雙曲線及其標準方程精選(九篇)
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第1篇：雙曲線及其標準方程范文
隨著“微”概念的流行，以及“翻轉(zhuǎn)課堂”和可汗學院教學模式在全球的迅速傳播，“微課”成為教育界關(guān)注的熱點話題，并在教學中發(fā)揮著重要的作用.在國內(nèi)，最早提出“微課”概念的是廣東省佛山市教育局的胡鐵生.隨著國內(nèi)外微課實踐的不斷豐富和相關(guān)研究的逐步深化，微課的概念在不斷的發(fā)展和改進，許多學者和教育工作者都提出來自己的看法.目前國內(nèi)對“微課”概念的界定還未達成共識.
一般認為，“微課”是指按照新課程標準及教學實踐要求，以視頻為主要載體，記錄教師在課堂內(nèi)外教育教學過程中圍繞某個知識點（重點、難點、疑點）或教學環(huán)節(jié)而開展的精彩教與學活動全過程[1].
“微課”的核心組成內(nèi)容是課堂教學視頻（課例片段），同時還包含與該教學主題相關(guān)的教學設計、素材課件、教學反思、練習測試及學生反饋、教師點評等輔教學資源，它們以一定的組織關(guān)系和呈現(xiàn)方式共同“營造”了一個半結(jié)構(gòu)化、主題式的資源單元應用“小環(huán)境”[2].
根據(jù)以上分析，筆者對微課的再認識有以下幾點：
（1）“微課”不同于傳統(tǒng)的單一資源類型的教學課例、教學設計，是在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新型的教學資源.微課可以用在課前、課中，課后，在教學環(huán)節(jié)中使用靈活，是教學環(huán)節(jié)的一部分.
（2）微課的時間一般5～10分鐘，時間簡短而內(nèi)容精要，但絕不是一節(jié)課的縮影，是針對某個知識點或是某節(jié)課的重點、難點展開，內(nèi)容選擇不宜過大.
（3）微課的應用，使教學時間與空間得到拓展，既能提高數(shù)學教學的有效性又能促進學生的自主學習.
2 基于微課的數(shù)學教學設計
微課在教學實踐中發(fā)揮著重要的作用，下面以人教B版普通高中數(shù)學選修2-1《雙曲線的標準方程》為例，給出以微課作為課前預習環(huán)節(jié)重要載體的教學設計.
（1）目標分析
學生在課前通過觀看微課視頻，復習橢圓的相關(guān)知識，并在視頻的引導下，運用類比的思想自主思考得到雙曲線的定義，深刻理解雙曲線的概念.進一步在課上小組合作、自主探究推導得出雙曲線的標準方程.通過探索活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點認識問題.
（2）教學素材的準備
課前給學生關(guān)于復習橢圓的定義與方程、類比推導雙曲線的微視頻以及自學報告單，幾何畫板，動態(tài)演示雙曲線的圖像.
（3）教學理念的準備
結(jié)合建構(gòu)主義學習理論以及思維“最近發(fā)展區(qū)”理論，開展課堂教學.在類比橢圓的過程中，讓學生去感受、理解雙曲線的概念，學生往往能深刻的理解雙曲線的本質(zhì).同時，前后知識也能很好的連貫起來.本次微課雖然時間短暫，但是仍提供大量的時間給學生探索、體驗、思考、整合，在盡可能短的時間內(nèi)讓學生體會雙曲線的形成過程.
（4）微視頻、自學報告單設計分析
2.1 微視頻
將《雙曲線的標準方程》這一節(jié)的教學內(nèi)容做成PPT，回顧橢圓的定義、標準方程，用實驗來獲得雙曲線的定義制作成微視頻.
①溫故知新
教師用PPT呈現(xiàn)如下三個問題：
問題1：橢圓的定義是什么？
問題2：橢圓的標準方程是什么？
問題3：如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動點的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？
要求學生將問題1、2的答案寫在自學報告單上，并思考問題3.
【設計意圖】通過復習回顧，既檢測了學生對橢圓知識的掌握情況，同時又為下面雙曲線的學習做好鋪墊，導入新課.
②實驗探究
師：數(shù)學家歐拉曾說過：“數(shù)學這門科學需要觀察，也需要實驗”.下面我們通過實驗來研究問題3：
實驗用品：大頭釘 2 個，一條拉鏈，筆，剪刀
實驗步驟：
1.取一條拉鏈，拉開一部分，將其中一支拉鏈剪短（保證了距離之差為定值）；
2.將拉鏈的兩端固定在兩個大頭釘上；
3.筆尖P放在拉鏈的拉頭處，并隨著拉頭移動.
實驗一：慢慢將拉鏈拉開，筆尖在板上慢慢移動，看形成的圖形，思考作圖過程.
在圖形的形成過程中，兩個大頭釘間的距離是變化還是不變的？
在畫圖形的過程中，筆尖與兩個大頭釘間距離大小有怎樣的關(guān)系？
實驗二：將兩個長短拉鏈的固定位置互換，再慢慢將拉鏈拉開，筆尖在板上慢慢移動，看形成的圖形，思考作圖過程.
教師通過幾何畫板形象展示雙曲線的形成過程，引導學生分析、歸納雙曲線的定義.
我們可以歸納出雙曲線定義應包含下列要素：
由于剪掉的拉鏈長度是固定的，所以點P到兩個定點的距離的差的絕對值是個定值；
點P到兩個定點的距離的差的絕對值要小于兩個定點之間的距離.
③類比橢圓的定義，我??可以得到雙曲線的定義：
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于|F1F2|，且不等于0）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離2c叫做雙曲線的焦距.
為了進一步幫助學生理解概念，把握平面內(nèi)動點的軌跡、距離差的絕對值為常數(shù) 、常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0等重要特征，教師設置兩個問題：
問題1：類比橢圓，尋找雙曲線定義中的關(guān)鍵字
問題2：若分別去掉這幾個關(guān)鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化？
特殊情形：
若常數(shù)2a=0，軌跡為線段F1F2的垂直平分線；若常數(shù)2a>|F1F2|， 此時軌跡不存在；若常數(shù)2a=|F1F2|，此時軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線；若去掉絕對值，則表示雙曲線的一支.
④自主練習
學習了橢圓的定義讓我們來解決下面的問題：
問題1 到點F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差的絕對值為6的動點P的軌跡
答：點P滿足雙曲線的定義，是雙曲線.
問題2 到點F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差為6的動點P的軌跡
答：點P的軌跡雙曲線的一支
問題3 到點F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差為8的動點P的軌跡
答：點P的軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線
問題4 到點F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離的差為10的動點P的軌跡
答：點P的軌跡不存在.
⑤小結(jié)：
2.2 自學報告單
（6）教學過程
教師批改自學報告單，及時了解學生掌握知識的情況.進行二次備課，適當調(diào)整教學設計.
①開門見山 直入主題
師：同學們看微課了嗎？今天我們要學習什么知識？――雙曲線及其標準方程（板書）
師：雙曲線的定義是什么？
生： 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于|F1F2|，且不等于0）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離2c叫做雙曲線的焦距.
②小組交流 辨析重點
小組內(nèi)，互相批改自學報告單中的自主練習，互相辨析有不同答案的題目.
通過教師提問、小組交流的方式，教師能夠了解學生對雙曲線概念的掌握情況.
③小組匯報 落實重點
教師根據(jù)學生的小組學習情況開展學習活動，重點針對學生在微課學習中出現(xiàn)的問題，及時點撥，進一步深化?λ?曲線概念的理解.
④自主探究 合作交流
利用微課解決雙曲線概念理解的難點后，接著進行標準方程的教學.
教師設置問題：
問題1 回顧橢圓標準方程的推導步驟及方法；
問題2 類比橢圓試著推導雙曲線的標準方程；
問題3 換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？
問題4 猜證雙曲線焦點在y軸上的標準方程.
學生回顧橢圓標準方程的推導步驟及方法：①建系；②設點；③列式；④化簡
小組合作交流在教師的引導下，認真思考教師設置的問題，類比橢圓標準方程的推導，嘗試完成雙曲線標準方程的推導.
【設計意圖】通過探究、合作推導出雙曲線的兩種標準方程，加深學生對類比思想的應用，提高學生的分析問題和解決問題的能力.
師：引導學生對雙曲線方程的兩種形式進行比較，強調(diào)雙曲線方程的特點與判斷焦點位置的方法
生：認真觀察雙曲線的兩種標準方程，通過小組討論、比較，歸納雙曲線方程特點，以及如何判斷焦點的位置
【設計意圖】通過小組交流、合作探索，讓學生各抒已見，暢所欲言，激發(fā)學生的學習興趣，體驗成功的快樂.
⑤雙曲線的標準方程
焦點在x軸 標準方程：x2a2-y2b2=1
焦點在y軸 標準方程：y2a2-x2b2=1
注意：
雙曲線方程特點：
① 方程中x2 ，y2的系數(shù)異號；②a>0，b>0，c2=a2+b2但a，b大小不確定.
判斷焦點位置：
如果x2的系數(shù)是正的，則焦點在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，則焦點在y軸上.
⑥例題精講 簡單應用
例1 已知雙曲線的焦點 F1（-5，0）， F2（5，0），雙曲線上一點P到焦點的距離差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程.
例2 已知雙曲線的一個焦點坐標是（0，-6），經(jīng)過A（-5，6），求雙曲線的標準方程.
例3 已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程.
前兩道例題由學生講解，教師指導補充.教師引導學生對例3進行分析，詳細講解求解過程.
【設計意圖】通過精講例題，鞏固所學，幫助學生掌握求雙曲線標準方程的兩種方法：定義法與待定系數(shù)法，以及雙曲線方程的簡單應用.
⑦歸納總結(jié) 思維提升
【設計意圖】讓學生自己來歸納總結(jié)，培養(yǎng)學生自我檢查、自我小結(jié)的良好習慣，將知識進行整理并系統(tǒng)化.
⑧分層作業(yè) 鞏固落實
【設計意圖】布置作業(yè)，進一步鞏固所學的知識.作業(yè)中分為必做題與選做題，實施分層教學，滿足不同學生的不同需要.
3 幾點啟示
本次微課給出的是雙曲線的概念，是一次概念教學課.基于本次微課的教學，為進一步提高微課的教學質(zhì)量，筆者得到以下幾點啟示：
（1）微課教學要合理選題，切題迅速
微課的特點主要體現(xiàn)在“微”，這個“微”字，一是指時間簡短，二是指只是針對某一個知識點或某些例題.因此，并不是所有的課都適合微課教學，要合理選題；同時，內(nèi)容選擇上范圍不宜過大.此外，微課教學中要處理好“微”還需做到切題要快，開門見山，切題迅速，選擇與所講內(nèi)容緊密相關(guān)的知識，主題突出，這樣才會有時間講解重點內(nèi)容.
（2）微課是一個完整的教學活動
微課是圍繞數(shù)學課程中的某個知識點或某個教學環(huán)節(jié)開展的數(shù)學教學活動，一般是教學的重點、難點和疑點.俗話說：麻雀雖小，五臟俱全.微課雖然短小精悍，但它也有完整的教學過程，是完整的教學活動.每次微課都有其教學目標、教學重難點、引入、師生互動、相應練習、歸納總結(jié)等[3].
（3）微課的教學對象始終都是學生
雖然錄制微視頻時，沒有學生在場，但是微課的教學對象還是學生，在視頻中也要有師生的互動.因此，設計微課，最關(guān)鍵的是從學生的角度去設計，而不是從教師的角度去設計，體現(xiàn)以人為本，以學生為主體的教育教學理念[4].
（4）切實重視自學報告單的應用
第2篇：雙曲線及其標準方程范文
一、對教材處理的建議
（一）明確解析幾何的基本思想方法。
解析法（坐標法）；突出用方程研究曲線，用代數(shù)方法研究曲線的幾何性質(zhì)；強調(diào)解析幾何解決問題數(shù)形結(jié)合的重要性；自始至終貫穿曲線與方程、方程與曲線的關(guān)系。
解析幾何的基本思想方法是解析法（坐標法；突出用方程研究曲線，用代數(shù)方法研究曲線的幾何問題。在《普通高中課程標準實驗教科書•數(shù)學2》A版中首先建立直線、圓這兩種平面上最簡單的非封閉圖形與封閉圖形的方程，然后通過它們的方程，研究它們的幾何性質(zhì)。從大的范圍看，“曲線與方程”“方程與曲線”的關(guān)系反映了空間形式與數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，它用數(shù)及其運算為工具，在平面直角坐標系下，用代數(shù)方法研究幾何問題，是數(shù)形結(jié)合的重要方面。
（二）抓住軌跡問題的本質(zhì)――變化過程中的不變量，建立曲線的方程。
軌跡是由動點運動形成的曲線（或幾何圖形），其特點是，動點在運動變化過程中，始終有保持不變的量，由此我們建立軌跡的方程。通過軌跡的方程，判斷軌跡的形狀，研究軌跡的幾何性質(zhì)。
三種圓錐曲線的幾何特征明顯。在橢圓的學習過程中，我們從圓出發(fā)，給出“探究”欄目，通過把細繩的兩端分開，讓學生觀察軌跡的形狀，建立與已有知識的聯(lián)系與區(qū)別。由畫圖的過程，探究形成軌跡的動點滿足的幾何條件，展現(xiàn)曲線的典型幾何特征。在此基礎(chǔ)上，給出具有這種典型幾何特征的軌跡的正式名稱――橢圓。通過觀察橢圓的形狀，引導學生建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用點的坐標表示距離，建立橢圓的標準方程。其他兩種圓錐曲線：雙曲線與拋物線，雖然它們的幾何特征與橢圓不同，但其引入過程及標準方程的建立過程，都是與橢圓相類比展開的。
（三）注重實際背景和應用。
實際上，圓錐曲線與人類生活、生產(chǎn)及科研有著緊密的聯(lián)系。本章引言說明三種圓錐曲線都是用不垂直與圓錐的軸的平面截圓錐面得到的。改變截面與圓錐軸的夾角，可以得到橢圓、雙曲線、拋物線。這種引入，目的是使學生了解“圓錐曲線”名稱的由來。另外在教材的正文中，還多次提到行星運行軌道、發(fā)電廠冷卻塔的外形、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面，等等。
在教材的拓展欄目中，還安排了“探究與發(fā)現(xiàn)――為什么截口曲線是橢圓”；“閱讀與思考――圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用”。安排了大量的實例，注重實際背景和應用的目的是讓學生感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的重要作用。
（四）重視信息技術(shù)工具的作用。
信息技術(shù)工具在解析幾何的學習中有較大的支持作用，發(fā)揮的空間也比較大。在教材中，安排了很多“信息技術(shù)應用”的內(nèi)容。
（1）利用信息技術(shù)工具向?qū)W生演示平面截圓錐的過程，通過改變截面與圓錐曲線的夾角，得出不同的圓錐曲線。信息技術(shù)工具的使用可以加深學生對圓錐曲線的直觀認識。
（2）運用信息技術(shù)工具的“運動變化過程中保持幾何關(guān)系不變”的特點，非常容易探索動點軌跡的形狀。一方面，信息技術(shù)工具為我們創(chuàng)造了一個實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境，在動態(tài)演示中，觀察軌跡形成的原因、軌跡的形狀，發(fā)現(xiàn)結(jié)論、形成猜想。另一方面，當我們求出軌跡的方程后，可以用信息技術(shù)工具幫助我們進行直觀驗證軌跡的形狀，加深對方程所表示的曲線形狀的理解。比如在教學中，對雙曲線漸近線的研究是難點。從直觀上看，雙曲線的兩支是向外無限延伸的，始終在漸近線形成的一組對頂角中，不會越過它的漸近線。教材通過“信息技術(shù)應用”欄目，讓學生通過觀察，發(fā)現(xiàn)雙曲線的這一性質(zhì)。正文中并沒有給出嚴格證明，拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)――為什么y=±x是雙曲線+=1的漸近線”給出了嚴格的證明，但不作為教學要求。漸近線的概念比較抽象，學生對它的理解需要一個過程。
二、值得注意的問題
（一）注意整個“解析幾何”知識的前后銜接，準確把握教學要求。
必修《數(shù)學2》中的直線與方程、圓與方程，以及（文）選修1-1，（理）選修2-1中的圓錐曲線與方程，系列4中的“選修4-4坐標系與參數(shù)方程”一起構(gòu)成了經(jīng)典的平面解析幾何內(nèi)容的主干。要注意知識內(nèi)容的銜接，把相關(guān)內(nèi)容放在平面解析幾何內(nèi)容的通盤考慮，切實把握每部分的教學要求。特別注意的是新課程標準規(guī)定的教學要求中，橢圓的內(nèi)容要求“理解”，雙曲線的內(nèi)容只作“了解”，拋物線的內(nèi)容理科要求“理解”而文科要求“了解”。
準確地把握教學要求包括兩個方面，第一是把握好新課標的精神，第二是把握好學生的實際。根據(jù)新課標的精神，圓錐曲線部分是屬于控制教學要求的內(nèi)容，但目前由于考試的影響，這一部分教學的要求比較高，題目的難度很大。如何控制教學要求是個難點。高中的教學時間有限，全體學生都必須掌握的重點課程應以最基礎(chǔ)的知識和最基本的技能為主，要使學生切實把基礎(chǔ)打好，不要過分重視技巧性很強的難題。從學生的學習規(guī)律來說，訓練不能一次完成，要循序漸進，打好基礎(chǔ)才能有較大的發(fā)展余地，急于求成是不可取的；學生的基礎(chǔ)、興趣、志向是不同的，要根據(jù)學生的實際提出恰當?shù)慕虒W要求，這樣學生才有學習的積極性，才能使學生達到預定的教學要求。
（二）圓錐曲線的第二定義、圓錐曲線的統(tǒng)一定義，以及非標準形式的圓錐曲線方程不作教學要求。
教學中，老師經(jīng)常說到圓錐曲線的“第二定義”、圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程，盡管是非常經(jīng)典的內(nèi)容，但不作為基本的教學要求?？紤]到它們的意義，橢圓、雙曲線的“第二定義”在教材的相關(guān)部分的例題有所體現(xiàn)，但沒有明確給出它們的“第二定義”。在拓展性欄目“信息技術(shù)應用――用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓”和“信息技術(shù)應用――用《幾何畫板》探究點的軌跡：雙曲線”雖然給出了上述兩種圓錐曲線的“第二定義”，但是不作要求。
第3篇：雙曲線及其標準方程范文
1． 考綱解讀：
（1）在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素（兩個點、一點和方向）．
（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；了解直線的傾斜角的范圍；理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率．
（3）根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，根據(jù)兩條直線平行或垂直的位置關(guān)系求直線方程中參數(shù)的值．
（4）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）的特點和適用范圍；根據(jù)問題的具體條件選擇恰當?shù)男问角笾本€的方程；體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．
（5）了解二元一次方程組的解與兩直線交點坐標之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標．
（6）探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式；會求兩條平行直線間的距離．
2． 考場對接：
通過2012年的考點統(tǒng)計可以看出，在高考題中，本節(jié)內(nèi)容主要以選擇題、填空題為主要題型，考查兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．對直線與方程的考查，還滲透在平面解析幾何的解答題中，與其他知識（圓與圓錐曲線）結(jié)合出題．
3． 經(jīng)典例題：
（2012浙江）設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A． 充分不必要條件
B． 必要不充分條件
C． 充分必要條件
D． 既不充分也不必要條件
失分警示 本題屬于基礎(chǔ)題，解題時注意判斷充分必要條件的步驟，即先驗證充分性，再驗證必要性，最后綜合起來下結(jié)論． 在表述的時候要弄清順序關(guān)系，以防發(fā)生概念錯誤．
方法突破 在研究充分和必要條件時，可先求一者的等價條件，再和另一者作比較．
完美答案 當a＝1時，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0顯然平行；若直線l1與直線l2平行，則有■=■，解得a＝1或a＝-2． 故選A．
4． 命題趨勢：
直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、距離問題一直是高考考查的熱點問題，單純考查直線的知識一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)；直線和其他知識的交匯問題一般出現(xiàn)在解答題中，有一定的難度．
1． 考綱解讀：
（1）回顧確定圓的幾何要素（圓心、半徑，不在同一直線上的三個點等），在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程；根據(jù)問題的條件，選擇恰當?shù)男问角髨A的方程；理解圓的一般方程和標準方程之間的關(guān)系，會進行互化．
（2）根據(jù)給定直線和圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系（相交、相切、相離）；根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系（外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含）．
（3）用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．
（4）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，感受“數(shù)”與“形”的對立和統(tǒng)一；初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法在研究數(shù)學問題中的應用．
（5）通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置；掌握空間兩點間的距離公式及其應用．
2． 考場對接：
圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點，在2012年高考試題中，主要在選擇題、填空題中考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，尤其是含參數(shù)的問題，考題基本上屬于中低檔難度的題．
3． 經(jīng)典例題：
（2012天津）設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，則m+n的取值范圍為（ ）
失分警示 本題屬于中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，不等式的性質(zhì). 注意不要忽略了m，n∈R這個條件，在運用基本不等式時注意其成立的條件，求取值范圍時注意不要擴大或縮小范圍．
方法突破 由直線與圓相切的條件可以得到一個關(guān)于m，n的等式，觀察等式的性質(zhì)，利用基本不等式的形式消除差異，化為關(guān)于m+n的不等式，解出其取值范圍即可．
完美答案 因為直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化簡得mn=m+n+1. 又當m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■. 故選D．
■ （2012江蘇）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2－8x+15=0，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_________．
失分警示 本題屬于中檔偏難題，解答本題時不要被題中的表面意思所迷惑，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，認真審清題意，將題意中的關(guān)系進行合理的轉(zhuǎn)化．
方法突破 數(shù)形結(jié)合理解題意，將兩圓的位置關(guān)系化為圓C的圓心到直線y=kx－2的距離的取值范圍問題去處理．
完美答案 圓C的方程可化為（x－4）2+y2=1，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則圓C上的點到直線上的點的距離的最小值小于或等于1，則圓心C（4，0）到直線y=kx－2的距離小于等或等于2. 所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．
4． 命題趨勢：
預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查圓方程的求解，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷，特別是含參數(shù)的位置關(guān)系問題仍將是考查的重點和熱點． 而在解答題中，則有可能考查以圓為背景的綜合試題，特別是圓與圓錐曲線的整合問題．
1． 考綱解讀：
（1）了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．
（2）掌握橢圓的定義和幾何圖形及標準方程，會求橢圓的標準方程；掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題．
2． 考場對接：
縱觀2012年高考數(shù)學試題可以看出，選擇題、填空題主要考查橢圓的定義、標準方程和幾何性質(zhì)的理解與應用，橢圓的離心率等相關(guān)知識，難度中等；解答題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)的應用，特別地，直線與橢圓的位置關(guān)系問題是考查的熱點問題，且有一定的難度．
3． 經(jīng)典例題：
失分警示 結(jié)合圖形，審清題意，注意三角形哪個角是底角，細心運算，避免發(fā)生運算失誤．
方法突破 求解圓錐曲線的離心率（或其范圍）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件尋求一個關(guān)于a，b，c的等式（或不等）關(guān)系，再結(jié)合a，b，c的固有關(guān)系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）關(guān)系，從而求得離心率（或其范圍）．
4． 命題趨勢：
橢圓是命題的熱點內(nèi)容，預計2013年的高考仍將在選擇題、填空題中考查橢圓的標準方程、離心率的求解等知識，難度中等；將在解答題中重點考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，可能還會出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如新定義題型、探索性問題、定點定值問題等，此類問題難度較大．同時，會加強橢圓與圓，橢圓與雙曲線，橢圓與拋物線等知識的交匯問題的考查力度．
1． 考綱解讀：
了解雙曲線的定義、圖形和標準方程，會求雙曲線的標準方程；會用雙曲線的標準方程處理一些簡單的實際問題；了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．
2． 考場對接：
分析2012年高考試題可以看出，雙曲線的考題基本上以選擇題、填空題為主，主要考查雙曲線的定義、方程和簡單幾何性質(zhì)的應用，且出現(xiàn)了雙曲線和圓、橢圓、拋物線等的整合問題，總體難度中等．
3． 經(jīng)典例題：
（2012浙江）如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M． 若MF2＝F1F2，則C的離心率是（ ）
失分警示 本題的解題思路并不難得出，但運算量較大，在認真審題的前提下避免發(fā)生運算錯誤，同時注意雙曲線的離心率的取值范圍，謹防增根．
方法突破 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應用，離心率的求解，突破的關(guān)鍵是正確求出P，Q兩點的坐標（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分線的方程，進而用a，b，c表示出M的坐標，由MF2＝F1F2列出等式，最終化為a，c的關(guān)系．
4． 命題趨勢：
預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查雙曲線的標準方程的求法、定義和幾何性質(zhì)的應用，其中離心率的求解和漸近線問題是考查的熱點． 此外，仍會加強將雙曲線和其他知識（如圓、橢圓、拋物線）進行交匯出題，題目難度中等偏低．
1． 考綱解讀：
（1）掌握拋物線的定義、圖形和標準方程，會求拋物線的標準方程；掌握拋物線的簡單性質(zhì)，會用拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題．
（2）了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系；了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程；掌握求直線和圓錐曲線的交點坐標的方法；進一步體會數(shù)形結(jié)合思想．
2． 考場對接：
透過2012年高考數(shù)學試題可以看出，拋物線是考查的熱點問題，考題既在選擇題、填空題中出現(xiàn)，也在解答題中出現(xiàn)．選擇題、填空題重點考查拋物線的標準方程的求法，拋物線的定義和性質(zhì)的應用，以及拋物線在實際問題中的應用，同時還出現(xiàn)了拋物線與雙曲線的交匯問題，難度中等． 解答題重點考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線與其他知識（如圓、不等式等）的整合問題，且出現(xiàn)了探索性問題，難度較大．而曲線與方程的考查則滲透在以上各大知識板塊之中．
3． 經(jīng)典例題：
（2012安徽）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若AF=3，則AOB的面積為（ ）
失分警示 本題屬于中檔題，有一定的思維量，認真審題，找準關(guān)系，運算準確，避免發(fā)生思維受阻和運算錯誤．
方法突破 顯然AB是拋物線的焦點弦，且已知AF=3，若結(jié)合拋物線的定義，則可以求點A的坐標，從而直線AB的方程便可以得到解決，具體見如下的解法一． 本題也可以設角度（見如下的解法二），通過三角關(guān)系來表示線段的長度，從而求出三角形的兩邊及其夾角的正弦值，再求面積．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點M的橫坐標為■，直線l：y=kx+■與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當■≤k≤2時，AB2+DE2的最小值．
失分警示 本題難度較大，綜合性強，涉及的知識點多，屬于直線、圓和拋物線的綜合問題，解答時要注意數(shù)形結(jié)合思想的使用，審清題意. 解答第（1）小題難度不算大，但第（2）小題是一個探索性問題，有較大的運算量，需要扎實的運算功底，第（3）小題將直線、圓和圓錐曲線綜合起來，難度較大，需要較強的分析問題和解決問題的能力．
方法突破 第（1）小題結(jié)合拋物線的定義以及圓的相關(guān)性質(zhì)可以列出一個關(guān)于p的方程，求解即可；第（2）小題可先假設存在點M，利用拋物線的切線斜率和直線MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小題的解題目標是將AB2+DE2表示為關(guān)于k的函數(shù)，從而化為求函數(shù)的最值問題去處理，但求兩線段的長度需要用到直線與圓錐曲線相交弦長公式AB=■，以及直線與圓的相交弦長公式DE=2■等．
完美答案 （1）x2=2y．
第4篇：雙曲線及其標準方程范文
【關(guān)鍵詞】數(shù)學；定義；定理；公式 問題；條件；教學
2013年4月，在高中數(shù)學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》（人教版）的教學中，當我講橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，我都會遇到同樣的一個問題，而且是學生每每質(zhì)詢的一個問題，那就是：“老師，定義中括號里的條件該怎么解釋？”
數(shù)學定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學知識的“條件”教學，對于學生透徹地理解數(shù)學理論、全面地解決數(shù)學問題都非常有幫助，現(xiàn)在已經(jīng)完成了高中數(shù)學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的教學，我覺得有必要把我在《圓錐曲線》定義教學中，關(guān)于定義中條件的教學片段梳理一下。
《圓錐曲線》“條件”教學片段一：橢圓定義中的條件限制
講到2.2.1節(jié)《橢圓及其標準方程》時，橢圓的定義（課本第38頁）是：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。
學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“大于”）呢？
教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。
學生問：為什么？
教師答：這個問題可以從三個角度理解：
①如果條件是“大于”，則定義敘述的內(nèi)容表示橢圓，這毫無疑問，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。
②如果條件是“等于”，則定義敘述的內(nèi)容表示線段。（我在黑板上劃線段，并取其上一點P，并演示，學生點頭表示理解）。
③如果條件是“小于”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然不能產(chǎn)生任何圖形）。
進一步，我用三個小問題進行鞏固：
問題：試判斷以下情況動點的軌跡：
（1）到兩定點的距離之和大于14的點的軌跡是什么？
（2）到兩定點的距離之和等于14的點的軌跡是什么？
（3）到兩定點的距離之和小于14的點的軌跡是什么？
學生很快就可以得出結(jié)論。
《圓錐曲線》“條件”教學片段二：雙曲線定義中的條件限制
很有戲劇性，講到2.3.1節(jié)《雙曲線及其標準方程》時，其境遇竟然和講橢圓的定義時，驚人的相似。
雙曲線的定義（課本第52頁）是：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線。
學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“小于”呢？
教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線。
學生問：為什么？
教師答：這個問題可以從三個角度理解：
①如果條件是“小于”，則定義敘述的內(nèi)容表示雙曲線，這毫無疑問，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。
②如果條件是“等于”，則定義敘述的內(nèi)容表示以為端點的兩條射線（包含端點）。（我在黑板上劃出直線，并在點兩側(cè)各取兩點P、Q，并演示，指出動點的軌跡是射線，學生點頭表示贊同）。
③如果條件是“大于”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然不能產(chǎn)生任何圖形）。
同樣，我給出三個小問題加以辨別：
問題：試判斷以下情況動點的軌跡：
（1）動點P到兩定點的距離之差的絕對值小于14的點的軌跡是什么？
（2）動點P到兩定點的距離之差的絕對值等于14的點的軌跡是什么？
（3）動點P到兩定點的距離之差的絕對值大于14的點的軌跡是什么？
學生也可以很快得出結(jié)論。
然后，我又給出兩個問題：
條件改為，動點的軌跡又會怎樣呢？
若條件改為，動點的軌跡又會怎樣呢？
學生結(jié)合雙曲線的圖形，很容易判斷是：雙曲線的左支和右支。
《圓錐曲線》“條件”教學片段三：拋物線定義中的條件限制
講到2.4.1節(jié)《拋物線及其標準方程》一課時，同樣遇到了“條件”問題。
拋物線的定義（課本第65頁）是：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線（不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫拋物線。
在用直尺、三角板、細繩等演示了拋物線形成過程之后，學生又不禁要對“條件”發(fā)問了。
學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“（不經(jīng)過點F）”呢？
教師答：如果去掉“（不經(jīng)過點F）”這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線。
學生問：為什么？
教師答：這個問題可以從兩個角度理解：
①如果條件是“（不經(jīng)過點F）”，則定義敘述的內(nèi)容表示拋物線，這正如我們直尺、三角板、細繩等所演示的一樣。
②如果沒有“（不經(jīng)過點F）”條件限制，則當經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F，且垂直于直線的一條直線，定義敘述的內(nèi)容表示的圖形是一條直線而非拋物線。（然后我在黑板上畫圖演示，學生恍然大悟，看來學習知識必須要細致?。?/p>
然后，我又出了兩道題加以鞏固。
（1）平面內(nèi)到定點F的距離等于到定直線的距離的點的軌跡是（ ）
A.拋物線 B.直線
C.拋物線或直線 D.不存在
（2）求過點F（1，0）且與直線：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡。
第5篇：雙曲線及其標準方程范文
關(guān)鍵詞：圓錐曲線；統(tǒng)一性；定義；性質(zhì)
橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們都是可以由平面截圓錐面得到的截線，故而將這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線；通過直角坐標系，圓錐曲線又與二次方程對應，所以圓錐曲線又叫做二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的現(xiàn)實生活中也存在著許許多多的圓錐曲線，它們有著非常廣泛的實際應用，因此有必要深入了解圓錐曲線各種性質(zhì).本文將追尋前輩們的探索足跡，從錐面截線、軌跡觀點、圓心運動、方程形式、曲線性質(zhì)等五個方面對圓錐曲線的統(tǒng)一性進行歸納，希望有助于大家更全面地認識圓錐曲線.
我們來重新回顧一下圓錐曲線產(chǎn)生和發(fā)展的主要探索歷程：早在兩千多年前，古希臘數(shù)學家對它們已經(jīng)很熟悉了，古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線，用垂直與錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線.阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”.對于圓錐曲線，他們當初的主要興趣在于用它來幫助解決古代的三大作圖問題――化圓為方、倍立方和三等分角問題.直到16世紀，有兩件事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究，一是德國天文學家開普勒（Kepler，1571～1630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行的事實，二是意大利物理學家伽利略（Galileo，1564～1642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線.人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式.17世紀初，在當時關(guān)于一個數(shù)學對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述，他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓，這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎(chǔ).而當法國另外兩位數(shù)學家笛卡兒和費馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法朝著解析法的方向發(fā)展，即通過建立坐標系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達到抽象化的目標，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一.到18世紀，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標系之外又建立極坐標系，并能把這兩種坐標系相互轉(zhuǎn)換.1745年，歐拉發(fā)表了《分析引論》，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作，在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程出發(fā)，圓錐曲線的各種情形經(jīng)過適當?shù)淖鴺俗儞Q，總可以化為標準形式.繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來，由圓錐曲線導出了許多重要的曲面諸如球面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等.
一、錐面截線的統(tǒng)一
現(xiàn)在我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線.
如果用一個不過圓錐頂點的平面去截圓錐的側(cè)面，設圓錐的半頂角為α，圓錐的軸與平面所成的角為θ；當θ= ，交線是圓；當α
如果平面與圓錐側(cè)面只交于一點（如下圖a），當θ=α時，平面與圓錐側(cè)面相切于一條母線（如下圖b）；當θ
二、軌跡觀點的統(tǒng)一
從點的集合或軌跡的觀點看，到一個定點F的距離和到一條定直線L的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡叫做做圓錐曲線.這個定點F叫做焦點，這條定直線L叫做準線，常數(shù)e叫做離心率.當0
這一結(jié)論在天體物理方面是有具體應用的：當人造衛(wèi)星的初速度等于第二宇宙速度時，衛(wèi)星的軌道是拋物線；當人造衛(wèi)星的初速度小于第二宇宙速度時，軌道變成橢圓；當人造衛(wèi)星的初速度大于第二宇宙速度時，軌道就成了雙曲線的一支.
三、圓心運動的統(tǒng)一
兩條互相垂直的直線L與L1，垂足為K，定點O與動點O1在直線L1上，以O1為圓心以O1K為半徑做圓O1（如右圖）.
（1）如果動點即圓心O1在定點O的右邊，點A在圓O1上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O、O1為焦點的橢圓C1.
（2）如果動點即圓心O1從定點O右邊沿著直線L1向左移動與O重合，這時橢圓就變成了圓.
（3）如果動點即圓心O1沿著直線L1向右移動到無窮遠處，這時圓O1就是直線L，當點A在直線L上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O為焦點，以L為準線的拋物線C2.
（4）如果動點即圓心O1沿著直線L1從左邊回來，點A在圓O1上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O、O1為焦點的雙曲線C3.
（5）如果動點即圓心O1從左邊沿著直線L1向右移動到與O重合，這時雙曲線退化為兩條相交的直線.
簡而言之，橢圓有兩個焦點O、O1（假定點O1在點O右邊），若O固定，考慮O1的移動，當O1向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，O1與O重合時即為圓；當O1向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，O1到無窮遠處時即為拋物線；當O1從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當O1繼續(xù)向右移動，O1又與O重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線.我們看到了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只需考慮焦點的各種移動方式.此外也可以說拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓.
四、方程形式的統(tǒng)一
1.在平面直角坐標系中，圓錐曲線都可以用二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0，A2+C2≠0）來表示，①當B2-AC0時，它表示雙曲線.代數(shù)式B2-AC值的變化超過某一界限會引起曲線類型的改變，而這些曲線在代數(shù)上的區(qū)別只在于方程系數(shù)B2-AC的正負號.
另外，圓錐曲線還可以表示為：（1-e2）x2+y2-2px+p2=0.這是以定直線L為y軸，并且使x軸通過焦點F，得到的圓錐曲線的軌跡方程，其中p是定點F到定直線L的距離，e是離心率.
2.在極坐標系中，圓錐曲線也有統(tǒng)一的方程：當0
五、曲線性質(zhì)的統(tǒng)一
由于圓錐曲線定義上的統(tǒng)一，必然會有其性質(zhì)上的統(tǒng)一，即具有相似的性質(zhì).以下就其中的一部分作些初步的探討.
性質(zhì)一：（1）橢圓與雙曲線上任一點M的兩條焦半徑MO、MO1與通過M點的切線夾相等的角度.
（2）拋物線上任一點M的焦半徑MO、MO1（過M平行于軸的射線）與拋物線在M點的切線夾相等的角度.
據(jù)此易知，圓錐曲線具有如下的光學性質(zhì).
橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過橢圓周上反射后，反射都經(jīng)過橢圓的另一個焦點.
雙曲線的光學性質(zhì)：如果光源或聲源放在雙曲線的一個焦點O處，光線或聲波射到雙曲線靠近O的一支上，經(jīng)過反射以后，就好像從另一個焦點O1處射出來一樣.
拋物線的光學性質(zhì)：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.
顯然，由圓心運動的統(tǒng)一定義直接可以得出性質(zhì)一的結(jié)論.下面再采用解析方法，以橢圓為例給出證明.
性質(zhì)二：已知切點（x0，y0），圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的切線方程統(tǒng)一的形式為
參考文獻：
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[4]陳靖航.圓錐曲線一個性質(zhì)的完善及推廣.福建中學數(shù)學，2007（01）.
第6篇：雙曲線及其標準方程范文
一、考試要求：
1.直線與方程
①在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
③能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。
④掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。
⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。
⑥掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
2.圓與方程
①掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程。
②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
④初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
3.圓錐曲線與方程
①了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。
②掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)。
③了解雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)。
④理解數(shù)形結(jié)合的思想。
⑤了解圓錐曲線的簡單應用。
二、試題分析
1 近三年考點分布統(tǒng)計
2.考題特點
解析幾何試題一般設計兩道小題、一道解答題，通常占20分以上，考查的知識點約為20個左右。新課標遵循螺旋式上升到原則，將解析幾何的內(nèi)容分為解析幾何初步與圓錐曲線兩部分，分別安排在必修模塊和選修模塊中。近三年對必修模塊的考查一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)；選修模塊中的圓錐曲線部分設計了一個選擇題和一道綜合題，選擇題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，解答題一般在21題或22題的位置，解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網(wǎng)絡，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要用到平幾的基本知識、函數(shù)的思想方法和向量的基本方法，這一點值得強化。具體來說，解析幾何試題有以下特點和命題規(guī)律。
2.1立足基礎(chǔ)知識
高中數(shù)學解析幾何包括直線與圓的方程、圓錐曲線定義、圓錐曲線的標準方程與幾何性質(zhì)等基本內(nèi)容，在歷年的高考題中，都會有一道直接考查這些內(nèi)容的基礎(chǔ)知識的容易題。如2011年理科第8題，直接考查雙曲線幾何性質(zhì)、直線與圓相切；2012年10題，考查了雙曲線漸近線、直線與橢圓相交；2013年理科第9題考查直線與圓的位置關(guān)系。
“科學、公正、安全、規(guī)范”是高考命題的基本要求，高考試題則必然立足于對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查。
2.2注重綜合聯(lián)系
解析幾何可以將函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、向量等數(shù)學知識融為一體，近幾年的解析幾何考題既體現(xiàn)了知識的縱向聯(lián)系，又注重了與上述知識的橫向聯(lián)系，成為考查學生綜合能力的絕佳素材。如2011年8題，分別考查了圓與雙曲線的性質(zhì)。圓是圓錐曲線的特例，圓的方程是二次曲線方程的特例。課程標準單獨列出“圓及其方程”，是基于學生在初中已經(jīng)學習了圓的基本性質(zhì)，更容易體會坐標法與綜合法的異同，體會坐標法的本質(zhì)。將圓與雙曲線的性質(zhì)同時考查，則有利于知識點銜接，體現(xiàn)解析幾何知識的縱向聯(lián)系。
2012年21題，把拋物線與直線方程、導數(shù)及函數(shù)最值問題融合在一起，既體現(xiàn)了知識的橫向聯(lián)系，又使學生加深了對解析幾何思想的理解。
2.3突出通性通法
從解析幾何綜合題來看，在注重考查數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學思想方法與數(shù)學能力的同時，更加突出解析幾何的本質(zhì)特征，注重考查通性通法。即在數(shù)形結(jié)合的思想指導下，以坐標法為核心，用代數(shù)方法研究幾何圖形的位置關(guān)系和性質(zhì)。
三、復習建議
（1）夯實基礎(chǔ)知識， 構(gòu)建知識網(wǎng)絡
近幾年高考中， 試題遵循 穩(wěn)字當頭， 穩(wěn)中有變， 變中求新 方針， 重視基礎(chǔ)知識和基本技能的考查. 試題源于課本， 高于課本. 復習時， 應重視教材的基礎(chǔ)作用， 以課本知識為出發(fā)點和落腳點， 以不變應萬變 ， 同時強化對知識的梳理， 優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識網(wǎng)絡.
（2）注重通解通法， 淡化特殊技巧
高考中這部分試題是通過對常見題型進行改編， 通過對基礎(chǔ)知識的整合、變式和拓展， 從而加工為立意高、情境新、設問巧的解析幾何問題， 堅持新題不難， 難題不怪的命題方向. 這要求學生掌握基礎(chǔ)知識、基本概念、基本技能和基本數(shù)學思想的應用，通過對課本上重點例題和習題的變通， 積累一些常規(guī)基本問題的解法，反復體會其中的思維軌跡， 把解題方法提高到數(shù)學思想的高度， 提高綜合能力.
（3）強化數(shù)學思想， 提高運算能力
解析幾何對思維能力考查要求較高， 解答題背景新穎、綜合性強， 代數(shù)推理能力要求高， 因此在引導學生縱向深入、橫向聯(lián)系的同時， 注重強化數(shù)學思想方法， 特別是函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等； 思維固然重要， 但是繁雜、冗長的計算也是必不可少的， 提高學生的運算能力， 絕對要讓學生避免一看就會， 一算就錯 的毛病.
（4）重視新增知識， 關(guān)注知識交匯
第7篇：雙曲線及其標準方程范文
高考二輪數(shù)學考點突破復習：解析幾何
解析幾何是高考的必考內(nèi)容，它包括直線、圓、圓錐曲線和圓錐曲線綜合應用等內(nèi)容.高考常設置三個客觀題和一個解答題，對解析幾何知識和數(shù)學思想方法的應用進行考查，其分值約為27分，約占總分的16%.近年高考解析幾何試題的考查特點，一是設置客觀題，考查直線、兩直線位置關(guān)系、點線距離、圓有關(guān)的概念、性質(zhì)及其簡單應用;考查圓錐曲線即橢圓、雙曲線、拋物線的概念、性質(zhì)及其簡單應用等基礎(chǔ)知識;二是以直線與圓位置關(guān)系、直線與圓錐曲線位置關(guān)系為載體，在代數(shù)、三角函數(shù)、向量等知識的交匯處設置解答題，考查圓錐曲線性質(zhì)和向量有關(guān)公式、性質(zhì)的應用，考查解決軌跡、不等式、參數(shù)范圍、探索型等綜合問題的思想方法，并且注重測試邏輯推理能力.
1.2011年高考試題預測縱觀近年高考解析幾何試題的課程特點和高考命題的發(fā)展趨勢，下列內(nèi)容仍是今后高考的重點內(nèi)容.
(1)直線斜率的概念及其計算，直線方程的五種形式;兩條直線平行與垂直的條件及其判斷，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式;線性規(guī)劃的意義及其簡單應用.
(2)圓的標準方程、一般方程、參數(shù)方程的概念、性質(zhì)及其應用.
(3)橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)和橢圓的參數(shù)方程.
(4)圓錐曲線的初步應用，即以直線與圓錐曲線位置關(guān)系為載體，考查軌跡問題，圓錐曲線與平面向量、不等式、參數(shù)范圍、探索型等綜合問題.
(5)函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想在解析幾何中的應用.
高考二輪數(shù)學考點突破復習：概率與統(tǒng)計
1.高考對兩個原理的考查主要集中在排列、組合及其綜合題方面，題目靈活多樣.
2.二項式定理重點考查二項展開式中的指定項及二項式的展開式系數(shù)問題.
3.概率統(tǒng)計內(nèi)容是中學數(shù)學的重要知識，與高等數(shù)學聯(lián)系非常密切，是進一步學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)，也是高考數(shù)學命題的熱點內(nèi)容，縱觀全國及各自主命題省市近幾年的高考試題，概率與統(tǒng)計知識在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值在17分到20分之間.主要考查以下三點：
(1)會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題;
(2)理解古典概型及其概率計算公式，會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;
(3)理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些相應的實際問題.
1.2011年高考試題預測
(1)高考對兩個原理及二項式定理的考查.以基礎(chǔ)題為主，考查形式比較穩(wěn)定.
①從內(nèi)容上看，主要考查分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，排列、組合的概念及簡單應用.例如2010全國Ⅰ，6;2010山東，8.
②從考查形式上看，多為選擇題和填空題.例如2010北京，4;2010浙江，17.
③從能力要求上看，主要考查學生理解問題的能力、分析和解決問題的能力及分類討論的思想.例如2010江西，14;2010上海，14.
第8篇：雙曲線及其標準方程范文
最近,筆者仔細查閱了前幾年在教學“拋物線及其標準方程”一課時的教案。整個教學過程是:
1.教師由問題“平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F l)的距離相等的點的軌跡是什么”來導入本節(jié)課;
2.教師拿教具給學生作演示并得出結(jié)論:符合題意的點的軌跡是拋物線;
3.告訴學生如何推導出拋物線的標準方程,并在大屏幕上顯示出推導過程;講解定義、標準方程及相關(guān)注意事項;
4.教師講解課本上的例題,學生做練習。
反思這節(jié)課,明顯存在這樣幾個缺點:①在教學過程中,以教師的教為主體,教師講、學生練,學生圍著教師轉(zhuǎn),學生失去了自主性和主動性;②讓學生死記數(shù)學公式,機械地模仿教科書上解決問題的方法,忽視了師生之間、生生之間應有的合作學習與情感交流,喪失了學習過程中的情感性和發(fā)展性。姑且不談這節(jié)課是如何令人感到拖沓冗長,就訓練學生思維能力而言,筆者認識到這節(jié)課很有可能是無效的。同時,在課堂提問中,筆者提出的問題大多是陳述性問題,并讓學生圍繞某一知識點進行大量的練習,缺少對開放性創(chuàng)新題型的設置。
二、對“拋物線及其標準方程”一課的改進
1.精心設置課前導入環(huán)節(jié)
筆者預想了兩個方案:方案一,鑒于學生已經(jīng)學習過關(guān)于橢圓、雙曲線的標準方程及相關(guān)性質(zhì),因而可以采用直接導入本節(jié)課的主要內(nèi)容“拋物線及其標準方程”的方法。方案二,從橢圓和雙曲線的第二定義入手,即歸結(jié)為平面內(nèi)動點到定點和定直線的距離之比問題(比值的范圍不同,所得到的曲線就不同。當比值在0到1之間,動點的軌跡是橢圓;比值大于1,動點軌跡是雙曲線)。這時可以提出問題:這些比值的范圍還應有哪些?即它們的補集是什么?從而得出研究對象:比值等于1時動點的軌跡問題。這樣就將本節(jié)課要研究的問題很自然地引出來了:平面內(nèi)到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是什么?
經(jīng)過對這兩種方案的研究比較,筆者決定采用第二種方案來導入新課。因為這樣的設計,可以在向?qū)W生灌輸類比的數(shù)學思想的同時,也加強了知識的前后聯(lián)系,向?qū)W生展示了數(shù)學知識的系統(tǒng)性和完備性。并且,在得出拋物線的定義后,也可以讓同學對生活中的拋物線圖形進行深入思考,闡述數(shù)學既來源于生活、亦可解釋生活的理念。
導入后,在有趣的教具的輔助下進一步拓展學生的視野,使數(shù)學知識的發(fā)生及形成更為自然,更能貼近學生的認知特征。
2.在教學過程中培養(yǎng)學生自主探究的能力
對于拋物線的標準方程的推導,筆者采取先由教師點撥(設點F到直線l的距離為p[p>0]),再由學生自己合理建立直角坐標系、討論整理出拋物線的標準方程的方法。由于學生建系方法不同(或?qū)⒍ㄖ本€當做y軸,或?qū)⒍c當原點,亦或按照標準方程的建系方法,甚或?qū)⒍c和定直線斜放于坐標系內(nèi)),得到的方程式必然不同。教師要在肯定學生的研究成果的同時,與學生一起選出最佳建系方法。這樣做可以使每個學生都動起來,自己探究知識的發(fā)生、發(fā)展過程,而不是由老師直接給出答案,更杜絕了讓學生死記公式、機械模仿的授課現(xiàn)象?？梢愿鶕?jù)學生已有的知識水平(掌握了橢圓、雙曲線的相關(guān)知識,可以根據(jù)橢圓、雙曲線因焦點位置的不同而得出兩種標準方程),讓他們對橢圓、雙曲線和類比拋物線進行對比,得出拋物線因焦點位置的不同也可以有不同的標準方程的結(jié)論,即加入拋物線標準方程的其他三種表達形式。
除了使用課本上的例題和練習以外,筆者還設計了這樣一組題:
1.平面上一動點M到點F(1,0)的距離與它到直線x=-1的距離相等,求M點的軌跡方程。
2.平面上一動點M到點F(1,0)的距離比它到直線x=-2的距離小1,求M點的軌跡方程。
3.平面上一動點M到點F(1,0)的距離與它到直線x-1=0的距離相等,求M點的軌跡方程。
讓學生通過對這三道題的探究,明白拋物線的定義中最重要的一點就是:定點不在定直線上。
經(jīng)過這樣一番精心準備,實際的課堂效果非常好,學生們的表現(xiàn)相當積極,充分地展示了他們的聰明才智。
3.教學別注意了對不同層次的學生的關(guān)照
在完成如何建系求出拋物線的標準方程的教學過程中,筆者特別注意了對不同層次的學生的關(guān)照。為了使大多數(shù)學生能夠在課堂上完成對教學內(nèi)容的充分學習,筆者特意在小組活動后找了不同小組中的成績中游或者中游偏下的學生到黑板前面為全班同學作講解。
同學甲是以直線l為y軸,以過點F且與l垂直的直線為x軸建立直角坐標系,得到的方程為y2=2px-p2(p>0);同學乙是以過點F且與l垂直的直線為x軸,x軸與l相交于點K,以線段KF的中垂線為y軸建立直角坐標系,得到的方程為y2=2px(p>0);同學丙是以點F為坐標原點,以過點F且與l垂直的直線為x軸建系,得到的方程為y2=2px+p2(p>0)。
接著同學們開始點評,有的認為乙的方法好,因為乙最后得到的方程式簡單;有的則評價乙沒有從學生的思維角度來進行講解,即只知道告訴大家如何做,而沒有分析為什么這樣做,對此,乙是這樣解釋的:“我們小組經(jīng)過討論后,知道不同的建系方法會得到不同的方程,所以我們在小組內(nèi)又分成了三個小組,分別使用了以直線l為y軸、以KF的中垂線為y軸、以點F為坐標原點(x軸都相同)三種方法來建系,最后經(jīng)過比較才得出這樣的結(jié)論的?！痹瓉砣绱?想不到他們的小組竟然想出了這種合作方式,這種創(chuàng)新的意識不正是我們的課堂教學所急需的嗎?
三、對教學過程的再反思
本節(jié)課的優(yōu)點:①在這堂課中,學生不但學會了基礎(chǔ)知識,而且還體驗了知識的推導過程,嘗試了有條理地思考問題和解決問題的過程。②讓學生到講臺上針對某些內(nèi)容進行講解,不僅使學生增強了自信心,并且使之在參與授課的體驗中,進一步深入思考應該如何聽課,即不能只為聽答案而聽課,而應該深究答案的淵源,應該學會分析問題。③通過小組合作學習,學生鍛煉了自學能力,培養(yǎng)了團隊意識,提高了人際交往能力,學會了如何關(guān)懷和幫助他人、評價他人,學會了承認他人的優(yōu)點、容忍他人的缺點,虛心學習、聽取意見。
本節(jié)課存在的問題:①在小組討論時,有的學生對自己要進行的探究比較茫然,找不準思考問題的方向,對所要完成的任務也搞不清楚。這就需要教師在備課時創(chuàng)設有效的情境,把問題設計得恰到好處,讓這些問題有助于引導學生理解知識的核心和問題的本質(zhì)。②個別學習成績不太好的學生在小組討論時不敢發(fā)言、不敢表態(tài),逐漸地遠離了討論的中心,顯得很被動。為了使全體學生都能夠在課堂學習中獲得有效提高,教師必須要充分了解自己的學生,了解他們的性格、知識水平等多方面的信息,特別是對于成績暫時處于下游的學生,要從他們的實際認知水平出發(fā)合理設計課堂教學內(nèi)容、采取適當?shù)慕虒W方法,盡量避免無效的提問。同時,在他們不能順利、正確地作出回答時,教師要熱情地啟發(fā)和鼓勵他們,讓他們保持積極的學習情緒,積極地參與進來,而不是讓課堂變成學習成績好的同學的“一言堂”,杜絕由老師替代思考轉(zhuǎn)變?yōu)橛珊脤W生替代思考的現(xiàn)象。③做練習是數(shù)學教學的有機組成部分,是學生學好數(shù)學的必要條件。做練習可以幫助學生對知識進行正確的理解、釋疑、深化及反饋,所以教師在教學中要注意在恰當?shù)臅r間選擇恰當?shù)木毩晛韼椭鷮W生進一步鞏固并提高所學知識;同時,要加強對解題的指導,對解題思想方法作必要的概括。而本節(jié)課中,學生做的練習以口算為主,筆答的時間少了些,這么做雖然關(guān)注了對學生的思維能力的培養(yǎng),但忽視筆頭上的練習,無法展示和了解學生在做題過程中發(fā)生的錯誤,更無法規(guī)范學生的做題步驟。這是需要再次改進的地方。④沒有恰當?shù)剡\用現(xiàn)代信息技術(shù)。若能在課件中動態(tài)地展示拋物線的開口方向、x與y的指數(shù)等,那么在對拋物線的其他標準方程進行討論時,學生將會感到“柳暗花明又一村”。
第9篇：雙曲線及其標準方程范文
關(guān)鍵詞 發(fā)散思維 橢圓 雙曲線 卡西尼卵形線
【分類號】G633.7
“同課異構(gòu)”是指不同的教師面對相同的教材，根據(jù)自己學生的具體情況，結(jié)合自己對教材的理解設計出不同的教學方式。同課異構(gòu)就是鼓勵教師從不同途徑，用不同方法，多方面、多渠道地探索新的教學模式，從而有意識地引導學生變更思考角度，變換思維方式來分析問題、解決問題，促使學生數(shù)學思維能力的提高和充分發(fā)揮。
1 案例背景
“橢圓及其標準方程”是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是高考考查主要內(nèi)容之一。教學目標是掌握橢圓的定義及其標準方程，為后續(xù)的橢圓的幾何性質(zhì)及應用的學習做好鋪墊。教學重點是橢圓的定義和橢圓的標準方程，教學難點是橢圓標準方程的推導。
2 兩種設計
案例1
（1）創(chuàng)設情境，提出問題。
教師向?qū)W生們展示了神州七號“嫦娥奔月”的相關(guān)圖片，并讓學生們列舉日常生活中有關(guān)橢圓形的實物，比如：雞蛋、橄欖球、油罐車、地球的軌道……等等，從而引出橢圓這一概念，從而設問：滿足什么條件的點的軌跡是橢圓呢？
（2）構(gòu)建模型，解決問題。
給出畫橢圓的一種方法：取一條一定長的細繩，兩端固定在畫板上的兩定點 上，當細繩長大于 的距離時，用筆尖拉直細繩在畫板上緩慢移動，就可以畫出橢圓圖形（如圖所示）。
（3）追蹤成果，提出猜想。
引導學生認真觀察、體驗橢圓的畫法，一起歸納、總結(jié)橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點 的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點的軌跡叫作橢圓。
（4）深入細微，深化理解。
教師引導學生認真分析發(fā)現(xiàn)橢圓定義中容易遺漏的三個地方：①兩個定點---兩點間距離即 確定；②繩長--軌跡上任意一點到兩定點距離和即 確定；③繩長大于兩點間距離即 。其次引導學生思考：若在定義中缺少 時，點的軌跡還有意義嗎？若有，代表什么圖形？最后進一步引導學生思考發(fā)現(xiàn)：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（橢圓 線段）；兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（橢圓 圓）。由此，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(guān)（為后續(xù)離心率相關(guān)概念的學習作鋪墊）。
現(xiàn)在已經(jīng)學習了橢圓的定義，那么橢圓有橢圓方程嗎？若有，如何求出其方程？更進一步引導學生建立直角坐標系，求出橢圓方程。建系可能出現(xiàn)多種方法，例如：①以 為原點， 為 軸，過 垂直 的直線為 軸建系；②以 為 軸，線段 的中垂線為 軸建系，……。在這么多的建系方式中，哪一種比較好呢？請學生認真感受一下，大部分的學生感覺方法②比較好，能體現(xiàn)數(shù)學的對稱美感。
（5）學以致用，拓展延伸。
練習1：已知橢圓的焦點為 ，且過點 ，求滿足條件的橢圓標準方程。
練習2：已知橢圓過點 求滿足條件的橢圓標準方程。
案例2
由實際例子引入橢圓的概念，教師提出問題：什么是橢圓呢？怎么定義？引導學生聯(lián)想圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡就是圓，并畫出圓的圖形；再引導學生認識到：其實圓也可以看成：動點到定點的來回距離之和為常數(shù)的點的軌跡。接著教師設問：若把圓的這個定點一分為二，那么這樣“來回”的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是什么？再構(gòu)建畫橢圓模型，在上述畫圓的基礎(chǔ)上做如下改變：將細繩的兩端由原來都綁在同一釘子上，改為分別綁在兩個釘子上，并拉開釘子使其有一定的距離，用筆尖拉直細繩在畫板上緩慢移動，就可以畫出橢圓圖形，從而組織學生歸納、總結(jié)橢圓的定義。
得到橢圓定義后，案例2的教學設計基本上與案例1相同。
3 設計反思
本節(jié)課是一節(jié)概念課，完整的概念課教學包含以下幾個內(nèi)容：（1）問題背景引入；（2）具體例子的分析與綜合；（3）概括概念的本質(zhì)屬性；（4）下定義；（5）概念的辨析；（6）用概念做判斷與解Q問題。
案例1基本上涵蓋了上述的幾個步驟，各個步驟之間的過度比較自然，整個教學設計流暢合理，通過師生之間的良好互動充分調(diào)動了學生學習的積極性，是一節(jié)比較成功的概念課教學設計。
案例2與案例1相比，不同之處在于：通過圓這個定義的聯(lián)想類比，創(chuàng)設良好的文化氛圍，使得橢圓這個新知識是：在擁有肥沃的土壤（圓的概念）中自然的“生長”出來。從而使學生對橢圓定義的理解經(jīng)歷了由模糊到清楚、由零碎到完整，并逐步完美的融合到原有的知識體系中來。概念課的引入一般會從這三個方面入手，①實際應用的需要；②利用類比引入；③數(shù)學知識發(fā)展的本身需要。所以，案例1和案例2的引入是各有千秋。
但是，在受案例2橢圓定義的創(chuàng)造性引入方式及橢圓定義的啟發(fā)，好學的學生可能會疑問：平面內(nèi)與兩個定點 的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點的軌跡叫作橢圓，那么距離之差的點的軌跡呢？距離之比呢？距離之積呢？在這種發(fā)散思維的觸動下，筆者認為可以將此案例進一步改進為“橢圓、雙曲線及卡西尼卵形線定義”的教學，進行一次有意義的探究實驗。
4 案例改進
拓展1：平面內(nèi)與兩個定點 的距離之差為定值的點的軌跡是什么？
① 當 時，圖象分為兩支，隨著 的減小而分別向 收縮；
② 當 時，圖象成8形自相交叉，稱為雙紐線；
③ 當 時，圖象是一條沒有自交點的光滑曲線，曲線中部有凹進的細腰。
④ 當 時，與前種情況一樣，但中部變平。
⑤ 當 時，曲線中部凸起。
卡西尼卵形線圖象由此組成（如右圖所示）。
所以，由上可得：平面內(nèi)到兩個定點 的距離之積為常數(shù)的所有點組成的圖形稱為卡西尼卵形線。
由上述案例的改進所給的啟發(fā)知，在數(shù)學教學中，當學生具備了一定的數(shù)學能力后，教師一方面可以鼓勵學生在此基礎(chǔ)上進行大膽質(zhì)疑、猜想，提出富有探索性的新問題，讓學生憑借所學的知識與技能，善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索，不斷構(gòu)建自己的數(shù)學思維，提高數(shù)學思維的應用能力；另一方面，教師在平常的教師實踐中要有意識、有目的、有重點地向?qū)W生進行設問，制造“障礙”，從而引導學生突破自己的思維定勢，培養(yǎng)思維的靈活性和廣泛性。
參考文獻
[1] 普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學選修2-1（理科） 湖南教育出版社 2005年8月第1版
[2] 馬小平 橢圓及其標準方程教學設計 學周刊學術(shù)研究 2012年第11期