分類討論的思想方法精選(九篇)

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第1篇：分類討論的思想方法范文

高中階段常見(jiàn)的有數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)和方程、建模等思想方法.正確運(yùn)用這些思想方法，對(duì)提高學(xué)生的解題能力起非常關(guān)鍵的作用.因此，在教學(xué)中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法.我現(xiàn)結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探討其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合、抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過(guò)“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，可收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，但以數(shù)解形在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視.

數(shù)形結(jié)合常用于函數(shù)與函數(shù)的圖像、解不等式、曲線與方程，參數(shù)本身的幾何意義，代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求函數(shù)的值域、向量問(wèn)題等常?？梢杂脭?shù)形結(jié)合思想尋找解題思路.

（一）由數(shù)化形、以形為手段，以數(shù)為目的，通過(guò)建立坐標(biāo)系由條件繪制相應(yīng)圖形，使圖形充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

（二）由形化數(shù)，借助于圖形，通過(guò)觀察揭示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映出事物本質(zhì)特征.

（三）數(shù)形轉(zhuǎn)換，“數(shù)”和“形”可以互相轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀，化直觀為精確，化難為易，從而使問(wèn)題得到解決.

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解選擇題、填空題中應(yīng)用廣泛，在解答題中一般可用數(shù)形結(jié)合法尋找解題思路，解答過(guò)程如用數(shù)形結(jié)合，敘述要嚴(yán)謹(jǐn)，防止只畫(huà)個(gè)圖形而解題過(guò)程不規(guī)范現(xiàn)象的發(fā)生.著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的重要性，精辟地概括為“數(shù)無(wú)形，少直觀；形無(wú)數(shù)，難入微”，形象地道出了數(shù)形結(jié)合的特征和重要性.

二、分類討論的思想方法

在解某些數(shù)學(xué)題時(shí)，它的結(jié)果可能不唯一，對(duì)可能的情況要一一加以分類討論.它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高考中占有十分重要的地位，分類討論試題具有明顯的邏輯性、探索性的特點(diǎn)，試題難度屬中高檔.

（一）引起分類討論的原因大致可分為如下幾種：

1.涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.

2.運(yùn)用的定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的，如等比數(shù)列的求和.

3.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形的類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等.

4.數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參數(shù)變量，如參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.

5.對(duì)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要采取分類討論的解題策略來(lái)解決.

（二）分類的原則：分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一；層次要分明，分類要做到不重不漏；能不分類的要盡量回避，或盡量推遲，決不無(wú)原則地討論.

（三）分類方法：①明確討論對(duì)象；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)；③逐步詳細(xì)討論；④歸納小結(jié).

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是研究問(wèn)題最基本、最重要的思想方法，它無(wú)處不在.比如：處理幾何問(wèn)題時(shí)，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上解決；在解析幾何中，通過(guò)建立坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題；復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題等.

第2篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)方法

一、全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩個(gè)方面.所謂數(shù)學(xué)思想是指“從某些具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提升的觀點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí).”所謂數(shù)學(xué)方法是指人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中為達(dá)到預(yù)期目的而采取的各種手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式.方法是實(shí)現(xiàn)思想的手段，任何方法的實(shí)施，無(wú)不體現(xiàn)某種或多種數(shù)學(xué)思想；而數(shù)學(xué)思想往往是通過(guò)數(shù)學(xué)方法的實(shí)施才得以體現(xiàn)的，它們?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)有通用性（如：“消元”既是方法又是思想），二者關(guān)系密切，有時(shí)不易區(qū)分，人們常把數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法合為一體，稱之為“數(shù)學(xué)思想方法”.

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中某些思想方法的教學(xué)

1.函數(shù)和方程思想.

（1）函數(shù)描述了客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量特征及制約關(guān)系的一種刻畫(huà).因此函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系，并用映射給予嚴(yán)格的形式，它幾乎成為貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線.中學(xué)的函數(shù)思想，應(yīng)包括建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的意識(shí)、函數(shù)概念和性質(zhì)的廣泛運(yùn)用、函數(shù)圖像的應(yīng)用.

例1：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試算5期后的本利和是多少？

在實(shí)際問(wèn)題中，常常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，可以用下面的公式y(tǒng)=N（1+p）■表示.解決平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，要用到這個(gè)函數(shù)式.

培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思想，會(huì)用變量和函數(shù)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的意識(shí)，前提是應(yīng)該理解函數(shù)的概念，將概念通俗化，就是兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，反應(yīng)到坐標(biāo)系中就是y對(duì)x的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)例學(xué)習(xí)歸納出中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾種基本函數(shù)的解析式，牢固掌握它們的圖像和性質(zhì)后將其應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中.

（2）方程的內(nèi)容在中學(xué)階段也同樣經(jīng)歷了由淺入深的歷程.其中最重要的變化是從具有確定解的方程，發(fā)展到解連續(xù)變化的方程；從注重解的數(shù)值特征，轉(zhuǎn)向方程的幾何意義，另外還有方程與多方面因素的相互聯(lián)系.方程的思想是在這樣的過(guò)程中逐步培養(yǎng)起來(lái)的.其中當(dāng)然包含通過(guò)設(shè)立未知量建立相等關(guān)系，即把未知看做已知的意識(shí)，還有如何用方程（方程組）的知識(shí)解決問(wèn)題，等等.

在等差與等比數(shù)列中，常常需要研究之間的關(guān)系，我們可以以方程思想為指導(dǎo)，尋找求知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)間的關(guān)系，根據(jù)題意逐個(gè)列出方程，等等，都要用到方程思想方法，根據(jù)題意列出所需要的方程.

2.分類討論的思想.

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法.例如“直線在平面外”常要分為線面平行，線面相交討論；qn的極限需要按q所取值的范圍討論；三角函數(shù)值的正負(fù)要按角所在象限討論，等等.根據(jù)分類思想，人們把這些對(duì)象全體組成的集合劃分成若干個(gè)子集（類），使得具有共性的對(duì)象屬于同一個(gè)子集，而不具有這種共性的對(duì)象屬于別的子集.分類是以比較為基礎(chǔ)，將研究對(duì)象進(jìn)行比較整理.同樣一些東西構(gòu)成的集合可依不同法則（標(biāo)準(zhǔn)）分類.如：三角形按角分類，也可按邊分類，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況確定分類方法.

在教學(xué)中要注意分析分類的原因、時(shí)機(jī)與分類的標(biāo)準(zhǔn)、方法，此例是類中有類，正是因絕對(duì)值概念引起分類討論再而由二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化即圖形位置的不定引起分類討論，（二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸的變化關(guān)系或開(kāi)口與二次項(xiàng)次數(shù)的符號(hào)的關(guān)系），引發(fā)討論的原因還有很多，如指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，圓錐曲線方程中，分母的符號(hào)、大小對(duì)曲線類型，曲線位置不同的影響，排列、組合中經(jīng)常遇到的分類問(wèn)題等，要能準(zhǔn)確分類，必須加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，在平時(shí)各相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，在知識(shí)的形成過(guò)程中，讓學(xué)生明確分類的意義與必要性，重復(fù)出現(xiàn)，逐漸強(qiáng)化.分類討論的方法在數(shù)學(xué)中占有重要地位，通過(guò)分類，可以化整為零，各個(gè)擊破，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象為具體.

3.數(shù)形結(jié)合的思想.

所謂數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征、尋找解決問(wèn)題的方法的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的.數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用聯(lián)想的思維，以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，滲透并強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法，使抽象的問(wèn)題變得直觀、易理解，同時(shí)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的形象性和廣闊性.中學(xué)數(shù)學(xué)教材中處處蘊(yùn)涵數(shù)形結(jié)合的思想.

數(shù)形結(jié)合的解題思想方法的特點(diǎn)是：具有直觀性、靈活性、深刻性，并跨越各章節(jié)界線，有較強(qiáng)的綜合性，不等式、方程、函數(shù)之間，方程與二次曲線之間，三角方程與三角曲線之間，不等式與線性規(guī)劃之間都有著密切聯(lián)系等，平時(shí)教學(xué)必須加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，反過(guò)來(lái)進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，打好基礎(chǔ)，提高能力.

4.轉(zhuǎn)化（化歸）的思想方法.

所謂轉(zhuǎn)化（化歸）的思想是指在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略.一般情況下，都要將未解決的問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.它是數(shù)學(xué)中基本的思想方法，同時(shí)也是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中常用的基本思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，因此以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，各種變換的方法及分析法、反證法、特定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.

高考中十分重視對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，要求考生熟悉各種化歸與轉(zhuǎn)化的變換方法，并有意識(shí)地運(yùn)用變換方法解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.化歸需明確三個(gè)問(wèn)題：（1）明確化歸對(duì)象；（2）明確化歸的目標(biāo)；（3）明確化歸的方法.

以上化歸方法在求函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，如三角函數(shù)最值問(wèn)題常常要轉(zhuǎn)化為一些我們所熟知的函數(shù)（如二次函數(shù)）最值問(wèn)題等.教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合例題讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化方法，轉(zhuǎn)化思想，盡可能在做完題后認(rèn)真反思，從中提煉方法.學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是必須具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論，并且能對(duì)課程內(nèi)容融會(huì)貫通，系統(tǒng)掌握課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系.教師必須注重各章節(jié)知識(shí)交匯處的教學(xué)，加強(qiáng)知識(shí)間的橫向聯(lián)系.

三、如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)所采用的主要方法是滲透，所謂滲透，就是有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，反復(fù)向?qū)W生講解，通過(guò)逐步積累，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)由淺入深，由表及里，漸進(jìn)地達(dá)到一定的認(rèn)識(shí)高度，從而自覺(jué)地運(yùn)用之.

1.鉆研教材，充分挖掘教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

數(shù)學(xué)定義、法則、公式、定理等知識(shí)都明顯地寫在教材中，而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里，并且分散于各冊(cè)教材的各章節(jié)中.我們?cè)趥湔n時(shí)要認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)掘提煉在教材中的數(shù)學(xué)思想和方法，并弄清每一章節(jié)主要體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)方法，研究大綱，吃透教材，揣摩教材編寫的意圖，挖掘教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.例如通過(guò)實(shí)數(shù)、整式概念的教學(xué)，可以滲透分類的思想.

2.把掌握數(shù)學(xué)思想方法納入教學(xué)目標(biāo).

數(shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的本領(lǐng).而這種能力，不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，更主要地依賴于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握和發(fā)揮.把要滲透的思想方法精心設(shè)計(jì)到教案中，在備課時(shí)要考慮如何結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透，滲透什么數(shù)學(xué)思想方法，滲透到什么程度，例如一般三角形通過(guò)作高可以轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理和三角函數(shù)和知識(shí)易求解，這當(dāng)中滲透了由一般到特殊轉(zhuǎn)化的思想方法；求二元一次方程組的解，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，這樣抽象的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直觀形象的問(wèn)題，當(dāng)中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想；教師只有這樣把握教材的思想體系，才能在教學(xué)中不失時(shí)機(jī)地滲透數(shù)學(xué)思想方法.

3.反復(fù)再現(xiàn)，逐漸強(qiáng)化.

數(shù)學(xué)思想方法不可能經(jīng)歷一次就能正確認(rèn)識(shí)并遷移，需要在長(zhǎng)期的教學(xué)中，不斷地再現(xiàn)，反復(fù)地引導(dǎo)與強(qiáng)化，才有可能使學(xué)生達(dá)到掌握的程度.首先是從模仿開(kāi)始的.學(xué)生按照例題示范的格式解答與例題相同類型的習(xí)題，實(shí)際上是數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)械運(yùn)用.此時(shí)，并不能肯定學(xué)生領(lǐng)會(huì)了所用的數(shù)學(xué)思想方法，只有當(dāng)學(xué)生將它用于新的情境、已經(jīng)解決其他有關(guān)問(wèn)題時(shí)，才能肯定學(xué)生對(duì)這一數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律有了深刻的認(rèn)識(shí).

數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)人才的需要，因?yàn)閿?shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，而這種能力不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，更主要地依賴于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握和發(fā)揮.它使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想思考和解決問(wèn)題，把知識(shí)的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機(jī)地聯(lián)系起來(lái).所以加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅關(guān)系到人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高，而且關(guān)系到人的素質(zhì)的培養(yǎng)和提高.數(shù)學(xué)教師要更新觀念，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，深入鉆研教材，努力挖掘教材中所蘊(yùn)涵的思想方法.

參考文獻(xiàn)：

第3篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：策略與方法；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；滲透數(shù)學(xué)方法

基礎(chǔ)的教學(xué)課程體系中，數(shù)學(xué)是很重要的一門應(yīng)用型的基礎(chǔ)學(xué)科。在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中，一般有兩條主線貫穿著：數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。通常情況下高中數(shù)學(xué)老師教授給學(xué)生的都是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，這些基礎(chǔ)知識(shí)就是數(shù)學(xué)教材中的各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，它是直接由文字或者數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來(lái)的，這是一條明線，很多老師和學(xué)生都很重視這條明線，但是很多時(shí)候卻忽視了數(shù)學(xué)思想方法這條暗線，而在教學(xué)過(guò)程中除了教授方法外，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法，它是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂和精髓，它包含在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過(guò)程，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。［1］

一、高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的方法

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透數(shù)學(xué)思想是在高中的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)的規(guī)律、方法、知識(shí)的本質(zhì)的一般規(guī)律的認(rèn)識(shí)；高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法主要是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的程序和策略，實(shí)質(zhì)反映的是一種具體的數(shù)學(xué)思想，因此數(shù)學(xué)知識(shí)就是數(shù)學(xué)滲透思想方法的具體載體，在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)滲透的幾種重要的數(shù)學(xué)方法有：1．分類討論的數(shù)學(xué)滲透思想方法在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，分類討論是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，主要是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性進(jìn)行異同比較，然后根據(jù)比較進(jìn)行分類，并根據(jù)不同的類別應(yīng)用不同的思想方法。分類討論的數(shù)學(xué)滲透方法有利于避免解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維片面性，可以通過(guò)具體的分類具體分析問(wèn)題，達(dá)到全面解決問(wèn)題，防止漏解的結(jié)果的出現(xiàn)。數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類討論既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，能克服思維的片面性。［2］2．類比的數(shù)學(xué)滲透思想方法在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)不同種類的數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性進(jìn)行類比，并把相同的屬性的對(duì)象按照相同的方式進(jìn)行推理，類比的數(shù)學(xué)滲透思想方法是具有創(chuàng)造性的一種數(shù)學(xué)滲透思想方法。3．?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)滲透的思想方法主要指的是將數(shù)學(xué)中的圖形和數(shù)量進(jìn)行對(duì)比研究、分析和找到解答思路的一種思想方法。4．化歸的數(shù)學(xué)滲透思想方法主要指的是將要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為比較簡(jiǎn)單的或者是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，從而很輕松地得到問(wèn)題的答案。5．方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)滲透思想方法指的是通過(guò)數(shù)學(xué)的公式和函數(shù)方程等來(lái)解答相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。6．整體的數(shù)學(xué)滲透思想方法指的是在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候從數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面的思考和觀察，從宏觀整體上全面地解答問(wèn)題。

二、高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的策略方法

1．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的滲透在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生需要掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)包括兩方面：一方面是：數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)；另一方面是數(shù)學(xué)的解題方法和解題思路等數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，通常需要先掌握基本的數(shù)學(xué)公式和概念才能運(yùn)用方法和解答思路來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是只懂公式和概念，不會(huì)用方法和沒(méi)有解答思路，也是解答不對(duì)問(wèn)題的，因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系過(guò)程中，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)滲透思想方法來(lái)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。比如在學(xué)習(xí)“函數(shù)”的過(guò)程中，可以利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)滲透的思想方法，通過(guò)圖形等比較來(lái)加深學(xué)生對(duì)“函數(shù)”的學(xué)習(xí)。［2］2．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的滲透在解決數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，需要把相關(guān)的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到具體的數(shù)學(xué)題的解答中，比如做“函數(shù)的最值”方面的題目時(shí)，比如在“求函數(shù)y＝x2－4mx＋4在區(qū)間［2，4］上的最小值與最大值”這一例題，老師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用分類討論的數(shù)學(xué)滲透思想方法，將相關(guān)的題目的函數(shù)圖表畫(huà)出來(lái)進(jìn)行討論，并在討論過(guò)程中運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)滲透思想方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)滲透思想方法、方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)滲透思想方法等相關(guān)的數(shù)學(xué)滲透方法來(lái)分析和解答題目。3．?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)小結(jié)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的滲透在對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)小結(jié)復(fù)習(xí)過(guò)程中，更需要相關(guān)的數(shù)學(xué)思想滲透，運(yùn)用整體的數(shù)學(xué)滲透思想方法對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，樹(shù)立整體的數(shù)學(xué)思維來(lái)全面應(yīng)用和滲透，使學(xué)生能夠從感性的具體數(shù)學(xué)題目中提煉出對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理性認(rèn)識(shí)。例如，在總結(jié)“數(shù)列”這個(gè)知識(shí)體系時(shí)，可以利用分類討論的數(shù)學(xué)滲透思想方法、類比的數(shù)學(xué)滲透思想方法、化歸的數(shù)學(xué)滲透思想方法、整體的數(shù)學(xué)滲透思想方法等開(kāi)展總結(jié)復(fù)習(xí)。［3］

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的更高層次，對(duì)高中數(shù)學(xué)的方法和基層知識(shí)的學(xué)習(xí)起到了指導(dǎo)的作用，是解決數(shù)學(xué)方法感性到理性的不斷升級(jí)和飛躍，數(shù)學(xué)思想的形成能有效地幫助學(xué)生們形成對(duì)數(shù)學(xué)的整體概念，有利于學(xué)生構(gòu)建自身的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和形成數(shù)學(xué)思維能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］林靜．如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法［J］．時(shí)代教育，2014，7（1）：73．

［2］許桂蘭．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透：以函數(shù)奇偶性教學(xué)為例［J］．學(xué)周刊，2015，9（6）：82．

第4篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；地理教學(xué)；符號(hào)思想

數(shù)學(xué)思想方法的種類和分類方式，各家說(shuō)法不一。本文主要選取了中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的五種一般數(shù)學(xué)思想方法，分別探究了這五種不同數(shù)學(xué)思想方法在高中地理教學(xué)中的應(yīng)用。符號(hào)是描述數(shù)學(xué)研究對(duì)象的語(yǔ)言，集合是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的形式表述，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)兩種基本研究對(duì)象之間的轉(zhuǎn)換，分類體現(xiàn)了具體研究對(duì)象之間的異同與關(guān)系，邏輯推理是數(shù)學(xué)論證的基本方法。

一、符號(hào)思想

符號(hào)思想的實(shí)質(zhì)是通過(guò)建立某種對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)從感性到理性的轉(zhuǎn)換。符號(hào)的抽象程度和創(chuàng)造水平的高低差異直觀影響學(xué)科的發(fā)展方向與速度；表達(dá)符號(hào)的不同也是對(duì)一門學(xué)科水平的反映。在地理學(xué)科中，我們可以借鑒數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語(yǔ)言和符號(hào)思想，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，我們可以直接使用這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，使地理學(xué)科的“理”性表達(dá)得更為簡(jiǎn)潔、科學(xué)，例如：正午太陽(yáng)高度的公式：H=90°δ-？漬。滿足了地理學(xué)，從定性的分析到定量的計(jì)算，公式的總結(jié)性表述，可以揭示地理事物的普遍規(guī)律，讓學(xué)生可以更精確、概括性地認(rèn)識(shí)地理現(xiàn)象。

其次，也可以借鑒數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)思想，發(fā)揚(yáng)地理學(xué)科語(yǔ)言和符號(hào)，從而確立地理學(xué)科的獨(dú)特地位。地理符號(hào)主要運(yùn)用于地圖教學(xué)。地圖符號(hào)的建立需要嚴(yán)格的定義，要注重符號(hào)的科學(xué)性和合理性。地圖上的符號(hào)大致可分為顏色符號(hào)、事物標(biāo)志符號(hào)、文字符號(hào)和線柱符號(hào)。這些各種不同的符號(hào)，就是我們地理學(xué)科的形式化語(yǔ)言。在教學(xué)中，教師應(yīng)該廣泛地使用學(xué)科語(yǔ)言，給學(xué)生以潛移默化的熏陶，增強(qiáng)其對(duì)地理學(xué)科的歸屬感。

最后，素質(zhì)教育的教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)維度，在知識(shí)的傳遞過(guò)程中，主要是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和價(jià)值觀的建立，這些目標(biāo)可以通過(guò)地理學(xué)科符號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)。地理符號(hào)除了教學(xué)中的狹義地圖符號(hào)外，更包括人類長(zhǎng)期以來(lái)的活動(dòng)作用于環(huán)境的地理印記。在漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程中，我們的祖先以其頑強(qiáng)的生命力和堅(jiān)韌的毅力，不斷同周圍的地理環(huán)境相適應(yīng)，并且改造地理環(huán)境，留下了人類活動(dòng)的偉大印記，如天壇、長(zhǎng)城、故宮、泰山等。這些改造自然的活動(dòng)，不僅對(duì)地理環(huán)境進(jìn)行了和諧的改造，而且將中華民族的文化精神和文化意識(shí)深深地浸染于其作用的地理印記之中，也就創(chuàng)造了具有豐富民族文化精神的地理符號(hào)。在地理教學(xué)中，對(duì)這些地理符號(hào)進(jìn)行講解時(shí)，一方面要讓學(xué)生明白它們作為一些地理分界線或是特殊城市地理布局的知識(shí)含義；另一方面要讓學(xué)生明白，地理符號(hào)是作為一種民族文化的載體，成為一種文化象征和文化精神。

綜上可見(jiàn)地理符號(hào)在地理教學(xué)中的重要意義，因而在實(shí)際教學(xué)中，教師需要滲透地理學(xué)科的符號(hào)思想，讓學(xué)生可以通過(guò)一種符號(hào)，認(rèn)識(shí)一門學(xué)科，學(xué)會(huì)使用地理學(xué)科語(yǔ)言，并在這一過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

二、集合論思想方法

人類關(guān)于集合的認(rèn)識(shí)，一直都有一個(gè)很樸素的觀念：把某類對(duì)象按照一定標(biāo)準(zhǔn)放在一起作為討論范圍。集合論思想方法就是指，運(yùn)用集合論的語(yǔ)言和符號(hào)描述研究對(duì)象以及對(duì)象之間的關(guān)系，然后分析并解決問(wèn)題的方法。集合論作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言十分簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)概念都可以看做是集合，可以用集合論的語(yǔ)言來(lái)表述數(shù)學(xué)概念。

在地理教學(xué)中，集合論思想的應(yīng)用對(duì)地理學(xué)科整體性把握更具優(yōu)勢(shì)；集合論的語(yǔ)言也可對(duì)地理概念進(jìn)行簡(jiǎn)化；對(duì)于地理試題的解題方面，集合論的思想也將起到指導(dǎo)作用。

1.從集合論的高度概括中學(xué)地理內(nèi)容，能更好地從整體上把握中學(xué)地理的研究對(duì)象

地理學(xué)起到的作用主要就是溝通自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的橋梁作用，高中地理中必修一主要是自然地理學(xué)，必修二為人文地理學(xué)；自然地理中主要是根據(jù)地球的圈層結(jié)構(gòu)，對(duì)課本進(jìn)行編排；人文地理中主要是研究人口、人類的聚居地（城市）、人類生產(chǎn)生活（工業(yè)、農(nóng)業(yè)）、對(duì)人類活動(dòng)最重要的影響因素（交通）等。通過(guò)集合可以很好地表示高中地理的研究對(duì)象，讓學(xué)生從整體上把握高中地理知識(shí)。

例如：

2.用集合論的語(yǔ)言表述有關(guān)概念更為簡(jiǎn)潔

地理中的專業(yè)概念較為繁多，很多概念在內(nèi)涵上存在包含與被包含的關(guān)系，也有需要按照一定準(zhǔn)則進(jìn)行分類劃分，借助集合的思想來(lái)表達(dá)地理中的概念，使抽象繁瑣的語(yǔ)言表達(dá)顯得更直觀、形象，也更具有科學(xué)性。

例如：天體系統(tǒng)層次，用語(yǔ)言表達(dá)為地球所處的天體系統(tǒng)，按從低到高的級(jí)別，依次為地月系、太陽(yáng)系、銀河星和總星系?？雌饋?lái)很繁瑣，借助集合知識(shí)表述為： 3.集合論的思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用

運(yùn)用集合論的思想對(duì)地理試題中的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題有著指導(dǎo)作用，以集合為工具，可將地理中涉及的幾何、代數(shù)、三角等綜合問(wèn)題用幾何形式表示出來(lái)，并提出解題思路。

案例一：地理概念

（1）從屬關(guān)系：如，能源、一次能源、常規(guī)能源；土地資源、土壤資源、耕地資源。

（2）包含并列關(guān)系：如，降水、降雨、降雪；鋒、暖鋒、冷鋒、準(zhǔn)靜止鋒；淡水與各種陸地淡水資源。

（3）交叉關(guān)系：如，可再生能源、新能源、二次能源；自然資源、礦產(chǎn)資源、能源。

（4）排斥關(guān)系的概念：如，可再生資源和不可再生資源；巖漿巖、沉積巖、變質(zhì)巖。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法

地理學(xué)科最初的含義就是地圖學(xué)，因此地理學(xué)科對(duì)圖形的使用是普遍存在的，很多地理事物、地理現(xiàn)象和地理規(guī)律都是可以通過(guò)“數(shù)”與“形”歸納其本質(zhì)屬性的；其次，地理學(xué)科內(nèi)容具有系統(tǒng)性，知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯性。在中學(xué)地理教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，結(jié)合地理學(xué)科特色，可以發(fā)展地理空間思維能力；數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用也可以使學(xué)生的形象思維與抽象思維能力得到提高，多種思維的互相促進(jìn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所掌握知識(shí)的能力有很大提高，對(duì)學(xué)生的綜合能力有較大提高，還能為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)形結(jié)合思想方法在地理學(xué)中應(yīng)用的主要內(nèi)容有：

（1）通過(guò)給出的圖表，建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型；例如高中地理必修一中給出了太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化，通過(guò)圖可以得出太陽(yáng)黑子與時(shí)間的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)黑子活動(dòng)的周期性。

（2）運(yùn)用幾何模型解答有關(guān)代數(shù)問(wèn)題；例如時(shí)區(qū)和區(qū)時(shí)的計(jì)算，通過(guò)圖形可以直觀地看出世界不同地區(qū)所在的時(shí)區(qū)。

（3）與函數(shù)有關(guān)的幾何、代數(shù)綜合性問(wèn)題；例如太陽(yáng)高度角的計(jì)算，畫(huà)出太陽(yáng)直射點(diǎn)所在位置，結(jié)合幾何與代數(shù)知識(shí)，可以很便捷地得出結(jié)果。

（4）以圖像形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題；例如自然界的水循環(huán)示意圖。

案例二：關(guān)于地球自轉(zhuǎn)的線速度，課本上只是說(shuō)明了：地球自轉(zhuǎn)的線速度，因緯度的不同而有差異，那么學(xué)生該如何理解這種差異，即地球自轉(zhuǎn)的線速度隨緯度變化規(guī)律。

解：如圖所示，設(shè)地球赤道半徑為R，緯度為δ處自轉(zhuǎn)軌跡半徑為r。

線速度（v）=■

赤道處線速度為：v赤道=■；

緯度δ處線速度為：vδ=■

又r=R?cosδ

vδ=v赤道?cosδ

δ∈0°，90°，vδ隨δ的增大而減小，因而地球自轉(zhuǎn)的線速度隨緯度的增大而減小；且當(dāng)δ=60°時(shí)，v60°=■v赤道，也就是緯度為60°時(shí)，其線速度為赤道地區(qū)的一半。

四、分類討論思想方法

分類討論是指當(dāng)問(wèn)題中所給出的對(duì)象不能進(jìn)行綜合研究時(shí)，需要研究問(wèn)題的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后每一類分別討論，最后根據(jù)各類結(jié)果進(jìn)行綜合得到整個(gè)問(wèn)題的答案，這種先進(jìn)行分類再討論，把復(fù)雜問(wèn)題“分而治之，逐個(gè)擊破”的解決問(wèn)題的思想方法就是分類討論思想。這種思想體現(xiàn)了化整為零、逐個(gè)擊破，再積零為整的數(shù)學(xué)思想，反映了研究對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，可以幫助學(xué)生總結(jié)歸納知識(shí)，提高學(xué)生思維的條理性和概括性。分類討論時(shí)需要注意的是：每次分類時(shí)必須按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；分類討論中的每一個(gè)部分要相互獨(dú)立；分類討論要注意層次，逐級(jí)進(jìn)行分類，做到不重復(fù)、不遺漏。

地理作為綜合性學(xué)科，地理事物導(dǎo)致的地理現(xiàn)象成因復(fù)雜，一個(gè)地理現(xiàn)象往往是多方面因素綜合影響形成的結(jié)果，在分析地理現(xiàn)象時(shí)往往需要考慮多方面的因素，這會(huì)給我們的思維增加難度，因而可以通過(guò)分類討論的思想，把復(fù)雜問(wèn)題分化成多個(gè)簡(jiǎn)單的小問(wèn)題。

引起分類討論的因素較多，但常見(jiàn)的類型主要有以下幾種：

（1）根據(jù)概念、公式、定理進(jìn)行分類討論；

（2）根據(jù)計(jì)算的要求進(jìn)行分類討論；

（3）根據(jù)地圖的形狀或位置變化進(jìn)行分類討論；

（4）當(dāng)條件或結(jié)論開(kāi)放時(shí)進(jìn)行分類討論；

（5）當(dāng)問(wèn)題中條件較少，需通過(guò)分類來(lái)補(bǔ)充條件時(shí)進(jìn)行分類討論。

例如，在講解三圈環(huán)流：

第一步：假設(shè)下墊面性質(zhì)均一，地球不自轉(zhuǎn)、不公轉(zhuǎn)；地球的大氣環(huán)流形式為單圈環(huán)流。

第二步：去掉地球不自轉(zhuǎn)的假設(shè)；形成了基本的三圈環(huán)流模型。

第三步：去掉地球不公轉(zhuǎn)的假設(shè)；推導(dǎo)出了氣壓帶和風(fēng)帶的季節(jié)移動(dòng)。

第四步：去掉地球下墊面性質(zhì)均一的條件；出現(xiàn)了氣壓中心。

案例三：“地球表面有適宜生命過(guò)程發(fā)生和發(fā)展的溫度條件?！?/p>

對(duì)于這句話的理解我們可以引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面去考慮：

（1）如果地球表面溫度過(guò)高，由于熱擾動(dòng)太強(qiáng)，原子根本不能結(jié)合在一起，也就無(wú)法形成分子，更不用說(shuō)復(fù)雜的生命物質(zhì)。

（2）如果地表溫度太低，分子只能以晶體存在，生命物質(zhì)也就無(wú)法形成。

五、邏輯推理思想方法

邏輯推理是根據(jù)已知的條件作出合乎邏輯的推斷，推出未知的判斷的一種思維方式。邏輯推理方式一般有三種：演繹、歸納和溯因。演繹推理主要是由前提得出必然的結(jié)論，由“前提”和“規(guī)則”推導(dǎo)出“結(jié)論”；歸納推理是從特殊到一般，借由大量的“前提”和“結(jié)論”所組成的例子來(lái)學(xué)習(xí)“規(guī)則”；溯因推理與演繹的過(guò)程相反，由“結(jié)論”和“規(guī)則”來(lái)支援“前提”，數(shù)學(xué)中常用的推理方式是演繹。在研究中，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)中學(xué)生常用的證明和推理方法有：間接證明法和直接證明法；分析法和綜合法；對(duì)比法和類比法；歸納法和演繹法。

在地理教學(xué)中，地理邏輯推理思想就是借助地理知識(shí)的相關(guān)概念，依照邏輯的規(guī)律推斷出新的地理知識(shí)的思維活動(dòng)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，是指借助地理概念，通過(guò)推理和判斷，反映和揭示地理事物的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性，從而獲得對(duì)地理現(xiàn)象的規(guī)律性認(rèn)識(shí)。地理學(xué)主要研究各種地理事物的空間分布及其成因和變化，而地理事物是相互依賴、相互聯(lián)系、相互作用的，因而在中學(xué)地理學(xué)習(xí)過(guò)程中，可結(jié)合學(xué)生已具備的地理知識(shí)基礎(chǔ)，運(yùn)用邏輯推理的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)研究諸多地理現(xiàn)象。

例如，高中地理必修一中，在探討黃赤交角的變化對(duì)地球上五帶的變化，教師可用邏輯推理的思想方法來(lái)講解：

{目前黃赤交角：23°26′；南北回歸線緯度：23°26′；極圈緯度：66°34′}

？圯{南北回歸線緯度=黃赤交角，極圈的緯度=90°-黃赤交角}

？圯{黃赤交角變大}

？圯{回歸線緯度變高，極圈的緯度變低}

？圯{溫帶將縮小，熱帶和寒帶將擴(kuò)大}

數(shù)學(xué)與地理起源相同，隨著兩個(gè)學(xué)科的發(fā)展日益壯大，學(xué)科之間可以相互借鑒、相互促進(jìn)。地理學(xué)科橫跨自然與人文兩大領(lǐng)域，具有很強(qiáng)的綜合性。在教學(xué)中，教師可以適當(dāng)借鑒其他學(xué)科的思想方法，其中數(shù)學(xué)作為科學(xué)的工具性學(xué)科，對(duì)所有自然科學(xué)學(xué)科都有促進(jìn)意義，因而在地理教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，一方面可以解決僅用地理知識(shí)難以處理的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)地理知識(shí)、發(fā)現(xiàn)地理現(xiàn)象、探究地理規(guī)律，都能起到很好的促進(jìn)作用；另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新性精神，從而培養(yǎng)符合素質(zhì)教育要求和適應(yīng)社會(huì)發(fā)展需要的綜合型人才與創(chuàng)新型人才。

本文舉例主要涉及高中地理的自然地理，有關(guān)人文地理中的很多問(wèn)題也是可以用數(shù)學(xué)思想方法解決。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想方法并非唯一的一種方式，也并非是最有效的方式。在學(xué)科教學(xué)中，還有其他學(xué)科的思想方法，教師也可以在地理教學(xué)中適當(dāng)應(yīng)用。各個(gè)學(xué)科的思想方法都是學(xué)科的精髓，學(xué)科間的相互借鑒、融會(huì)貫通，學(xué)科的綜合化是一種必然的趨勢(shì)，教師在這方面需要有敏銳的判斷力，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法：創(chuàng)新及應(yīng)用的培養(yǎng)[M].廈門大學(xué)出版社，2009.

第5篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0138

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容經(jīng)過(guò)人腦思維活動(dòng)而產(chǎn)生并存在于人腦中的一種意識(shí)，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論內(nèi)容的最根本認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的具體表現(xiàn)形式，實(shí)際上它們的本質(zhì)是相同的，差別只是數(shù)學(xué)方法站在解決問(wèn)題的角度看問(wèn)題，而數(shù)學(xué)思想是站在問(wèn)題最本源的角度去思索問(wèn)題。通常統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)特有的語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與數(shù)學(xué)思想方法不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解；有時(shí)，還能實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。例如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)有解析法、列表法、圖像法三種表示方法，相應(yīng)的數(shù)列就有通項(xiàng)公式、遞推公式、列表、圖像等表示方法，用函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題非常快捷。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題、抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題的一種重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以把未知解的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已知范圍內(nèi)可解的簡(jiǎn)單問(wèn)題。我們教師要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺(jué)的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)，這將有利于訓(xùn)練學(xué)生思維能力，使學(xué)生更聰明、更靈活、更敏捷；也有助于我們提高教學(xué)水平。

三、分類討論思想

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，對(duì)此，我們必須對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。以下是來(lái)自教材的命題：

例1. 若loga3/40且a≠1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：因?yàn)閘oga3/4

當(dāng)a>1時(shí), 函數(shù)y= logax在其定義域上遞增,則有a>3/4,故有a>1 成立。

當(dāng)0

綜上所述，a>1或0

例2. 已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}若BA，求實(shí)數(shù)a的值。

解：顯然集合A={-1，1}，對(duì)于集合B={x|ax=1}，

當(dāng)a=0時(shí)，集合B=滿足BA，即a=0；

當(dāng)a≠0時(shí)，集合B={}，而B(niǎo)A，則，=1或=-1，

得a=-1，或a=1，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為-1，0，或1。

在教學(xué)中，教師要和學(xué)生一起分析總結(jié)引起分類討論的原因主要有以下幾個(gè)方面：

①題目所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義中對(duì)底數(shù)a的要求是a>0且a≠1。這種分類討論題型可以稱為概念型。如例1。

②題目中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

③解含有參數(shù)的題目時(shí)，學(xué)生必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。例如解不等式mx>2時(shí)分m>0、m=0和m

④某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都需要通過(guò)分類討論，以保證其完整性與確定性。

在解答分類討論問(wèn)題時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的；標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的；不重不漏的科學(xué)劃分；分清主次；不越級(jí)討論；其中最重要的一條是“不重不漏”。我們的基本步驟是：首先，要確定討論對(duì)象及所討論對(duì)象的全體范圍；其次，確定分類標(biāo)準(zhǔn)并進(jìn)行正確合理的分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重；再次，對(duì)所分類別逐類進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果；最后，歸納總結(jié)得出結(jié)論。

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段、數(shù)為目的，比如運(yùn)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段、形作為目的，如解析幾何中運(yùn)用橢圓、雙曲線、拋物線的方程來(lái)精確地闡明這三種曲線的幾何性質(zhì)。

例3. 方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍()

A. 空集B. (5，9) C. (1/7，1/3)D. (5，9)∪(1/7，1/3)

解：因?yàn)榉匠蘳in((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=sin((πX)/2)和函數(shù)y=logaX的圖像有3個(gè)交點(diǎn)。

做出函數(shù)y=sin((πX)/2)在區(qū)間[0，10]的圖像，(周期為4)

當(dāng)a>1時(shí)，作出函數(shù)y=logaX的圖像，(單調(diào)遞增)因?yàn)橛?個(gè)交點(diǎn)，

所以loga51,

解得5

當(dāng)0

所以-1

解得1/7a

綜上所述，a的取值范圍是(5，9)∪(1/7，1/3)

師生共同觀察黑板上畫(huà)的圖象，很明顯地能看出a的取值范圍。

師：同學(xué)們反思一下自己的解題過(guò)程，用兩句話概括出解決本題的關(guān)鍵是什么？

生：利用函數(shù)與方程思想方法解題，關(guān)鍵是找到函數(shù)。

生：利用數(shù)形結(jié)合思想方法，找到圖像的交點(diǎn)。

師：很好。本題運(yùn)用函數(shù)思想的前提是把求方程的實(shí)根轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)。此題，我們可以體會(huì)到函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。希望在以后的解題中，同學(xué)們能敞開(kāi)思路，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用。

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙地將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，是數(shù)的問(wèn)題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化的橋梁。

第6篇：分類討論的思想方法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)；思想方法；生活實(shí)踐

引 言

傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)只是靠思想理解而體會(huì)，但若沒(méi)有相關(guān)知識(shí)指導(dǎo)，很難對(duì)抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行理解，因此使得很多學(xué)校開(kāi)始注重于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)。初中數(shù)學(xué)思想方法有很多有利之處，不但可以把抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換為直白的數(shù)學(xué)知識(shí)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力。初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，而數(shù)學(xué)思想方法則鍛煉了初中學(xué)生的思維能力，可以使學(xué)生在生活中進(jìn)行更多的知識(shí)應(yīng)用。

一、數(shù)學(xué)思想方法的概述

數(shù)學(xué)思想方法主要是把現(xiàn)實(shí)中的空間形式和數(shù)量關(guān)系反饋到學(xué)生的意識(shí)之中，使得其可以經(jīng)過(guò)大腦的思維運(yùn)動(dòng)下產(chǎn)生一種思想結(jié)果。數(shù)學(xué)思想方法是教學(xué)中常見(jiàn)的處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的辦法，其涵蓋了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一種創(chuàng)造性指導(dǎo)方針。數(shù)學(xué)思想主要是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的一種本質(zhì)理解，而數(shù)學(xué)方法是對(duì)數(shù)學(xué)思想的一種詳細(xì)化形式，這兩者在本質(zhì)上基本相似，其差異之處主要在于看待數(shù)學(xué)問(wèn)題角度不同。通常來(lái)講，數(shù)學(xué)思想方法都是有三個(gè)層次的，即低層次數(shù)學(xué)思想方法、較高層次數(shù)性方法和高層次數(shù)學(xué)思想方法，這三個(gè)層次則包含了數(shù)學(xué)的消元化、代入法、概況類比和轉(zhuǎn)化分類以及數(shù)形結(jié)合等方法，其中的高層次數(shù)學(xué)思想方法主要是概況了低層次的思想方法。

二、在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的有利之處

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法不但只是為了提高素質(zhì)教育，也是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維良好認(rèn)證能力。數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力是有很多有利之處的，其不但可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法能力，也可以使學(xué)生在新的數(shù)學(xué)知識(shí)中掌握更多的數(shù)學(xué)思想方法，使得其可以通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)建立一個(gè)個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。運(yùn)用初中數(shù)學(xué)思想方法不但有利于鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也有利于加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)能力。

三、初中數(shù)學(xué)的思想方法

（一）轉(zhuǎn)換思想方法

轉(zhuǎn)化思想方法是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，其主要是將一種思考對(duì)象轉(zhuǎn)化為另一種思考對(duì)象，目的是為了把不理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換化熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題。轉(zhuǎn)換思想方法是數(shù)學(xué)思想方法中的基礎(chǔ)思想方法，其對(duì)其他的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用是有一定的幫助的。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想方法主要表現(xiàn)在以下幾方面：

（1） 將新的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為原先學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得能對(duì)其進(jìn)行快速的理解學(xué)習(xí)，如把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)換為加法，除法轉(zhuǎn)換為乘法等。

（2） 將難以理解的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一步步簡(jiǎn)單易懂的問(wèn)題，比如將數(shù)轉(zhuǎn)化為形。

（3） 新的數(shù)學(xué)問(wèn)題不易進(jìn)行解決時(shí)，可以將其進(jìn)行新的研究，如將逆算的性質(zhì)解方程轉(zhuǎn)換為等式的性質(zhì)解方程。

（二）函數(shù)方程思想方法

函數(shù)思想主要是通過(guò)利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來(lái)去理解解決數(shù)學(xué)的問(wèn)題，方程思想則是通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解決的，函數(shù)與方程之間可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)思想方法解決問(wèn)題主要是利用函數(shù)的性質(zhì)解決的，如F（X）的奇偶性和周期性，對(duì)此初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者可以利用函數(shù)的思想方法，來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行等量的轉(zhuǎn)換，以使得其可以理解抽象化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（三）分類討論思想方法

在初中的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)有很多問(wèn)題情況，為了解決此問(wèn)題，可以對(duì)其的情況進(jìn)行分類，并根據(jù)類別進(jìn)行逐一解決，以獲得問(wèn)題的解決，這種類別分類法即為分類討論思想方法。分類討論思想方法實(shí)際上是一種邏輯性的方法，其可以將零轉(zhuǎn)化為整，也可以將整轉(zhuǎn)化為零。初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用分類討論思想較多，其主要對(duì)抽象化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行相關(guān)的分類，并在分類后對(duì)其進(jìn)行思想討論，以獲得階段性的解決成果，然后再對(duì)其進(jìn)行總的解決，使得其可以最終獲得的解決問(wèn)題方法。分類討論思想方法的這種思路，在一定程度上鍛煉了初中學(xué)生的邏輯性思維能力，有利于提高初中學(xué)生的綜合性理解能力。

（四）數(shù)性結(jié)合思想方法

初中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)主要分為三類，一類是實(shí)數(shù)和方程式這種的純數(shù)的知識(shí)，一類是幾何相關(guān)的形的知識(shí)，以及最后一類數(shù)性結(jié)合的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)形結(jié)合思想方法則是將抽象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合起來(lái)，以使得數(shù)學(xué)知識(shí)能夠簡(jiǎn)單直白的表現(xiàn)出來(lái)。初中數(shù)學(xué)主要是利用函數(shù)圖像的性質(zhì)，來(lái)對(duì)二次方程的數(shù)進(jìn)行知識(shí)解決，使得初中學(xué)生們可以更好的理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)知識(shí)。

四、初中數(shù)學(xué)思想方法在生活中的應(yīng)用實(shí)踐分析

初中進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不但只是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)，也是為了讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中，在生活中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行相關(guān)的實(shí)踐使用。初中數(shù)學(xué)為了使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，產(chǎn)生了很多的數(shù)學(xué)思想方法，這些方法對(duì)于初中的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很多有利之處，其不但能夠使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思維方法，也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使得學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中能夠熟練的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的思想方法“轉(zhuǎn)換思想方法”，此方法在實(shí)際生活中應(yīng)用性比較高，初中學(xué)生可以利用轉(zhuǎn)換思想的概念，來(lái)對(duì)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決。

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，初中的數(shù)學(xué)思想方法有很多種，如轉(zhuǎn)換思想方法、分類討論思想方法、數(shù)性結(jié)合思想方法以及函數(shù)思想等方法，這些方法的運(yùn)用在一定程度上提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)學(xué)生以后的綜合性思維發(fā)展幫助也很大。初中學(xué)生熟練的掌握數(shù)學(xué)思想方法，不但有利于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識(shí)，也有利于生活中的數(shù)學(xué)實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)：

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[2]朱中軍.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透[J].學(xué)周刊，2013，（35）：36-39.

[3]衣雪梅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究[J].中國(guó)校外教育，2013，（13）：22-26.

第7篇：分類討論的思想方法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；分類討論；思想方法

【中圖分類號(hào)】G268【文章標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1326-3587（2012）06-0102-01

數(shù)學(xué)家喬治• 波利亞說(shuō)過(guò)：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過(guò)它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，應(yīng)試教育“向”素質(zhì)教育“轉(zhuǎn)變的過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。

數(shù)學(xué)分類討論思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中，應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。分類的過(guò)程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問(wèn)題，探索規(guī)律的能力。但是分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)

每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。比如在“有理數(shù)”這一章的教學(xué)中，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí)。并能在分類討論的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對(duì)象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤。在確定對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級(jí)討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對(duì)每一子類的問(wèn)題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據(jù)某些數(shù)學(xué)概念的定義進(jìn)行分類

在初中階段的教學(xué)內(nèi)容中，一些數(shù)學(xué)概念的定義，如有理數(shù)的建立，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，兩圓的五種位置關(guān)系等等……，都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想，對(duì)涉及到分類討論思想的概念，教師在講授這些概念時(shí)要準(zhǔn)確、科學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)分類討論思想的概念有正確的認(rèn)知、理解和牢固的掌握。

例1：已知a是有理數(shù)，那么 |a| 與a的關(guān)系是（ ）

（A）|a| > a（B）|a| < a（C）|a| = a （D|a| ≥ a

分析：絕對(duì)值概念是一種需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類討論的概念

（1）當(dāng)a為正有理數(shù)或零時(shí)，|a| = a；

（2）當(dāng)a為負(fù)有理數(shù)，即a< 0時(shí)，|a|= -a > 0，|a| =-a> a．得正確答案：D。

但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，總有一部分學(xué)生會(huì)選C，究其原因，是沒(méi)弄清絕對(duì)值這一概念，認(rèn)為求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，如：|5|=5；|-7。5|=7。5；……，只要去掉絕對(duì)值里面的負(fù)號(hào)．實(shí)際上，要講清絕對(duì)值這一概念應(yīng)從絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)起，也就是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，這樣學(xué)生自然而然的會(huì)得出絕對(duì)值的三種分類討論情況。

為了使學(xué)生能牢固掌握初中數(shù)學(xué)中有關(guān)涉及到分類討論思想的概念，有時(shí)可以采用讓學(xué)生操作、分組討論、師生一起加以歸納總結(jié)，同時(shí)增加變式訓(xùn)練的教學(xué)方法。

2、根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)的適用范圍或運(yùn)算的特殊規(guī)定而分類

例2：知：（a+b）2011=-1，（a-b）2012=1，試求 a2011+b2012的值。

分析：由（a+b）2011=-1，得a+b=-1；由（a-b）2012=1，得a-b=1或-1

因此要分兩種情況進(jìn)行求解：a+b=-1，a-b=1或a+b=-1，a-b=-1，所以a2011+b2012 的值為1或-1。

3、根據(jù)字母的不同取值進(jìn)行分類

對(duì)于具體問(wèn)題，如函數(shù)、方程、不等式中的解、求代數(shù)式的值等，它們隨著題中所給字母的不同取值而變化，這時(shí)要對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。

例3：當(dāng)m=________時(shí)，函數(shù)y=（m+5）x 2m＿1 +7x-3（x≠0）是一個(gè)一次函數(shù)。

分析：（m+5）x 2m＿1可能是一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)，也可能m+5=0，因此，分三種情況討論：

（1）2m-1=1；m=1

（2）2m-1=0；m=

（3）m+5=0； m= -5

只有抓住了分類討論的動(dòng)因，把握住了分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到分類時(shí)條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，在解答問(wèn)題時(shí)就不會(huì)重復(fù)或遺漏，保證解題的準(zhǔn)確率。

4、根據(jù)某些定理或公式的限制條件進(jìn)行分類

例4：已知：等腰三角形的一條腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，則其頂角為_(kāi)_______。

分析：這個(gè)等腰三角形的高的位置可能在其內(nèi)部或外部，這條高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，某一條邊又可分為底邊或腰兩種情況，所以要對(duì)高在三角形的內(nèi)部或外部以及高是底邊或腰的長(zhǎng)度的一半進(jìn)行分類討論，最后得出頂角為30º、120º或150º。

正確解答此類問(wèn)題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能位置，緊扣條件，分類出各種符合條件的圖形．是正確解答此類分類討論問(wèn)題的關(guān)鍵，教學(xué)中應(yīng)注意對(duì)學(xué)生畫(huà)圖能力和空間想象能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生多操作、多思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，同時(shí)通過(guò)對(duì)開(kāi)放性問(wèn)題的討論，對(duì)條件的不確定性與結(jié)論多樣性的探索、猜想，充分拓展學(xué)生的思維空間，使他們的思維更深刻、廣闊、活躍。

5、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

在證明圓周角定理時(shí)，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過(guò)作過(guò)圓周角頂點(diǎn)的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來(lái)分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況，這是一種從定理的證明過(guò)程中反映出來(lái)的分類討論的思想和方法，是根據(jù)幾何圖形點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

第8篇：分類討論的思想方法范文

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，其數(shù)學(xué)思想方法是多種多樣的，以下列舉出幾種典型的初中數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

首先是符號(hào)與變?cè)乃枷敕椒ā４蠖鄶?shù)人認(rèn)為初中數(shù)學(xué)教學(xué)要做到從算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡，從實(shí)驗(yàn)幾何到推理幾何的過(guò)渡，從常量到變量的過(guò)渡，從平面到立體的過(guò)渡，從推理幾何到分析幾何的過(guò)渡以及從有限到無(wú)限的過(guò)渡等六個(gè)大過(guò)渡。其中從算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡就是從具體數(shù)字到抽象符號(hào)的過(guò)渡。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，掌握數(shù)學(xué)符號(hào)以及變?cè)乃枷敕椒仁墙虒W(xué)的目標(biāo)，也是提升符號(hào)意識(shí)的前提條件。由單個(gè)字母表示數(shù)、待定系數(shù)法等在使用過(guò)程中不斷地轉(zhuǎn)換，也是具有系統(tǒng)性的代數(shù)解題的方法。此外，字母代替數(shù)的應(yīng)用不僅僅局限于待定系數(shù)以及根與系數(shù)的關(guān)系上，還在不等式的運(yùn)算、定義區(qū)間的劃分、極值等數(shù)學(xué)問(wèn)題中得到運(yùn)用。所以說(shuō)，符號(hào)與變?cè)臄?shù)學(xué)思想方法不僅應(yīng)用次數(shù)多而且涉及范圍廣。例如，如果a，b均為有理數(shù)，且b

其次是化歸的思想方法?；瘹w的思想方法的全稱是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的思想方法。這也是初中數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的一種策略。這種思想方法與我們以往所接觸的不一樣，它不是盲目地解決問(wèn)題，而是將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，并將它與已經(jīng)解決的或者是容易解決的一些問(wèn)題歸結(jié)到一起，最后掌握解決問(wèn)題的方法。但是，在初中數(shù)學(xué)中，有些問(wèn)題會(huì)比較復(fù)雜，僅僅進(jìn)行一次化歸或許還是不能解決問(wèn)題。這時(shí)，我們可以繼續(xù)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)容易解決的問(wèn)題或者一個(gè)已經(jīng)解決了的問(wèn)題。可以說(shuō)，化歸的思想方法是初中數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中的一個(gè)最基本的方法，它可以將繁瑣的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題，將未知的條件轉(zhuǎn)化為已知的條件等。所以，在初中教學(xué)中，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到化歸思想方法的重要性，并結(jié)合相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練，不斷地讓學(xué)生可以去觀察、摸索以及探究出可以轉(zhuǎn)化問(wèn)題的方法。

例如，在解決分式方程的時(shí)候，就可以運(yùn)用化歸的思想方法，將難以解決的分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，便可以快速地求得分式方程的正確答案。

第三個(gè)是數(shù)形結(jié)合的思想方法。在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，主要研究的對(duì)象就是數(shù)與形。所以，數(shù)形結(jié)合的思想方法就是對(duì)于某一特定問(wèn)題，在分析其幾何意義的同時(shí)，也揭示了具體的代數(shù)意義。數(shù)形結(jié)合的思想方法就是借助代數(shù)分析圖形的問(wèn)題，也可以借助圖形發(fā)現(xiàn)代數(shù)間的奧秘。這樣不但可以使得代數(shù)與圖形相互補(bǔ)充，還可以使得學(xué)生們?cè)诮忸}過(guò)程中邏輯思維與形象思維完美地結(jié)合在一起。因此，數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一種思維方法。

例如，B、C為線段AD上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)是M，CD的中點(diǎn)是N， 若AD=x，BC=y，則MN等于多少？

分析：在解決這類題時(shí)，一定要想出會(huì)有幾種排列方式。在這道題中，B與C的位置就有兩種不同的情況。如下圖，在這條已知線段上，字母的排列可以是A、B、C、D，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，也可以是A、C、B、D。

這兩種不同的情況，所得出的答案也是不相同的，所以利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以將原本抽象的數(shù)學(xué)題變得具體。不但達(dá)到了事半功倍的理想效果，也避免了在考試中出現(xiàn)一些不必要的丟分情況。與此同時(shí)，利用圖形的解題方法還可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本中一些必須掌握的概念。例如，相反數(shù)、絕對(duì)值的定義等。從而減少了學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中的難度以及增強(qiáng)知識(shí)的連貫性，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定牢固的基礎(chǔ)。

第9篇：分類討論的思想方法范文

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；思想方法；教學(xué)規(guī)律

一、初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的重要之處。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，只注重知識(shí)的傳授，卻忽視數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程中的思想方法的現(xiàn)象非常普遍，它嚴(yán)重制約學(xué)生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。隨著教育改革的不斷深入，越來(lái)越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認(rèn)識(shí)到：初中數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)；另一方面，更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，形成正確的數(shù)學(xué)觀和一定的數(shù)學(xué)意識(shí)。正所謂“授之以魚(yú)，不如授之以漁”。不管他們將來(lái)從事什么職業(yè)和工作，數(shù)學(xué)思想方法，作為一種解決問(wèn)題的思維策略，都將隨時(shí)隨地有意無(wú)意地發(fā)揮作用，指導(dǎo)他們的工作和生活。

二、初中數(shù)學(xué)思想方法的主要內(nèi)容

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本最主要的有：轉(zhuǎn)化的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，分類討論的思想方法，函數(shù)與方程的思想方法等。

（一）轉(zhuǎn)化的思想方法

轉(zhuǎn)化的思想方法就是人們將需要解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一種相對(duì)容易解決的或已經(jīng)有解決方法的問(wèn)題，從而使原來(lái)的問(wèn)題得到解決。初中數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想方法。如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知等，所以說(shuō)轉(zhuǎn)化的思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種最基本的思想方法。

（二）數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、不等式、方程等表達(dá)式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的本質(zhì)上的聯(lián)系，以形直觀地表達(dá)數(shù)，以數(shù)精確地研究形?！皵?shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法。初中數(shù)學(xué)中，通過(guò)數(shù)軸，將數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，通過(guò)直角坐標(biāo)系，將函數(shù)與圖象對(duì)應(yīng)，用數(shù)形結(jié)合的思想方法學(xué)習(xí)了相反數(shù)的概念、絕對(duì)值的概念，有理數(shù)大小比較的法則，研究了函數(shù)的性質(zhì)等，通過(guò)形象思維過(guò)渡到抽象思維，使學(xué)生更易理解和掌握所學(xué)的知識(shí)，大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度。

（三）分類討論的思想方法

分類討論的思想方法就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法。初中數(shù)學(xué)從整體上看分為代數(shù)、幾何兩大類，采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn)。具體來(lái)說(shuō)，實(shí)數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類，函數(shù)的分類等，都是分類思想的具體體現(xiàn)。近年的中考?jí)狠S題都是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決都要用到分類討論的思想，可見(jiàn)分類討論的思想在初中數(shù)學(xué)中的重要地位。

（四）函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系，相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映，它的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)。用變化的觀點(diǎn)，把所研究的數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)的形式表示出來(lái)，然后用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，使問(wèn)題得以解決。如果函數(shù)的形式是用解析式的方法表示出來(lái)的，那么就可以把函數(shù)解析式看作方程，通過(guò)解方程和對(duì)方程的研究，使問(wèn)題得到解決，這就是方程的思想。在初中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題就是函數(shù)與方程思想的具體體現(xiàn)，并揭示了它們的區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生更清楚的了解和掌握了函數(shù)與方程的特點(diǎn)，從而增強(qiáng)了應(yīng)用方程與函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)規(guī)律

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，又相對(duì)超脫于某一個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)之外。對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)年齡段正是由形象思維向抽象的邏輯思維過(guò)渡的階段，雖然初步具有了簡(jiǎn)單的邏輯思維能力，但是還缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和能動(dòng)性。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，必須注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)規(guī)律。

（一）鉆研教材，將數(shù)學(xué)思想方法化隱為顯，滲透于日常教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性的使用教材，教學(xué)要基于教材又要走出教材。這就要求教師首先在備課時(shí)，要從數(shù)學(xué)思想方法的高度深入鉆研教材，數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，同時(shí)又是數(shù)學(xué)教材組織的基礎(chǔ)和起點(diǎn)。通過(guò)對(duì)概念、公式、定理的研究和對(duì)例題、練習(xí)的探討，挖掘有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，將它們由深層次的潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，由對(duì)它們的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑?、理解和掌握。只有在這種前提下，才能加強(qiáng)針對(duì)性，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。

（二）學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)，循序漸進(jìn)形成數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)知識(shí)的連接性很強(qiáng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，主動(dòng)積極建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，教學(xué)中教師要激活學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自然生長(zhǎng)出新的知識(shí)。遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

概念教學(xué)中，不要簡(jiǎn)單地給出定義，而要盡可能完整地再現(xiàn)形成定義之前的分析、綜合、比較和概括等思維過(guò)程，揭示隱藏其中的思想方法。

定理公式教學(xué)中，不要過(guò)早地給出結(jié)論。要引導(dǎo)學(xué)生親自體驗(yàn)結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，體會(huì)其中的思想方法。

在掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)的教學(xué)活動(dòng)中，要反復(fù)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，往往就是需要有意識(shí)地揭示或運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法之處；數(shù)學(xué)教材中的難點(diǎn)，往往與數(shù)學(xué)思想方法的更新交替、綜合運(yùn)用，或跳躍性大等有關(guān)。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，要適度點(diǎn)撥或明確歸納出所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）不斷鞏固積累，使數(shù)學(xué)思想方法在應(yīng)用中內(nèi)化為自覺(jué)意識(shí)