是1和2.
答案 B
點評 角的兩邊是射線是角的核心概念,突破三角形邊長的束縛,利用網(wǎng)格中垂直關(guān)系,構(gòu)造直角三角形,運用直角三角形邊角關(guān)系知識解題.
例2 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以A(5,1)為圓心,以2個單位長度為半徑的A交x軸于點B、C.解答下列問題:
(1) 將A向左平移 個單位長度與y軸首次相切,得到A.此時點A的坐標(biāo)為 ,陰影部分的面積S=(2) 求BC的長.
分析 考查學(xué)生圖形平移、直線和圓相切的知識,通過小扇形的左平移,把陰影部分轉(zhuǎn)化成一個矩形來計算,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.也可將左圖直角扇形陰影平移到右圖.
連接AC,過點A作ADBC于點D,則BC=2DC.
由A(5,1)可得AD=1. AC=2,
在RtADC中, DC===
BC=2.
答案 (1) 3,(2、1), 6; (2) BC=2.
點評 通過網(wǎng)格垂直關(guān)系將不規(guī)則的圖形割補為容易解決的矩形,化難為易.
例3 如圖,在2×2網(wǎng)格中,小正方形邊長為1,連接小正方形的三個頂點,可得ABC,則AC 邊上的高是( ).
分析 觀察三角形在格點中的位置,通過面積作差的方法求ABC的面積,再通過ABC的面積來計算出AC 邊上的高.以AC、AB、BC為斜邊的三個直角三角形的面積分別為1、1、,因此ABC的面積為;用勾股定理計算AC的長為,因此AC邊上的高為.
答案 C
知識遷移:在ABC中,AB、BC、AC三邊的長分別為、、,求這個三角形的面積.
在解答這道題時,先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出格點ABC(即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處),如圖1所示.這樣不需要求ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.
(1)請你將ABC的面積直接填寫在橫線上. .
拓展練習(xí):
(2) 我們把上述求ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若ABC三邊的長分別為a、2a、a(a>0),請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應(yīng)的ABC,并求出它的面積是: .
探究:
(3)若ABC三邊的長分別為、、2 (m>0,n>0,m≠n) ,請運用構(gòu)圖法在圖3指定區(qū)域內(nèi)畫出示意圖,并求出ABC的面積為: .
答案:(1) . (2) 面積:3a (3)面積:3mn.
點評 挖掘隱藏條件,構(gòu)造網(wǎng)格背景,運用三角形面積,勾股定理解決問題.
例4 如圖,方格紙中每個小正方形的邊長為1,ABC和DEF的頂點都在方格紙的格點上.
(1) 判斷ABC和DEF是否相似,并說明理由;
(2) P,P,P,P,P,D,F(xiàn)是DEF邊上的7個格點,請在這7個格點中選取3個點作為三角形的頂點,使構(gòu)成的三角形與ABC相似(要求寫出2個符合條件的三角形,并在圖中連結(jié)相應(yīng)線段,不必說明理由).
分析 利用勾股定理計算兩個三角形的三邊長,利用三角形相似的判定方法得到相似,也可以通過兩小直角三角形相似,得∠A是直角,只要計算夾∠A的兩邊即可,這樣對第二問做了鋪墊,第二小題抓住哪些點可以是直角頂點并且兩直角邊之比是1∶2即可,考查學(xué)生的思維發(fā)散性和嚴密性.
解答:(1) ABC和DEF相似.
根據(jù)勾股定理,得,AB=2,AC=,BC=5;
DE=4,DF=2,EF=2.
===,
ABC∽DEF.
(2) 答案不唯一,下面6個三角形中的任意2個均可.
PPD,PPF,PPD,PPD,PPP,PFD.
點評 利用網(wǎng)格中角的相等,考查相似三角形相關(guān)知識.
例5 如圖,正方形ABCD是一個6 × 6網(wǎng)格電子屏的示意圖,其中每個小正方形的邊長為1.位于AD中點處的光點P按指定的程序移動.
(1) 請在圖中畫出光點P經(jīng)過的路徑;
(2) 求光點P經(jīng)過的路徑總長(結(jié)果保留π).(2010河北中考第20題)
分析 本題考查學(xué)生的圖形的旋轉(zhuǎn)并運用旋轉(zhuǎn)的不變性,再利用弧長公式進行計算.
點P經(jīng)過的路徑總長為6π.