等腰三角形的性質(zhì)精選(九篇)

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第1篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

證明 過點A作AOBC，垂足為O.因為AC2=AO2+OC2，AD2=AO2+OD2，

所以AC2-AD2=（AO2+OC2）-（AO2+OD2）=OC2-OD2=（OC+OD）（OC-OD）=CD（OC-OD）．

又因為AB=AC，AOBC，所以OC=OB.所以AC2-AD2=CD（OB-OD）=BD?CD．

圖1 圖2推論:如圖2，ABC中，AB=AC，D為BC延長線上任意一點，則AD2-AC2=BD?CD．

證明 延長CB到E，使BE=CD，連接AE.易證ABE≌ACD，于是AE=AD，所以AED是等腰三角形.由上面的性質(zhì)得AD2-AC2=EC?CD=（EB+BC）?CD=（CD+BC）?CD= BD?CD．

應用這個性質(zhì)，可證明一類幾何題：a2-b2=cd型證明題.若題中線段符合a2-b2=cd，有平方差，則可以a為腰構造等腰三角形，使底邊落在直線c或d上，運用該性質(zhì)求解.舉例如下：

圖3例1 如圖3，已知：在ABC中，AB=AC，延長BC到D，使CD=CB.求證：AD2=AB2+2BC2．

證明 由推論得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2．

圖4例2 ABC的角平分線AD的延長線交外接圓于點E.求證：AE2-BE2=AB?AC．

證明 如圖4，作EF=EA，交AB延長線于點F，即構造等腰EAF．

由性質(zhì)得AE2-BE2=AB?BF.連接EC.因為AE平分∠BAC，EF=EA，所以∠EAC=∠BAE=∠F，BE=EC.又因為∠FBE=∠ECA，所以FBE≌ACE（AAS）.所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC．

例3 在ABC中，∠ACB=2∠ABC.求證：AB2=AC2＋AC?BC．

證明 如圖5，作AD=AB，交BC延長線于點D，即構造等腰ABD．

由性質(zhì)得AB2=AC2＋BC?CD.因為AD=AB，所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D，所以∠CAD=∠D，即有AC=CD.所以AB2=AC2＋AC?BC．

注 此題也可利用推論構造等腰三角形求證．

圖5 圖6例4 如圖6，已知：ABC中，AB>AC，ADBC于D，E為BC中點.求證：AB2-AC2=2BC?DE．

證明 作AF=AB，交BC延長線于點F，由性質(zhì)得AB2-AC2=BC?CF．

因為AF=AB，ADBC，所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2（BD-BE）=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE．

圖7例5 如圖7，已知：ABC中，D在BC上，AB2-AC2=BD2-DC2.求證：AD是ABC的高．

證明 作AE=AC，交BD于點E，由推論得AB2-AE2=BE?BC，即AB2-AC2=BE?BC．

因為AB2-AC2=BD2-DC2，所以BE?BC=BD2-DC2=（BD+DC）（BD-DC）=BC（BD-DC）.所以BE=BD-DC.而BE=BD-ED，所以ED=DC.又因為AE=AC，所以ADEC.所以AD是ABC的高．

注 此題也可利用性質(zhì)構造等腰三角形求證．

作者簡介:鄧文忠，男，1974年出生，中學一級教師，縣級名師，主要研究解題教學和數(shù)學競賽，20多篇.

打破常規(guī)，整體求值

——一道填空題引發(fā)的思考

甘肅省武威第十中學 733000 陳國玉

1 問題的來源

期末復習中，模擬試卷中有這樣一道填空題：已知方程組x+2y=3

2x+y=6，則x＋y= ，x－y= .我問同學們是如何解答的，同學們都說是通過解方程組，先求出方程組的解x=3

y=0，再代入求x＋y和x－y中求值.我問不解方程組，可以直接求出結果嗎？同學們先是一怔，再仔細觀察方程組中各個未知數(shù)的系數(shù)，恍然大悟：將兩個方程相加，可得3x＋3y=9，方程兩邊都除以3可得x＋y=3；將第二個方程減去第一個方程可得x－y=3.同學們的興趣突然被激起，課堂氛圍一下子活躍了，不禁為這種解法喝彩、叫好，有些同學還躍躍欲試．

課后我深思：能否將一般形式的二元一次方程組，不解方程組，通過上述方法，得到x＋y或x－y的值呢？

2 問題的解決

例1 已知方程組3x-5y=6

2x+3y=8 ，求x＋y和x－y的值．

顯然，將原方程組中的兩個方程直接相加（或相減），不可能得到（x＋y）或（x－y）的整數(shù)倍，也就得不到x＋y或x－y值．

起初，我想在原方程組中的一個方程（或兩個方程）中乘以一個適當?shù)臄?shù)，然而通過相加（或相減）這兩個方程來達到目的，但是，這個“適當”的數(shù)又如何確定呢？

后來我是這樣想的：將這個方程組中的兩個未知數(shù)的和（或差）看成一個整體，在原方程組中，“拼湊”出這個整體，通過解方程組求出這個整體的值．

下面就以上例說說這種“拼湊整體法”．

解 將原方程組變形，

得3(x+y)-8y=6 ①

2(x+y)+y=8 ②

由②×8得， 16（x＋y）＋8y=64. ③

由③＋①得，19（x＋y）=70，所以x＋y=7019．

將原方程組變形，得3(x-y)-2y=6 ①

2(x-y)+5y=8 ②

由①×5＋②×2得， 19（x－y）=46，所以x－y=4619．

3 拓展應用

3.1 利用這種“拼湊整體法”解決方程組中的一些求值題

例2 已知關于x、y的方程組3x+2y=5a

4x-3y=2 的解滿足x＋y=4，求a的值．

分析 將原方程組的兩個方程“拼湊”出“x＋y”這個整體，通過解這個方程組求出“x＋y”這個整體的值，然后再利用已知的“x＋y”的值構造方程，解之即可．

解 將原方程組變形為

3(x+y)-y=5a ①

4(x+y)-7y=2 ②

由①×7得， 21（x＋y）－7y=35a. ③

由③－②得，17（x＋y）=35a－2. ④

把x＋y=4代入④，得17×4=35a－2，解得a=2．

例3 已知關于x、y的方程組x+2y=k

3x+5y=k-1 的解x、y的差是7，求k2－2k＋1的值．

分析 將原方程組的兩個方程“拼湊”出“x－y”這個整體，通過解這個方程組求出“x－y”這個整體的值，然后再利用已知的x－y=7的值構造方程，求出k的值代入即可．

解 將原方程組變形為

(x-y)+3y=k ①

3(x-y)+8y=k-1 ②

由①×8得， 8（x－y）－24y=8k. ③

由②×3得，9（x－y）＋24y=3k－3. ④

由④－③得，x－y=－5k－3. ⑤

把x－y=7代入⑤得，7=－5k－3，解得k=－2．

把k=－2代入k2－2k＋1中得，原式=（－2）2－2×（－2）＋1=9．

3.2 解決不等式組中待定字母的取值范圍

例4 若方程組3x-2y=m+2

2x+y=m-5的解滿足－1＜x＋y＜1，求m的取值范圍．

分析 用“拼湊整體法”求出x＋y值，然后建立不等式組，解之即可．

解 將原方程組進行變形得，

3(x+y)-5y=m+2 ①

2(x+y)-y=m-5 ②

由②×5－①得，7（x＋y）=4m－27，所以x＋y=4m-277．

因為－1＜x＋y＜1，所以4m-277>-1

4m-277

例5 已知方程組5x+2y=2

4x-7y=a-3的解為x、y，當a為何值時，x＞y？

分析 用“拼湊整體法”求出x－y值，將x＞y變形為x－y＞0，然后建立不等式，解之即可．

解 將原方程組變形為

5(x-y)+7y=2 ①

4(x-y)-3y=a-3 ②

由①×3＋②×7得，43（x－y）=7a－15，解得x－y=7a-1543．

因為x＞y，所以x－y＞0，所以7a-1543>0，解得a>157．

第2篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

例1 等腰三角形的一個角是110°，那么另外兩個角分別是（ ）。

A.15°，45° B.35°，35° C.40°，40° D.60°，60°

知識點：等腰三角形的性質(zhì)。

題型：計算題，分類討論。

分析：因為沒有指明這個角是頂角還是底角，所以應該分兩種情況進行分析。

解：①當110°是頂角時，底角=（180°-110°）÷2=35°；②當110°是底角時，另一底角也是110°，因為110°+110°>180°，所以不符合三角形內(nèi)角和定理即不能構成三角形。故選B。

點評：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，注意利用三角形內(nèi)角和定理進行檢驗。

例2 小華要畫一個有兩邊長分別為7cm和8cm的等腰三角形，則這個等腰三角形的周長是（ ）。

A.16cm B.17cm C.22cm或23cm D.11cm

知識點：等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關系。

題型：應用題。

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題可分情況討論。腰長為7cm或者腰長為8cm。

解：根據(jù)等腰三角形的概念，有兩邊相等，因而可以是兩條邊長為7或兩條邊長為8。當兩條邊長為7時，周長=7×2+8=22cm；當兩條邊長為8時，周長=8×2+7=23cm。故選C。

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系。沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形。

例3 （2009?黔東南州）如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A等于（ ）。

A.30° B.40°

C.45° D.36°

知識點：等腰三角形的性質(zhì)。

分析：題中相等的邊較多，且都是在同一個三角形中，因為求“角”的度數(shù)，將“等邊”轉(zhuǎn)化為有關的“等角”，充分運用“等邊對等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°求解此題。

解：BD=AD ∠A=∠ABD

BD=BC ∠BDC=∠C

又∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A

∠C=∠BDC=2∠A

AB=AC ∠ABC=∠C

又∠A+∠ABC+∠C=180°

∠A+2∠C=180°

把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°。

故選D。

點評：本題反復運用了“等邊對等角”，將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關角的關系，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角和及三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)求解有關角的度數(shù)問題。

例4 若等腰三角形的底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm，則腰長為（ ）。

A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.以上全不對

知識點：等腰三角形的性質(zhì)。

題型：計算題。

分析：此題可由題意得出兩種情況，此等腰三角形腰長與底邊長之差為3cm，或底邊長與腰長之差為3cm。再根據(jù)關系解出即可。

解：等腰三角形一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm。

可知有兩種情況：此等腰三角形腰長與底邊長為之差為3cm，或底邊長與腰長之差為3cm。

底邊長為5cm。

其腰長為2cm或8cm。

三角形兩邊之和要大于第三邊，可是如果要為2，則2+2

故選A。

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形中線的性質(zhì)。注意在這里因為它沒有強調(diào)誰減誰等于3cm，所以必須分為兩種情況去分析討論。

例5 如圖，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點P，PD∥AB，PE∥AC，分別交BC于點D、E，且BC=7cm，則PDE的周長為（ ）。

A.7cm B.8cm

C.9cm D.10cm

知識點：平行線的性質(zhì)。

分析：可利用角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)得出∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC，進而得出PD=BD，PE=CE，故可求解。

解：BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB

∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE

又PD∥AB，PE∥AC

∠ABP=∠BPD，∠APC=∠EPC

∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC

PD=BD，PE=CE

PDE的周長為PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=7cm

故選A。

點評：考查平行線及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，能夠求解一些簡單的計算問題。

例6 等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共為（ ）。

A.3 B.5 C.7 D.9

知識點：等邊三角形的性質(zhì)。

題型：計算題。

分析：根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可以求得等邊三角形每個內(nèi)角的角平分線和其對應邊的中線、高線重合，即可解題。

解：等邊三角形為特殊的等腰三角形，故每個內(nèi)角的角平分線和其對應邊的中線、高線均符合三線合一的性質(zhì)，故等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共3條。

故選A。

第3篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

我們在前面研究圖形的過程中，一直有一根“線”——“對稱”在引導著我們?nèi)フJ識圖形. 由“軸對稱”得到等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、中垂線性質(zhì)，由“中心對稱”得到平行四邊形、矩形、菱形、正方形及中位線的性質(zhì). 在這一章中上述結論的再學習并不是游離于以往的探索經(jīng)驗，而是依然建立在我們對“對稱”的理解和認識基礎上，繼續(xù)發(fā)揮這根“線”的作用，借助曾經(jīng)的實驗操作方法，就能幫助我們確定證明的方法.

知識點1 等腰三角形的兩個底角相等

【透析】 應用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個角相等時，必須是這兩個角在同一個三角形中，否則結論不一定成立.

知識點2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合

【透析】 這個定理簡稱為“三線合一”，應用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關等腰三角形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線，雖然等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，但是如何添加輔助線要由具體情況來決定，作輔助線時只需作出一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.

知識點3 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，對于一般三角形是不成立的. 證明中，主要涉及兩種方法：圖形的“拆”（把一個等腰三角形拆成兩個全等的直角三角形）和“拼”（把兩個全等的直角三角形拼成一個等腰三角形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題.

知識點4 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

【透析】 這里的“距離”是指“點到直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等.

知識點5 菱形的性質(zhì)

【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形，它也具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它的獨特性質(zhì)主要體現(xiàn)在：（1） 4條邊都相等，對角線互相垂直；（2） 菱形的對角線把菱形分成4個全等的直角三角形；（3） 計算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計算公式外，當a，b分別表示兩條對角線的長時，菱形的面積為s=ab.

知識點6 矩形的判定

【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個條件. （1） 定義判定：① 平行四邊形；② 有一個角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四邊形；② 對角線相等. （3） 判定定理2：① 四邊形；② 有3個角是直角.

知識點7 菱形的判定

【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形，要證它是菱形，需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；當四邊形是一般的四邊形，要證它是菱形，可以證它的四條邊相等或先證它是一個平行四邊形，再證它是菱形.

知識點8 正方形的判定

【透析】 判定一個四邊形是正方形的主要途徑有兩條：（1） 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；（2） 先證它是菱形，再證有一個角是直角或?qū)蔷€相等.

知識點9 等腰梯形的判定

【透析】 等腰梯形判定的一般步驟：先判定一個四邊形是梯形，再用“兩腰相等”或“在同一底上的兩個角相等或?qū)蔷€相等”來判定它是等腰梯形.

第4篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

考點一、線段垂直平分線，角的平分線，垂線

1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。2、角的平分線及其性質(zhì)

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

3垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。2、三角形中的主要線段

（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。

（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。6、三角形的三邊關系定理及推論

（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關系。7、三角形的角關系

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。等角的補角相等，等角的余角相等。

8、三角形的面積

三角形的面積=

2

1

×底×高應用：經(jīng)常利用兩個三角形面積關系求底、高的比例關系或值

考點二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。

2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）考點三、等腰三角形

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則

第5篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

一、創(chuàng)設“激勵式”的教學氛圍，激發(fā)學生對等腰三角形的探索欲

數(shù)學教學具有一定的枯燥性，對于數(shù)學教學來說，要想充分吸引學生的注意力，激發(fā)學生的探索欲，就必須有效營造“激勵式”教學氛圍，以良好的教學氛圍激發(fā)學生內(nèi)在的學習能動性，幫助學生克服學習障礙，達到預定的學習目標。在等腰三角形的相關知識教學中，教師應當有意識地尋找學生學習等腰三角形的情感“敏感區(qū)”，激發(fā)學生自主學習的情感因子和對等腰三角形的探索欲，使學生在充沛的情感動力支撐下投入到等腰三角形的知識學習當中，這樣能夠取得的教學效果是最佳的。

以“等腰三角形的性質(zhì)”教學為例。在這一節(jié)課中，可以利用問題引導、層層推進的方式，營造“激勵式”的教學氛圍，激發(fā)學生了解等腰三角形、探索等腰三角形的欲望。具體來說，首先，教師可列舉一些生活當中等腰三角形的例子，使學生對等腰三角形產(chǎn)生一個較為直觀的印象；然后，教師可利用多媒體播放設備，展示一些等腰三角形的形象，帶領學生找出等腰三角形的特征，并對等腰三角形進行明確定義，使學生對等腰三角形的概念產(chǎn)生深入認識；接下來，是最關鍵的一步，即引發(fā)學生的探索欲，教師可以用“大家還知道生活中哪些東西是等腰三角形啊”“等腰三角形在我們的生活中有沒有出現(xiàn)過呢”等話語，引導學生進行積極思考，也可以通過多媒體設備展示多個三角形形象，讓學生找出其中哪些是等腰三角形，以此讓學生的頭腦“動起來”，主動進行思考、探索、分析，這樣可充分激發(fā)學生的探索欲，使學生對于等腰三角形這一概念的理解更加深刻，甚至產(chǎn)生教學之外的獨到見解。

二、指導學生進行問題解答，傳授學生科學的問題探究方法

在主動進行問題探究、問題解答的過程中，很多學生的方式是非常盲目甚至錯誤的，并沒有遵循科學的問題探究方法。因此，在問題探究的過程中，教師應當引好路、指好方向，通過互動帶領學生進行有效探究，避免學生盲目、無目的思考情況出現(xiàn)，并指導學生進行相關問題的解答，幫助學生在實踐探索當中逐漸掌握科學的問題探究方法，掌握自主科學探究的能力。

第6篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

一、證線段相等

例1已知：如圖1，在ABC中，D為BC邊的中點，EDBC交∠BAC的平分線于點E，EFAB于點F，EGAC交AC的延長線于點G.求證：BF=CG.

解析：本題可構造三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)找出全等關系，使問題獲證.

連結EB、EC.因為ED垂直平分BC，所以EB=EC.又因為AE為∠BAC的平分線，且EFAB，EGAC，所以根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF=EG.從而RtEBF≌RtECG.根據(jù)全等三角形的對應邊相等，可得BF=CG.

二、證線段之差不等

例2已知：如圖2，∠1=∠2，AB＞AC，P是AD上一點.求證：PB-PC＜AB-AC.

解析：本題可通過截長法找出等量關系，再結合角平分線的性質(zhì)找到全等關系，從而使問題得證.

在AB上截取AE=AC，連結PE.在APE和APC中，因為AE=AC，∠1=∠2，AP為公共邊，所以APE≌APC，從而PE=PC.在BEP中，PB-PE＜BE，而PE=PC，BE=AB-AE=AB-AC，所以PB-PC＜AB-AC.

三、證線段垂直

例3已知：如圖3，在ABC中，AD平分∠BAC，DEAB于點E，DFAC于點F，連結EF，與AD交于點O.求證：ADEF.

解析：本題可先證出AEF是等腰三角形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，使問題獲證.

在RtADE和RtADF中，因為∠AED=∠AFD，∠EAD=∠FAD，AD為公共邊，所以RtADE≌RtADF，所以AE=AF，所以AEF是等腰三角形.因為AO是頂角∠EAF的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AOEF，即ADEF.

四、證線段平行

例4已知：如圖4，從ABC的頂點A分別引∠ABC、∠ACB的平分線的垂線，垂足分別為D、E.求證：DE∥BC.

解析：要證DE∥BC，可延長AE、AD，由角平分線的性質(zhì)證出DE為AFG的中位線.

延長AE交BC于點F，延長AD交BC于點G.由BD平分∠ABC，BDAG ，可得RtABD≌RtGBD，從而AD=DG.同理可得，AE=EF.所以DE為AFG的中位線.由中位線的性質(zhì)可得DE∥FG，即DE∥BC.

五、證兩線段之和與第三條線段相等

例5如圖5，在ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分線.求證：BC=AD+AC.

解析：根據(jù)角平分線的對稱性構造全等三角形，可使問題獲證.

在BC上取一點E，使CE=CA，連結DE.由CA=CE，∠1=∠2，CD=CD，可得ACD≌ECD，所以AD=ED.因為∠CED=∠A=2∠B，且∠CED=∠BDE+∠B，所以∠BDE=∠B，從而BE=DE=AD.所以BC=BE+EC=AD+AC.

六、證兩線段之和與第三條線段不等

例6已知：如圖6，D為ABC的邊BC的中點，∠ADB、∠ADC的平分線分別與AB、AC交于點E、F.求證：EF＜BE+CF.

解析：要求證的線段比較分散，可由角平分線的性質(zhì)入手，將要求的數(shù)量關系集中于同一三角形中.

延長FD至點M，使DM=FD，連結BM、EM.由DM=FD，∠BDM=∠CDF，BD=CD，可得BDM≌CDF，所以BM=CF.因為∠ADF=∠CDF，∠BDM=∠CDF，所以∠BDM=∠ADF.又因為∠BDE=∠ADE，所以∠EDM=∠EDF.又因為DM=FD，DE為公共邊，所以DEM≌DEF，所以EM=EF.因為EM＜BE+BM，所以EF＜BE+CF.

七、證線段之間的倍數(shù)關系

例7已知：如圖7，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分線交AC于點D，過點C作BD的垂線交BD的延長線于點E.求證：BD=2CE.

解析：要證BD=2CE，可將CE延長一倍，結合角平分線的性質(zhì)找出等量關系，使問題得證.

延長BA、CE交于點F.由BE平分∠CBF，且BECF，可知BCF為等腰三角形，從而CE=EF，即CF=2CE.因為∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∠ABD=90°-∠F=∠ACF，所以RtABD≌RtACF，從而BD=CF=2CE.

八、證線段之間的差倍關系

例8已知：如圖8，AO是ABC中∠A的角平分線，BDAO交AO的延長線于點D，E是BC的中點.求證：AB-AC=2DE.

解析：可根據(jù)角平分線的性質(zhì)，構造等腰三角形求證.

第7篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

等邊三角形（又稱正三邊形），為三邊相等的三角形，其三個內(nèi)角相等，均為60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩(wěn)定的結構。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質(zhì)。

性質(zhì)

（1）等邊三角形是銳角三角形，等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60°。

（2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和角平分線互相重合。（三線合一）

（3）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或角的平分線所在的直線。

（4）等邊三角形重心、內(nèi)心、外心、垂心重合于一點，稱為等邊三角形的中心。（四心合一）

（5）等邊三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值。（等于其高）

第8篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

1、S=1/2×a2，S=1/2×ch。（其中a為直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高）。

2、等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等 直角邊夾一直角銳角45°，斜邊上中線角平分線垂線三線合一。

3、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一個角是直角），也是特殊的直角三角形（兩條直角邊等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)（如三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理等）。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

第9篇：等腰三角形的性質(zhì)范文

一、教學誤區(qū)

1.數(shù)學思維的含金量不高

蘇科版《義務教育教科書?數(shù)學》（以下稱“蘇科版”）八年級上冊教材，在“等腰三角形的軸對稱性”這一內(nèi)容中，就探究“等腰三角形的性質(zhì)”提供了下列教學素材：把等腰三角形紙片（圖1）沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

……

探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一內(nèi)容，又提供了下列教學素材：剪一張直角三角形紙片，如圖2（1）。

……

把紙片按圖2（2）所示的方法折疊，再把紙片展開并連接CD（如圖2（3）），你發(fā)現(xiàn)了什么？

……

教材的編寫意圖，顯然是要讓學生通過實驗操作來獲取等腰三角形的性質(zhì)及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等一系列的結論。這種由操作到結論的方法，解決問題的入口寬，操作簡便，不失是一種幫助學生探究問題的好辦法。

教學中，如果將教材中的操作原封不動地呈現(xiàn)給學生，對于基礎差一點的學生，運用這種方法，顯然在激發(fā)學生興趣的同時也獲取了知識。而對于基礎好一點、思維能力強一點的學生，讓他們被動地按照上述的操作指令進行實驗，即使得到有效結論，也只是在茫然中獲取的。這種“指令性操作”，只有折疊的技術要求，沒有思維的活動內(nèi)涵，久之，勢必削弱學生數(shù)學思維的含金量。如果只是用技術做實驗，那么數(shù)學課與技術課、勞技課還有差別嗎？建立在“指令性操作”這一層面上的實驗與教學中一貫反對的“告訴式”、“注入式”教學有差別嗎？這值得研究與探討。

2.實驗價值利用率不大

“蘇科版教材”（八年級上冊），在“多邊形的內(nèi)角和與外角和”這一內(nèi)容中，提供了下列教學素材：

在小學里，我們曾經(jīng)把一個三角形的3個角拼在一起，發(fā)現(xiàn)了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結論。（筆者以下稱“拼角實驗”）

如圖3，在ABC的邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，直線AC與邊BC的延長線分別交于點C1、C2、C3……

（1）在上述過程中，哪些角的大小發(fā)生了變化？

（2）度量∠BAC與∠ACB，并求它們的和;度量∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B……并分別求它們的和。你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）當直線AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AC′，使AC′∥BC′時，度量∠BAC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（筆者以下稱“轉(zhuǎn)角實驗”）

“拼角實驗”主要是發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，并由拼角實驗的啟發(fā)，得到證明三角形內(nèi)角和的輔助線。而在實際教學中，老師只開發(fā)出實驗的發(fā)現(xiàn)價值，實驗結束后，沒有將研究的價值從拼角的過程中遷移到論證的輔助線的作法上來，這樣就喪失了這個實驗的教學價值。

同樣，在“轉(zhuǎn)角實驗”中，其價值一是用“控制變量法”來研究三角形的內(nèi)角和。即控制三角形中的一個內(nèi)角∠B不變，通過變化∠BAC、∠ACB的大小，發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠ACB的和不變，進而得到三角形的三個內(nèi)角的和不變，是一個固定值，從而激發(fā)學生進一步的探究欲望。價值二是探究三角形三個內(nèi)角和這個固定值是多少，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。價值三是從實驗的過程中，尋找到證明三角形內(nèi)角和定理的輔助線的另一種作法，從而為證明三角形內(nèi)角和為180°服務。在教學過程中，教師往往將轉(zhuǎn)角實驗單一地理解為發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，價值一、價值三被忽視了。

3.數(shù)學本質(zhì)的遷移性不強

“蘇科版教材”（七年級上冊）有這樣一道習題：

桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使7只杯子的杯口全部朝下？

教學中有不少教師讓幾位同學拿上7個紙杯到講臺桌旁進行實驗，或者讓學生預先準備好紙杯，上課時自我實驗。第一次，翻動后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻動后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻動后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻動后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分鐘過去了，兩分鐘過去了，四分鐘過去了……時間一分一秒的流逝了，學生卻隨著時間變得昏昏沉沉，手忙腳亂，連翻動了幾次也數(shù)不清，怎么也想不出來解決這個問題的思路。最后，教師不得不告訴學生，無論翻動多少次，杯口朝上的都是奇數(shù)不是偶數(shù)，所以無論翻動多少次都是不可能杯口全部朝下的，這才將本問題勉強解決了。究其原因，這是教師、學生看不清問題而造成的。

二、矯正方法

1.數(shù)學實驗要在價值立意上作設計

數(shù)學實驗的價值立意必須是建立在數(shù)學思維活動之上，如果離開了數(shù)學思維，將實驗定位在按提供的實驗程序進行機械的操作，那只能算是一個簡單的技術活動，這樣的活動只有動手沒有動腦，已偏離數(shù)學的軌道，失去了數(shù)學味道，在數(shù)學教學上就沒有意義了。

要凸顯數(shù)學實驗的教育價值，必須讓其既具有科學實驗的一般立意，又具有數(shù)學學科特有的思維魅力。即讓數(shù)學實驗也遵循科學實驗“目的――實驗――猜想――論證――結論”的一般規(guī)律?；谶@樣的認識，可以對文中提及的“等腰三角形的性質(zhì)”的教學素材進行如下處理。

實驗1：探究“等腰三角形的性質(zhì)”

【實驗目的】通過1次折疊1個等腰三角形形成2個全等的直角三角形的活動，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)。

根據(jù)上述實驗目的，教師可以設計下列活動，讓學生進行數(shù)學思考。

（1）師：今天老師為同學們準備了一些等腰三角形紙片和直角三角形紙片，這節(jié)課就和同學們玩玩這些紙片，同學們有沒有興趣？

設計意圖：用這樣的開場白，來激發(fā)學生的積極性。

（2）師：如何將手中的1個等腰三角形紙片，通過1次折疊形成2個全等的直角三角形？

設計意圖：提出這個問題，引發(fā)學生弄清折疊的要求，進而探尋折疊的方法。這個過程，就是教師層面上設計數(shù)學實驗的過程，主要由教師站在數(shù)學背景的高度來提出問題，讓學生探尋實驗方案。

【實驗活動】讓學生根據(jù)教師提出的實驗要求，在思維場景中去探尋折疊與相等、對稱的關系，從而讓學生進行數(shù)學思考，而不是讓學生麻木地去折、去猜、去碰，最終形成學生層面上的實驗方案，進而達到教材中折疊的技術要求。

方案1：根據(jù)“相等原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學活動）――重合（數(shù)學觀念）――相等（數(shù)學結論）”這一“相等”的思路，進行折疊。

方案2：根據(jù)“對稱原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學活動）――重合（數(shù)學觀念）――對稱（數(shù)學結論）”這一“對稱”的思路，進行折疊。

學生經(jīng)過這個思維背景再進行數(shù)學實驗（折疊），不但驗證了自己的想法（方案）可行可用，而且還錘煉了數(shù)學思維。對于思維層次不高的學生，讓他們自主地構建上述活動顯然有困難，這個困難主要是怎么設計出折疊的方案，而對于折疊的技術，他們在與其他同學討論交流中，也能完成這樣一個折疊操作，并且在這個活動中并沒有降低課本對他們的基本要求。

【數(shù)學猜想】實驗是表征，通過實驗發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論才是本源。為此，實驗后，教師要讓學生直逼數(shù)學本質(zhì)。這個活動一般可運用下列方法來進行。

師：通過這個數(shù)學實驗，你可以得到哪些數(shù)學結論？

設計意圖：讓學生通過實驗的過程，得到“等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線所在的直線、底邊上的高所在直線、底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸;等腰三角形的兩底角相等;等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角平分線重合”數(shù)學猜想。

【數(shù)學證明】實驗得到的數(shù)學猜想，是基于直覺和簡單邏輯下形成的，那么就有必要對數(shù)學猜想進行數(shù)學證明，因為數(shù)學的最高境界便是證明。為了實現(xiàn)上述目的，可以設計下列問題，引發(fā)學生證明。

師：你上述的猜想一定正確嗎？

設計意圖：引發(fā)學生進行理性證明。

【數(shù)學結論】通過折疊，輔之于觀察、抽象、歸納、簡單的推理等思維活動，形成了數(shù)學猜想;通過數(shù)學論證，即通過嚴格的數(shù)學推理、有力的數(shù)學證明，得到了絕對真理的數(shù)學結論。如何證明這個數(shù)學結論，是脫離數(shù)學實驗，另辟蹊徑;還是回歸實驗，探尋靈感？顯然是要讓學生透過實驗現(xiàn)象，探求形成現(xiàn)象的本質(zhì)，完成論證猜想的證明。所以在這個教學環(huán)節(jié)中，探究輔助線的作法，一定要讓學生回歸折疊的過程，不僅要讓學生正確地引出輔助線，而且還要讓學生體驗輔助線誕生的必要性與合理性，這才能體現(xiàn)數(shù)學實驗的本質(zhì)價值。

【經(jīng)驗積累】任何一個數(shù)學活動，都要讓學生形成活動經(jīng)驗。因為只有活動沒有經(jīng)驗的過程，只能是一個執(zhí)行命令的過程，它永遠停留在重復別人想法的過程中，所以只有通過活動形成自己特有經(jīng)驗，才是一個將別人的想法內(nèi)化為自己知識的過程，這才是學習的真正目的。這個實驗活動，帶給學生的經(jīng)驗主要有上述提及的“相等思維”和“對稱思維”這兩種思維方法，它既是設計折疊實驗方案的基本思路，也是解決折疊問題的基本方法。

完成了探究等腰三角形的性質(zhì)后，還可以用下列實驗活動來探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的問題

數(shù)學實驗2：探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”

問題1：既然1個等腰三角形紙片通過1次折疊可以形成2個全等的直角三角形，那么可不可以將一個直角三角形通過2次折疊，形成2個等腰三角形呢？

問題2：從將1個直角三角形通過2次折疊，形成2個等腰三角形的實驗中，你們又可以得到哪些數(shù)學猜想？

問題3：你準備如何來論證這個結論？

……

這三個問題鏈的設計，也是基于“目的――實驗――猜想――論證――結論”的理念。有價值的思維永遠不是建立在技巧上，而是體現(xiàn)在解決一類問題的通法上，因為它是教育規(guī)律在教學實踐中的具體體現(xiàn)。

2.數(shù)學實驗要在過程分析上作整合

在“等腰三角形的性質(zhì)”中，已提及到數(shù)學實驗要在其過程中吸取養(yǎng)分，下面再根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”，重點談談這個話題。

三角形內(nèi)角和的實驗，其立意就是把三角形的三個內(nèi)角，適當?shù)亍鞍岚峒摇?，組合變成我們熟知的180°的角。學生在學習此內(nèi)容時，已有平角的度數(shù)是180°、鄰補角的度數(shù)是180°、平行線形成的同旁內(nèi)角的和是180°等知識諸備。就“拼角實驗”而言，形成新角的過程一是形成平角，二是形成鄰補角。就“轉(zhuǎn)角實驗”而言，形成新角的過程是平行線下的同旁內(nèi)角。這三種拼角的過程非常重要，它是形成證明三角形內(nèi)角和定理輔助線的關鍵，也是設計這個實驗的價值所在，教學中不容忽視。

（1）拼角實驗下產(chǎn)生的輔助線

①由拼成平角的實驗（圖4），可以構造出過點A引BC平行線DE的輔助線（圖5）的證法。

②由拼成鄰補角的實驗（圖6），構造出延長BA到E，并過點A引BC平行線AD的輔助線（圖7）的證法。

（2）轉(zhuǎn)角實驗下產(chǎn)生的輔助線

由拼成平行線下的同旁內(nèi)角互補的實驗（圖8），可以構造出過點A引BC平行線AD的輔助線（圖9）的證法。

通過實驗，可以得到三角形內(nèi)角和為180°的假設，通過證明，得到了三角形內(nèi)角和定理?？此七@一過程比較圓滿，在此建議增加一個對上述思維過程的反思環(huán)節(jié)。可以引導學生對上述實驗活動進行研究反思，正因為三角形的三個內(nèi)角的和是180°，我們才可以設計出“拼角實驗”，才可以通過“拼角實驗”順利尋找出將三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角的輔助線、才可以順利尋找出將三角形的三個內(nèi)角拼成鄰補角的輔助線來證明內(nèi)角和定理;正因為三角形的三個內(nèi)角的和是180°，我們才可以設計出“轉(zhuǎn)角實驗”，才可以順利尋找出通過將三角形的三個內(nèi)角拼成平行線形成的同旁內(nèi)角的輔助線來證明此定理。

3.數(shù)學實驗要在問題本質(zhì)上作文章

數(shù)學實驗與理性思維怎么處理，一直是數(shù)學實驗關注的問題。物理、化學實驗，常常是重過程現(xiàn)象，更重實驗結果。而數(shù)學實驗教學中，要關注的是動手思考的習慣，更注重的是實驗過程中數(shù)學本質(zhì)的揭示。一個好的數(shù)學實驗，要能引導學生思考問題，在實驗中抽象出一般的原理，用數(shù)學語言講出數(shù)學故事。

文中所提及的“翻轉(zhuǎn)杯口”的實驗，如果教師看不清、看不準這個問題的數(shù)學本質(zhì)，只能是引導學生機械地進行這個實驗，學生必然得不到深層次的思考。這個問題的數(shù)學本質(zhì)是將實驗中的問題抽象為通過改變乘積中因數(shù)符號的個數(shù)，進而確定積的符號是否發(fā)生變化這樣一個數(shù)學問題。基于這樣的認識，就能找到這個問題規(guī)律化的結論。因此，可以將本問題作如下拓展。

結合上述解題經(jīng)驗，請?zhí)骄浚航o定正面向上的撲克牌m張，每次翻動n張（m不能被n整除），試研究是否可以經(jīng)過改變一張或幾張牌的正反面，將桌面上的撲克牌全部反向。

我們不妨將正面向上的每張牌看成數(shù)+1，反面向上的每張牌看成數(shù)-1，每翻動一張牌，則桌子上所有牌所寫的數(shù)的積就改變一次符號（由-1變?yōu)?1）。類似于，若一次翻動n張，就改變n次符號。因此，若n為奇數(shù)，由于奇數(shù)個-1的積為-1，桌子上所有牌所寫的數(shù)的積就改變了符號;而若n為偶數(shù)，由于偶數(shù)個-1的積為+1，桌子上所有牌所寫的數(shù)的積仍保持原來的符號。

當m為奇數(shù)時，要將所有正面向上的牌最終翻動成都反面向上，須改變積的符號。由上可見，若n為偶數(shù)，那是不可能做到的;而若n是奇數(shù)，則有可能做到，且翻動的次數(shù)必須奇數(shù)次。

當m是偶數(shù)時，要將所有正面向上的牌最終翻動成都反面朝上，不須改變積的符號。由上可見，若n為奇數(shù)，須翻動偶數(shù)次可達目的;若n是偶數(shù)，翻動次數(shù)可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)（如表1）。

數(shù)學實驗隨著課程改革的深入，越發(fā)顯示出其強大的生命力，這是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在實施這一理念中教學行為上的一些偏差，我們期待更好更多的數(shù)學實驗教學成果的涌現(xiàn)。