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工筆重彩人物畫教學(xué)臨摹
一、工筆重彩人物畫
古人謂：“丹青在山，民知而取之?！薄暗で唷辈粌H僅作為重彩畫顏料的種類，更是隨著歲月的推移成為中國畫的代名詞，并揭開了中國工筆重彩畫濃墨重彩的一頁?！爸夭省币辉~則第一次出現(xiàn)在唐代張彥遠(yuǎn)的《歷代名畫記》中。在清代以前，凡是設(shè)色的中國畫都被稱為重彩。其實，重彩畫的歷史淵源是久遠(yuǎn)的，最早可以追溯到原始巖畫中，更嚴(yán)格意義上的重彩畫見于馬王堆出土的漢代《西漢帛畫》。此畫勾線流暢，在棕色的絹底上涂以朱砂、石青、石綠等礦物及植物顏料，并用金粉進(jìn)行點綴，畫面精工細(xì)致，富于中國傳統(tǒng)繪畫的裝飾效果。到了魏晉南北朝時期，顧愷之將其“傳神”論賦予了他的工筆人物畫面中，《洛神賦圖》《女史箴圖》用線嚴(yán)謹(jǐn)流暢，用色艷麗沉穩(wěn)。同時期的敦煌壁畫更向后人展示了工筆重彩壁上表現(xiàn)的無限魅力。漢至魏晉的重彩畫雖不及后世精到，卻無疑為后代的工筆重彩人物畫奠定了堅實的基礎(chǔ)。唐代是工筆重彩人物畫發(fā)展的高峰。唐代重彩畫追求富麗堂皇、濃艷豐富的色彩效果，在技法的運用上極為成熟，達(dá)到了精致入微的程度，這在唐代張萱、周昉的《簪花仕女圖》《虢國夫人游春圖》中都有所體現(xiàn)。在接下來的五代，顧閎中的《韓熙載夜宴圖》更是被后世稱為工筆重彩人物傳世畫中的經(jīng)典之作。但盛唐以后，由于經(jīng)濟(jì)、政治、文化等原因，重彩畫逐漸失去了以往的尊貴地位，不過盡管勢力微弱，但其發(fā)展卻沒有中斷，這從宋、元、明的人物畫中可以看到。特別是寺觀壁畫一直繼承著重彩人物畫的優(yōu)秀傳統(tǒng)。如《永樂宮壁畫》《法海寺壁畫》便是元、明兩代壁上工筆重彩人物畫的代表之作。到了近現(xiàn)代，由于人們觀念的變化、材料的發(fā)展以及對傳統(tǒng)的挖掘，中國畫壇又將重彩人物畫推到了前所未有的高峰。當(dāng)代重彩人物畫形式多樣、技法豐富，以其強烈的現(xiàn)代氣息與色彩沖擊力扣動著欣賞者的心弦，更加符合現(xiàn)代人的審美要求。同時一大批優(yōu)秀的工筆重彩人物畫家，如蔣彩萍、唐勇力等在重彩人物畫領(lǐng)域的探索也推動著其他畫家，使得工筆重彩在當(dāng)今顯現(xiàn)出了極大的繁榮狀態(tài)，這種狀態(tài)也同時帶動了高校重彩人物畫教學(xué)的繁榮。高校工筆重彩人物畫教學(xué)是中國畫專業(yè)的必修課程。上世紀(jì)80年代后，我國各大美院及師范院校的美術(shù)專業(yè)都開設(shè)了工筆重彩人物畫課程，而且在教學(xué)方法上不斷探尋、改進(jìn)，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果。
二、工筆重彩人物畫臨摹教學(xué)
在國畫教學(xué)中，學(xué)生對工筆重彩人物畫的學(xué)習(xí)一般包括三個階段。第一是臨摹，第二是寫生，第三是創(chuàng)作。臨摹是學(xué)習(xí)者掌握繪畫基本技法的不二法門，工筆重彩人物畫也是一樣，學(xué)生只有經(jīng)過對經(jīng)典作品的臨摹研究，才能深入了解并掌握其基本技法與審美特點。在臨摹階段，對作品的臨摹又有讀畫、對臨、變臨三個臨摹的過程。
（一）臨摹的意義
首先教師及學(xué)生要對臨摹有一個深層次的理解。臨摹的目的、意義并非完全復(fù)制物象，而在于通過對優(yōu)秀作品的分析研究，熟悉工筆重彩繪畫的使用工具，學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫造型、構(gòu)圖、勾線、設(shè)色的基本方法，體會作者的思想感情與創(chuàng)作精神，并在臨摹的過程中尋求自己創(chuàng)作的靈感與技法突破。主要解決以下幾個問題：
1.感受工筆重彩人物畫的形式美感與材質(zhì)美感。（主要注重自己的感受）
2.學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫的勾線技法。（線為工筆重彩畫之骨，不同的畫面、人物運用不同的線來表現(xiàn)物象的風(fēng)格）
3.學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫的設(shè)色技法，特別是對于古代礦物色及植物色的運用方法。
4.學(xué)習(xí)工筆重彩人物畫背景、底色的處理。
5.注重對古今工筆重彩人物畫肌理技法的研究與探尋。（積累技法經(jīng)驗，探尋技法創(chuàng)新）
通過對以上幾點的思考與總結(jié)，才能更有效地達(dá)到臨摹教學(xué)的目的。
（二）臨本的選擇以及臨摹的要點
對于以往的工筆重彩人物畫教學(xué)來說，在教學(xué)中主要臨摹唐代及五代的絹本工筆重彩畫。這種臨摹雖然有助于學(xué)生把握基本的繪畫技法及重彩畫的審美特征，但在觀念上卻將學(xué)生對重彩人物畫的理解禁錮在這種形式的工筆重彩人物畫中，對于其他朝代及當(dāng)今的重彩人物畫了解甚為缺失。對當(dāng)代重彩人物畫的發(fā)展來說，有必要在臨本上有所調(diào)整。
在高校工筆重彩人物畫的臨摹教學(xué)中，可以從以下三個方面選擇臨本。
第一種為絹上工筆重彩人物畫。如《簪花仕女圖》《虢國夫人游春圖》《韓熙載夜宴圖》等，這類絹畫具有古代工筆重彩人物畫的特點，特別是在技法方面基本囊括了古代工筆重彩人物畫的繪畫技法，便于初學(xué)者全面了解與學(xué)習(xí)古代工筆重彩人物畫。唐代是工筆重彩人物畫的高峰時期，重彩人物畫由魏晉南北朝時期發(fā)展到唐代達(dá)到了很高的階段。張萱、周昉等就是其中的代表畫家。此類畫面人物造型豐滿，服飾華麗，整幅畫典雅工致。勾線上主要運用鐵線描、游絲描；畫面顏色主要以朱砂與蛤粉及一些植物色為主；在技法上，運用了分染法、罩染法、醒線、提白、托染的方法。五代時期顧閎中的《韓熙載夜宴圖》也是很好的臨本，此圖被歷代畫家視為工筆重彩人物畫的代表之作。該畫人物較多，臨摹稍有難度。畫面線條圓渾并富有變化，顏色種類較多，并善于用石色、水色的罩染來增強畫面的厚重感，特別是對石色的應(yīng)用變化豐富。每個畫面及人物的色彩處理都不同，在技法的應(yīng)用上也很多樣。在臨摹中要注意用色的協(xié)調(diào)統(tǒng)一，同時也要注意豐富的人物表情與內(nèi)心世界的表現(xiàn)。
第二種為壁上工筆重彩人物畫。壁畫是工筆重彩人物畫的另一種表現(xiàn)形式，它的承載物是墻壁或石窟，也是以線為骨，用色較為厚重，特別是經(jīng)過歲月的沉淀，顯示出剝落、風(fēng)蝕的自然肌理效果，這符合現(xiàn)代人溯古的精神追求，所以壁畫不論是對古代技法的研究還是現(xiàn)代技法的追求，都有著積極的教學(xué)意義。如《敦煌壁畫》及《永樂宮壁畫》，二者是古代工筆重彩人物畫壁上表現(xiàn)的優(yōu)秀作品，對研習(xí)壁上重彩人物畫技法及礦物色顏料的使用都有極高的價值。敦煌壁畫歷經(jīng)13個朝代，在風(fēng)格上很好地融合了西域與中原的風(fēng)格，在形成自身設(shè)色風(fēng)格的基礎(chǔ)上，又體現(xiàn)出了各個朝代不同的面貌，達(dá)到了壁上佛教工筆重彩人物畫的繪制高峰。特別是畫面中礦物色的應(yīng)用與現(xiàn)代重彩畫中礦物色的應(yīng)用一脈相承。上世紀(jì)80年代很多藝術(shù)家都是通過臨摹、研究敦煌壁畫而在藝術(shù)創(chuàng)作上達(dá)到了高峰?！队罉穼m壁畫》是文人畫興起后工筆重彩畫在民間發(fā)揚光大的優(yōu)秀之作。《永樂宮壁畫》屬道教寺觀壁畫，在繼承唐人工筆重彩畫的繪畫技法上又融匯了元代的繪畫特點。線條勻稱粗壯、勁健而富有氣勢，繼承了唐代吳道子的勾線風(fēng)格；顏色以礦物色石青、石綠、朱砂為主；在技法上以勾填法為主，并大量使用壁畫中常見的瀝粉貼金的方法。
以上兩種壁畫可以通過兩種方法進(jìn)行臨?。旱谝环N為原壁臨摹。臨摹的承載物、顏色均為原制作工具，如制作地仗層、刷底色，然后勾線、填色。這種臨摹有助于學(xué)生更好地了解壁畫的制作過程、繪制過程及顏色的運用。第二種為紙上臨摹。用托裱兩層的皮紙及礦物顏料對壁畫進(jìn)行復(fù)古臨摹。這種臨摹在基底及材料的應(yīng)用上對學(xué)生來說是比較方便的，而且便于學(xué)生研究肌理的制作，畫面效果也很好。
第三種為現(xiàn)代工筆重彩人物畫?，F(xiàn)代工筆重彩人物畫由于時代審美角度的拓寬以及顏料制作工藝的拓展，在技法以及形式上都有一定的突破，特別是在形式美感及顏料的運用上，不僅可以使學(xué)生了解工筆重彩人物畫在當(dāng)代的發(fā)展形勢 ，更可以為學(xué)習(xí)者的創(chuàng)作及創(chuàng)新提供極好的平臺。當(dāng)代工筆重彩人物畫的臨本很多，最重要的是學(xué)生要感興趣，教師不要將自己的審美觀念強加于學(xué)生，嚴(yán)格要求學(xué)生臨摹某人的作品，而是應(yīng)該采取寬松態(tài)度，讓學(xué)生自行選擇感興趣的臨本，這樣學(xué)生才能對畫面有探索的積極性。在臨摹的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)代工筆重彩人物畫畫面的構(gòu)圖形式感、色彩效果、肌理的制作進(jìn)行研究與探尋。
（三）作品的評價
在以往的教學(xué)中，教師常常以是否忠于原畫來評定學(xué)生臨摹的優(yōu)劣。特別是在臨摹的過程中教導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按照書本上所標(biāo)示的步驟及顏色進(jìn)行，忽視了學(xué)生對于臨本的理解。從教育學(xué)及心理學(xué)的角度來說，此種評價與現(xiàn)代教育評價體系是完全相悖的。現(xiàn)代美術(shù)教育注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的狀態(tài)以及對學(xué)生知識的開發(fā)，注重學(xué)生自己的想法。如在臨摹的過程中是否有探究精神，是否在臨摹研究的過程中有所創(chuàng)新，并在自己的畫里有所體現(xiàn)。如果學(xué)生在臨摹的過程中探索到了自己的表現(xiàn)形式，并可以應(yīng)用到自己的寫生、創(chuàng)作中去，這個臨摹過程無疑是有收獲的。而只是忠實于原作的效果，沒有動腦思考問題，最終的作品即使與原作相像，對于學(xué)生以后的學(xué)習(xí)也是沒有幫助的。所以教師的評價觀念要更新，這樣才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加有效。
結(jié)語
在大學(xué)美術(shù)專業(yè)教育中，教師對學(xué)生要“授之以漁”而非“授之以魚”。在現(xiàn)代工筆重彩人物畫風(fēng)的吹拂下，教師要以多元化的角度來對待傳統(tǒng)與創(chuàng)新，努力拓寬自身的知識面，在工筆重彩人物畫教學(xué)的各個方面進(jìn)行改進(jìn)，才能使工筆重彩人物畫的教學(xué)不斷進(jìn)步，使得傳統(tǒng)的工筆重彩人物畫在當(dāng)代畫壇大放異彩，也使學(xué)生在走出大學(xué)校園后更快地接受現(xiàn)代各種風(fēng)格的繪畫，做一名出色的藝術(shù)家。
（注：本文為陜西師范大學(xué)社會科學(xué)研究基金項目，項目編號：09SYB09）
參考文獻(xiàn)：
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[3]常銳倫.美術(shù)學(xué)科教育學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2002.
【關(guān)鍵詞】莫比烏斯圈；主體坐標(biāo)系；從屬坐標(biāo)系；雙重三維坐標(biāo)；非三維物體；合成運動
一、關(guān)于莫比烏斯圈
1莫比烏斯圈的形成
莫比烏斯圈是由［德國］數(shù)學(xué)家莫比烏斯先生在150年前公布于世的.
隨后，科學(xué)家就把莫比烏斯圈定位在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的拓?fù)鋵W(xué)分支里，其數(shù)學(xué)定義：單側(cè)的、閉路的、反轉(zhuǎn)定向的曲面.這樣的莫比烏斯圈最終只剩下一個“表面”和一條“邊緣”了.（見圖1下部和圖2）
2莫比烏斯圈與普通環(huán)圈不同
經(jīng)過觀察不難發(fā)現(xiàn)：普通環(huán)圈和莫比烏斯圈除了在制作方法和制作過程上完全不同以外，還表現(xiàn)在――如果在普通環(huán)圈和莫比烏斯圈的表面劃線并沿線進(jìn)行裁剪，其裁剪結(jié)果竟會完全不同.
當(dāng)對普通環(huán)圈的表面劃線并沿線裁剪時，能得到也只能得到――若干個與原圈等周長的“窄”普通環(huán)圈，而不會得到其他種類的環(huán)圈.
當(dāng)對莫比烏斯圈的表面劃線并沿線裁剪時，其裁剪結(jié)果卻有兩種：
（1）在莫比烏斯圈表面劃一條中線并沿線將該圈剪開，會得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄一半的普通環(huán)圈（見圖3）.
（2）在莫比烏斯圈表面劃2條平均分布的等距離線條并沿線條將該圈剪開，則不僅能得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄23的普通環(huán)圈，同時還能在其中心部位再得到一個單獨的、比原圈寬度窄23，且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈（見圖4）.
（以上關(guān)于莫比烏斯圈的裁剪結(jié)果已經(jīng)成為所有中外數(shù)學(xué)書籍里，對莫比烏斯圈進(jìn)行介紹的一部分）唯此，從莫比烏斯圈和普通環(huán)圈的制作方法與裁剪結(jié)果的不同可以說明，它們并不是同類物體！
二、莫比烏斯圈不是三維物體
為了證明普通環(huán)圈與莫比烏斯圈不是同類物體，下面通過兩種不同的制作和生成該兩種環(huán)圈的方法來比較并進(jìn)一步證明.
1第一種制作和生成方法
制作普通環(huán)圈的方法如前文（1以及圖1）中描述的步驟進(jìn)行.
而制作和生成莫比烏斯圈則需要通過兩個相互關(guān)聯(lián)的三維坐標(biāo)系統(tǒng)（下文稱雙重三維坐標(biāo)體系）來共同完成的.
首先，看第一個三維坐標(biāo)系（xOy）（下文稱主導(dǎo)三維坐標(biāo)系）（見圖5）.其原點位置為O，該主導(dǎo)三維坐標(biāo)系x-y平面上有一個以O(shè)為圓心的“正圓”.該“正圓”就是莫比烏斯圈表面中心位置的基本軌跡線.
其次，看第二個三維坐標(biāo)系（x′O′y′）（下稱從屬三維坐標(biāo)系）（見圖6）.該從屬三維坐標(biāo)系的原點位置為O′，處在主導(dǎo)三維坐標(biāo)系內(nèi)的“正圓”與x軸的交點上，從屬三維坐標(biāo)系內(nèi)x′―y′平面上的設(shè)定目標(biāo)可以繞O′進(jìn)行有規(guī)則運動.但該設(shè)定目標(biāo)的有規(guī)則運動必須按照主導(dǎo)、從屬兩個三維坐標(biāo)系之間相互依存，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)、位移、扭轉(zhuǎn)的特殊函數(shù)關(guān)系進(jìn)行.
必須明確的是：主導(dǎo)和從屬三維坐標(biāo)系在立體空間具體的相對位置關(guān)系上是相互平行或垂直的（見圖5，6），其中（xOy）的三個參數(shù)（xn，yn，zn）為自變量，（x′O′y′）的三個參數(shù)（x′n，y′n，z′n）為因變量，且主體和從屬三維坐標(biāo)系之間應(yīng)服從（x′，y′）=F（x，y）的對應(yīng)關(guān)系.
這就建立了具有相互依存關(guān)系的雙重三維坐標(biāo)系統(tǒng).在該系統(tǒng)里，整個從屬三維坐標(biāo)系是主導(dǎo)三維坐標(biāo)系里的一個整體運動單元，隨主體三維坐標(biāo)系做有規(guī)律的運動――公轉(zhuǎn)；而從屬三維坐標(biāo)系里運動單元自身的運動，則與主導(dǎo)運動有著嚴(yán)格的對應(yīng)受控運動關(guān)系――自轉(zhuǎn).因此，處在該系統(tǒng)內(nèi)設(shè)定目標(biāo)的最終運動形式為合成運動.（既有公轉(zhuǎn)，又有自轉(zhuǎn)）
圖7是從屬三維坐標(biāo)系整體在（xOy）x―y平面上，沿“正圓”軌跡移動的示意圖.（圖中未畫出0°~45°等處對應(yīng)圖形）
在圖8里有一個左邊帶小圓圈的“”形符號，該符號中的豎直線是一條起始于O′點，且垂直于x′軸，同時，它又是一條既平行于（xOy）z軸，也平行于（x′O′y′）y′軸的直線.另外，該符號中左邊帶小圓圈的橫線是一條既平行于（xOy）x軸，也平行于（x′O′y′）x′軸，且屬于該x′軸的一條直線，并且該直線的中點過（x′O′y′）原點坐標(biāo)O′，且垂直y′軸的直線.
下面就以圖8中“”形符號作為基本單元來描述生成莫比烏斯圈的過程：當(dāng)從屬三維坐標(biāo)系整體在（xOy）x―y平面內(nèi)繞O旋轉(zhuǎn)2°（或1°）的同時，（x′O′y′）內(nèi)x′―y′平面上過O′的直線也對應(yīng)旋轉(zhuǎn)1°（或0.5°）.當(dāng)從屬三維坐標(biāo)系整體沿（xOy）x―y平面上的基圓旋轉(zhuǎn)、位移一周（360°）回到起始點O時，左邊帶小圓圈的“”形符號也在x′―y′平面上繞O′旋轉(zhuǎn)半周（180°）回到起始位置O′，此時該符號卻正好被顛倒過來（見圖8）.如果將雙重三維坐標(biāo)體系中被逐漸位移、旋轉(zhuǎn)的“”形符號的空間中各點依次順序連接起來，就可以生成標(biāo)準(zhǔn)的莫比烏斯圈.（用“”形符號的目的是使讀者易于觀察）
由此看出：生成莫比烏斯圈必須由相互依存的雙重三維坐標(biāo)體系共同完成，單獨的三維坐標(biāo)系無法生成莫比烏斯圈.（理由一）
2第二種制作和生成方法
制作和生成普通環(huán)圈可以用下面的方式：先在主導(dǎo)三維坐標(biāo)系的x―y平面內(nèi)生成以原點O為圓心的“正圓”，然后在z軸的“正、負(fù)”方向上對“正圓”進(jìn)行拉伸，就可以制作和生成普通環(huán)圈（見圖9）.
制作和生成莫比烏斯圈可以這樣完成：以x軸和“正圓”的交點為（x′O′y′）的原點O′，將已生成的外表面是藍(lán)顏色的、內(nèi)表面是紅顏色的普通環(huán)圈剪開.
在（x′O′y′）的x′―y′平面內(nèi)，以原點O′為扭轉(zhuǎn)中心，對普通環(huán)圈的一個端頭進(jìn)行有規(guī)律的對應(yīng)扭轉(zhuǎn)，其對應(yīng)扭轉(zhuǎn)規(guī)律為：（x′O′y′）沿（xOy）在X―Y平面內(nèi)連續(xù)旋轉(zhuǎn)的同時，將（x′O′y′）內(nèi)x′―y′平面上的普通環(huán)圈肌體的對應(yīng)段進(jìn)行對應(yīng)扭轉(zhuǎn)；當(dāng)（x′O′y′）整體沿（xOy）基圓在x―y平面上旋轉(zhuǎn)、位移一周（360°）回到起始點O時，普通環(huán)圈的肌體也在x′―y′平面上繞O′扭轉(zhuǎn)半周（180°）回到起始位置O′，該環(huán)圈的肌體表面正好被翻轉(zhuǎn)過來，也就生成了莫比烏斯圈.（圖10是電腦用此法生成的莫比烏斯圈）
從圖10中可以看到：設(shè)定目標(biāo)的運動結(jié)果是由雙重三維坐標(biāo)體系中各坐標(biāo)軸參數(shù)之間相互影響、連續(xù)變化的結(jié)果.正是這個相互影響和連續(xù)變化，才使得莫比烏斯圈的肌體上根本無法找到二維、三維線段或曲線.唯此足可以證明：莫比烏斯圈不是三維物體?。ɡ碛啥?/p>
三、莫比烏斯圈是“非三維”產(chǎn)物
下面用圖5，6，7，8，9，10來進(jìn)一步證明莫比烏斯圈不是三維產(chǎn)物.
（1）在圖5的雙重三維坐標(biāo)體系中（xOy）的三個平面與（x′O′y′）的三個平面之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系.
（2）當(dāng)圖6里（x′O′y′）的x′―y′平面上y′軸的數(shù)值發(fā)生變化時，必然會影響并導(dǎo)致（xOy）的x―z平面上z軸的數(shù)值產(chǎn)生變化（其余軸類推），最終導(dǎo)致整個雙重三維坐標(biāo)體系內(nèi)所有數(shù)軸上的數(shù)值發(fā)生變化.
（3）當(dāng)圖7中（xOy）的x―y平面上，以原點O為圓心旋轉(zhuǎn)，則（x′O′y′）里z′軸上的數(shù)值就會發(fā)生變化，這就必然導(dǎo)致（xOy）里各個數(shù)軸上的各數(shù)值直接或間接參與了、或發(fā)生了變化！
（4）當(dāng)圖8中的“”形符號整體沿x―y平面上繞O旋轉(zhuǎn)360°的同時，還在x′―y′平面內(nèi)繞O′對應(yīng)扭轉(zhuǎn)180°，如果連接該符號在空間相互對應(yīng)的各個點，就會產(chǎn)生一種空間弧線.（該空間弧線不能產(chǎn)生于單獨的三維坐標(biāo)體系.因為在單獨的三維坐標(biāo)體系產(chǎn)生的空間弧線一定是某種對稱旋轉(zhuǎn)體表面的對稱母線，而該空間弧線則需經(jīng)受六個維度上的扭曲變形.）（理由三）
（5）這里假設(shè)圖9所生成的普通環(huán)圈外表面是藍(lán)顏色的，內(nèi)表面是紅顏色的.按照圖10的方式對其進(jìn)行剪斷（假設(shè)剪斷處位于從屬三維坐標(biāo)系的原點O′），將該環(huán)圈的各對應(yīng)部分在雙重三維坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)進(jìn)行有規(guī)律的繞O旋轉(zhuǎn)360°和繞O′扭轉(zhuǎn)180°，并最終回到O′.此時，該普通環(huán)圈已經(jīng)被變化成莫比烏斯圈.唯此可以證明：“非三維”物體可以由三維物體演變而來，條件是雙重三維坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)各個維度上的具體參數(shù)必須全部相互影響并參與變化.這是任何一個三維物體所無法具備的.（理由四）
由于莫比烏斯圈是在雙重坐標(biāo)體系內(nèi)生成的，當(dāng)在三維環(huán)境里對莫比烏斯圈進(jìn)行裁剪時，其被裁剪下來的部分就解除了該坐標(biāo)體系對它的“非三維”約束，其表現(xiàn)為被裁剪下來的是“窄”普通環(huán)圈；而剩余部分仍保留原“非三維”物體的基本形態(tài)，其表現(xiàn)為“窄”莫比烏斯圈.或者說：在莫比烏斯圈的肌體內(nèi)將同時存在兩種狀態(tài)――普通環(huán)圈（三維狀態(tài)）和莫比烏斯圈（“非三維”狀態(tài)），這種狀態(tài)會永久存在，且無法用人為干預(yù)的方式將其改變?。ㄏ嚓P(guān)內(nèi)容請查閱論文《莫比烏斯圈的反?，F(xiàn)象》）（理由五）
最后引述數(shù)學(xué)泰斗談祥柏先生的判斷來證明莫比烏斯圈不是三維物體.談老曾在《數(shù)學(xué)廣角鏡》P118中明確指出：在現(xiàn)實世界中克萊因瓶是無法被制造出來的！（其實該論點的本質(zhì)是：克萊因瓶不是三維物體）數(shù)學(xué)家已證明：每個克萊因瓶是由兩個莫比烏斯圈組合而成的.而莫比烏斯圈通體圓潤，渾身都是空間曲線，沒有一條二維直線、曲線以及三維直線、曲線.因此，莫比烏斯圈不是三維物體，而是“非三維”物體?。ɡ碛闪?/p>
四、結(jié)論
莫比烏斯圈不是三維物體，而是人類沒有完全認(rèn)知的“非三維”物體！
五、莫比烏斯圈里仍有未解之謎
是的，莫比烏斯圈里仍然存有許多鮮為人知的奧秘，莫比烏斯圈、莫比烏斯現(xiàn)象及其莫比烏斯原理也沒有得到學(xué)術(shù)界的認(rèn)可，但并不影響我發(fā)表一孔之見，我將在專題論文《莫比烏斯圈的反?，F(xiàn)象》和《重新認(rèn)識莫比烏斯圈》里進(jìn)一步闡述和探討莫比烏斯圈的相關(guān)問題.
當(dāng)然，提交本文的真實目的是渴望能得到您對莫比烏斯圈、現(xiàn)象和原理作出更權(quán)威的準(zhǔn)確詮釋和更睿智的思想升華！
【參考文獻(xiàn)】
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關(guān)鍵詞：學(xué)科工具；教育信息化；深度融合；全面融合
中國分類號：G434 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1673-8454（2014）15-0011-03
一、引言
知識是人類對世界的一種認(rèn)識結(jié)果，其表述結(jié)果，可以構(gòu)成從隱喻到嚴(yán)格一個譜系。美國心理學(xué)家布魯納曾說一句頗引起爭議的話：任何學(xué)科的任何原理都可以以某種形式教給任何年齡的學(xué)生。這句話的關(guān)鍵點在于“某種形式”。布魯納時代信息技術(shù)還沒有走進(jìn)教育領(lǐng)域，如今，信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)深度融合的產(chǎn)物――學(xué)科工具的開發(fā)與應(yīng)用，產(chǎn)生了越來越多的例子支持布魯納的觀點。典型的例子表明信息技術(shù)能使高深的數(shù)學(xué)題材走向小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生，使他們“各取所需”?；谶@樣的實例和認(rèn)識，我們有理據(jù)認(rèn)為，學(xué)科工具不僅推動了學(xué)科教育的發(fā)展，還對教育信息化具有重要意義。基于前期的系列研究和教學(xué)實踐[1-4]，我們以數(shù)學(xué)學(xué)科工具為切入點談?wù)剬W(xué)科工具開發(fā)的現(xiàn)實意義及前景。
二、學(xué)科工具使課程題材滿足多層次的需求
學(xué)科工具使高深的數(shù)學(xué)知識走向不同的群體。如，拓?fù)鋵W(xué)（Topology）是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)中迅速蓬勃發(fā)展的一門數(shù)學(xué)分支。直至今日，從拓?fù)鋵W(xué)所衍生出來的知識已和近世代數(shù)、分析共同成為數(shù)學(xué)理論的三大支柱。即使拓?fù)鋵W(xué)這樣高深的學(xué)科，其思想和知識也能為各種層次的學(xué)生所接受和理解。我們以莫比烏斯帶為例進(jìn)行說明。德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）1858年發(fā)現(xiàn)：把一張紙條扭轉(zhuǎn)180度后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇單面紙帶，被稱為“莫比烏斯帶”，它是一種拓?fù)鋱D形。
1.對小學(xué)生而言，從故事傳說到動手操作再到虛擬環(huán)境中的動態(tài)演示
小學(xué)生愛聽故事，莫比烏斯帶可以以故事的形式展示出來。
從前，一個小偷偷了一位農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場抓獲。小偷是縣官的兒子，縣官心里又氣又急，怎么才能讓自己的兒子免受刑罰呢？于是，縣官在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉，而在紙的反面寫了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押?？h官將紙條交給判官去辦理。判官左右為難，他不想誤判此案，但是又不敢得罪縣官，怎么辦呢？聰明的判官靈機一動，嗯，有辦法了！他手拿縣官的紙條，兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿罘诺艮r(nóng)民，關(guān)押小偷。縣官聽了勃然大怒，責(zé)問判官。判官不慌不忙地將紙條捏在手上給縣官看，縣官照著讀，確實沒錯啊，再仔細(xì)觀看字跡，也沒有涂改呀，縣官是不知紙條上其中的奧秘，無話可說，只好自認(rèn)倒霉了。
小故事中蘊含著大道理，數(shù)學(xué)家莫比烏斯幫了判官。小學(xué)生也能學(xué)習(xí)高深的數(shù)學(xué)，如今，莫比烏斯帶已經(jīng)走近了小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中。
故事當(dāng)然能激起小學(xué)生的興趣了，但小學(xué)生的智慧更在手尖上，故而在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，就要求小學(xué)生們通過涂色、折紙、剪紙等動手操作，感知莫比烏斯“魔術(shù)般的性質(zhì)”。
在沒有信息技術(shù)支持時，這樣的教學(xué)當(dāng)然很合乎時下教育專家所倡導(dǎo)的理念了；但考慮到當(dāng)下的小學(xué)生生活在數(shù)字化時代，課堂教學(xué)的方式和形式應(yīng)與時俱進(jìn)，莫比烏斯帶可以用信息技術(shù)動態(tài)地演示出來。如圖1所示。
在信息技術(shù)的支持下，小學(xué)生對思想和知識的認(rèn)知和領(lǐng)悟，從靜態(tài)走向了動態(tài)，是為學(xué)習(xí)方式的變革。這種變革的結(jié)果之一是在小學(xué)生心靈中播下探究的種子，小學(xué)生好奇，愛發(fā)問，定會有同學(xué)在心底追問，為什么線段能動起來？為什么在平面上能表現(xiàn)立體效果？雖然他們一時解決不了這些問題，但這些問題會像航標(biāo)一樣，指引他們的前進(jìn)方向。數(shù)學(xué)家陳景潤曾有一段軼事，其師沈元先生在課堂上播下了陳景潤向“哥德巴赫猜想”進(jìn)軍的種子，他年后果然開花結(jié)果。我們認(rèn)為，對小學(xué)生而言，教養(yǎng)性的教育應(yīng)優(yōu)于知識教育，小學(xué)階段不在于傳遞多少知識，更重要的能讓小學(xué)生有更多的感知和感悟。這時，用學(xué)科工具平臺營造的虛擬環(huán)境革新學(xué)習(xí)方式就顯得非常有必要了。
2.對中學(xué)生而言，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，加深對知識的理解
課件制作營造的虛擬環(huán)境使中學(xué)生通過知識運用來理解數(shù)學(xué)。中學(xué)生的心智水平發(fā)展到了形式運算階段，不應(yīng)再追求表面上的熱鬧，應(yīng)能處理假設(shè)，能進(jìn)行邏輯演繹思維。中學(xué)生要思考的問題是如何能用技術(shù)表現(xiàn)這種動態(tài)效果，動態(tài)表現(xiàn)這種效果需要哪些知識。如，要表現(xiàn)動態(tài)的莫比烏斯帶就需要有關(guān)參數(shù)方程的知識，斜二側(cè)投影的知識。這些知識原本處于不同的知識結(jié)構(gòu)體系之中，其間并沒有多少聯(lián)系，但通過課件制作這個環(huán)節(jié)，不同結(jié)構(gòu)體系間的知識發(fā)生了有機的聯(lián)系，個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因為知識間產(chǎn)生縱橫聯(lián)系而更加完善。情境認(rèn)知理論的核心思想之一就是“例中學(xué)、做中學(xué)”，根據(jù)這種觀點，制作課件能夠把不同結(jié)構(gòu)體系中的知識綜合起來，把知識當(dāng)作工具來運用，知識本身并沒有意義，只有通過在實踐中運用這些知識，才不斷改變、加深和豐富個體對知識的理解。
課件制作營造的虛擬環(huán)境使為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模開辟了新的途徑。數(shù)學(xué)知識本來不應(yīng)當(dāng)具有“去情境化、去時間化、去個人化”的特點，但是，由于各種復(fù)雜原因之故，中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幾乎蛻變成一種在符號化的形式系統(tǒng)中的操練行為。按人本主義學(xué)習(xí)理論的觀點，這樣的學(xué)習(xí)因其與個人的活動經(jīng)驗、生活經(jīng)驗沒有關(guān)系，其實是沒有意義的。中學(xué)生在小學(xué)階段就接觸過莫比烏斯帶，現(xiàn)在從建模角度重新認(rèn)識之，其意義自不言而喻，使學(xué)生對外在世界的認(rèn)知從物理感知上升到一種定量的刻畫，使之明白了心智抽象的力量。在虛擬環(huán)境中摸擬外部世界，進(jìn)行建模，使知識的學(xué)習(xí)跳出了純形式系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在面對真實的任務(wù)中，解決復(fù)雜的、非結(jié)構(gòu)良好的問題，從而活化了知識，學(xué)到了真正的知識。
3.對大學(xué)生而言，追根溯根，進(jìn)行底層設(shè)計
對大學(xué)生而言，還有更深刻的問題需要回答。如，在平面上表現(xiàn)三維立體圖形的機理是如何的？原來這里涉及到仿射變換，涉及到齊次坐標(biāo)。如上述課件的底層機理是：
把空間曲線投影到坐標(biāo)平面上，都相當(dāng)于一組變換公式，把空間點的三維坐標(biāo)變成投影點的二維坐標(biāo)。用（x，y，z）表示空間點的三維坐標(biāo)，（f，g）表示投影點的二維坐標(biāo)，u，v是兩個參數(shù)，有一個簡單的常用變換是
f=x+u*z
g=y+v*z
這個變換所表現(xiàn)的一類投影叫“斜二側(cè)類投影”。
這些在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中處于非核心地位的課程，在信息技術(shù)的驅(qū)動下，煥發(fā)了生機，逐漸發(fā)展成一門計算機圖形學(xué)。從這里可以讓大學(xué)生明白，計算機技術(shù)說到底是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀顛覆了。
三、學(xué)科工具為學(xué)科教育的發(fā)展提供了契機
楊宗凱[5]指出，21世紀(jì)的教師信息化教育能力則包括引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)與創(chuàng)意、設(shè)計開發(fā)信息時代的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和評估準(zhǔn)則、塑造信息時代的工作與學(xué)習(xí)模式、提升和塑造信息化公民責(zé)任感、從事專業(yè)發(fā)展與領(lǐng)導(dǎo)力培養(yǎng)幾個方面。然而，師范大學(xué)中的學(xué)科教育或者說教師教育，是培養(yǎng)師資主要力量之一，其生存境況卻令人擔(dān)憂。其一，學(xué)科教育的前身是學(xué)科教材教法，這在以學(xué)科科學(xué)研究為主的學(xué)科院系里，其學(xué)術(shù)價值或?qū)嵱脙r值一直不為人認(rèn)可。后來，學(xué)科教材教法發(fā)展成了學(xué)科教學(xué)論，理論性是上去了，但卻越來越虛，依然得不到以學(xué)科科學(xué)研究為主的院系的認(rèn)可；其二，學(xué)科教育教師雖然為學(xué)科院系師范生的培養(yǎng)、學(xué)科教育方向研究生的培養(yǎng)做出了較大的貢獻(xiàn)，其職稱、學(xué)術(shù)上的發(fā)展依然空間有限；其三，雖然師范院校為了破解上述窘境，成立了教師教育學(xué)院，然而上述現(xiàn)狀，依然沒有得到根本上的改觀。信息技術(shù)走向?qū)W科教育，為學(xué)科教育破解上述難題提供了新的思路。
學(xué)科教育平臺的研發(fā)為學(xué)科教育找到了新的研究方向。如，可以研究在學(xué)科工具營造的信息化環(huán)境中，學(xué)生心理的發(fā)展路徑，知識的表征形式，等等，經(jīng)過這樣的努力，就使學(xué)科教育從課程與教學(xué)論下的三級學(xué)科走進(jìn)了心理學(xué)的領(lǐng)域。心理科學(xué)雖屬于自然科學(xué)，然而對具有學(xué)科背景的學(xué)科教師來說，其跨度并不算大。還可以研究信息技術(shù)背景下的課程與教學(xué)，如，可以研究信息技術(shù)環(huán)境下知識可視化課堂教學(xué)范式的構(gòu)建，這也得到了眾多電化教育研究刊物的支持，為學(xué)科教育研究者的成長提供了合乎時代要求的新方向。
學(xué)科教育平臺的研發(fā)推動了學(xué)科課程的變化。由于學(xué)科工具的發(fā)展，使得國內(nèi)外基礎(chǔ)教育的課程發(fā)生了重大的變化。僅以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，數(shù)學(xué)課程的很多領(lǐng)域都適合使用信息技術(shù)。例如信息技術(shù)增加了“數(shù)學(xué)實驗”的可能性，可以借學(xué)科工具等對數(shù)量關(guān)系、平面與空間中的位置關(guān)系和大小度量、數(shù)據(jù)處理等進(jìn)行動態(tài)實驗，能使學(xué)生更直觀地發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性，進(jìn)而提出問題并導(dǎo)向概念或性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)。
學(xué)科教育平臺的研發(fā)為師范生提供了求職求業(yè)的工具，也促進(jìn)學(xué)科教育的發(fā)展。如果一個學(xué)科或一個專業(yè)培養(yǎng)出來的學(xué)生沒有好的出口，這樣的學(xué)科或?qū)I(yè)注定是沒有前途的。根據(jù)目前的就業(yè)形勢，凡是懂信息技術(shù)的師范生都是職場上的“香餑餑”，因為中學(xué)需要既懂技術(shù)，又懂學(xué)科的教師。
學(xué)科教育的發(fā)展離不開學(xué)科工具的支持。
四、大力發(fā)展學(xué)科工具，實現(xiàn)信息技術(shù)與教育的深度、全方面的融合
信息技術(shù)與教育深度融合，大體可以分為以下幾種類型：一是通過視音頻數(shù)字信號同步網(wǎng)絡(luò)傳輸技術(shù)，將異地視音頻實時傳遞，將本地、異地課堂融為一體，借此實現(xiàn)教育公平；還有一種是建立各種平臺或云端教室，在平臺上加載視頻、音頻、動畫等各種資源，并能進(jìn)行實時交互，為構(gòu)建混合式學(xué)習(xí)方式提供了強有力的支持；還有一種模式是開發(fā)各種與學(xué)科內(nèi)容深度融合的信息技術(shù)平臺，使學(xué)習(xí)者在使用平臺的過程能加深對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。第一種模式基于社會學(xué)的視角，以期借助信息技術(shù)之力實現(xiàn)教育公平，為教育行政管理部門提供了破解社會難題的一個路徑，因而為教育行政管理部門看好，但其傳遞的“優(yōu)質(zhì)資源”有可能是“粉筆”+“黑板”式，只不過由于執(zhí)教者的教學(xué)經(jīng)驗豐富，而被冠之以“優(yōu)秀”。第二種模式基于自主學(xué)習(xí)的模式，為學(xué)生提供了大量的資源，期望學(xué)生能發(fā)揮積極性、主動性自己建構(gòu)，主動學(xué)習(xí)，為高校所看好，因為大學(xué)生的學(xué)習(xí)，不同于中學(xué)生的學(xué)習(xí)，有大量的自主學(xué)習(xí)時間，同時，大學(xué)生也應(yīng)學(xué)會自主學(xué)習(xí)；其承載的資源雖然全是電子的，還可能是視頻的，但這些資源也有可能是傳統(tǒng)課堂的一個“翻錄”，信息技術(shù)還沒有觸及學(xué)科內(nèi)容的變化。第三種模式，由于深入了具體的學(xué)科，對課堂教學(xué)的影響最大，就目前的態(tài)勢來看，對基礎(chǔ)教育的課堂教學(xué)影響最大，但在高校由于課程眾多，難以針對每一門具體的學(xué)科開發(fā)具體的學(xué)科工具。
從上述可知，信息技術(shù)對教育的影響可以有不同的角度，不同的方式。就基礎(chǔ)教育而言，信息技術(shù)對基礎(chǔ)教育的影響，可以把三種模式都有機地融合起來，全方面地實現(xiàn)基礎(chǔ)教育的信息化?；A(chǔ)教育位于國民教育體系中的底層，對高等教育具有重要的支撐作用，如果立足于第三種模式，輔之以第二種模式，廣之以第三種模式，那么信息技術(shù)對教育的影響就是深度的、全方位的了。第三種模式是信息技術(shù)與學(xué)科課程整合的最終落腳點，我們需要大力發(fā)展學(xué)科工具，使這個落腳點能站穩(wěn)站好，全面推動我們的教育信息化。
根據(jù)何克抗[6]的觀點，教育信息化至少包括“路”、“車”、“貨”和“駕駛員培訓(xùn)”四個子系統(tǒng)：“路”和“車”涉及教育信息化的硬、軟件和基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，“貨”涉及教育資源和教學(xué)資源的開發(fā)，這三個子系統(tǒng)都用于創(chuàng)建信息化教學(xué)環(huán)境；第四個子系統(tǒng)是指經(jīng)過培訓(xùn)的教師利用這種信息化環(huán)境去達(dá)到教育信息化的最終目標(biāo)。我們有一個基本的想法，就是用學(xué)科工具來帶動師范生教學(xué)技能的發(fā)展，讓師范生學(xué)會用學(xué)科工具來設(shè)計、開發(fā)信息技術(shù)環(huán)境下的課堂教學(xué)設(shè)計，從而把“用信息技術(shù)引領(lǐng)教師教育”從理念變成切實跟進(jìn)的行動，引領(lǐng)教師教育培養(yǎng)模式的發(fā)展，提升學(xué)科教育的學(xué)術(shù)地位，推動學(xué)科教育的整體發(fā)展，為培養(yǎng)信息化背景下的教師盡綿薄之力。我們現(xiàn)在正在開發(fā)面向基礎(chǔ)教育的學(xué)科工具，涉及到的學(xué)科有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、音樂等學(xué)科，正在把上述理念變成行動，也取得了一定的成效。
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在這里，時間被實體化，橫七豎八地摞在一起，就像播放器的進(jìn)度條，可以被隨時快進(jìn)和后退。原本看不見摸不著的引力，也像琴弦一樣，在庫珀的手指尖上被任意撥弄。一切已知的物理法則，在這個奇妙的高維度空間，似乎都被徹底顛覆。
《星際穿越》是導(dǎo)演克里斯托弗?諾蘭的太空旅行史詩新作。電影描述了一個不怎么美好的未來，那時，某種“專門欺負(fù)葉綠體”的病毒，侵襲了地球上絕大多數(shù)植物，人類能種植的糧食只剩下玉米，但也處于滅絕的邊緣。
退役宇航員庫珀被征募到了NASA，執(zhí)行一個孤注一擲的任務(wù)――飛向星辰大海，尋找另一個能供人類生存的星系。
《星際穿越》是一部地地道道的硬科幻，“蟲洞”、“黑洞”，尤其是那個能把人腦袋繞暈的“五維空間”。
來看看維度到底是個啥。用幾何來類比的話，點是零維，線是一維，平面是二維，立體空間則是三維，第四個維度是時間，從理論上來說，五維則是把時間實體化的維度，六維有點像是平行宇宙，還有七維、八維、九維……
人類就是生活在三維空間里、能夠感知到四維空間的生物，對我們來說，理解比我們低的維度要容易得多，再往上想，不行，腦子不夠用了。
那么別管那些生僻的名詞了，來，先跟著我來一場簡單的維度旅行。
首先要找一根一尺長、一巴掌寬的紙帶子，把紙帶的兩端對準(zhǔn)，用透明膠帶貼上，我們就得到了一個紙環(huán)，環(huán)的外側(cè)是一個曲面，內(nèi)側(cè)是另一個曲面。拿著筆在紙環(huán)的外側(cè)面上畫線，線條跟紙環(huán)邊緣平行的話，這條線永遠(yuǎn)也畫不到內(nèi)側(cè)去。
現(xiàn)在再找一根紙帶來，這次，我們需要把紙帶的一端翻轉(zhuǎn)180°，擰成個麻花，再把兩端粘在一起。試試看在這條新的紙環(huán)上畫線吧，你會發(fā)現(xiàn)，環(huán)的內(nèi)側(cè)和外側(cè)被打通了，連成了一個曲面！
這條被命名為莫比烏斯帶的玩意兒，就是一個建立在二維空間里的三維模型。假如那個紙環(huán)上有生命的話，他們會發(fā)現(xiàn)，自己居住的世界突然被擴展了，原本看不見、到不了的地方，在空間被扭曲之后，連接在了一起。
而在電影《星際穿越》里，把四維時空“扭曲”成五維莫比烏斯帶的，是某種生活在高維度里的未知生命。對他們來說，時間“就像一個可以翻過去的山頭”，回到昨天或者前往明天，是一場可以說走就走的旅行，拎個小包就能去了。
現(xiàn)實生活中的我們，有沒有可能真的拎起小包，說走就走，來一場高維度空間的旅行？
事實上，物理學(xué)家史蒂芬?霍金曾提出過，他的宇宙模型是十一維的，在霍金看來，人類如果想描述現(xiàn)在已知的宇宙，只有長、寬、高、時間這4個未知數(shù)是不夠的，要加到11個未知數(shù)之后，宇宙的很多結(jié)構(gòu)才能得到合理的解釋。
關(guān)鍵詞：微積分；數(shù)學(xué)文化素質(zhì)
數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)，還應(yīng)該是一門藝術(shù)和一種智慧。不但是描繪和研究客觀世界的思維方式與科學(xué)語言，而且還是創(chuàng)新文化和創(chuàng)造新世界的現(xiàn)實力量。然而，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)往往只重視知識和技能，卻忽視了培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的認(rèn)識。數(shù)學(xué)文化是以數(shù)學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的精神、觀點、思維、語言以及所輻射相關(guān)文化領(lǐng)域所組成的人類文化。
大學(xué)數(shù)學(xué)不僅傳播知識，而且培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)能力。所以，大學(xué)課堂教學(xué)中融人數(shù)學(xué)文化是非常必要的，這樣不僅可以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，使其更好地適應(yīng)社會，受益終生。本文就如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素質(zhì)進(jìn)行了如下分析。
一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵
人們談起文化，往往會把其與文學(xué)、語言、文學(xué)、藝術(shù)等聯(lián)系起來，而數(shù)學(xué)卻是數(shù)量、運算、推理、抽象等的代名詞。事實上，數(shù)學(xué)文化確實是一種文化，對人們的影響無處不在，只是很多人都沒有意識到。著名的美國《科學(xué)》雜志特約主編斯蒂恩說得很明白：“數(shù)學(xué)……在人類特性和人類的歷史中，其地位不亞于語言、藝術(shù)或宗教?！睌?shù)學(xué)和其他科學(xué)藝術(shù)一樣，是人類共同的精神基礎(chǔ)，是人類智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)文化可以理解為：數(shù)學(xué)文化既體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的一面，也體現(xiàn)了文化的一面，它以數(shù)學(xué)科學(xué)知識為核心，以數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)素質(zhì)、數(shù)學(xué)教育等為有機組成部分，體現(xiàn)出一種與各種文化相互交融的關(guān)系。
二、數(shù)學(xué)文化的教育功能
數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容是廣泛的、博大的、精深的、數(shù)學(xué)文化所蘊涵的教育意義是豐富而又巨大的。數(shù)學(xué)以其獨特的思維方式、獨特的表現(xiàn)形式，與其它學(xué)科如文化藝術(shù)等一樣，具有重要的文化價值，對人的發(fā)展起著舉足輕重的作用?？梢赃@樣說：數(shù)學(xué)深刻地影響著人類的精神生活，提高與豐富了人類的整體精神文明水平。數(shù)學(xué)文化有如下教育功能：第一，可以幫助學(xué)生樹立正確的世界觀；第二，有利于思維的發(fā)展；第三，有力于科學(xué)審美觀的培養(yǎng)；第四，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神；第五，有利于學(xué)生應(yīng)有意識的培養(yǎng)。
三、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的必要性
從微積分教學(xué)的角度考慮，學(xué)習(xí)微積分，不僅要掌握其基本知識和方法，提高運算能力、抽象思維能力、應(yīng)用創(chuàng)新能力，為學(xué)習(xí)相關(guān)的學(xué)科打好基礎(chǔ)；更加要從思想高度把握微積分，認(rèn)識微積分思想中蘊涵的唯物辯證思想，認(rèn)識微積分思想背后所蘊涵的人類思維發(fā)展的曲折過程，認(rèn)識微積分思想的美學(xué)功能，認(rèn)識微積分應(yīng)用的偉大成果。學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的過程中，深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，沉淀數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，充分體會微積分的價值，感受其美學(xué)魅力，微積分的抽象難懂就不會成為學(xué)習(xí)微積分的絆腳石，而微積分所蘊涵的人文價值，也將會成為他們學(xué)習(xí)微積分的動力和目標(biāo)。
四、如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素質(zhì)
第一，加強數(shù)學(xué)史教育。數(shù)學(xué)史是一部數(shù)學(xué)理論的建構(gòu)、發(fā)展歷史，也是人類理性思維的探索歷史。教師用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情景，在課堂上介紹數(shù)學(xué)家的趣聞逸事、數(shù)學(xué)概念的起源和發(fā)展過程、古今數(shù)學(xué)方法的簡單類比等等，都可以讓學(xué)生充分感到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，在講解導(dǎo)數(shù)與微分時，可以給學(xué)生介紹第二次數(shù)學(xué)危機、導(dǎo)數(shù)符號的演變等；在中值定理教學(xué)時，可以給學(xué)生介紹拉格朗日的生平、“羅必塔法則”的由來等。
第二，開展研究性學(xué)習(xí)。研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主研究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋獲證明。在研究性學(xué)習(xí)過程中挖掘數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，適度淡化形式，突出數(shù)學(xué)文化的原創(chuàng)性，著重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。讓學(xué)生真實地感受到現(xiàn)實生活中所蘊涵的大量數(shù)學(xué)信息以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。
第三，聯(lián)系其他學(xué)科，進(jìn)行相互滲透。數(shù)學(xué)的文化意義不僅僅在于其本身和它的內(nèi)涵，更加在于它的應(yīng)用價值，只有融入大眾文化的學(xué)科才是有生命力的學(xué)科。例如，在講解極限時，教師可以說明極限思想是與哲學(xué)緊緊結(jié)合在一起的（如芝諾悖論）；在講解二次曲面時，可在課堂上讓學(xué)生準(zhǔn)備一張長方形紙帶，將紙帶一端扭轉(zhuǎn)后，再將它首尾相接而成莫比烏斯帶。告訴學(xué)生如果讓一只小螞蟻沿著紙帶爬行，那么螞蟻無須跨越它的邊緣就可以輕易地爬遍整個紙帶，即莫比烏斯帶是一個單側(cè)曲面。并同時向?qū)W生講解莫比烏斯帶在技術(shù)、藝術(shù)、體育上的應(yīng)用。
第四，理論聯(lián)系實際。牛頓、萊布尼茲當(dāng)年發(fā)明微積分是為了解決力學(xué)和幾何學(xué)中所遇到的問題，直到今天，微積分依然在生產(chǎn)實踐方面發(fā)揮著重要的作用。在微積分的實際應(yīng)用中舉例，可以通過對物理學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)與自然現(xiàn)象中許多數(shù)量變化關(guān)系分析，建立簡單的行星運動模型、人口模型、公共資源模型、經(jīng)濟(jì)問題模型等等，這些內(nèi)容將會豐富教學(xué)內(nèi)容，拓寬學(xué)生的思路和視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素質(zhì)。
在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，微積分的教學(xué)能深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價值，提升對數(shù)學(xué)文化的重視程度，意識到數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵和價值。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲透到教學(xué)重視，數(shù)學(xué)將會更加平易近人，學(xué)生就會更加理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。
參考文獻(xiàn)
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一、選擇合適內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)文化
教育家布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)的最好刺激，乃是對所學(xué)材料的興趣。要想讓學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，而不至于變成單調(diào)、枯燥的一味鍛煉思維的“體操”，那么，最好的辦法就是選擇合適的學(xué)習(xí)內(nèi)容，向?qū)W生適當(dāng)滲透，讓課堂具有“文化味”。
教學(xué)四年級上學(xué)期的四則混合運算時，學(xué)生們感覺計算題非常單調(diào)、枯燥，懶得動筆筆算，就算是筆算了，在進(jìn)位時也經(jīng)常會出錯，丟三落四，總是忘記進(jìn)位，計算結(jié)果自然也變得五花八門。面對現(xiàn)在學(xué)生計算能力的下降，老師不得不想出各種辦法，以促使學(xué)生盡量少出錯。教師都會強調(diào)讓孩子每次將進(jìn)位寫在顯眼的位置，可是總是有部分學(xué)生習(xí)慣了懶得寫，導(dǎo)致計算正確率提高的效果不是很明顯。筆者在這節(jié)課中，就嘗試使用了課本中的課外閱讀P57“你知道嗎”的格子乘法引導(dǎo)孩子嘗試另辟新途徑，因它比較簡單易行，不容易因進(jìn)位而導(dǎo)致計算錯誤。學(xué)生對這種 “鋪地錦”的方法，既感到新奇，又覺得好玩，這樣通過自學(xué)，利用小方格本，在玩樂中，不但學(xué)會了格子乘法的方法，而且四則混合運算的解題速度也得到提高，正確率也明顯提高。
二、選擇合適時機，滲透數(shù)學(xué)文化
教育面對的是活生生的孩子，絕不是一件簡單的事，它產(chǎn)生的那一刻就注定了它的復(fù)雜性和艱巨性。數(shù)學(xué)文化的滲透要潤物細(xì)無聲，讓學(xué)生在不知不覺中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，這就需要我們準(zhǔn)確把握合適時機，使學(xué)生在有意無意中接受數(shù)學(xué)文化的滲透。。
教學(xué)四年級上冊的平行四邊形和梯形中，我選用了課外閱讀的材料——神奇的莫比烏斯帶。我們知道，很多學(xué)生的幾何題，往往學(xué)得不好，主要在于想象力不夠好，懶得動手操作。為了讓孩子們發(fā)現(xiàn)動手操作后自己的偉大發(fā)現(xiàn)所帶來的成功感，我在課堂中首先利用人教版四上P77的課外數(shù)學(xué)游戲，給孩子們變了一個魔術(shù)——做了一條神奇的莫比烏斯帶。孩子們驚喜地發(fā)現(xiàn)它只有一個面（表面），和一個邊界，非常興奮。個個動手將長方形紙條像變魔術(shù)一樣的粘貼、扭轉(zhuǎn)、剪拼，體驗動手操作的過程，享受發(fā)現(xiàn)結(jié)果的美妙。這樣的游戲設(shè)計首先順應(yīng)了孩子們的天性，讓他們產(chǎn)生探究精神，然后在玩的過程中對它產(chǎn)生了更濃厚的興趣，最后的驚奇發(fā)現(xiàn)，滿足了孩子的求知欲望，從而激起了學(xué)生們喜歡數(shù)學(xué)，愛數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望，真正成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源頭活水。學(xué)生在學(xué)中玩、玩中學(xué)的同時接受了數(shù)學(xué)文化的熏陶。
三、選擇合適手段，滲透數(shù)學(xué)文化
[關(guān)鍵詞]“解決問題”教學(xué)模式數(shù)學(xué)自主解決問題
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》開篇談到，義務(wù)教育階段的基本出發(fā)點是促進(jìn)學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展。那么在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生在獲取知識過程中的自主解決問題的能力，我認(rèn)為，“意識”是先導(dǎo)，“策略”是關(guān)鍵，“能力”是目的，因此，教師首先要具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和現(xiàn)代教育的思想，讓每個孩子的學(xué)習(xí)，都能夠?qū)W有所值，學(xué)有所用，自覺地運用數(shù)學(xué)思想和方法結(jié)合身邊的事物，解決生活和學(xué)習(xí)上的實際問題。“自主解決問題”能讓學(xué)生體驗“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具”，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高學(xué)生運用知識自主解決問題的能力。
一、“解決問題”教學(xué)的現(xiàn)狀與思考
數(shù)學(xué)課的根本目的，是使所有學(xué)生獲得解決他們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降臄?shù)學(xué)問題。傳統(tǒng)的“解決問題”教學(xué)模式，不利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用，不利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和自覺性，它只強調(diào)老師講、學(xué)生聽、老師問、學(xué)生答。這樣的教學(xué)環(huán)境學(xué)生難以主動去探索，會制約學(xué)生的發(fā)展，因此，它會使課堂效果和質(zhì)量都不高。以往學(xué)生學(xué)習(xí)的材料局限于課本上所提供的一些例題、習(xí)題，要求過高、過偏，條件和結(jié)論基本上是封閉的，學(xué)生的思維無法得到有效的訓(xùn)練，對有差異的學(xué)生不能實施有差異性的教育，一些例題和習(xí)題遠(yuǎn)離學(xué)生生活實際，使學(xué)生感到很玄，感到枯燥無味，無法激起對知識的探索欲望，有的甚至對數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭煩。如何更新教學(xué)觀念?如何突現(xiàn)學(xué)生主體地位?如何培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力?如何優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)?如何保證學(xué)生自主探究的時間和空間的保證?這些都是我們急需著手解決的問題?！缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，以學(xué)生的發(fā)展為本，把課堂還給學(xué)生，保證學(xué)生自主探索的時間和空間。讓學(xué)生在獲取知識過程中的體驗解決問題策略的多樣性。就學(xué)生的發(fā)展而言，解決問題活動的價值不只是獲得具體的結(jié)論，它的意義更多是使學(xué)生在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同的策略的，每個人都應(yīng)當(dāng)有自己對問題的理解，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的基本策略，在這種鼓勵個性發(fā)揮的意義之下，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)才能成為可能。
二、“解決問題”教學(xué)模式探索與策略
獲取數(shù)學(xué)知識過程中的解決問題，大致包括四個環(huán)節(jié)：(一)感知問題，創(chuàng)境激趣；(二)自主探索，解決問題；(三)反饋信息、交流評價；(四)拓展創(chuàng)新，總結(jié)激勵。這幾個環(huán)節(jié)在不少情況下，某一步可嵌入另一步中，從而使解決問題的過程得到簡縮，或使某種特殊的解題策略得以實施。
1.感知問題，創(chuàng)境激趣
感知問題、創(chuàng)設(shè)情境，是解決問題的第一步，讓學(xué)生能結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題。提出問題是思維活動的出發(fā)點，愛因斯坦和莫樂爾德曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅僅是一個數(shù)學(xué)的或?qū)嶒灥募寄芏?，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。這就需要我們創(chuàng)設(shè)一種問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出有層次、有價值的問題，使學(xué)生原有知識與須掌握的新知識發(fā)生強烈沖突，使學(xué)生意識中的矛盾激化從而激發(fā)學(xué)生探索的興趣和產(chǎn)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動力。提出的問題才具有一定的藝術(shù)性、新穎性、趣味性，學(xué)生才具有更廣闊的思考空間。如果沒有特定的創(chuàng)設(shè)的問題情境，學(xué)生只是針對教材或教師提出的問題，做出相應(yīng)的解答，那么學(xué)生就會失去觀察、思考與猜測的機會，就會很難引起感知情景與思維創(chuàng)新的“共振”。如教學(xué)“面積的認(rèn)識”時，創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：“五一”勞動節(jié)快到了，淘氣和笑笑舉行一場勞動技能比賽。他們決定比試掃地的本領(lǐng)，于是來到校園，淘氣選擇了打掃籃球場，笑笑選擇打掃跳高場地。比賽開始了，一會兒，笑笑掃完了，她高興的跳起來說：“我第一，我第一”。你們同意笑笑得第一嗎?為什么?這是一個學(xué)生喜聞樂見的情境，吸引學(xué)生的注意力，充分調(diào)動了他們學(xué)習(xí)的興趣，由此提出了有價值的問題，也為新課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。
2.自主探索，解決問題
這是學(xué)生獲取知識過程中自主探索、自主解決問題的中心環(huán)節(jié)。教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識結(jié)構(gòu)的特征，結(jié)合學(xué)生提供盡可能的材料信息，留足思維的時空，組織學(xué)生通過有目的的操作、觀察、交流、討論等方法自主解決問題，自動建夠自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)問題的類型較多，那么解決的方法也不是唯一的。嘗試從不同角度、不同的思路去考慮，尋求解決問題的最佳途徑，這也是學(xué)生思維靈活性、開放性的一種表現(xiàn)。諸如數(shù)學(xué)中的非常規(guī)問題、開放性問題和現(xiàn)實生活中的實際數(shù)學(xué)問題，都值得讓學(xué)生尋找其解決的辦法和策略，這樣能開闊學(xué)生的思路，使學(xué)生了解現(xiàn)實生活中各種數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性、多樣性是有益的。例如：如果給你10元錢，可以買回多少千克蘋果?這道缺少條件的應(yīng)用題，似乎更接近生活實際，可以讓學(xué)生自己去水果店了解蘋果售價再計算，把錢用完或剩余一點都可以。學(xué)生問到的單價不盡相同恰恰反映了市場經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)實狀況。要是由此引起討論：追求量多還是質(zhì)好?偏遠(yuǎn)地區(qū)價低合算嗎?那么這里的收獲可就更大了。
3.反饋信息，交流評價
在自主探索的基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生提供充分表達(dá)自己見解的機會，闡述自己得出的結(jié)論探究過程及疑難問題，然后根據(jù)學(xué)生反饋信息，組織引導(dǎo)學(xué)生通過個體發(fā)言、小組討論、辯論等多種形式進(jìn)行辨析評價，使學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定和完善。同時也是對問題解決的策略、方法進(jìn)行總結(jié)。學(xué)生不是一張白紙，即使是低年級的兒童也存在著豐富的生活體驗和知識積累，同時，每位學(xué)生都有自己的生活背景、家庭環(huán)境，這種特定的生活和社會氛圍，導(dǎo)致不同的學(xué)生有不同的思維方式和解決問題的策略。因而在解決問題的過程中，多鼓勵學(xué)生和別人進(jìn)行交流，使學(xué)生體會到與他人合作的重要性。
4.拓展創(chuàng)新，總結(jié)激勵
依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生在學(xué)習(xí)中的存在的問題，教師挖掘并提供創(chuàng)新素材，設(shè)計有針對性、代表性的練習(xí)題組(基本題、變試題、拓展題、開放題)讓學(xué)生在解決這些問題的過程中，進(jìn)一步理解，鞏固新知，訓(xùn)練思維的靈活性、敏捷性、創(chuàng)造性，使學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力得到進(jìn)一步的培養(yǎng)與提高，激勵學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中善于思考，大膽發(fā)現(xiàn)。
三、“解決問題”教學(xué)模式的實踐與反思
我們的學(xué)生幾乎天天都在“解題”，但《標(biāo)準(zhǔn)》所關(guān)注的“解決問題”并不等同于這些解題活動，這里所說的問題既可以是純粹的數(shù)學(xué)題，也可以是以非數(shù)學(xué)題形式呈現(xiàn)的各種問題。但無論是什么類型的問題，其核心都需要學(xué)生通過“觀察、思考、猜測、交流、推理”等富有思維成分的活動才能夠解決的。這一模式的操作，是以“創(chuàng)境激趣”為關(guān)鍵，以“解決問題”為核心，以“自主探索”為主線展開的多維合作活動，這里蘊涵著以人的發(fā)展為宗旨的教學(xué)觀，以民主為基礎(chǔ)的師生觀，以自主為手段的方法觀，以提高素質(zhì)為本的質(zhì)量觀的模式特征。
1.在問題情境中，激發(fā)學(xué)生主動參與解決問題
發(fā)現(xiàn)和探索是兒童在精神世界中的一種特別強烈的需要。在教學(xué)中依托情境，引導(dǎo)學(xué)生自己去尋找知識，尋找解決問題的方法，進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)。比如教學(xué)“年、月、日”時，我們創(chuàng)設(shè)問題情景，“同學(xué)們喜歡過生日嗎?”學(xué)生都高興地回答：“喜歡”，接著又問幾個學(xué)生：“你幾歲了?過了幾個生日?”一般的人有幾歲，就會過幾個生日，可是小強滿12歲時，只過了三個生日，這是為什么呢?你們想不想知道其中的秘密?學(xué)生聽了，個個都情緒高漲，一種強烈的求知欲望油然而生，這時老師抓住學(xué)生迫切求知心理，及時引導(dǎo)他們進(jìn)入新課，這樣就很自然地為學(xué)生自主探索，解決問題營造了氛圍。
在“解決兩步計算的數(shù)學(xué)問題”教學(xué)中，老師不再按傳統(tǒng)那樣先給一個例題，然后幫學(xué)生去分析第一步求什么，第二步求什么；或要求什么，必須先求什么等等，而是讓學(xué)生自己先根據(jù)所提供的超市水果市場的情景去發(fā)現(xiàn)，提出數(shù)學(xué)問題，然后讓學(xué)生根據(jù)已有的知識獨立思考，再參與到小組去與別人交流，看看別人怎么想，別人的方法與自己有什么不同，小組同學(xué)比一比，看誰做得好，之后再全班進(jìn)行交流，這樣學(xué)生通過自己的思考以及學(xué)生的交流，新的解決問題的方法一步一步地在自己腦海中構(gòu)建起來。當(dāng)學(xué)生新知構(gòu)建以后，教師便要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生加強新知的鞏固與應(yīng)用，因此，老師出示了超市的其它商品情況表，讓學(xué)生自選一些自己喜歡的商品，根據(jù)所提供的信息，去提一些兩步計算的數(shù)學(xué)問題，這不僅將新的知識進(jìn)行運用，還又一次提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，真正提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性。
2.主動探索，增強學(xué)生的主體意識
美國心理學(xué)家布鯤內(nèi)認(rèn)為，知識的獲得是一個主動的過程，學(xué)習(xí)者不應(yīng)是信息被動者，而應(yīng)是知識獲得過程的主動參與者。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，因此，我們教師應(yīng)鼓勵學(xué)生運用已有的知識主動大膽地聯(lián)想、推測、探索，從不同角度去驗證實踐尋找解決思路，引導(dǎo)學(xué)生獨立獲取解決問題的策略和思想方法。
我們都知道莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發(fā)現(xiàn)一個副產(chǎn)品。目前，“莫比烏斯帶”已被作為“了解欣賞的有趣圖形”之一，寫進(jìn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，編進(jìn)了新世紀(jì)(版)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書第十冊。為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)和積極性，拓展學(xué)生的思維，擴大學(xué)生的知識面，我將“神奇的莫比烏斯帶”的問題，用于五年級數(shù)學(xué)課外知識。首先拿一張白紙，問學(xué)生有幾條邊?幾個方面?“老師會把它變成只有兩條邊、兩個面、你行嗎?”展開操作與嘗試，通過實踐，學(xué)生還沒感覺神奇在哪兒?！澳氵€能把它變成一條邊、一個面嗎?”學(xué)生大膽地嘗試，實踐出真理。如果沿中間一條線把這個神奇的圈剪開，會怎樣?學(xué)生又一次大膽猜想。實踐驗證，體會著這其中的奧妙與神奇。如果沿三分之一線剪，是否和上面出現(xiàn)的結(jié)果相同呢?通過學(xué)生親手實踐，驗證了自己的猜想，讓學(xué)生感受到了莫比烏斯的變幻莫測、神奇無比。學(xué)生在經(jīng)歷其出乎意料的變化過程中，通過動手操作，與人合作，尋求解決問題的辦法驗證自己的猜測，主動探索。
3.拓展變化，增強學(xué)生的應(yīng)用意識
數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是一種基本觀點和態(tài)度，它指的是從數(shù)學(xué)角度思考、解釋、轉(zhuǎn)化表示事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一種自覺意識。強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，不全是回到測量、制圖、計算等數(shù)學(xué)活動，而是培養(yǎng)一種應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決問題的欲望和方式，把實際問題轉(zhuǎn)化(抽象)為數(shù)學(xué)問題。
例如：地球地赤道是一圓角，假如赤道上緊箍著一圈鋼纜，現(xiàn)在要把這圈鋼纜放松，使它遠(yuǎn)離地面有1米高，這樣，鋼纜必須再接一段上去，這段增加的長度應(yīng)該是多少米?
這個問題無法實際操作，如果查資料，查到地球赤道的周長或地球的半徑，進(jìn)行大數(shù)目的計算，就要花許多無效勞動(根本就不需要知道地球的半徑或周長)。我們把它抽象為數(shù)學(xué)問題，這個問題就是：有大小兩個圓，它們的圓心重合，半徑差是1米，求兩個圓的周長差?解：設(shè)小圓半徑為r得：2π(r+1)-2πr=2π=⒍28(米)。解答方法十分簡便。
【摘要】當(dāng)前教育下，由于受應(yīng)試教育的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計還僅僅停留在知識層面及教師對利用數(shù)學(xué)作業(yè)培養(yǎng)學(xué)生能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，對學(xué)生能力培養(yǎng)關(guān)注不夠等問題，因此在以人為本的新數(shù)學(xué)教育觀下，研究小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)有效性就急具有現(xiàn)實意義。在新形勢和新理念下，我們應(yīng)具備什么樣的作業(yè)觀，如何將作業(yè)發(fā)揮其最大的有效性，都將直接影響數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)作業(yè)； 有效性
隨著數(shù)學(xué)教育觀念的不斷更新，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及作業(yè)布置上正在發(fā)生著重大的變化。如何設(shè)計作業(yè)，既能減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，又能促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的全面發(fā)展呢？
在小學(xué)數(shù)學(xué)的作業(yè)設(shè)計中，積極實施多樣的數(shù)學(xué)作業(yè)形式，可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的主體意識，給學(xué)生提供自我表現(xiàn)的機會，技法學(xué)生的創(chuàng)新意思，變“要我做”為“我要做”讓學(xué)生成為作業(yè)的主人，學(xué)習(xí)的主人，進(jìn)而逐步改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。經(jīng)過近幾年的教學(xué)實踐，我認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)的作業(yè)設(shè)計應(yīng)遵循以下一些原則。
1 趣味設(shè)計，樂中求知
托爾斯泰曾經(jīng)說過：“成功的教學(xué)需要的不是強制，而是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！迸d趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的推動力，興趣是 成功的 老師。那么設(shè)計怎樣的作業(yè)才能緊緊拽住學(xué)生的心，鞏固教師向?qū)W生傳授的知識點呢？我認(rèn)為教師需要設(shè)計更具有趣味性的作業(yè)，讓學(xué)生愿做。
在小學(xué)生的眼里，那些新穎、生動、靈活多變的事物往往更容易引起的興趣，促使他們的思維始終處于積極狀態(tài)，產(chǎn)生強烈的求知欲，使其進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)。根據(jù)這一規(guī)律，我們在設(shè)計作業(yè)時，就應(yīng)該多設(shè)計一些具有童趣性和親近性的作業(yè)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生成為一個樂學(xué)者。
如：在設(shè)計“認(rèn)識人民幣”題目時，我讓學(xué)生自己去超市，自己去付錢、生找錢。還有進(jìn)行“分?jǐn)?shù)加減法”時，利用多美滋的一則奶粉廣告――“分蛋糕”使學(xué)生對分?jǐn)?shù)有的更深的了解，并鞏固的加減法的知識，這樣使原來枯燥、乏味的計算現(xiàn)象，變成具有趣味的游戲性、故事性的作業(yè)，讓學(xué)生在輕松、快樂的氣氛中學(xué)會小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計算方法和技能，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
2 生活設(shè)計，追溯本源
《課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)從學(xué)生己有的生活經(jīng)驗和知識出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)課本的編排也極力貼近生活，寓于生活，用于生活。本著這一目的，我們在作業(yè)的設(shè)計上，應(yīng)把數(shù)學(xué)作業(yè)與學(xué)生的生活實際相結(jié)合，常布置一些與學(xué)生生活息息相關(guān)的作業(yè)，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的能力，讓所學(xué)的知識得到應(yīng)用拓展與延伸。例如，在學(xué)習(xí)完 “合理安排時間”這節(jié)知識后，我讓學(xué)生合理安排自己早上起床后的時間，怎么樣設(shè)計才可以最節(jié)省時間，同學(xué)們興趣盎然，參與熱情高漲，很積極的就完成了這項作業(yè)。
3 實踐設(shè)計，張揚個性
數(shù)學(xué)來源于生活，又作用于生活。課堂教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)“小課堂，大社會”的理念，基于這種理念，好的作業(yè)就應(yīng)該有助于學(xué)生實踐能力的形成和發(fā)展。當(dāng)學(xué)生面臨生活中的實際問題時，能夠主動從數(shù)學(xué)的角度入手，利用數(shù)學(xué)的思想方法尋求解決實際問題的方法。
學(xué)以致用，要把學(xué)到的知識應(yīng)用到生活中來，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識能力的最有效途徑。為此，進(jìn)行作業(yè)設(shè)計時，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)歷和認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)一些生活性的實際問題，讓學(xué)生嘗試從教學(xué)角度運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法尋求解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的價值，認(rèn)識到生活中處處有數(shù)學(xué)，生活離不開數(shù)學(xué)，并逐步成為一個知識的實踐者。
學(xué)完“平行四邊形”之后，我另外又給學(xué)生介紹了一個小知識：“神奇的莫比烏斯帶”，起初我是用一個魔術(shù)來引入這個神奇的小紙帶，然后讓學(xué)生在一次次的猜想，一次次的動手去驗證的過程中，不但是他們鞏固的平行四邊形的有關(guān)知識，同時也感嘆數(shù)學(xué)的奇妙，特別是當(dāng)學(xué)生知道，莫比烏斯帶在我們生活中其實應(yīng)用十分廣泛的時候，更是體會到數(shù)學(xué)和日常生活之間的緊密聯(lián)系，從而體會到數(shù)學(xué)的內(nèi)在價值。
再例如《認(rèn)識千米》之后設(shè)計“體驗1千米”和“調(diào)查1千米”的作業(yè)?！绑w驗1千米”要求學(xué)生實際走一走 100米 大約多少步，在實際走一走 1千米，感受 1千米 的長度，并且記錄出自己走 1千米 大約需要多長時間?！罢{(diào)查1千米”要求學(xué)生網(wǎng)上搜索并記錄出3條關(guān)于千米的信息。這樣從體驗和調(diào)查兩個方面入手讓學(xué)生對“千米”有了具體的感性認(rèn)識，讓學(xué)生在鮮明具體的體驗中鞏固了所學(xué)知識。
4 差異設(shè)計，各取所需
由于受天賦、家庭、教育等各方面的影響，學(xué)生之間的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力的差異是客觀存在的。如果讓有差異的學(xué)生做無差異的作業(yè)，必然會造成一些學(xué)生“吃不飽”，一些學(xué)生“不夠吃”的現(xiàn)象。因此，在數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計上，我們不能搞“一刀切”，應(yīng)從學(xué)生的實際情況出發(fā)，針對學(xué)生的個體差異設(shè)計不同的作業(yè)，使我們的教學(xué)面向全體學(xué)生，讓不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到不同的發(fā)展。
小朋友，帶上你一段時間的學(xué)習(xí)成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!
一、認(rèn)真思考，細(xì)心填空（共23分）
(共11題；共23分)
1.
（5分）汽車每小時行駛_______千米，飛機每小時行駛_______千米。
A.60
B.200
C.700
2.
（1分）校乒兵球隊中男生的人數(shù)是女生的9倍，男生的人數(shù)在50人至60人之間，男生有_______人。
3.
（1分）在一張長是20厘米，寬是15厘米的長方形紙里剪一個最大的正方形，這個正方形的面積是_______平方厘米，剩下的圖形周長是_______厘米。
4.
（1分）27÷8=3……_______???????????32÷_______=6……2
5.
（2分）用4，8，6組成的最大三位數(shù)是_______，最小三位數(shù)是_______，它們的和是_______，差是_______。
6.
（1分）一列火車10：30出發(fā)，走了45分鐘，它_______到達(dá)；小紅走路上學(xué)7：15分出門，7：40到校，他上學(xué)時間是_______分。
7.
（6分）在橫線上填上“＞”“＜”成“=”。
704+206_______900
410-198_______200
762-568_______200
130×5_______650
497×3_______1500
402×5_______2000
_______
30毫米_______3分米
2小時_______100分
8.
（2分）在下圖中涂出
_______，它的分?jǐn)?shù)單位是_______，有_______個這樣的分?jǐn)?shù)單位。
9.
（1分）有六張撲克牌，2，3，4點的各兩張，任意摸起兩張，兩張撲克牌上的點數(shù)和有_______種可能情況。
10.
（2分）一個正方形的周長是12分米，邊長是_______分米，面積是_______平方分米．
11.
（1分）把一個蛋糕平均分成8塊，小明吃了3塊，小明吃了這塊蛋糕的
_______，剩下的爸爸吃了，爸爸吃了這塊蛋糕的
_______。
二、請你判一判。
（5分）
(共5題；共5分)
12.
（1分）
圖中的陰影部分可以用
來表示。（
）
13.
（1分）時、分，秒中秒的單位最小，但是秒針走得最快。
14.
（1分）一噸鐵和1噸棉花同樣重。（
）
15.
（1分）一張單人課桌長約65厘米。
16.
（1分）下面卡片上兩個數(shù)的和是632。（
）
三、快樂ABC，請你選一選。
（5分）
(共5題；共5分)
17.
（1分）340與100的差除以25與5的和，商是多少？列式為（
）
A
.
（25+5）÷（340﹣100）
B
.
340﹣100÷25+5
C
.
（340﹣100）÷（25+5）
18.
（1分）如圖，靠墻圍成一個長方形的面積是x平方厘米，長是15厘米，則這個長方形的周長是（
）厘米．
A
.
x÷15×2+15
B
.
（x÷15+15）×2
C
.
x÷15×2
D
.
15
x÷2
19.
（1分）天天用兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個長方形和一個正方形。圍成的正方形邊長為6厘米，那么圍成的長方形的周長是（
）厘米.
A
.
6
B
.
36
C
.
24
D
.
48
20.
（1分）養(yǎng)雞專業(yè)戶賣出公雞98只，還有公雞87只，母雞的只數(shù)是原有公雞的5倍，養(yǎng)雞專業(yè)戶有母雞多少只？正確列式是（
）
A
.
（98＋87）×5
B
.
98＋87×5
C
.
98×5＋87
D
.
98×(5＋87)
21.
（1分）如圖，將莫比烏斯帶沿虛線剪開，得到（
）.
A
.
一條長紙條
B
.
兩個套在一起的紙環(huán)
C
.
兩個分開的紙環(huán)
D
.
一個大的紙杯
四、細(xì)心計算（27分）
(共2題；共27分)
22.
（15分）直接寫出得數(shù)。
90÷3=
17×3=
=
67×0+25=
8T-3000kg=
12×5=
48÷4=
=
84-84÷4=
1500kg+2500kg=
23.
（12分）列豎式計算，帶“”的要驗算。
①433+539
②629-358
③199＋714
④806-307
⑤527+271
⑥1000-456
五、畫筆顯神通。
（12分）
(共2題；共12分)
24.
（6分）在圖中涂色表示它下面的分?jǐn)?shù)。
25.
（6分）畫一個周長16厘米的正方形和一個周長20厘米的長方形。
六、解決問題小能手。
（共28分）
(共5題；共28分)
26.
（5分）某學(xué)校有男生959人，女生的人數(shù)比男生的人數(shù)多41人，全校一共有多少個學(xué)生？
27.
（5分）①號與②號長方形的面積相等，①號每個小正方形的面積是50平方厘米，那么②號每個小正方形面積是多少平方厘米？
28.
（5分）大船有8只，小船的只數(shù)是大船的4倍，
?
（先補充問題，再解答）
29.
（5分）李冬看一本120頁的書，第一天看了20頁，第二天看了25頁，兩天共看了全書的幾分之幾？
30.
（8分）一個操場長200米，寬100米，小英每天圍操場跑兩圈，一共跑了多少米？
參考答案
一、認(rèn)真思考，細(xì)心填空（共23分）
(共11題；共23分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、請你判一判。
（5分）
(共5題；共5分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、快樂ABC，請你選一選。
（5分）
(共5題；共5分)
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
四、細(xì)心計算（27分）
(共2題；共27分)
22-1、
23-1、
五、畫筆顯神通。
（12分）
(共2題；共12分)
24-1、
25-1、
六、解決問題小能手。
（共28分）
(共5題；共28分)
26-1、
27-1、
28-1、