高二數(shù)學知識梳理精選(九篇)

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第1篇：高二數(shù)學知識梳理范文

[關鍵詞]新生兒黃疸；藍光治療；觀察；舒適護理

新生兒黃疸是由于新生兒時期體內(nèi)膽紅素(大多數(shù)為未結合膽紅素)的積累而引起皮膚、黏膜、鞏膜黃染的現(xiàn)象?？煞譃樯硇渣S疸和病理性黃疸兩大類。病理性黃疸由于病因復雜。病情變化發(fā)展快，如未及時治療，可導致膽紅素腦病(核黃疸)而引起死亡或嚴重的后遺癥。因此采取積極有效的治療護理措施是提高治愈率的關鍵。新生兒黃疸除對原發(fā)病進行治療外，我科自2005年1月開始采用藍光照射與舒適護理相配合的方法，取得良好的效果，現(xiàn)將觀察與護理體會報告如下：

1　臨床資料

我院2005年1月～2008年12月收治新生兒黃疸120例，年齡3～30天，其中男85例，女35例，經(jīng)實驗室檢查均提示血清膽紅素明顯升高，有光療指征，即采用溫箱加單面藍光或雙面藍光治療，持續(xù)照射24小時或間斷照射，效果明顯，均治愈出院。藍光照射的原理為：以燈光照射皮膚。將脂溶性未結合膽紅素，改變構造，分解成為對腦無毒性的產(chǎn)物光學膽紅素，使易溶于水?？珊芸斓赜赡懼蚰蛑信懦觯瑥亩黾訉δ懠t素的排泄。

2　藍光治療前的舒適護理

2.1　舒適外環(huán)境的準備

病室內(nèi)潔凈、通風良好，配備空調(diào)，保持室溫24～26℃，濕度55～65％。光療箱清潔、完好，調(diào)試箱溫32～34℃，并以軟棉布覆蓋、固定于箱內(nèi)準備放置新生兒頭部的一側，防止新生兒活動后撞傷前囟及耳、面部。

2.2　新生兒的舒適準備

光療前給新生兒洗溫水澡1次，更換清潔尿布，修剪指甲，并戴上棉制小手套，防止抓破皮膚。護士以輕柔的動作給新生兒戴上眼罩、會陰罩，松緊適宜，避免新生兒煩躁不安，便于新生兒更好地接受光療。

3　藍光治療時的舒適護理

3.1　心理的舒適護理

護士鼓勵新生兒父母在新生兒煩躁或哭鬧時以輕柔的語調(diào)與之講話，并通過對新生兒頭部、背部或手部皮膚的撫觸，避免“皮膚饑餓”現(xiàn)象，使新生兒安靜。達到心理上的滿足與舒適。

3.2　臥位舒適

長時間單一臥位對肢體皮膚的壓迫，可增加新生兒的不適，甚至造成頭顱畸形，光療時護士必須每2h協(xié)助新生兒左、右側臥位、俯臥位交替。

3.3　喂養(yǎng)的舒適護理

對新生兒實行按需喂奶，每次以新生兒自覺飽感為宜，并喂適量溫水。新生兒食管較短，胃呈水平位，光療時不能抱起拍背，促進胃內(nèi)空氣的排出。易出現(xiàn)吐奶。因此喂奶時宜取側臥位，使奶水充盈奶瓶前部，避免空氣吸入胃內(nèi)。為減少新生兒吸奶時耗費過多的力氣，可人為地間歇數(shù)秒后再次喂奶，喂奶后協(xié)助新生兒取右側臥位，以減少吐奶的次數(shù)和窒息的危險。

3.4　皮膚的舒適護理

新生兒初次接觸光療箱這一陌生環(huán)境，容易哭鬧，出汗較多，護士及時給予擦干汗液，保持皮膚清潔干燥，避免受涼。隨時更換尿布，注意清潔臀部，防紅臀。并做好臍部護理。

3.5　藍光治療時靜脈輸液的舒適護理

需要光療時給予靜脈補充水、電解質(zhì)及輸注藥物。本組病例有75例需要光療時給予靜脈補充水、電解質(zhì)及輸注藥物。我科均采用BD第四代小兒留置針穿刺頭皮淺靜脈或手、足背靜脈輸液，減少反復穿刺給新生兒帶來的痛苦，并控制輸液速度，使藥物均衡輸入。期間護士經(jīng)常巡視，必要時遵醫(yī)囑心電監(jiān)護，測量新生兒P、HR、R、SPO2否正常，及時觀察體溫的變化，每二小時測量體溫一次，根據(jù)體溫變化調(diào)整箱溫，鑒別有無光療及輸液引起的副作用。本組有2例出現(xiàn)發(fā)熱，1例出現(xiàn)皮疹，均及時發(fā)現(xiàn)后匯報醫(yī)生處理。

4　藍光治療后的舒適護理

光療結束后，注意保暖，清潔皮膚后及時給新生兒穿上衣服。護士觀察新生兒黃疸的消退情況及有無發(fā)熱等，及時向醫(yī)生匯報病情動態(tài)，提供治療依據(jù)。促進新生兒盡早康復。

第2篇：高二數(shù)學知識梳理范文

立體幾何

第二十三講

空間中點、直線、平面之間的位置關系

2019年

1.(2019全國III文8）如圖，點N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點，則

A．BM=EN，且直線BM、EN

是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN

是相交直線

C．BM=EN，且直線BM、EN

是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN

是異面直線

2.（2019全國1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

3.（2019全國II文7）設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C．α，β平行于同一條直線

D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①lm；②m∥；③l．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．

5.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

6.（2019全國II文17）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BEEC1.

（1）證明：BE平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．

7.(2019全國III文19）圖1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.

（1）證明圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；

（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積.

8.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．

（Ⅰ）求證：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．

9.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

10.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

11.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.

（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

12.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．

（Ⅰ）求證：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．

13.（2019全國1文16）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．

14.（2019全國1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

15.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

16.（2019浙江8）設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則

A．β

B．β

C．β

D．α

17.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.

（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅱ)在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為

A．

B．

C．

D．

2．(2018浙江)已知平面，直線，滿足，，則“∥”是“∥”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

3．（2017新課標Ⅰ）如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接與平面不平行的是

4．（2017新課標Ⅲ）在正方體中，為棱的中點，則

A．

B．

C．

D．

5．（2016年全國I卷）平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1

A1=n，則m，n所成角的正弦值為

A．

B．

C．

D．

6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面

交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，nβ，則

A．m∥l

B．m∥n

C．nl

D．mn

7．（2015新課標1）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．斛

B．斛

C．斛

D．斛

8．（2015新課標2）已知、是球的球面上兩點，，為該球面上的動點．若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為

A．

B．

C．

D．

9．（2015廣東）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是

A．與，都不相交

B．與，都相交

C．至多與，中的一條相交

D．至少與，中的一條相交

10．（2015浙江）如圖，已知，是的中點，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則

11．（2014廣東）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結論一定正確的是

A．

B．

C．既不垂直也不平行

D．的位置關系不確定

12．（2014浙江）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面

A．若，，則

B．若，則

C．若則

D．若，，，則

13．（2014遼寧）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是

A．若則

B．若，，則

C．若，，則

D．若，，則

14．（2014浙江）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練，已知點到墻面的距離為，某目標點沿墻面的射擊線移動，此人為了準確瞄準目標點，需計算由點觀察點的仰角的大?。ㄑ鼋菫橹本€與平面所成角）。若，，則的最大值

A．

B．

C．

D．

15．（2014四川）如圖，在正方體中，點為線段的中點。設點在線段上，直線

與平面所成的角為，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

16．（2013新課標2）已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則

A．且

B．且

C．與相交，且交線垂直于

D．與相交，且交線平行于

17．（2013廣東）設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面，下列命題中正確的是

A．若,,,則

B．若,,,則

C．若,,,則

D．若,,,則

18．（2012浙江）設是直線，是兩個不同的平面

A．若∥，∥，則∥

B．若∥，，則

C．若，，則

D．若,

∥，則

19．（2012浙江）已知矩形，，．將沿矩形的對角線所在的直線進行翻折，在翻折過程中，

A．存在某個位置，使得直線與直線垂直

B．存在某個位置，使得直線與直線垂直

C．存在某個位置，使得直線與直線垂直

D．對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直

20．（2011浙江）下列命題中錯誤的是

A．如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

C．如果平面，平面，，那么

D．如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

21．（2010山東）在空間，下列命題正確的是

A．平行直線的平行投影重合

B．平行于同一直線的兩個平面平行

C．垂直于同一平面的兩個平面平行

D．垂直于同一平面的兩條直線平行

二、填空題

22．(2018全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_____．

三、解答題

23．（2018全國卷Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，

，為的中點．

(1)證明：平面；

(2)若點在棱上，且，求點到平面的距離．

24．（2018全國卷Ⅲ）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．

(1)證明：平面平面；

(2)在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．

25．（2018北京）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，=，，分別為，的中點．

(1)求證：；

(2)求證：平面平面；

(3)求證：∥平面．

26．（2018天津）如圖，在四面體中，是等邊三角形，平面平面，點為棱的中點，，，．

(1)求證：；

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值．

27．(2018江蘇)在平行六面體中，，．

求證：(1)平面；

(2)平面平面．

28．(2018浙江)如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．

(1)證明：平面；

(2)求直線與平面所成的角的正弦值．

29．（2017新課標Ⅱ）如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，．

(1)證明：直線∥平面；

(2)若的面積為，求四棱錐的體積。

30．（2017新課標Ⅲ）如圖，四面體中，是正三角形，．

(1)證明：；

(2)已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點，且，求四面體與四面體的體積比．

31．（2017天津）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

32．（2017山東）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面，

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設是的中點，證明：平面平面．

33．（2017北京）如圖，在三棱錐中，，，，，為線段的中點，為線段上一點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）當∥平面時，求三棱錐的體積．

34．（2017浙江）如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

35．（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD．

求證：（1）EF∥平面ABC；

（2）ADAC．

36．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．

分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．

現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．

37．（2016年山東）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求證：ACFB；

（II）已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC.

38．（2016年天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點.

(Ⅰ)求證：FG平面BED；

(Ⅱ)求證：平面BED平面AED；

(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

39．（2016年全國I卷）如圖，已知正三棱錐的側面是直角三角形，，頂點在平面內(nèi)的正投影為點，在平面內(nèi)的正投影為點，連結并延長交于點．

（I）證明：是的中點；

（II）在圖中作出點在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積．

40．（2016年全國II卷）如圖，菱形的對角線與交于點，點、分別在，上，，交于點，將沿折到的位置.

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)若,求五棱錐體積．

41．（2016年全國III卷）如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求四面體的體積．

42．（2015新課標1）如圖四邊形為菱形，為與交點，平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積．

43．（2015新課標2）如圖，長方體中，，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（Ⅱ）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值．

44．（2014山東）如圖，四棱錐中，，，

分別為線段的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：．

45．(2014江蘇)如圖，在三棱錐中，，E，F(xiàn)分別為棱的中點．已知，

求證：（Ⅰ）直線平面；

（Ⅱ）平面平面．

46．（2014新課標2）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．

47．（2014天津）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,,,分別是棱,的中點．

（Ⅰ）證明:

平面；

（Ⅱ）若二面角為，

（?。┳C明：平面平面；

（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

48．（2013浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．

（Ⅰ）證明：BD面APC

；

（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與APC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G滿足PC面BGD，求

的值．

49．（2013遼寧）如圖，是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設為的中點，為的重心，求證：平面．

50．（2012江蘇）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱上的點（點D不同于點C），且為的中點．

求證：（Ⅰ）平面平面；

（Ⅱ）直線平面．

51．(2012廣東)如圖所示，在四棱錐中，平面，，是中點，是上的點，且，為中邊上的高．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積；

（Ⅲ）證明：平面．

52．（2011江蘇）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點．

求證：（Ⅰ）直線EF∥平面PCD；

（Ⅱ）平面BEF平面PAD．

53．（2011廣東）如圖，在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點．

（Ⅰ）證明：AD平面DEF；

（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．

54．（2010天津）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

55．（2010浙江）如圖，在平行四邊形中，=2，∠=120°．為線段的中點，將沿直線翻折成，使平面平面，為線段的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）設為線段的中點，求直線與平面所成角的余弦值．

專題八

立體幾何

第二十三講

空間中點、直線、平面之間的位置關系

答案部分

2019年

2019年

1.解析

如圖所示，聯(lián)結，.

因為點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，所以平面，平面，因為是中邊上的中線，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設，則，，

所以，，

所以．故選B．

2.解析

（1）連結.因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.

由題設知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

從而CH平面，故CH的長即為C到平面的距離，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

從而點C到平面的距離為.

3.解析：對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則與相交或，排除；

對于B，內(nèi)有兩條相交直線與平行，則；

對于C，，平行于同一條直線，則與相交或，排除；

對于D，，垂直于同一平面，則與相交或，排除．

故選B．

4.解析

若②，過作平面，則，又③，則，又，同在內(nèi)，所以①，即.

5.證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因為BE?平面ABC，所以CC1BE.

因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因為C1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.

6.解：（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，

故.

又，所以BE平面.

（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設知RtABE≌RtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.

作，垂足為F，則EF平面，且.

所以，四棱錐的體積.

7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）取的中點，聯(lián)結，.

因為，平面，所以平面，故.

由已知，四邊形是菱形，且得，故平面.

因此.

在中，，，故.

所以四邊形的面積為4.

8.解析（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，

所以．

又因為底面ABCD為菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因為PA平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結CF，F(xiàn)G，EG．

因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，

所以CF∥EG．

因為CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

9.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，

因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，

故在中，.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

10..證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因為BE?平面ABC，所以CC1BE.

因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因為C1E?平面A1ACC1，所以BEC1E.

11.（I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，則A1EBC.

又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.

連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補角）.

不妨設AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O為A1G的中點，故，

所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

12.解析（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，

所以．

又因為底面ABCD為菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因為PA平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結CF，F(xiàn)G，EG．

因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，

所以CF∥EG．

因為CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

13.

過點P作PO平面ABC交平面ABC于點O，

過點P作PDAC交AC于點D，作PEBC交BC于點E，聯(lián)結OD，OC，OE，

則

所以又,

故四邊形為矩形.

有所做輔助線可知，

所以，

所以矩形為邊長是1的正方形，則.

在中，，所以.

即為點P到平面ABC的距離，即所求距離為.

14.解析

（1）連結.因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.

由題設知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

從而CH平面，故CH的長即為C到平面的距離，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

從而點C到平面的距離為.

15.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，

因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，

故在中，.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

16.解析：解法一：如圖G為AC的中點，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，

作于E，易得，過P作于F，

過D作，交BG于H，

則，，，

則，可得；

，可得.

解法二：由最小值定理可得，記的平面角為(顯然)，

由最大角定理可得；

解法三特殊圖形法：設三棱錐為棱長為2的正四面體，P為VA的中點，

易得，可得，，，

故選B．

17.（I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，則A1EBC.

又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.

連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補角）.

不妨設AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O為A1G的中點，故，

所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

2010-2018年

1．C【解析】如圖，連接，因為，所以異面直線與所成角等于相交直線與所成的角，即．不妨設正方體的棱長為2，則，，由勾股定理得，又由平面，可得，

所以，故選C．

2．A【解析】若，，∥，由線面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直線與可能異面，故“∥”是“∥”的充分不必要條件．故選A．

3．A【解析】由正方體的線線關系，易知B、C、D中，所以平面，

只有A不滿足．選A．

4．C【解析】如圖，連結，易知平面，所以，又，所以平面，故，選C．

5．A【解析】因為過點的平面與平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，則與所成的角為所求角，所以，所成角的正弦值為，選A．

6．C【解析】選項A，只有當或時，；選項B，只有當時；選項C，由于，所以；選項D，只有當或時，，故選C．

7．B【解析】由得圓錐底面的半徑，所以米堆的體積，所以堆放的米有斛．

8．C【解析】三棱錐，其中為點到平面的距離，而底面三角形時直角三角形，頂點到平面的最大距離是球的半徑，

故=，其中為球的半徑，

所以，所以球的表面積．

9．D【解析】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，中的一條相交，故選A．

10．B【解析】解法一

設，，則由題意知．

在空間圖形中，連結，設=．

在中，．

過作，過作，垂足分別為．

過作，使四邊形為平行四邊形，則，

連結，則就是二面角的平面角，所以．

在中，，．

同理，，，故．

顯然平面，故．

在中，．

在中，

=

，

所以

，

所以（當時取等號），

因為，，而在上為遞減函數(shù)，

所以，故選B．

解法二

若，則當時，，排除D；當時，，，排除A、C，故選B．

11．D【解析】利用正方體模型可以看出，與的位置關系不確定．選D．

12．C【解析】選項中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選．

13．B【解析】對于選項A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C，若，，則或，C錯誤；對于選項D，若，，則或或與相交，D錯誤．故選B．

14．D【解析】作，垂足為，設，則，

由余弦定理，

，

故當時，取得最大值，最大值為．

15．B【解析】直線與平面所成的角為的取值范圍是，

由于，，

所以的取值范圍是

16．D【解析】作正方形模型，為后平面，為左側面

可知D正確．

17．D【解析】A中可能平行、垂直、也可能為異面；B中還可能為異面；C中

應與中兩條相交直線垂直時結論才成立，選D．

18．B【解析】利用排除法可得選項B是正確的，∥，，則．如選項A：∥，∥時，或∥；選項C：若，，∥或；選項D：若,

，∥或．

19．B【解析】過點作，若存在某個位置，使得，則面，從而有，計算可得與不垂直，則A不正確；當翻折到時，因為，所以面，從而可得；若，因為，所以面，從而可得，而，所以這樣的位置不存在，故C不正確；同理，D也不正確，故選B．

20．D【解析】對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的某些直線可能不垂直于平面，即與平面的關系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其余選項易知均是正確的．

21．D【解析】兩平行直線的平行投影不一定重合，故A錯；由空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可知、均錯誤，故選D．

22．【解析】由題意畫出圖形，如圖，

設是底面圓的直徑，連接，則是圓錐的高，設圓錐的母線長為，

則由，的面積為8，得，得，在中，

由題意知，所以，．

故該圓錐的體積．

23．【解析】(1)因為，為的中點，所以，且．

連結．因為，所以為等腰直角三角形，

且，．

由知，．

由，知平面．

(2)作，垂足為．又由(1)可得，所以平面．

故的長為點到平面的距離．

由題設可知，，．

所以，．

所以點到平面的距離為．

24．【解析】(1)由題設知，平面平面，交線為．

因為，平面，所以平面，故．

因為為上異于，的點，且為直徑，所以

．

又=，所以平面．

而平面，故平面平面．

(2)當為的中點時，∥平面．

證明如下：連結交于．因為為矩形，所以為中點．

連結，因為為

中點，所以∥．

平面，平面，所以∥平面．

25．【解析】(1)，且為的中點，．

底面為矩形，，

．

(2)底面為矩形，．

平面平面，平面．

．又，

平面，平面平面．

(3)如圖，取中點，連接．

分別為和的中點，，且．

四邊形為矩形，且為的中點，

，

，且，四邊形為平行四邊形，

．

又平面，平面，

平面．

26．【解析】(1)由平面平面，平面∩平面=，，可得平面，故．

(2)取棱的中點，連接，．又因為為棱的中點，故∥．所以（或其補角）為異面直線與所成的角．

在中，，故．

因為平面，故．

在中，，故．

在等腰三角形中，，可得．

所以，異面直線與所成角的余弦值為．

(3)連接．因為為等邊三角形，為邊的中點，故，

．又因為平面平面，而平面，

故平面．所以，為直線與平面所成的角．

在中，．

在中，．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．

27．【證明】(1)在平行六面體中，．

因為平面，平面，

所以∥平面．

(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形．

又因為，所以四邊形為菱形，

因此．

又因為，∥，

所以．

又因為=，平面，平面，

所以平面．

因為平面，

所以平面平面．

28．【解析】(1)由，，，，得

，

所以．

故．

由，，，，得，

由，得，

由，得，所以，故．

因此平面．

(2)如圖，過點作，交直線于點，連結．

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角．

由，，

得，，

所以，故．

因此，直線與平面所成的角的正弦值是．

29．【解析】（1）在平面內(nèi)，因為，所以∥，

又平面，平面，故∥平面．

（2）取的中點，連結，．由及∥，

得四邊形正方形，則．

因為側面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因為底面，所以．

設，則，，，．取的中點，連結，則，所以．

因為的面積為，所以，解得（舍去），．于是，，．

所以四棱錐的體積．

30．【解析】（1）取的中點連結，.因為，所以．

又由于是正三角形，所以.從而平面，故BD.

（2）連結．

由（1）及題設知，所以．

在中，．

又，所以

，故.

由題設知為直角三角形，所以．

又是正三角形，且，所以．

故為BD的中點，從而到平面的距離為到平面的距離的，四面體的體積為四面體的體積的，即四面體與四面體的體積之比為1:1．

31．【解析】（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．因為AD平面PDC，所以ADPD．在RtPDA中，由已知，得，故．

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為．

（Ⅱ）證明：因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD．又因為BC//AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC．

（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．

因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角．

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得．

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．

32．【解析】（Ⅰ）取中點,連接，，

由于為四棱柱,

所以，，

因此四邊形為平行四邊形,

所以,

又面,平面,

所以∥平面,

（Ⅱ）．，分別為和的中點，

，

又平面，平面，

所以，

，所以，，

又，平面，

所以平面

又平面,

所以平面平面．

33．【解析】（Ⅰ）因為，，所以平面，

又因為平面，所以．

（Ⅱ）因為，為中點，所以，

由（Ⅰ）知，，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因為平面，平面平面，

所以．

因為為的中點，所以，．

由（Ⅰ）知，平面，所以平面．

所以三棱錐的體積．

34．【解析】（Ⅰ）如圖，設PA中點為F，連結EF，F(xiàn)B．

因為E，F(xiàn)分別為PD，PA中點，所以EF∥AD且，

又因為BC∥AD，，所以

EF∥BC且EF=BC，

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，

因此CE∥平面PAB．

（Ⅱ）分別取BC，AD的中點為M，N．連結PN交EF于點Q，連結MQ．

因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，

在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE．

由為等腰直角三角形得

PNAD．

由DCAD，N是AD的中點得

BNAD．

所以

AD平面PBN，

由BC∥AD得

BC平面PBN，

那么，平面PBC平面PBN．

過點Q作PB的垂線，垂足為H，連結MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．

設CD=1．

在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，

在中，，MQ=，

所以

，

所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．

35．【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為，，所以.

又因為平面，平面，所以∥平面.

（2）因為平面平面，

平面平面=，

平面，，

所以平面.

因為平面，所以.

又，，平面，平面，

所以平面，

又因為平面，

所以．

36．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，

所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點處．

因為，．

所以，從而．

記與水平的交點為，過作，為垂足，

則平面，故，

從而．

答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.

(

如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為24cm)

（2）如圖，，是正棱臺的兩底面中心.

由正棱臺的定義，平面

，

所以平面平面，.

同理，平面平面，.

記玻璃棒的另一端落在上點處.

過作，為垂足，

則==32.

因為=

14，=

62，

所以=

，從而.

設則.

因為，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因為，所以.

于是

.

記與水面的交點為，過作，為垂足，則

平面，故=12，從而

=.

答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.

(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為20cm)

37．【解析】（Ⅰ）證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為

為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，．

（Ⅱ）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面．

38．【解析】（Ⅰ）證明：取的中點為，連接，在中，因為是的中點，所以且，又因為，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）證明：在中，，由余弦定理可，進而可得，即，又因為平面平面平面；平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面．

（Ⅲ）解：因為，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點作于點，連接，又因為平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．

39．【解析】（Ⅰ）因為在平面內(nèi)的正投影為，所以

因為在平面內(nèi)的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得，，從而是的中點.

（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作的平行線交于點，即為在平面內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得，，又,所以，,因此平面，即點為在平面內(nèi)的正投影.

連接，因為在平面內(nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知，是的中點，所以在上，故

由題設可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積

40．【解析】（Ⅰ）由已知得，，

又由得，故

由此得，所以

（Ⅱ）由得

由得

所以

于是故

由（Ⅰ）知，又，

所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五邊形的面積

所以五棱錐體積

41．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.

又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.

因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為．取的中點，連結.由得，

.

由得到的距離為，故.

所以四面體的體積.

42．【解析】（Ⅰ）因為四邊形為菱形，所以，

因為平面，所以，故平面．

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）設=，在菱形中，由=120°，

可得=，=．

因為，所以在中，可得．

由平面，知為直角三角形，可得．

由已知得，三棱錐的體積．

故．

從而可得．

所以的面積為3，的面積與的面積均為．

故三棱錐的側面積為．

43．【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖

（Ⅱ）作，垂足為，則，，．因為為正方形，所以．

于是，，．

因為長方形被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為（也正確）．

44．【解析】（Ⅰ）設，連結OF，EC，

由于E為AD的中點，，

所以,

因此四邊形ABCE為菱形，所以O為AC的中點，又F為PC的中點，

因此在中，可得.

又平面BEF，平面BEF，所以平面.

（Ⅱ）由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，

因此．又平面PCD，所以，因此．

因為四邊形ABCE為菱形，所以.

又，AP，AC平面PAC，所以平面．

45．【解析】（Ⅰ）為中點，DE∥PA，

平面DEF，DE平面DEF，PA∥平面DEF，

（Ⅱ）為中點，，

為中點，，

，，DEEF，

，，

，DE平面ABC，

DE平面BDE，平面BDE平面ABC．

46．【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連結EO．

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點。

又E為PD的中點，所以EO∥PB。

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.

（Ⅱ）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標原點，的方向為軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，

則.

設，則。

設為平面ACE的法向量，

則即，

可?。?/p>

又為平面DAE的法向量，

由題設，即，解得．

因為E為PD的中點，所以三棱錐的高為．

三棱錐的體積．

47．【解析】（Ⅰ）證明：如圖取PB中點M，連接MF，AM.因為F為PC中點，

故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E為AD中點，

因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，

所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，

所以EF//平面PAB.

（Ⅱ）（i）證明：連接PE，BE．因為PA=PD，BA=BD，而E為AD中點，

故PEAD，BEAD，所以PEB為二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，

由，可解得PE=2．

在三角形ABD中，由，可解得BE=1．

在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，

由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB，

又BC//AD，BEAD，從而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，

所以平面PBC平面ABCD．

（ii）連接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，

由PB=，PA=，AB=得ABP為直角，而MB=PB=，可得AM=，

故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，

所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為．

48．【解析】（Ⅰ）設點O為AC，BD的交點，

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線．

所以O為AC的中點，BDAC．

又因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PABD．所以BD平面APC．

（Ⅱ）連結OG.由(1)可知OD平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角．

由題意得OG＝PA＝.

在ABC中，AC＝＝，

所以OC＝AC＝.

在直角OCD中，OD＝＝2.

在直角OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG與平面APC所成的角的正切值為.

（Ⅲ）連結OG.因為PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.

在直角PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

從而PG＝，

所以.

49．【解析】（Ⅰ）由AB是圓O的直徑，得ACBC．

由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，

又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，

所以BC平面PAC．

（Ⅱ）連OG并延長交AC與M，鏈接QM，QO.

由G為?AOC的重心，得M為AC中點，

由G為PA中點，得QMPC.

又O為AB中點，得OMBC.

因為QM∩MO=M，QM平面QMO．

所以QG//平面PBC．

50．【解析】（Ⅰ）因為是直三棱柱，所以平面ABC，又平面,所以，又因為平面，所以平面，又AD平面ADE，所以平面ADE平面.

（Ⅱ）因為，為的中點，所以．因為平面，且平面，所以又因為，平面，

，所以平面，所以AD．又AD平面，平面，所以平面．

51．【解析】（Ⅰ）平面，面

又面

（Ⅱ）是中點點到面的距離，

三棱錐的體積

，

（Ⅲ）取的中點為，連接，，

又平面面面面，

點是棱的中點

，

得：平面．

52．【證明】：（Ⅰ）在PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF//PD．

又因為EF平面PCD，PD平面PCD，

所以直線EF//平面PCD．

（Ⅱ）連結DB，因為AB=AD，∠BAD=60°，

所以ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD．

因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以BF平面PAD．又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD．

53．【解析】法一：（Ⅰ）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG

又PB//EF，得，而DE//GB得AD

DE，又，所以AD

平面DEF。

（Ⅱ），為二面角P—AD—B的平面角，

在，

在，

，

法二：（Ⅰ）取AD中點為G，因為

又為等邊三角形，因此，，

從而平面PBG．

延長BG到O且使得PO

OB，又平面PBG，PO

AD，

所以PO

平面ABCD．

以O為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系．

設

由于

得

平面DEF．

（Ⅱ）

取平面ABD的法向量

設平面PAD的法向量

由

取

54．【解析】（Ⅰ）因為四邊形是正方形，所以//.故為異面直線與所成的角.因為平面，所以.故.

在中，=1，=，==3,

故==.

所以異面直線和所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：過點作//,交于點，則.由,可得,從而,又,=,所以平面.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即為的中點.取的中點，連接，則,因為//,所以//.過點作，交于，則為二面角--的平面角。

連接，可得平面,故.從而.由已知，可得=.由//,,得.

在中，,

所以二面角--的正切值為．

55．【解析】

(Ⅰ)取的中點G，連結GF，CE，由條件易知

FG∥CD，F(xiàn)G=CD．BE∥CD,BE=CD．所以FG∥BE，F(xiàn)G=BE．

故四邊形BEGF為平行四邊形，所以BF∥EG．

因為平面，BF平面，所以

BF//平面．

（Ⅱ）解：在平行四邊形,ABCD中，設BC=，則AB=CD=2，AD=AE=EB=，

連CE，因為．

在BCE中，可得CE=，

在ADE中，可得DE=，

在CDE中，因為CD2=CE2+DE2，所以CEDE,

在正三角形中，M為DE中點，所以DE.

由平面平面BCD,

可知平面BCD,

CE.

取的中點N，連線NM、NF，

所以NFDE，NF.

因為DE交于M，

所以NF平面，

則∠FMN為直線FM與平面新成角．

在RtFMN中，NF=,

MN=,

FM=，

第3篇：高二數(shù)學知識梳理范文

[關鍵詞] 數(shù)學；學習；興趣培養(yǎng)

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1005-4634（2013）01-0115-02

在全面推行和實施素質(zhì)教育的今天，盡管大眾數(shù)學的教育觀念已經(jīng)在我國的數(shù)學教育中初步確立，但要繼續(xù)提高“數(shù)學為大眾”的思想認識，需要從教育體制、課程設計、教學內(nèi)容、教學方法等方面創(chuàng)造出適合學生個體學習和發(fā)展的數(shù)學課程，這也是我國數(shù)學教學變革中所必須進行的[1]。

1 改革現(xiàn)行高二分班機制

改革現(xiàn)行普通高中在高二進行“文理科”分班的機制，是重視學生的個性特點、發(fā)揮個體智能強項的必然。“順木之天，以致其性”，這是出自唐宋家之一柳宗元的《種樹郭橐駝傳》中的一句話，其意就是要讓樹木順其自然的去生長，其結果就是樹不但不死，還長得蒼翠蓊郁，果實累累。學校教育是針對學生的，每個學生都擁有自己的特長或者擅長的領域，只不過有的被人發(fā)現(xiàn)并加以利用了，有的一直都沒有被發(fā)現(xiàn)。所以從理論上來說都是“天生我材必有用”，但其關鍵是要找到學生的優(yōu)勢領域并為其提供指導和幫助，初步建立他們的自信心和成就感，隨后慢慢的帶動周邊的領域共同發(fā)展形成良性循環(huán)。學校教育應順應其個性優(yōu)勢自然發(fā)展原理[2]。

大眾數(shù)學的概念是希望盡可能滿足學生的數(shù)學心理需求。在我國高中實行文理分科：高一全體學生都要學習九門課程的必修部分，包括語數(shù)英、政治、歷史、化學、生物、物理、地理。高二在語英不變的情況下， 一部分學生選修文科，包括文科數(shù)學（相對于理科數(shù)學難度要低一些）、政治、歷史和地理；一部分學生選修理科，包括理科數(shù)學、物理、化學和生物。這種在文理融合基礎上有所側重的分科教育模式雖然有利于全體學生在一定階段學習普通知識，獲得未來生活和職業(yè)生涯所必需的知識基礎，也有利于學生節(jié)約時間，專注于一定范圍、一定性質(zhì)的知識領域，為未來的繼續(xù)深造做好準備。這是協(xié)調(diào)教育的時效矛盾，擺脫現(xiàn)代教育發(fā)展困境的制度設計[3]。但是，目前三年制的高中教育中，前兩年要完成三年的教學內(nèi)容，高三則集中精力復習備戰(zhàn)高考。高一新生按中考的錄取成績進行分班教學，理論上是可行的，但在教學實踐中暴露出班級學生中各科成績偏差太大，從教學內(nèi)容到具體的教學中不能做到“因材施教”，從而導致在高一的一年學習中，學生不同的“優(yōu)勢領域”不僅得不到發(fā)展，反而影響了學生的學習興趣，扼殺了學生的成就動機。筆者在教學實踐調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，占17.44%的學生反映高一數(shù)學中未遇到過難題，但41.86%的學生由于“數(shù)學成就差”沒有自信心而喪失了對數(shù)學學習的興趣。高一學生對弱項科目的努力得不到提升，他們就會選擇放棄。

按高中數(shù)學的教育目標及大綱規(guī)定，應將現(xiàn)行的高二文、理科分班改為在高一進行。具體操作上，可以在新生入校后進行一次語數(shù)英摸底考試，將中考及入學摸底考的平均成績，按語數(shù)英各科由高到低的成績進行分班，這樣各科成績在一個水平線上的分班教學，才能“因材施教”，才能充分發(fā)揮學生不同的智能強項，讓更多的學生體會到“成功是成功之母”。

有效的學習是激發(fā)學生對所學材料感興趣并且在學習活動中找到樂趣，嘗到學習的甜頭，為此積極主動地去探索發(fā)現(xiàn)問題，補充不足，讓智能強項與弱項形成互補。高中分班機制的改變，還會激勵中考后的學生利用長假補充個體的弱項科目，為學生提供更廣闊的發(fā)展空間。

2 控制教學進度和難度，對學生進行必要 的指導

在教學實踐中，發(fā)現(xiàn)高一有部分新生對函數(shù)這塊內(nèi)容學起來很困難，其原因是這部分學生初三數(shù)學的某些部分沒有學。所以在教學上，應該查漏補缺，給學生一個適應的過程和補習的機會。萬丈高樓平地起，沒有堅實的數(shù)學基礎怎么學習更高層次的數(shù)學知識呢？數(shù)學學習是一環(huán)緊扣一環(huán)，其中哪一環(huán)節(jié)斷了，后面的學習都會受到影響。更何況高一數(shù)學是高考數(shù)學乃至整個高中數(shù)學的基礎和重點，學好高一數(shù)學尤其是函數(shù)部分不僅有利于調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，更重要的是讓那部分感到學習數(shù)學困難的學生建立自信心，相信通過自己的努力可以趕上其他同學。

培養(yǎng)學生養(yǎng)成主動學習的良好習慣。在批改學生作業(yè)時，部分學生不把重要的數(shù)學演算過程步驟寫下來，僅僅寫出最后結果，這不利于復習整理，且錯在哪一步都不知道。預習是帶著問題聽課，培養(yǎng)自己解決問題的能力，復習是將一定時間段的知識進行梳理，重在“理”字。一是理一理自己哪些知識點掌握了，哪些沒有掌握；二是理一理知識點之間的聯(lián)系；三是理一理所學的知識點可以解決現(xiàn)實生活中的哪些問題。這也是新課標提出探究性學習，更有利于激發(fā)學生學習興趣的關鍵點。

培養(yǎng)學生掌握科學的學習方法。課堂上教師應了解學生在想什么，才能有的放矢。課后要求學生對教材進行預習，課堂上用幾分鐘復習，引領學生與同桌、鄰桌學生討論發(fā)現(xiàn)的問題，就如何解決問題等等發(fā)表意見，鼓勵學生大膽提問，教師才能知道學生是如何想的，才能針對學生的主要問題進行點撥、解惑，從而充分凸現(xiàn)學生的主體地位。這將大大激發(fā)學生積極主動學習的興趣，變“要我學”為“我要學”。聽課是學習的關鍵，怎樣聽課、怎樣記課堂筆記是學習的重點。高一學生往往記了筆記就不能聽好課，這里有個怎樣分配注意力的問題。記筆記是手腦并用，手記是自動化的熟練程度，聽課才是最關鍵的，教師在指導學生聽課時，要讓學生掌握認真聽、記數(shù)學思想方法、具體問題劃歸到怎樣的數(shù)學模型、記分析后得出的概念以及知識點之間的相互關系等等。引導學生在學習中發(fā)現(xiàn)各種數(shù)學方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，并進行比較、歸類、概括。

3 通過寓教于樂的探究性學習來培養(yǎng)學習 興趣

長期以來，教師錯誤的把教學理解為傳授原理、知識和技巧，學生錯誤的把學習理解為模仿、做題。為扭轉這種局面，新課標以培養(yǎng)學生個性健全發(fā)展為出發(fā)點，為學生構建了開放式的學習環(huán)境，將所學知識應用于實踐中，促進學生形成積極的學習態(tài)度，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提高實踐能力。筆者認為：在教學上讓學生充分認識“數(shù)學來源于生活”，緊緊抓住與生活息息相關的數(shù)學知識并運用于教學中，這將大大開闊學生的眼界，激發(fā)學生主動求知的欲望。

在教學實習中，筆者根據(jù)調(diào)查結果，發(fā)現(xiàn)有15.12%的學生認為學數(shù)學無用，甚至還有學生在《調(diào)查問卷》的客觀題中寫出“學函數(shù)難道可以買菜嗎？”針對具體的教學對象、教學內(nèi)容以及絕大多數(shù)學生使用了手機這一情況，筆者利用第二課堂的時間，與這部分對學習數(shù)學沒有興趣的學生開展了探究性的課外教學活動。當時，廣州某通訊公司開展資費營銷活動，將該公司資費大幅下降的幾種模式引入分段函數(shù)中，分別與這部分學生制定出個性化的通訊模式，使學生節(jié)省了資金，也體驗到學好數(shù)學的實用性。

通過這種不斷將現(xiàn)實生活與數(shù)學教學內(nèi)容相結合的小活動，大大提高了這部分學生對學習數(shù)學的興趣，由不喜歡到逐漸喜歡。教學不僅僅是傳授知識，更重要的是教給學生做人的道理，教師要用人格力量感染學生，尊重學生。

4 培養(yǎng)學生主動學習、主動探索數(shù)學真理 的精神

教學是一門藝術。教師對自己的教學工作要充滿激情，應像“推銷員”一樣喚起學生對數(shù)學的興趣。情感教育對數(shù)學教學起著不可估量的作用，俗話說愛屋及烏，雖然數(shù)學不是“烏”，但道理還是一樣的。教師應扮演好自己的角色，在教學中融入自己的感情，讓學生深受感觸，就像演員之于觀眾一樣，師生感情的趨于良好將會大大改變學生對數(shù)學學習的態(tài)度和看法，從而影響學生對數(shù)學學習的興趣，進而加強他們對數(shù)學的喜愛之情。即使有學生不喜歡數(shù)學，但愿意聽數(shù)學老師講課，久而久之數(shù)學知識就在他們腦海里產(chǎn)生了潛移默化的影響，成績提升自然不在話下，自信心從此得到樹立，對數(shù)學也會越來越感興趣。當然，及時關注學生反饋的信息，做出適當?shù)慕虒W調(diào)整來保持學生對數(shù)學學習的興趣也是相當重要的[4]。教學內(nèi)容中應選擇好引入題目，“這些題目是學生日常生活中常遇到且?guī)毡榕d趣的，教學中教師的語言要詼諧、幽默，題目的引入帶點悖論”[5]。如：結合本地的著名建筑物，熱點經(jīng)濟、民生、社會問題，以數(shù)學思維、數(shù)學語言加以表達，在這種表述中讓學生承擔一部分工作，這樣不僅能推動學生努力地去學習，同時也教會學生應有的思維方式。特別對那些害怕數(shù)學、不喜歡抽象思維的學生，更能讓他們體會到學習數(shù)學的價值。

教師在教學中不僅僅是傳授知識，更重要的是傳授有益的思維習慣。波利亞曾說過：“每個學生應當能夠從他的學習中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么?！币虼?，教師應該把習題作為基礎，把解決問題作為目標，將數(shù)學思維、數(shù)學方法和應用意識綜合融于教學當中。這不但有利于強化學生運用數(shù)學意識解決實際問題，而且有利于學生數(shù)學基礎知識和技能的掌握及思維能力的鍛煉。

參考文獻

[1] 陸書環(huán)，傅海倫.數(shù)學教學論 [M].北京：科學出版社，2004：72.

[2]杜智敏，王希華.良師益友人梯 [J].教學研究，2010，（4）：1-12.

[3]別敦榮.取消高中文理分科值得期待嗎[J].教育研究，2009，（4）：36-39.

第4篇：高二數(shù)學知識梳理范文

【關鍵詞】高中數(shù)學，數(shù)學教學，數(shù)學復習，數(shù)學能力

高三數(shù)學復習是高中最后關鍵時刻。采取什么樣的復習方法才能提高復習效率，這是我們每個高三數(shù)學教師所面臨的一個重要課題。在教學實踐中，深刻體會到要搞好高三數(shù)學總復習，首先要研究考試說明，研究高考最近幾年考題的變化等。通過對高考的研究，才能把握好復習的尺度，避免拔深過高、過大，避免復習落點過低、過窄的錯誤導向，然后明確復習環(huán)節(jié)之間的關聯(lián)及各自的標準后，扎實抓好每個環(huán)節(jié)。

1.高考數(shù)學復習的目的任務

數(shù)學總復習的目的任務是：查漏補缺，夯實“三基”，提高能力，促進學生發(fā)展。

1.1 幫助學生梳理知識，形成網(wǎng)絡，使知識系統(tǒng)化、結構化，以加深對知識的理解及知識之間內(nèi)在聯(lián)系的把握。

1.2 通過全面、系統(tǒng)的復習，進行查漏補缺，綜合應用，幫助學生進一步鞏固和熟練掌握數(shù)學大綱規(guī)定的基本知識，基本技能以及基本的數(shù)學思想和方法。

1.3 幫助學生揭示規(guī)律，總結方法，進一步提高運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力。并在對數(shù)學知識的綜合應用中，進一步提高觀察能力，記憶能力，抽象概括能力，邏輯推理能力，化歸轉化能力，空間想象能力、數(shù)學化的能力、運算能力和探索創(chuàng)新能力。

2.高考數(shù)學復習的特點

2.1 綜合性強。

數(shù)學總復習是在學生學完了中學的全部數(shù)學內(nèi)容后進行的，其目的就是為了培養(yǎng)學生綜合運用各部分知識靈活地解決各種數(shù)學問題，提高學生綜合應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力。因此，不論例題還是練習題，其綜合的程度都比新授課時要強。

2.2 容量大。復習時，由于時間短，故每節(jié)課的知識容量和思維容量都較新授課要大得多。

2.3 靈活性大。

數(shù)學總復習是綜合應用中學數(shù)學知識分析問題和解決問題，因此，對同一問題的解決，其所用知識和方法都不局限于某一方面。解法的靈活性較新授課和單元學習都大。由于這一特點，總復習是培養(yǎng)學生靈活應用知識、提高思維品質(zhì)和探索創(chuàng)新能力的最佳時機。

2.4 針對性強。

數(shù)學總復習具有較強的針對性。這是因為總復習是直接針對學生參加高考而進行的復習。因此，不論復習的內(nèi)容、目的都具有明確的針對性，而高考命題又十分重視對學生素養(yǎng)與能力的全面考查，因此總復習對提高數(shù)學素養(yǎng)發(fā)揮積極的作用。

3.當前高三數(shù)學復習課的現(xiàn)狀

高考是必將長期存在的，備考、應考則是高考復習的主要形式。在傳統(tǒng)的高考復習教學中，只偏重對數(shù)學知識內(nèi)容的教學，而忽視了數(shù)學元認知能力的培養(yǎng)和開發(fā)，致使學生解題習慣不佳，對解題方法、策略的掌握和運用能力不強，希望以多取勝，熟能生巧。這是導致學生數(shù)學學業(yè)成績偏低的重要原因之一。

總的說來仍是以“滿堂灌”為主的應試教學，具體表現(xiàn)在：一是課堂容量大，節(jié)奏快，學生疲于理解與消化，被動接受和記憶；二是面面俱到的“復印式”知識整理，沒有突出重點、難點和熱點；三是知識梳理簡單羅列，沒有建立系統(tǒng)完整的知識結構，使學生感到復習課是“炒冷飯”，思維難以興奮；四是注重例題的典型性，解題方法的可模仿性，練習設計與范例配套，突出求同思維；五是搞題海戰(zhàn)術，重復訓練，認為見多識廣，熟能生巧，學生學苦，老師教得累；六是只講結論，不講過程，大量灌輸解題規(guī)律，學生死記硬背，想象力、創(chuàng)造力逐漸減弱。

4.解決當前數(shù)學復習課現(xiàn)狀及對策

4.1 重視數(shù)學思想的指導。

高考試題重在考查對知識理解的準確性、深刻性，重在考查知識的綜合靈活運用。它著眼于知識點新穎巧妙的組合，試題新而不偏；著眼于對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查。高考試題這種積極導向，決定了我們在教學中必須以數(shù)學思想指導知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系。只有加強數(shù)學思想方法的教學，優(yōu)化學生的思維，全面提高數(shù)學能力，才能提高學生解題水平和應試能力。

4.2 夯實基礎，知識與能力并重。

近年高考試題，基礎題覆蓋面占70%以上，其中易、中、難的比例一般是5∶3∶2。因此復習時應對每個章節(jié)的知識進行梳理，使學生對基礎有更深的認知。沒有基礎談不上能力；復習要真正地回到重視基礎的軌道上來，這里的基礎不是指針對考試機械重復的訓練，而是指要搞清基本原理、基本方法，體驗知識形成過程以及對知識本質(zhì)意義的理解與感悟，同時，對基礎知識進行全面回顧，并形成自己的知識體系。

（1）抓基礎。將相近、易混的基礎知識，進行橫向比較以達到準確理解和掌握知識的目的。及時、認真地做好基礎知識的查漏補缺，通過做相關習題或以前練習試卷中解錯的題，找出自己知識和技能上的薄弱環(huán)節(jié)，然后有針對性地進行復習和鞏固。

（2）重能力。高三教學復習應培養(yǎng)如下能力，才能取得較好的復習效果：①轉化和化歸的能力；②數(shù)形結合的能力；③分類討論的能力；④用函數(shù)與方程思想分析解決問題的能力；⑤應用數(shù)學知識解決實際問題的能力；⑥準確、快速的運算能力；⑦邏輯思維能力、空間想象能力。

（3）教通法。因此在復習過程中，必須遵循教學規(guī)律，認真鉆研《考綱》和《說明》，重視通性通法的教學。即在數(shù)學課程學習和做題過程中，我們始終要以數(shù)學思想為主導，尋求數(shù)學式子之間的內(nèi)在聯(lián)系。

4.3 要培養(yǎng)學生各種數(shù)學能力。

（1）思維能力。

培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力始終是數(shù)學復習的出發(fā)點與落腳點，要在體驗知識的過程中，適時進行探究式、開放式題目的研究和學習，深刻領悟蘊涵在其中的數(shù)學思想方法，并加以自覺的應用，力求做到使自己的理性思維能力、分析問題和解決問題的能力有切實的提高。

學好數(shù)學要抓住“四個三”：首先，內(nèi)容上要充分領悟三個方面：理論、方法、思維；其次，解題上要抓好三個字：數(shù)、式、形；第三，閱讀、審題和表述上要實現(xiàn)數(shù)學的三種語言自如轉化（文字語言、符號語言、圖形語言）；第四，學習中要駕馭好三條線：知識（結構）是明線（要清晰），方法（能力）是暗線（要領悟、要提練），思維（訓練）是主線（思維能力是數(shù)學諸能力的核心，創(chuàng)造性的思維能力是最強大的創(chuàng)新動力，是檢驗自己大腦潛能開發(fā)好壞的試金石。）

（2）應用能力。

解答數(shù)學應用問題，是分析問題和解決問題能力的高層次表現(xiàn)，能反映出考生的創(chuàng)新意識和實踐能力。近幾年的一些試題，以當前科技探索研究前沿的合作性的時代特點編擬了一道概率問題，試題簡潔明快，倡導了科學探索和團隊合作精神，具有積極的、正面的意義。這些試題，要求學生理解試題的新情景，找出其中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，運用數(shù)學知識分析解決問題，得出符合實際的有意義的結論。試題情景生動，真實可信，使學生體會數(shù)學的具體應用和感受城市發(fā)展的脈搏。

（3）創(chuàng)新能力。

作為數(shù)學創(chuàng)新思維方法之一的歸納推理型問題出現(xiàn)在高考試題中，旨在引導和考察學生的歸納創(chuàng)新能力，問題讓學生體驗科學發(fā)現(xiàn)的一般模式：從特例的演算，對結果的觀察，進行歸納和概括，猜想得出新命題，最后用演繹法給予證明。而這道與正整數(shù)n有關的命題設計有意識地突破學生慣常的利用數(shù)學歸納法證明的機械方法，而利用二項式定理證明較為簡捷清晰。

（4）評價能力。

有些試題取材于平時課堂中學習的具體案例，問題設置表述為一個數(shù)學問題的解答過程，并提出質(zhì)疑，讓考生作定性的分析和評價。學生需要通過判斷、設疑、識疑、辨疑和解疑過程，獲得正確答案。以此考察學生大膽評價或質(zhì)疑的科學態(tài)度及探索精神。這是命題人在對評價觀念和交流意識方面做了一點嘗試。

（5）邏輯推理能力。

演繹推理是學生的一個薄弱環(huán)節(jié)。在中學階段，雖然也使用過代數(shù)的素材，如利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系進行推理，以及函數(shù)單調(diào)性的證明、奇偶性的判定、不等式的證明等，但由于代數(shù)中缺少幾何圖形的直觀輔助作用，學生對代數(shù)演繹推理感到抽象。

去年的考題加強了在代數(shù)方面的推理論證的考查，試題22（理科）通過給出抽象的數(shù)學概念的描述性定義，從而構建了數(shù)學內(nèi)部的主要活動，按嚴格的數(shù)學定義進行準確地理解、清晰地解釋、有效地變換和嚴密地論證，深刻考察學生的嚴密邏輯推理能力。本題對學生的思維層次要求較高。另外通過對推理過程的合理表述，考查學生表達的準確性、邏輯性、完整性和流暢性也是目標之一。

4.4 講究復習的策略。

高考既要考知識，還要考查能力。所以，在復習中，必須讓學生知道，只掌握數(shù)學基礎知識是不夠的，還要掌握數(shù)學基本技能，并在此基礎上提高數(shù)學能力。

在復習中，要注意構建完整的知識網(wǎng)絡，不要盲目地做題，不要急于攻難度大的“綜合題、探究題”，復習要以中檔題為主，選題要典型，要深刻理解概念，抓住問題的本質(zhì)，抓住知識間的相互聯(lián)系。高考題大多數(shù)都很常規(guī)，只不過問題的情景、設問的角度改變了一下，因此，建議考生在復習中，應在老師的指導下，精做題。

只有解決高質(zhì)量的、有代表性的題目才能達到事半功倍的效果，然而絕大多數(shù)的同學還沒有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導下來選擇復習的練習題，以了解高考題的形式、難度。

4.5 在復習中要避免“題海”戰(zhàn)。

要注意培養(yǎng)和提高數(shù)學能力，同時避免題海戰(zhàn)術。復習不能不做題，但僅做題又不行。

（1）教師只有“登高”才能“博見”。比如：在三角函數(shù)式的變形與化簡時，我們可以歸納出解決三角函數(shù)問題的“三統(tǒng)一（角的統(tǒng)一、函數(shù)名稱的統(tǒng)一和運算的統(tǒng)一）”思想，利用這一思想解決有關三角函數(shù)問題時每一步該怎么做就非常自然了。

（2）在第一輪復習中要穿插綜合訓練。數(shù)學知識的掌握、數(shù)學技能的形成和數(shù)學能力的提高是一個循序漸進、螺旋式上升的過程。同時記憶也是需要重復的。復習中我們既要注意將基礎知識系統(tǒng)梳理、橫向串聯(lián)、形成網(wǎng)絡，還要穿插綜合訓練，這樣才能在第一輪復習結束后解決綜合問題的能力也得到提高。

（3）教師要注意培養(yǎng)學生的實踐能力，并成為學生創(chuàng)新的表率?，F(xiàn)在的高考，既要考查數(shù)學學科能力又要考查一般能力（如學習能力、實踐能力和創(chuàng)新能力等）。一般情況下，學生很難抓住問題的數(shù)學本質(zhì)，沒有創(chuàng)新能力。創(chuàng)新能力不是從天上掉下來的，也不是與生俱來的，而是從牢固扎實的基礎知識與基本技能中得到的，只有通過不斷的努力才能培養(yǎng)出來，教師要成為他們的表率。

（4）教育學生“與其終日而做矣，不如須臾之所思也”有的學生數(shù)學成績差，請家教后花了更多的時間結果還是一樣。其實他們做題的目的只是為了做題，卻舍不得花一點時間去思考、去歸納、去總結。事實上，只要我們對自己所做的每一道題都從該題需要用到什么方法和技巧、能形成什么數(shù)學思想、能培養(yǎng)哪方面的能力等方面去歸納和總結，那么即使不“疲于奔命”也能水到渠成，提高數(shù)學成績。

（5）要充分發(fā)揮“錯題集”的作用。

4.6 讓學生剖析錯誤原因。

高三學生許多題目不是不會做，而是做不對、做不全，經(jīng)常出現(xiàn)一些慣性錯誤，諸如審題錯誤、運算錯誤、邏輯錯誤、表述不規(guī)范等，特別是選擇某方法解決問題時，沒有考慮該方法的適用條件、適用范圍，使用該方法應注意的事項等。許多老師都有這樣的體會，有些錯誤老師反復糾正，學生還是一錯再錯。因為糾錯時老師直接把正確解法授給學生，或老師包辦分析錯誤原因，學生成了接受信息的容器，沒有真正參與糾錯過程，糾錯效果差是理所當然的。對于這類錯誤，老師一定要精心設計糾錯過程，只有這樣訓練，才能讓學生記憶深刻，才能讓學生以后痛改前非，同時也培養(yǎng)了學生辯證思維能力和自我糾錯能力。

4.7 系統(tǒng)整理，構建數(shù)學知識網(wǎng)絡。

第一輪復習，也稱“知識篇”。在這一階段，老師將帶領同學們重溫高一、高二所學課程，但這絕不只是以前所學知識的簡單重復，而是站在更高的角度，對舊知識產(chǎn)生全新認識的重要過程。在第一輪復習時，老師的主線索是知識的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系，以章節(jié)為單位，將那些零碎的、散亂的知識點串聯(lián)起來，并將他們系統(tǒng)化、綜合化，側重點在于各個知識點之間的融會貫通。平時復習中應重視教材中概念、定理、公式等基礎知識、基本技能；同時，更應注重知識的發(fā)展形成過程，例題的分析思路，求解過程。在復習中應立足教材、夯實基礎，以課本為主，全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括。將高中階段所學的數(shù)學知識進行系統(tǒng)整理，用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯(lián)，構建成知識網(wǎng)絡，使學生對整個高中數(shù)學體系有一個全面的認識和把握，以便于知識的存儲，提取和應用，也有利于學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和提高，這是數(shù)學復習的重要環(huán)節(jié)。在老師指導下把高中數(shù)學有關知識點梳理成一個有機的網(wǎng)絡。這不是簡單地重復初學的過程，而是站在更高的角度上激活記憶（囿于篇幅，無法展開敘述）。同時要完成適量的練習，使知識網(wǎng)絡骨架成為有血有肉有感覺的有機體，完成讀書由“薄——厚”到“厚——薄”的過程轉變。

4.8 要指導答題的技巧。

好多同學平時測驗得心應手，成績很好，可在正規(guī)考試時卻一落千丈。這里既有心理因素也有考試技巧問題。應注意收集以往同學成功經(jīng)驗和失敗的教訓并加以提煉，結合閱卷中出現(xiàn)的問題，在教學中有機進行考試指導。

首先要進行心理疏導，平時學習要高要求，但考試時不能過高定位，否則遇到難題會覺得達不到目標而心慌失措，而合理的定位可以減輕心理壓力，從容應對；考試開始或者過程中有緊張現(xiàn)象是正常的，誰都會緊張，適度的緊張反而有利于激情的產(chǎn)生，千萬不能把注意力集中到思考緊張上來，否則會由緊張演變?yōu)榛艔?，后果不堪設想；遇到難題心里不要慌，對于其他同學來說，一視同仁，他也感到難。

其次要合理安排答題順序。思路自然、演算簡單的有把握的題目優(yōu)先解答；思路尚明確，但是演算可能煩瑣的題目放在第二輪；最后去攻克難題，難題即使做不出或者來不及做也不后悔，心態(tài)自然平和。

另外還要學會放棄，哪怕是前面的小題目。因為考題難度的安排并非直線上升，而是波浪式提高，在考試中途遇到啃不動的骨頭在所難免，如果你和難題較勁將會浪費寶貴時間，導致后面能做的題目來不及做，嚴重影響心情。

4.9 加強技巧訓練，提高應試能力。

扎實的基礎知識是獲取高分的前提，技巧是獲取高分的關鍵。對于兩個實力相當?shù)耐瑢W，在考試中某些解題技巧使用的好壞，往往會導致兩人最后的成績有很大的差距。對于一道題往往有許多種不同的解法，我們要用最直接，最簡單的方法。所以在總復習中，教師要落實一些典型題型的一般解題方法。

選擇題客觀性最強，除了正面的直接選擇法以外，復習中還要落實的方法：①排除法：逆向進行，從選項入手，一邊審題一邊排除，直至得到正確選項，看似復雜的問題會變得很簡單。②估值法：運用一些基本定義如定義域，值域或不等式的有關知識來確定一個足夠小的范圍，使四選項中只有一個在此范圍內(nèi)。③賦值法：在一些具有一般意義的選擇題中，給未知量賦一個適當?shù)谋阌谟嬎愕闹?，來確定正確答案。④圖像法：根據(jù)已知條件畫出合適的圖形，如數(shù)軸、韋恩圖、函數(shù)等圖像，數(shù)形結合得出答案。

簡答題的解題關鍵是要找到解題的突破口和解題途徑?？梢砸环矫鎻囊阎獥l件分析，看看由此能進一步求得哪些結果（即能做什么？）；另一方面從題目的最后要求的問題分析，看看要得到該答案需要哪些前提（即需要什么？），這樣兩頭分析，往往能較快地理出解題思路。簡答題解答時，當一個問題需要好幾個條件才能解決，而有一個條件又始終得不到，不妨假設這一步成立，如寫“可證為……”利用它的結論來解決后邊的問題。

記住一些常用的結論和經(jīng)典的試題可以在考試中節(jié)省時間，激活思路。如果同一類題在多次考試中出現(xiàn)，那我們就應該引起足夠的重視。

總之，我們要依據(jù)考試大綱的要求，根據(jù)高考試題的新特點、把握正確方向，打好扎實的數(shù)學基礎，打破傳統(tǒng)復習模式、沖破“題?！?，走出猜題押題的誤區(qū)，構建能力首位的復習模式，是高考勝利的關鍵。

參考文獻

第5篇：高二數(shù)學知識梳理范文

關鍵詞：高中數(shù)學；課堂小結

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1671-0568（2012）13-0071-02

數(shù)學課堂小結是教師完成某項數(shù)學教學任務后的終結階段，是學生對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的再認識、再總結、再升華的行為方式。課堂小結方式，既能鞏固課堂所學知識，又首尾呼應，能使學生充分感受到所學知識的完整性和實用性，為以后的學習打下扎實的基礎。許多高中數(shù)學教師常常先講定理、定律，再依照定理講解實例，這是一種從一般到特殊的教學思路，而新一輪課程改革中，必須改變這種教學思維方式單一片面的現(xiàn)象。有經(jīng)驗的教師都更重視課末小結的設計，因為它是一節(jié)課教學內(nèi)容的概括性總結，能有效的幫助學生形成合理的知識體系，既可以理順課堂知識、培養(yǎng)學生的學習能力，又可以承上啟下，為新課作鋪墊，從而使課堂教學有一個完美的結局。

一、課后小結要有趣味性和煽動性

新課授完后，臨近下課，學生思維散亂，難以集中，因此教師必須組織好教學過程的第二次“飛躍”。充分結合教材實際，運用數(shù)學史料適時介紹科學家的優(yōu)秀品質(zhì)和勤奮、嚴謹?shù)闹螌W精神，或身邊的教學故事或者“笑話”，提高學生的興奮度。巧設疑問、推波助瀾、營造氛圍、培養(yǎng)學生的思維能力，做好首尾呼應，提高學生的課堂注意力。

教師在上課設計情景引入時也往往喜歡用設置懸念的方式。與此相對應，在課堂結尾時，讓學生利用所學的新知識，分析解決上課時提出的問題，以增強學生解題之后的自豪感，增強自信心。教師是數(shù)學課堂學習的引導者、組織者與合作者，學生是數(shù)學學習的主人，引導者應著重講明數(shù)學基本概念和觀點，并重視學習的總結，分配給學生尋求結論的任務，讓學生在課堂小結的過程中領悟浙教版教材中蘊含的數(shù)學之美，激發(fā)學生的探索精神，最大化地發(fā)展學生的想像和聯(lián)想，擴展學生的創(chuàng)新思維，促進學生的理解方式的改變，邏輯思維的提高。

二、課后小結要有及時性和科學性

人類遺忘的規(guī)律通常為先快后慢。而高中數(shù)學課堂上的學生在短短四十分鐘內(nèi)接受了大量的零碎信息，如果不加以及時的總結，有可能很快就遺忘。所以必須讓學生盡快重復所學內(nèi)容，總結所學內(nèi)容，引導學生掌握歸納梳理的能力，把知識網(wǎng)絡化和系統(tǒng)化，才能加深對學習內(nèi)容的記憶。所以在高中數(shù)學課堂每節(jié)課結束之前，有必要對課堂上所學內(nèi)容進行及時的小結，加深對這些知識點的科學理解和記憶，這樣將對課堂教育效果產(chǎn)生積極良性的影響。

注重對每堂課的新知識（即定義、定理、法則、性質(zhì)）的梳理，形成一個知識網(wǎng)絡。注意提問的形式，針對每一個知識點對學生進行提問，學生在一問一答中知識結構也就隨之形成。這是一個知識梳理的過程，也是一個知識內(nèi)化的過程，也提高了學生的口頭表達能力。還有就是圖表的形式，在上一些和以前已經(jīng)學過的知識比較類似的新課時，可以采用圖表進行類比小結，如學習解析幾何中求參數(shù)取值范圍的時候，可以盡量對取值的5種常用方進行比較，歸納出他們的相同點與不同點，增強學生的類比思想。

三、課后小結要有簡潔性和概括性

由于數(shù)學課堂上，我們在描述數(shù)學問題中的現(xiàn)象和性質(zhì)時，經(jīng)常要求語言精練，言簡而意遠，去蕪存精，去支蔓存主干，提綱挈領地展示本節(jié)課所學內(nèi)容，讓學生做到一目了然。注重對每節(jié)課進行縱橫的綜合聯(lián)系，抒發(fā)學習感受。 我們說學習的過程是一個知識不斷深化的過程，是學生形成系統(tǒng)知識體系的過程。所以在課堂小結時應注重縱橫知識的聯(lián)系，這一步對大部分學生來說是有一定困難的，因此，教師應多給學生機會，培養(yǎng)他們在這方面的能力。

比如在上高二數(shù)學人教版直線與圓錐曲線的位置關系這堂課時，相對來說新知識內(nèi)容較少，在課堂教學內(nèi)容完成之后，可以在小結環(huán)節(jié)的時候用大量的時間讓學生進行課堂知識的歸納概括，從代數(shù)角度看如何通過將表示直線的方程，代入圓錐曲線的方程消元后來判斷直線與圓錐曲線的位置關系，發(fā)散思維到恒等變形，然后再從全局出發(fā)，全面理解直線和圓錐曲線的交點問題有關的內(nèi)容。經(jīng)過課堂小結，建立良好的數(shù)學思維模式，拓展解題思路，并且讓學生通過一節(jié)普通高中數(shù)學課，歸納總結相關知識，融會貫通。這樣的小結可以讓學生體驗到數(shù)學知識積累的重要性。人教版強調(diào)高中數(shù)學知識的應用化，建議我們廣大數(shù)學教師注重數(shù)學教學的活動化，但也要科學理解這種變化，也就是說不能“去數(shù)學化”，要防止膚淺的應用化，防止泛濫的活動化。在高中數(shù)學教學過程中必須把握數(shù)學的本質(zhì)，通過課堂小結我們需要達到的目標是落實基礎知識和基本技能。這些通過小結被切實掌握的基礎知識和基本技能才是高中數(shù)學教學不變的主題。我們要讓學生切實感受高中數(shù)學的探索性、嚴謹性和創(chuàng)造性，使我們的學生形成善于探索的學習理念以及獨立思考的良好習慣。

四、課后小結要有針對性和延伸性

高中數(shù)學課堂教學往往前一個結論是后一個規(guī)律的基礎。只有通過適當?shù)姆绞剑茖W的課堂小結，引導學生將所學內(nèi)容與前后的知識相聯(lián)系，才能讓學生學得活，學得好，學得透，真正掌握這些課本上的內(nèi)容。所以，高中數(shù)學課堂小結時，教師應抓住當堂知識內(nèi)容之間的內(nèi)在數(shù)學聯(lián)系，并且善于通過激疑設懸的方式，讓學生自愿課下去繼續(xù)探究這些有趣的問題，從而起到課斷而思不斷的作用，達到言盡而意不盡的效果，為下一節(jié)課作好合理的鋪墊，打下良好的思維基礎。在人教版數(shù)學課程標準的知識與技能目標中，首次出現(xiàn)了過程性目標，將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程；變成探究實際物體與數(shù)學圖形的形狀、大小的類比確定它們的位置關系和變換的過程；變成提出問題、收集信息和處理數(shù)據(jù)、作出決策和預測的過程。根據(jù)這些變化，我們應當組織學生多總結，對建立起來的新知識，消化吸收，在各自的大腦中經(jīng)過加工形成初步印象。在人教版課堂教學小結中，學生一般都能把課堂中的新知識的框架敘述出來。通過這些小結，學生加深了對新版教材知識的深入領悟，也延伸了思考的空間，拓展了理解問題的方式方法和思路。

五、結語

只要教師重視課堂小結，精心地準備、精確地組織課堂小結，教會學生觀察、思考、歸納、總結，就能培養(yǎng)學生解決問題、升華思維的能力，就能起到畫龍點睛的效果，達到認知過程與認知結果相統(tǒng)一。課堂小結除了對知識點小結外，還要對數(shù)學思想、方法小結。教學需要“求真務實”：把握本質(zhì)、把握關鍵、突出重點、突破難點。沒有暴露問題的課不能算好課，一講到底，或者學生回答錯了只請其它同學來回答改正，不讓回答錯的同學講一下思路的教學不是好的教學。如數(shù)學中有分類、轉化、類比等思想方法，針對這些內(nèi)容小結會對學生拓展解題思路、提高思維能力起到潛移默化的作用。數(shù)學知識具有一定的延伸性和條理性。重視了高中數(shù)學課堂小結的設計和作用，可以優(yōu)化教學的縱向、橫向和內(nèi)向結構，使得教學生態(tài)和諧平衡，促進學生對于人教版的理解、消化和吸收；提高學生自我效能感和學生自主學習能力，促進學生在對人教版的理解上達到深水平的認知加工和有意義的學習領悟。

參考文獻:

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[2]義務教育數(shù)學課程標準修訂工作研討會紀要[J].數(shù)學通報,2004,(3):121-126.

第6篇：高二數(shù)學知識梳理范文

的特點和高中生的心理特征，發(fā)展成新的經(jīng)驗。繼之，對新的經(jīng)驗在教學中加以實施，組織考察、評價

；然后，再實施、再評價。如此多次往復，直至提煉出高中學生學習數(shù)學的四個主要能力：讀書、講解

、筆記和提升演練。對這四 方面的能力，我作了從"扶"到"放"的研究和探索。

1．讀書

讀書即閱讀，閱讀是強化自我識記的重要手段。閱讀數(shù)學課本的關鍵是讀通、讀懂、讀會。讀通，即閱

讀后了解某節(jié)課文的全貌；讀懂，即閱讀后理解某個例題或習題安排的意圖；讀會，即閱讀后掌握某類

題目的解題方法，學會應用這類方法解決實際問題。讀數(shù)學書同樣要提倡逐字、逐句讀。為此，我們根

據(jù)學生年齡特點、認知結構、教材內(nèi)容，對不同年級學生作了培養(yǎng)和訓練。訓練以數(shù)學課本為范本，以

課堂教學為范例，采用默讀、朗讀、齊讀、領讀和自由讀等多種讀書方法。閱讀應當有分層次的要求，

從高一年級到高三年級循序漸進。教師指導讀書時，重點放在默讀的指導上；而在教學中，應根據(jù)不同

的內(nèi)容采取不同的讀書方法，多種讀法交替使用，使學生在讀的過程中深深領會知識內(nèi)容。

2．講解

講解是讀書的繼續(xù)和延伸，講解的過程是一種思維的過程。通過講解，可以使閱讀時獲得的知識、明確

了的問題進一步強化和深比。

（1）語言的科學性。數(shù)學語言是極其嚴密的、非常精煉的，有嚴格的界定和明確的含義的，有的一字之

差，意義就不一樣了。

（2）語言的邏輯性。數(shù)學以嚴密的邏輯結構作為學科的骨架，違背了邏輯就違背了數(shù)學的真締。

（3）語言的有序性。語言的有序性，指講話有條理，先講什么，再講什么，然后講什么，要有次序。

（4）語言的自信心。講解要有自信心。要培養(yǎng)學生常用"我認為……"、"我發(fā)現(xiàn)……"、"我不同意……"

、"我贊成……"等等語氣來講解，要學生講得理直氣壯。還要培養(yǎng)學生對說錯了的，要勇于承認，敢于

糾正；對未被說服的，要堅持到弄懂為止。

講解有信心的學生，才是對算理堅信不疑的，對概念達到守恒程度的、對解法充滿信心的、有健康學習

心理的人。

講解上的三"性"一"心"，要根據(jù)不同年齡學生的認知結構和心理特征，采勸逐步要求，循序漸進"的做法

，使學生在數(shù)學學習上的講解能力能夠科學地得到提高和發(fā)展。

3．筆記

寫課堂筆記不是課本內(nèi)容的搬家，寫筆記的過程是一個深入思維的過程，是一個提綱攣領、歸納整理的

過程，是學生獨立獲得知識的一個重要組成部分。實驗告訴我們，一個善于寫課堂筆記的學生，有較強

的歸納、概括能力，會自己整理知識、探索知識的內(nèi)在聯(lián)系。他們得到的是清清楚楚的數(shù)學知識結構，

而不是模模糊糊的一大片。

我們從高一年級起采用了一"看"、二"抄"、三"記"、四"理"的訓練方法。

一"看"：教師認真設計板書，把一堂課的精華都留在黑板上，要求學生看后記住要點。

二"抄"：在看的基礎上，向學生提出寫課堂筆記的要求，并在課上把該記的內(nèi)容寫在黑板上框出來，留

有時間讓學生在理解的基礎上抄錄下來，供復習用。

三"記"：先指導學生在抄下的筆記中添上自己的內(nèi)容，再指導學生自己寫聽課筆記。

四"理"：進入高二年級的學生，經(jīng)過了前一年的培養(yǎng)和訓練，已學會聽課要抓重點、學習要解決關鍵、

知識要系統(tǒng)化。這時，教師可指導學生學會整理知識的本領。先從一節(jié)、一章教材起，指導學生"豎成線

"、"橫成片"，再提出全冊教材梳理的要求，把學到的數(shù)學知識由厚厚的一本書變成薄薄的幾頁筆記，把

學過的知識穿成線、結成網(wǎng)絡。

4．提升演練

練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展智力的重要手段，練習的過程是對習得知識鞏固的過程。在教學中，

既要"面向全體學生"，又要"因材施教"，必須對"練習"提出更高的要求。在實驗中，我們注重以課內(nèi)練

習為主線，輔以課外練習，使練習形式多樣、內(nèi)容充實、效果顯著。

課內(nèi)練習搞各年級各種不同課型抓好口頭、筆頭、操作三種類型的練習。

口頭練習直接作用于學生注意力、記憶力、思維力的培養(yǎng)。訓練時，著重考慮量、質(zhì)，做到天天練習，

堅持不懈。練習做到幾個"結合"：與前幾天教學內(nèi)容結合，與當天教學內(nèi)容結合，與常用數(shù)據(jù)結合，與

計算技能結合，練習采取多種形式：根據(jù)時間和數(shù)量來分，有定時不定量，有定量不定時，有定量有定

時幾種變化；根據(jù)人數(shù)來分，有個別作業(yè)，有同桌互練，有小組練，有全班集體練等組織形式；從方法

來分，有聽算，有口算，有口答等練習方式。根據(jù)不同要求，采取不同的形式。

筆頭練習是書面練習，難度比口頭練習高，坡度大，是學生預習、復習、鞏固、運用知識及培養(yǎng)良好作

業(yè)習慣的重要途徑。訓練時，我們抓裝懂"、"會"、"對"、"巧"四個字，提出"練理解、練熟練、練糾正

。練技巧"的要求；新授課練習在"懂"，"會"上下功夫，練習課練習在"會"、"對"上下功夫，復習課練習

在"對"、"巧"上下功夫，使筆頭練習有主有次、有序有理、有能有智。同時，我們還重視培養(yǎng)學生有良

好的作業(yè)習慣，著重訓練"先復習后作業(yè)"、"解題的必要步驟"、"解題不離草稿"、"自我檢驗"等做作業(yè)

的習慣；教師以身示范，在課堂教學中嚴格遵守，使學生在獲得知識的同時，得到良好行為習慣的熏陶

。

操作練習俗稱"動手做"，借助工具和材料進行各種練習，是多種能力的合成培養(yǎng)，是讓學生自己發(fā)現(xiàn)、

自己認識、自己掌握知識，從而獲得學習主動權的好方法。訓練時，我們重視以觀察、分析、綜合、概

括等思維活動為主線，達到加強概念教學、發(fā)現(xiàn)知識規(guī)律、能夠舉一反三觸類旁通的目的。經(jīng)過有意識

的培養(yǎng)和訓練，使學生思維能力和解決實際問題的能力都大大的增強了。

課內(nèi)練習扎實、豐富，課外練減少，減輕了學生負擔，讓學生有更多的時間去閱讀，了解課外知

識，開拓思維。

課外練習，我們以數(shù)學興趣活動為主。這是增長知識，訓練思維的好時機，也是充分發(fā)揮教師智慧和才

第7篇：高二數(shù)學知識梳理范文

關鍵詞：數(shù)學語言；學習困難；原因

對于相當一部分學生而言，高中數(shù)學學習都是不小的困難. 究其原因，教師的視角往往鎖定在學生對數(shù)學知識的建構與理解上，尤其喜歡從學生解題的角度去分析學生哪個數(shù)學知識點掌握不到位，哪種數(shù)學能力沒有形成等. 對于一部分學生而言，這樣的分析是有效的，但對于更多的學生而言，這樣的分析往往是片面甚至是無效的，教學實踐中教師百般努力而學困生頑強存在的現(xiàn)象，或是這一判斷的最好證明. 那問題究竟出現(xiàn)在哪里呢？

筆者以為，數(shù)學同行們可能忽略了一個更為根本的問題，那就是學生的數(shù)學語言能力薄弱的問題.

這里所說的數(shù)學語言，是指表達數(shù)學思想與思維的語言. 作為數(shù)學學科特點明顯的語言，其與學生所熟悉的生活語言是不一樣的. 這里不妨先用一點篇幅來理解一下二者的區(qū)別與聯(lián)系：學生在生活中往往能夠順利地與他人交流，一個重要的原因就是別人說的他能聽得懂，這種平常不過的互動背后卻隱藏著一個重要的認識，那就是對話雙方的語言是共通的. 而在數(shù)學學習的過程中，學生很多時候可能就聽不懂數(shù)學語言了.這意味著什么？意味著學生在數(shù)學課堂上無法有效輸入教師輸出的數(shù)學信息，這也意味著學生在數(shù)學學習的第一道關口上就出了問題，數(shù)學又怎么可能學得好呢？形成這一認識之后，筆者覺得首先就必須梳理一下當前高中數(shù)學教學中數(shù)學語言的一些基本問題，以弄清高中生數(shù)學學習困難的一個重要原因.

高中數(shù)學教學中數(shù)學語言的教學現(xiàn)狀

客觀地說，數(shù)學語言幾乎從來沒有成為高中數(shù)學教學的主要內(nèi)容，這是有著客觀的原因的. 眾所周知，高中數(shù)學與初中數(shù)學的一個明顯不同點是，其內(nèi)容繁雜且十分抽象，而高中學習時間又是相對較短的（高中階段的內(nèi)容實際上都在高一高二兩個學段完成）. 這兩個因素綜合作用的結果就是數(shù)學語言難以納入教師的視野. 在這樣的教學范式中，教師關注的是教學任務（主要是數(shù)學知識傳授）的完成，學生關注的是自己解題能力的形成. 又由于常用的重復訓練甚至是題海戰(zhàn)術，確實能夠讓絕大多數(shù)學生一定程度上“讀懂”數(shù)學語言（實際上是重復訓練后的某種意識），如學生在遇到集合、函數(shù)、數(shù)列等概念時，往往也能大概地理解其含義，并根據(jù)平常訓練的思維來完成一些問題的解決.

教師的忽視與學生的無意識，使得數(shù)學語言的教學在高中數(shù)學課堂上難覓蹤影. 事實上，這一現(xiàn)象早就引起了有識之士的注意，有人結合十多年前的一則高考題做過分析，該題是這樣的：

如圖1所示，為一臺冷軋機的示意圖. 冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出. （1）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r0，問冷軋機至少需要安裝多少對軋錕？一對軋輥的減薄率=（輸入該對的帶鋼厚度-從該對輸出的帶鋼厚度）/輸入該對的帶鋼厚度.

圖1

（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長均為1600 mm. 若第k對軋錕有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為Lk. 為了便于檢修，請計算L1，L2，L3并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

高考后的統(tǒng)計結果表明，本題當年全國高考得分率（理科）不到15%，而有心的教師在后來的教學中，將本題進行了語言轉換（如轉換為“若a（1-b）k≤c，a，b，c均為正實數(shù)，求自然數(shù)k的取值范圍”等），學生的答對率則高達99%. 這一結果雄辯地表明學生是在數(shù)學語言（將生活語言或者說自然語言轉換成數(shù)學語言，并進行數(shù)學建模）上出了問題.而令人遺憾的是，十幾年后的今天，這一現(xiàn)狀仍然沒有得到根本的改變，相當一部分學生在高考數(shù)學中失分就失在數(shù)學語言的理解與運用上.

這里還可以說得更明確一些，就是因為學生在讀本題時，無法將題目中的信息轉換為自身非常熟悉的數(shù)學模型，題意的背景是生活化的，題目的意思需要結合文字描述去理解，在理解題意的基礎上去進行數(shù)學建?！际菙?shù)學語言范疇的問題，都能考查學生將生活語言轉換成數(shù)學語言的能力. 當然，這里所說的解題過程中數(shù)學語言存在的問題，而在新課教學中也同樣存在類似的問題，需要引起我們高度的注意.

學生學習中數(shù)學語言能力缺失的發(fā)現(xiàn)

高中學生數(shù)學學習困難是一個大問題，而引發(fā)這一問題的原因是多樣的，這意味著不同的原因都會導致同樣的結果（數(shù)學學習成績差），這就涉及如何有效地判斷學生的哪些學習困難是由于數(shù)學語言引起的，教師又應當怎樣才能尋找到這些現(xiàn)象背后的原因等問題.筆者經(jīng)過學習與梳理，提出如下幾點供同行參考：

第一，通過比較去發(fā)現(xiàn).俗話說“不怕不識貨，就怕貨比貨”. 通過比較的方法可以讓數(shù)學語言這一因素“原形畢露”. 比如在上面例子中，研究者就是通過比較的方法發(fā)現(xiàn)學生的問題出在數(shù)學語言上的，其思路用語言來描述，就是：教師自己將學生不理解的（新知學習過程中）或做錯的（數(shù)學練習或測試中）轉換成數(shù)學模型，如果學生能夠做出來，就說明學生在數(shù)學語言上出了問題，其未能準確地將生活語言轉換成數(shù)學語言，因而沒有成功地構建出數(shù)學模型.

第二，通過詢問去發(fā)現(xiàn). 第一點所說的比較的方法適用于針對學生群體的調(diào)查，而這里所說的詢問往往針對學生個體. 無論是在新知學習中，還是在數(shù)學問題的解決中，總會存在一些“典型學生”，這些典型學生身上出現(xiàn)的問題往往就是典型問題，因此發(fā)現(xiàn)這些問題并進行個體詢問，往往也可以找到問題的癥結. 筆者在教學別注意對這類學生的“物色”，確定了這幾個學生之后，往往可以通過他們的反應來判斷數(shù)學語言的教學情況. 舉一個最簡單的例子，在定義域與值域概念的教學中，就類似于（6，15]這樣的表達方式，筆者選了課堂上兩個走神的學生進行詢問，其中一個學生就一頭霧水，因為他看不明白為什么一邊是小括號，一邊是中括號；而另一個學生則小心翼翼地說兩個不同的符號可能代表不同的含義. 這兩位學生上課時都走神了，因而他們都無法準確地回答，但由于對數(shù)學理解不同，因而前者一頭霧水，而后者則能進行正確方向的猜想. 這里所說的數(shù)學理解，其實就是學生在面對數(shù)學符號（數(shù)學上的符號語言）時表現(xiàn)出來的能力不同，因而也就說明數(shù)學教學中是要注重數(shù)學語言能力的培養(yǎng)的.

第三，通過研究去發(fā)現(xiàn). 這里所說的研究，是指研究生活語言與數(shù)學語言. 很多時候學生能夠聽懂生活語言，卻讀不懂數(shù)學語言，因此這里就存在一個“翻譯”的問題，如果教師去研究生活語言與數(shù)學語言的關系，并且尋找到兩者之間的距離，往往能夠提前發(fā)現(xiàn)學生可能在數(shù)學學習中會遇到的數(shù)學語言方面的障礙. 如有教師在教“集合”概念時，其就敏銳地意識到生活中所說的集合，與數(shù)學中所說的集合是兩個不同的概念，因此他就去研究同一詞語背后的概念差異，從而判斷出學生有可能用生活中的集合去理解數(shù)學中的集合，而這既是好事又是壞事，好在學生有一個概念基礎，壞在生活中的集合不能完全代替數(shù)學集合，于是又進一步去思考學生可能會有什么樣的理解，并且分別應當采用什么樣的教學方法進行矯正等. 這一發(fā)現(xiàn)基于研究且走在學生的學習之前，因而非常值得高中數(shù)學教學同行學習.

數(shù)學語言缺失對數(shù)學學習的影響淺析

認識到數(shù)學語言的重要性，研究了數(shù)學語言缺失的表現(xiàn)，再回過頭來看數(shù)學語言對數(shù)學學習的影響，就會有更為深刻的理解.

第8篇：高二數(shù)學知識梳理范文

關鍵詞：小組合作；異質(zhì)分組；預習和檢查；課堂步驟；課后輔導

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）14-051-01

小組教學法在數(shù)學課堂上更能培養(yǎng)學生自主探究的能力，還能將教師從傳統(tǒng)的課堂的繁忙狀態(tài)中解脫出來，學生成了學習的主人，教師在教學中只是起到引導作用并在學生需要的時候提供必要的幫助。

一、如何分組

我現(xiàn)在所教授的是IB國際課程的十一年級（相當于高二）數(shù)學課程，針對我所教的班級的特點，我只在我教的兩個班級中的其中一個班級進行小組合作教學法的試點，該班有20名學生（所在的學校實施小班教學），20名學生分為四組，分組采用異質(zhì)分組，每組都是五名學生，都包含好中差的學生，每組由成績最好的一名學生擔任組長，另一名成績較好的擔任副組長，其他3名作為組員，每組五名成員作為一個學習共同體，參加學習活動的各環(huán)節(jié)，在所有的學習環(huán)節(jié)中他們將榮辱與共，一起討論共同學習提高，學生學習為一個循環(huán)式的過程：課前新課預習課堂演練課后鞏固+新課預習又進入下一次課堂演練。

二、課前預習和檢查

課前我都會提前發(fā)學案給學生，學案包括預習目標和提綱，一般列出一些問題，要求學生要自己看書充分預習，做預習筆記，找出問題答案或相應的數(shù)學公式，回答學案的問題，學案還包含配套課堂內(nèi)需要完成的題組和上完課后將要留給學生的思考題，這些沒有要求學生去完成，但盡量能熟悉題目，進行思考，在課堂開始前，由各組長交叉檢查預習情況，并給以打分：滿分10分（指預習充分，預習筆記做得較好）,5分（有預習，但預習不太充分），0分（沒有提供預習的證據(jù)）。用分數(shù)定性的評價學生的預習情況，然后把預習分數(shù)提交給我，作為學生個人的得分的一部分，有時會我會進行部分抽查，保證學生檢查的可靠性和真實性。

三、課堂操作步驟

1、新課學習階段，根據(jù)不同的課例的特點，有時是教師針對預習反饋情況，用盡可能精煉的語言把本節(jié)課的重難點部分做簡要介紹，有時可以是設計幾個問題，由各小組回答，有時由某個小組的一名學生代表該組上臺展示預習成果。一般把新課學習時間控制在15分鐘左右，當然越短越好，因為這是建立在學生預習的基礎上的，大多數(shù)學生通過看書完全可以掌握的數(shù)學知識和理論不需要講解或只需稍微提一下便可，重點是將預習中存在的問題或學生理解有困難的數(shù)學思想和方法進行適當梳理和總結.

2、課堂練習階段，經(jīng)過新課學習階段后，學生們開始在課堂上完成學案上設計的4個（組）典型例題，不同的小組完成不同的題組，具體題組由教師分配，并根據(jù)題目的難易程度，指定每個小組的同質(zhì)成員即成績差不多的成員到黑板上板演，相同小組的成員先做分配到的題目然后再完成其他題目，目的是每一組都首先發(fā)揮集體的力量去完成分配到的任務。因為被抽到的同學將代表一個小組去黑板上展示學習成果，小組可以通過充分討論。最后才由指定的小組代表去板演，但任務需要在限定的時間內(nèi)完成。

3、課堂評價反饋階段：教師對學生代表的板演當堂講評分析，從中發(fā)現(xiàn)問題并給予糾正，并盡可能提供一題多解的思想和方法，同時鼓勵其他學生分享不同的解題方法，通過思想的碰撞，引導學生能觸類旁通，運用所學的數(shù)學知識和方法去解決實際問題，最后根據(jù)批改的情況由教師給每個小組一個分數(shù)作為團體的得分。

四、課后鞏固和輔導

第9篇：高二數(shù)學知識梳理范文

物理思維是在日常積累的過程中逐漸形成的。因此，在學習過程中，學生要養(yǎng)成良好的物理學習習慣，下面給大家分享一些關于高二物理計算題答題中的常見技巧，希望對大家有所幫助。

力學綜合型力學綜合試題往往呈現(xiàn)出研究對象的多體性、物理過程的復雜性、已知條件的隱含性、問題討論的多樣性、數(shù)學方法的技巧性和一題多解的靈活性等特點，能力要求較高。

具體問題中可能涉及到單個物體單一運動過程，也可能涉及到多個物體，多個運動過程，在知識的考查上可能涉及到運動學、動力學、功能關系等多個規(guī)律的綜合運用。

應試策略

1.對于多體問題，要靈活選取研究對象，善于尋找相互聯(lián)系。

選取研究對象和尋找相互聯(lián)系是求解多體問題的兩個關鍵。選取研究對象需根據(jù)不同的條件，或采用隔離法，即把研究對象從其所在的系統(tǒng)中抽取出來進行研究;或采用整體法，即把幾個研究對象組成的系統(tǒng)作為整體來進行研究;或將隔離法與整體法交叉使用。

2.對于多過程問題，要仔細觀察過程特征，妥善運用物理規(guī)律。

觀察每一個過程特征和尋找過程之間的聯(lián)系是求解多過程問題的兩個關鍵。分析過程特征需仔細分析每個過程的約束條件，如物體的受力情況、狀態(tài)參量等，以便運用相應的物理規(guī)律逐個進行研究。至于過程之間的聯(lián)系，則可從物體運動的速度、位移、時間等方面去尋找。

3.對于含有隱含條件的問題，要注重審題，深究細琢，努力挖掘隱含條件。

注重審題，深究細琢，綜觀全局重點推敲，挖掘并應用隱含條件，梳理解題思路或建立輔助方程，是求解的關鍵.通常，隱含條件可通過觀察物理現(xiàn)象、認識物理模型和分析物理過程，甚至從試題的字里行間或圖象圖表中去挖掘。

4.對于存在多種情況的問題，要認真分析制約條件，周密探討多種情況。

解題時必須根據(jù)不同條件對各種可能情況進行全面分析，必要時要自己擬定討論方案，將問題根據(jù)一定的標準分類，再逐類進行探討，防止漏解。

5.對于數(shù)學技巧性較強的問題，要耐心細致尋找規(guī)律，熟練運用數(shù)學方法。

耐心尋找規(guī)律、選取相應的數(shù)學方法是關鍵.求解物理問題，通常采用的數(shù)學方法有：方程法、比例法、數(shù)列法、不等式法、函數(shù)極值法、微元分析法、圖象法和幾何法等，在眾多數(shù)學方法的運用上必須打下扎實的基礎。

6.對于有多種解法的問題，要開拓思路避繁就簡，合理選取最優(yōu)解法。

避繁就簡、選取最優(yōu)解法是順利解題、爭取高分的關鍵，特別是在受考試時間限制的情況下更應如此。這就要求我們具有敏捷的思維能力和熟練的解題技巧，在短時間內(nèi)進行斟酌、比較、選擇并作出決斷.當然，作為平時的解題訓練，盡可能地多采用幾種解法，對于開拓解題思路是非常有益的。

帶電粒子運動型帶電粒子運動型計算題大致有兩類，一是粒子依次進入不同的有界場區(qū)，二是粒子進入復合場區(qū)。近年來高考重點就是受力情況和運動規(guī)律分析求解，周期、半徑、軌跡、速度、臨界值等.再結合能量守恒和功能關系進行綜合考查。

應試策略

1.正確分析帶電粒子的受力及運動特征是解決問題的前提：

①帶電粒子在復合場中做什么運動，取決于帶電粒子所受的合外力及初始狀態(tài)的速度，因此應把帶電粒子的運動情況和受力情況結合起來進行分析，當帶電粒子在復合場中所受合外力為零時，做勻速直線運動(如速度選擇器)。

② 帶電粒子所受的重力和電場力等值反向，洛倫磁力提供向心力，帶電粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動。

③帶電粒子所受的合外力是變力，且與初速度方向不在一條直線上，粒子做非勻變速曲線運動，這時粒子的運動軌跡既不是圓弧，也不是拋物線，由于帶電粒子可能連續(xù)通過幾個情況不同的復合場區(qū)，因此粒子的運動情況也發(fā)生相應的變化，其運動過程可能由幾種不同的運動階段組成。

2.靈活選用力學規(guī)律是解決問題的關鍵

① 當帶電粒子在復合場中做勻速運動時，應根據(jù)平衡條件列方程求解。

② 當帶電粒子在復合場中做勻速圓周運動時往往應用牛頓第二定律和平衡條件列方程聯(lián)立求解。

③ 當帶電粒子在復合場中做非勻變 速曲線運動時，應選用動能定理或能量守恒定律列方程求解。

3.說明：由于帶電粒子在復合場中受力情況復雜，運動情況多變，往往出現(xiàn)臨界問題，這時應以題目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等詞語為突破口，挖掘隱含條件，根據(jù)臨界條件列出輔助方程，再與其他方程聯(lián)立求解。

電磁感應型電磁感應是高考考查的重點和熱點，命題頻率較高的知識點有：感應電流的產(chǎn)生條件、方向的判定和感應電動勢的計算;電磁感應現(xiàn)象與磁場、電路、力學、能量等知識相聯(lián)系的綜合題及感應電流(或感應電動勢)的圖象問題.從計算題型看，主要考查電磁感應現(xiàn)象與直流電路、磁場、力學、能量轉化相聯(lián)系的綜合問題，主要以大型計算題的形式考查。

應試策略

在分析過程中，要注意通電導體在磁場中將受到安培力分析;電磁感應問題往往與力學問題聯(lián)系在一起。

解決問題的基本思路：

① 用法拉第電磁感應定律及楞次定律求感應電動勢的大小及方向;

②求電路中的電流;

③ 分析導體的受力情況;

④ 根據(jù)平衡條件或者牛頓第二運動定律列方程。

解題過程中要緊緊地抓住能的轉化與守恒分析問題.電磁感應現(xiàn)象中出現(xiàn)的電能，一定是由其他形式的能轉化而來，具體問題中會涉及多種形式的能之間的轉化，機械能和電能的相互轉化、內(nèi)能和電能的相互轉化.

分析時，應當牢牢抓住能量守恒這一基本規(guī)律，明確有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量參與了相互轉化，如摩擦力在相對位移上做功，必然有內(nèi)能出現(xiàn);重力做功，必然有重力勢能參與轉化;安培力做負功就會有其他形式能轉化為電能，安培力做正功必有電能轉化為其他形式的能;然后利用能量守恒列出方程求解。

力電綜合型力學中的靜力學、動力學、功和能等部分，與電學中的場和路有機結合，出現(xiàn)了涉及力學、電學知識的綜合問題，主要表現(xiàn)為：帶電體在場中的運動或靜止，通電導體在磁場中的運動或靜止;交、直流電路中平行板電容器形成的電場中帶電體的運動或靜止;電磁感應提供電動勢的閉合電路等問題。

這四類又可結合并衍生出多種多樣的表現(xiàn)形式。

從歷屆高考中，力電綜合型有如下特點：

①力、電綜合命題多以帶電粒子在復合場中的運動.電磁感應中導體棒動態(tài)分析，電磁感應中能量轉化等為載體，考查學生理解、推理、綜合分析及運用數(shù)學知識解決物理問題的能力。

② 力、電綜合問題思路隱蔽，過程復雜，情景多變，在能力立意下，慣于推陳出新、情景重組，設問 巧妙變換，具有重復考查的特點。

應試策略

解決力電綜合問題，要注重掌握好兩種基本的分析思路：一是按時間先后順序發(fā)生的綜合題，可劃分為幾個簡單的階段，逐一分析清楚每個階段相關物理量的關系規(guī)律，弄清前一階段與下一階段的聯(lián)系，從而建立方程求解的“分段法”，一是在同一時間內(nèi)發(fā)生幾種相互關聯(lián)的物理現(xiàn)象，須分解為幾種簡單的現(xiàn)象，對每一種現(xiàn)象利用相應的概念和規(guī)律建立方程求解的“分解法”。