前言:一篇好文章的誕生,需要你不斷地搜集資料、整理思路,本站小編為你收集了豐富的數(shù)學(xué)高三總結(jié)主題范文,僅供參考,歡迎閱讀并收藏。
2021年高三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)有哪些?高三數(shù)學(xué)一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。對于高考生來說,總結(jié)高三的知識點(diǎn)非常重要。共同閱讀2021年高三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié),請您閱讀!
高三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)1.對于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的確定性、互異性、無序性。
中元素各表示什么?
注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3.注意下列性質(zhì):
(3)德摩根定律:
4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)
的取值范圍。
6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么?
(互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。)
原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。
7.對映射的概念了解嗎?映射f:AB,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性,哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射?
(一對一,多對一,允許B中有元素?zé)o原象。)
8.函數(shù)的三要素是什么?如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同?
(定義域、對應(yīng)法則、值域)
9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型?
10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域?
義域是_____________。
11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí),注明函數(shù)的定義域了嗎?
12.反函數(shù)存在的條件是什么?
(一一對應(yīng)函數(shù))
求反函數(shù)的步驟掌握了嗎?
(①反解x;②互換x、y;③注明定義域)
13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些?
①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;
②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性;
14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?
(取值、作差、判正負(fù))
如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?)
15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性?
值是( )
A.0B.1C.2D.3
a的最大值為3)
16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?
(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)
注意如下結(jié)論:
(1)在公共定義域內(nèi):兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。
17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎?
函數(shù),T是一個(gè)周期。)
如:
18.你掌握常用的圖象變換了嗎?
注意如下翻折變換:
19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎?
的雙曲線。
應(yīng)用:①三個(gè)二次(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系二次方程
②求閉區(qū)間[m,n]上的最值。
③求區(qū)間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
由圖象記性質(zhì)! (注意底數(shù)的限定!)
利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么?
20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎?
21.如何解抽象函數(shù)問題?
(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)
22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎?
(二次函數(shù)法(配方法),反函數(shù)法,換元法,均值定理法,判別式法,利用函數(shù)單調(diào)性法,導(dǎo)數(shù)法等。)
如求下列函數(shù)的最值:
23.你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎?
24.熟記三角函數(shù)的定義,單位圓中三角函數(shù)線的定義
25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎?并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎?
(x,y)作圖象。
27.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面先求出某一個(gè)三角函數(shù)值,再判定角的范圍。
28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時(shí),你注意(到)運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎?
29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎?
(平移變換、伸縮變換)
平移公式:
圖象?
30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎?
奇、偶指k取奇、偶數(shù)。
A.正值或負(fù)值B.負(fù)值C.非負(fù)值D.正值
31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎?
理解公式之間的聯(lián)系:
應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求:項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少,分母中不含三角函數(shù),能求值,盡可能求值。)
具體方法:
(2)名的變換:化弦或化切
(3)次數(shù)的變換:升、降冪公式
(4)形的變換:統(tǒng)一函數(shù)形式,注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。
32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎?如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化,而解斜三角形?
(應(yīng)用:已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。)
33.用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。
34.不等式的性質(zhì)有哪些?
答案:C
35.利用均值不等式:
值?(一正、二定、三相等)
注意如下結(jié)論:
36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?
(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)
并注意簡單放縮法的應(yīng)用。
(移項(xiàng)通分,分子分母因式分解,x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)
38.用穿軸法解高次不等式奇穿,偶切,從最大根的右上方開始
39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論
40.對含有兩個(gè)絕對值的不等式如何去解?
(找零點(diǎn),分段討論,去掉絕對值符號,最后取各段的并集。)
證明:
(按不等號方向放縮)
42.不等式恒成立問題,常用的處理方式是什么?(可轉(zhuǎn)化為最值問題,或問題)
43.等差數(shù)列的'定義與性質(zhì)
0的二次函數(shù))
項(xiàng),即:
44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)
46.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎?
例如:(1)求差(商)法
解:
[練習(xí)]
(2)疊乘法
解:
(3)等差型遞推公式
[練習(xí)]
(4)等比型遞推公式
[練習(xí)]
(5)倒數(shù)法
47.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎?
例如:(1)裂項(xiàng)法:把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和,使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。
解:
[練習(xí)]
(2)錯(cuò)位相減法:
(3)倒序相加法:把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加。
[練習(xí)]
48.你知道儲蓄、貸款問題嗎?
零存整取儲蓄(單利)本利和計(jì)算模型:
若每期存入本金p元,每期利率為r,n期后,本利和為:
若按復(fù)利,如貸款問題按揭貸款的每期還款計(jì)算模型(按揭貸款分期等額歸還本息的借款種類)
若貸款(向銀行借款)p元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利),那么每期應(yīng)還x元,滿足
p貸款數(shù),r利率,n還款期數(shù)
49.解排列、組合問題的依據(jù)是:分類相加,分步相乘,有序排列,無序組合。
(2)排列:從n個(gè)不同元素中,任取m(mn)個(gè)元素,按照一定的順序排成一
(3)組合:從n個(gè)不同元素中任取m(mn)個(gè)元素并組成一組,叫做從n個(gè)不
50.解排列與組合問題的規(guī)律是:
相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優(yōu)先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可采用隔板法,數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。
如:學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績
則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是( )
A.24B.15C.12D.10
解析:可分成兩類:
(2)中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等
相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來,分別有3,4,3種,有10種。
共有5+10=15(種)情況
51.二項(xiàng)式定理
性質(zhì):
(3)最值:n為偶數(shù)時(shí),n+1為奇數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第
表示)
52.你對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件):A與B不能同時(shí)發(fā)生叫做A、B互斥。
(6)對立事件(互逆事件):
(7)獨(dú)立事件:A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。
53.對某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法,即
(5)如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生
如:設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)從中任取2件都是次品;
(2)從中任取5件恰有2件次品;
(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),n=103
而至少有2件次品為恰有2次品和三件都是次品
(4)從中依次取5件恰有2件次品。
解析:一件一件抽取(有順序)
分清(1)、(2)是組合問題,(3)是可重復(fù)排列問題,(4)是無重復(fù)排列問題。
54.抽樣方法主要有:簡單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí),它的特征是從總體中逐個(gè)抽取;
系統(tǒng)抽樣,常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí),它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一個(gè);分層抽樣,主要特征是分層按比例抽樣,主要用于總體中有明顯差異,它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。
55.對總體分布的估計(jì)用樣本的頻率作為總體的概率,用樣本的期望(平均值)和方差去估計(jì)總體的期望和方差。
要熟悉樣本頻率直方圖的作法:
(2)決定組距和組數(shù);
(3)決定分點(diǎn);
(4)列頻率分布表;
(5)畫頻率直方圖。
如:從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽,如果按性別分層隨機(jī)抽樣,則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。
56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎?
(1)向量既有大小又有方向的量。
在此規(guī)定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。
(6)并線向量(平行向量)方向相同或相反的向量。
規(guī)定零向量與任意向量平行。
(7)向量的加、減法如圖:
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一組基底。
(9)向量的坐標(biāo)表示
表示。
57.平面向量的數(shù)量積
數(shù)量積的幾何意義:
(2)數(shù)量積的運(yùn)算法則
58.線段的定比分點(diǎn)
.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎?
59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎?
平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化:
高中數(shù)學(xué)最易混淆知識點(diǎn)歸納1.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí),不要忘了全集和空集的特殊情況,不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解.
2.在應(yīng)用條件時(shí),易A忽略是空集的情況
3.你會用補(bǔ)集的思想解決有關(guān)問題嗎?
4.簡單命題與復(fù)合命題有什么區(qū)別?四種命題之間的相互關(guān)系是什么?如何判斷充分與必要條件?
5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.
6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.
7.判斷函數(shù)奇偶性時(shí),易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.
8.求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí),易忽略標(biāo)注該函數(shù)的定義域.
9.原函數(shù)在區(qū)間[-a,a]上單調(diào)遞增,則一定存在反函數(shù),且反函數(shù)也單調(diào)遞增;但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù),此函數(shù)不一定單調(diào).例如:.
10.你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法(取值,作差,判正負(fù))和導(dǎo)數(shù)法
11.求函數(shù)單調(diào)性時(shí),易錯(cuò)誤地在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號“∪”和“或”;單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.
12.求函數(shù)的值域必須先求函數(shù)的定義域。
13.如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題?①比較函數(shù)值的大小;②解抽象函數(shù)不等式;③求參數(shù)的范圍(恒成立問題).這幾種基本應(yīng)用你掌握了嗎?
14.解對數(shù)函數(shù)問題時(shí),你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎?
(真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1)字母底數(shù)還需討論
15.三個(gè)二次(哪三個(gè)二次?)的關(guān)系及應(yīng)用掌握了嗎?如何利用二次函數(shù)求最值?
16.用換元法解題時(shí)易忽略換元前后的等價(jià)性,易忽略參數(shù)的范圍。
17.“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化時(shí),你是否注意到:當(dāng)時(shí),“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為。
若原題中沒有指出是二次方程,二次函數(shù)或二次不等式,你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為的零的情形?
18.利用均值不等式求最值時(shí),你是否注意到:“一正;二定;三等”.
19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么?
20.解分式不等式應(yīng)注意什么問題?用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項(xiàng)是什么?
21.解含參數(shù)不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤?,函?shù)的單調(diào)性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵”,注意解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是……”.
22.在求不等式的解集、定義域及值域時(shí),其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示;不能用不等式表示.
23.兩個(gè)不等式相乘時(shí),必須注意同向同正時(shí)才能相乘,即同向同正可乘;同時(shí)要注意“同號可倒”即a>b>0,a
24.解決一些等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題,你注意到要對公比及兩種情況進(jìn)行討論了嗎?
25.在“已知,求”的問題中,你在利用公式時(shí)注意到了嗎?(時(shí),應(yīng)有)需要驗(yàn)證,有些題目通項(xiàng)是分段函數(shù)。
26.你知道存在的條件嗎?(你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項(xiàng)和與所有項(xiàng)的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和必定存在?
27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題?(數(shù)列是特殊函數(shù),但其定義域中的值不是連續(xù)的。
)
28.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法一要注意步驟齊全,二要注意從到過程中,先假設(shè)時(shí)成立,再結(jié)合一些數(shù)學(xué)方法用來證明時(shí)也成立。
29.正角、負(fù)角、零角、象限角的概念你清楚嗎?,若角的終邊在坐標(biāo)軸上,那它歸哪個(gè)象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎?
30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?
31.在解三角問題時(shí),你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎?
32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角,異名化同名,高次化低次)
33.反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是
34.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎?
35.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數(shù)形結(jié)合與書寫規(guī)范,可別忘了),你是否清楚函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎?
36.函數(shù)的圖象的平移,方程的平移以及點(diǎn)的平移公式易混:
(1)函數(shù)的圖象的平移為“左+右-,上+下-”;如函數(shù)的圖象左移2個(gè)單位且下移3個(gè)單位得到的圖象的解析式為y=2(x+2)+4-3,即y=2x+5.
(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-,上-下+”;如直線左移2個(gè)個(gè)單位且下移3個(gè)單位得到的圖象的解析式為2(x+2)-(y+3)+4=0,即y=2x+5.
(3)點(diǎn)的平移公式:點(diǎn)P(x,y)按向量平移到點(diǎn)P'(x',y'),則x=x'+hy'=y+k.
37.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí),注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個(gè)三角函數(shù)值,再判定角的范圍)
38.形如的周期都是,但的周期為。
1、最大限度提高文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
大部分文科學(xué)生可能是由于理科學(xué)的不優(yōu)秀而選擇了文科,很多文科學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有膽怯的心理,他們沒有任何理由就是不喜歡學(xué)數(shù)學(xué),甚至是討厭數(shù)學(xué)老師,所以數(shù)學(xué)課堂氛圍沉悶,課堂上和老師的互動也很被動,讓人有一種窒息的感覺。為了解決這一不良現(xiàn)象,我們花費(fèi)了很多的精力,想了很多的方法,我們?nèi)M老師下決心必須改變這一局面。因?yàn)橹挥懈淖兞诉@個(gè)局面,文科的數(shù)學(xué)才有希望,文科的數(shù)學(xué)在高考中的龍頭作用才能發(fā)揮出來。我們首先把握住一輪學(xué)法講座的最佳時(shí)機(jī)對學(xué)生進(jìn)行心與心的交流,糾正、引導(dǎo)學(xué)生如何突破心理的這道障礙,在講座中運(yùn)用大量的實(shí)例和感動的語言慢慢走進(jìn)學(xué)生的內(nèi)心,說到他們所想,說到他們所需,教給他們怎樣聽課記筆記,怎樣發(fā)言怎樣和老師相處,通過學(xué)法講座我們所有文科學(xué)生的面貌有了很大的改觀。為了抓住好的良機(jī),全組老師把這一重任滲透到每一節(jié)課,課堂上我們努力做到不發(fā)火,讓學(xué)生處在一種放松的環(huán)境里學(xué)習(xí)知識,即使學(xué)生有的地方做的不盡人意我們也是鼓勵(lì)再鼓勵(lì)。通過我們一年不懈的努力,文科學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的情緒非常高漲,成績也一路高升,受到領(lǐng)導(dǎo)和老師的肯定、家長和學(xué)生的贊譽(yù)。
2、抓考綱,研究高考題,把握高考方向
高三的復(fù)習(xí)內(nèi)容容量很大,面對繁重的高考復(fù)習(xí)任務(wù),如果不能把握準(zhǔn)方向,那勢必會出過頭勁。為了很好的掌控文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的方向,不走彎路,首先我們及時(shí)總結(jié)以往高三教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn),對考綱重復(fù)不斷的分析,從中找出變與不變,找出重點(diǎn)與側(cè)重點(diǎn),該多花時(shí)間的章節(jié)絲毫也不吝嗇;該少花時(shí)間的章節(jié)一定不多花一秒鐘。組內(nèi)的教研由每周一次變?yōu)槊刻煲淮巍C可贤戤?dāng)天的課我們都回組內(nèi)暢所欲言、查漏補(bǔ)缺,及時(shí)調(diào)整,同事之間取長補(bǔ)短。
其次我們加大力度研究多年的高考題,我們組所有的老師都至少做五年的高考題,從高考題中我們足可以體會到很多的東西來,對我們平日教學(xué)的指導(dǎo)意義是非常巨大的。所以我們的復(fù)習(xí)針對性很強(qiáng),不走彎路,不走迂回的路。復(fù)習(xí)過程中的底氣也很足,對今年高考的出題趨勢也有比較明確的把握,在六號晚上的考前輔導(dǎo)講座中很明確的告訴學(xué)生如何應(yīng)對后三個(gè)大題的技巧和心理想法,所以我們的學(xué)生在面對今年的高考題目時(shí)沒有因?yàn)殡y而打亂做題的節(jié)奏。
3、“源于教材而高于教材”,夯實(shí)基礎(chǔ)知識
第一輪復(fù)習(xí),必須加深學(xué)生對課本中概念、定義、定理、法則、公式的透徹理解,注重課本的例題中所蘊(yùn)涵的思想方法和習(xí)題的特點(diǎn),運(yùn)用、挖掘例題和習(xí)題的價(jià)值和內(nèi)涵,提供多種解法,訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維。只有這樣,才能讓學(xué)生從一個(gè)題目聯(lián)想到一個(gè)知識點(diǎn),在腦海中建構(gòu)出知識的網(wǎng)絡(luò),一點(diǎn)就透,舉一反三,大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度。為了做好這一點(diǎn),我們在開始一輪復(fù)習(xí)的時(shí)候,我們就把課本中的重點(diǎn)和難點(diǎn)的知識點(diǎn)和例題習(xí)題全部刻印成講義印發(fā)到學(xué)生手里,課堂上按部就班地和學(xué)生一起解疑答問。同時(shí)我們又非常重視“高于教材”的理念,無論是周練習(xí)還是平日的作業(yè) 我們也及時(shí)的對此類型進(jìn)行有效的訓(xùn)練。今年的高考題( 21 )題為應(yīng)用題,這道題目是學(xué)生之間拉開差距的一道題目。題目涉及這到球和圓柱構(gòu)成的組合體的表面積和體積,貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際,背景公平,由于教材中也出現(xiàn)了多個(gè)以體積為平臺,考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)際問題,因此該問題的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“源于教材而高于教材”的理念。由于我們在平日的訓(xùn)練中做的比較到位,所以學(xué)生在面對此題的時(shí)候沒有出現(xiàn)情緒上的波動,也沒有感覺題目難,得分率令人滿意。
4、抓計(jì)算能力和讀題能力
學(xué)生計(jì)算能力有缺失,這是不爭的事實(shí),具體表現(xiàn)為三種:不會算、算錯(cuò)、算得太慢。甚至有很多學(xué)生會發(fā)出這樣的感嘆:“這道題我明明會做,但是就是做不對”。那么怎么糾正?我們的做法是在課堂上給時(shí)間,少講多練。充分利用每一次作業(yè)的機(jī)會,先講、學(xué)生訂正 、再改、再講,把每個(gè)過程精細(xì)化。周練習(xí)我們不但及時(shí)批改,我們盡可能的采取面批的形式,這種方法最為直觀有效。我們采取“盯人戰(zhàn)術(shù)”,糾正學(xué)生中存在的僥幸心理,讓他們認(rèn)識到“計(jì)算無小錯(cuò),細(xì)節(jié)定成敗”。俗話說:“講十遍不如動手一遍”。學(xué)生的一道題算錯(cuò)了,教師不僅要指出算錯(cuò)的是那個(gè)步驟,一定要讓學(xué)生還原到錯(cuò)誤點(diǎn)重新計(jì)算,也算是“哪里跌倒哪里爬起來”吧。
我們的學(xué)生還存在著讀不懂題目的問題,找不到相關(guān)信息點(diǎn),懂不出隱藏信息,提煉不了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。我們的做法是在復(fù)習(xí)課和試卷講評課我們老師手把手教給學(xué)生,老師先以一個(gè)做題人的身份去讀題去分析題,然后讓學(xué)生去讀題去分析題,我們不厭其煩的一遍又一遍的重復(fù)。對于學(xué)生的這兩個(gè)毛病,我們足足糾正了一年,盡管過程非常辛苦,但收效是令人欣慰的。在今年的高考題中我們的學(xué)生基本上都能做到會做的題得滿分。
5、抓邊際生對重點(diǎn)知識通性通法的訓(xùn)練力度
邊際生成績的好壞對班級和級部的影響是不可忽視的,抓好邊際生的工作顯得尤為重要。我們對邊際生的做法是:每周有兩次早飯后40分鐘的補(bǔ)課,補(bǔ)課內(nèi)容我們一律是從做過的題目和復(fù)習(xí)過的知識點(diǎn)中找,找專人負(fù)責(zé)找題并刻印成講義,對學(xué)生錯(cuò)過的題目我們決不放棄,一遍不行就兩遍,增加對重點(diǎn)知識通性通法的訓(xùn)練力度,他們的周練習(xí)我們一律都是面批,包括他們的改錯(cuò)我們都跟蹤到位,有的邊際生的改錯(cuò)我們的批改次數(shù)多的達(dá)到了六次。在整個(gè)復(fù)習(xí)過程中,我們不但對邊際生進(jìn)行知識上的補(bǔ)習(xí),而且我們還對他們的思想和生活進(jìn)行開導(dǎo)和關(guān)心,讓學(xué)生在溫暖中進(jìn)步。
6、對周練習(xí)的重視程度如同考試,對統(tǒng)考如同高考
我們認(rèn)真對待我們的每一次周練習(xí),我們把每一次的周練習(xí)都當(dāng)做考試來操作,學(xué)生單人單桌,教師監(jiān)考。周練習(xí)題目的找尋我們下的功夫也非常大,每一次都翻閱大量的資料從中組題篩選,讓遺憾在每一次中都降低到最小。除了知識上的滾動我們盡量兼顧到新穎題型在每一次周練習(xí)中的訓(xùn)練。每一次的周練習(xí)的批改一定是在周日晚飯前結(jié)束,然后將成績傳到班主任手里,班主任和任課老師共同找學(xué)生查找原因,做思想工作,讓學(xué)生的錯(cuò)誤和不端正的態(tài)度消滅在萌芽中。
形式:深入農(nóng)村,與村民攀談,搞調(diào)查
時(shí)間:200*年7月22日7月27日
地點(diǎn):山東省平度市崔家集鎮(zhèn)周家村
組織者:山東省青島海洋大學(xué)工程學(xué)院團(tuán)總支
參與者:山東省青島海洋大學(xué)工程學(xué)院**級、**級部分同學(xué)
一調(diào)查數(shù)據(jù)
概況:
周家村共有230戶約800口人,住房占地約200畝,耕地1550畝。本村固定資產(chǎn)120萬,去年總產(chǎn)值為12210000元,人均毛收入為3800元。
(一)經(jīng)濟(jì)收入狀況
經(jīng)濟(jì)收入以經(jīng)濟(jì)作物為主,輔以副業(yè)如養(yǎng)雞,養(yǎng)老鼠。經(jīng)濟(jì)作物收入占經(jīng)濟(jì)總收入80%。經(jīng)濟(jì)作物包括蘋果、蔬菜、黃煙、花生、柿子和制種。自19**年以來有果園200畝、蔬菜100畝、黃煙500畝,現(xiàn)在黃煙已發(fā)展到800畝。1990年進(jìn)行村莊規(guī)劃后,1992年在房前屋后種上了5000棵柿子樹,現(xiàn)在每棵樹能收入兩百元以上,近年又種上了1000棵柿子樹,估計(jì)明年能大量掛果。制種業(yè)是新興產(chǎn)業(yè),包括西瓜、西葫蘆、西紅柿、辣椒四個(gè)品種,種植面積在200畝左右每畝毛收入一萬元左右。
(二)受教育狀況
村民中有30%受過初等教育、3%受到過高等教育。現(xiàn)在村里只有三個(gè)高中生。如今兒童的上學(xué)年齡限制到8歲,但有50%的孩子九歲才開始上學(xué)。
(三)生活狀況
據(jù)調(diào)查村民的糧食、蔬菜都自給,只買一些油鹽、肉制品,因此大部分家庭每月生活費(fèi)在200元以下。
二下鄉(xiāng)感悟
(一)我看農(nóng)村教育
人們在形容農(nóng)村的教育狀況時(shí)總是用適齡兒童入學(xué)率低、失學(xué)率高、教育狀況落后等短語一言概之。這就模糊了教育落后的根本原因,甚至誤導(dǎo)讀者進(jìn)入邊遠(yuǎn)地區(qū)人們不重視教育這一誤區(qū)。
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第八講
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
2019年
1.(2019全國Ⅲ文20)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)0
2.(2019北京文20)已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:;
(Ⅲ)設(shè),記在區(qū)間上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.
3.(2019江蘇19)設(shè)函數(shù)、為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零點(diǎn)均在集合中,求f(x)的極小值;
(3)若,且f(x)的極大值為M,求證:M≤.
4.(2019全國Ⅰ文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f
′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f
′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
5.(2019全國Ⅰ文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f
′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f
′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
6.(2019全國Ⅱ文21)已知函數(shù).證明:
(1)存在唯一的極值點(diǎn);
(2)有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
7.(2019天津文20)設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)若,討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,
(i)證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)
(ii)設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn),且,證明.
8.(2019浙江22)已知實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意均有
求的取值范圍.
注:e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
2010-2018年
一、選擇題
1.(2017新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù),則
A.在單調(diào)遞增
B.在單調(diào)遞減
C.的圖像關(guān)于直線對稱
D.的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
2.(2017浙江)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的圖像可能是
A.
B.
C.
D.
3.(2016年全國I卷)若函數(shù)在單調(diào)遞增,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
4.(2016年四川)已知為函數(shù)的極小值點(diǎn),則
A.4
B.2
C.4
D.2
5.(2014新課標(biāo)2)若函數(shù)在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
6.(2014新課標(biāo)2)設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿足
,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
7.(2014遼寧)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
8.(2014湖南)若,則
A.
B.
C.
D.
9.(2014江西)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與
的圖像不可能的是
10.(2013新課標(biāo)2)已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A.
B.函數(shù)的圖像是中心對稱圖形
C.若是的極小值點(diǎn),則在區(qū)間單調(diào)遞減
D.若是的極值點(diǎn),則
11.(2013四川)設(shè)函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在使成立,則的取值范圍是(
)
A.
B.
C.
D.
12.(2013福建)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,是的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是
A.
B.是的極小值點(diǎn)
C.是的極小值點(diǎn)
D.是的極小值點(diǎn)
13.(2012遼寧)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.
[1,+)
D.(0,+)
14.(2012陜西)設(shè)函數(shù),則
A.為的極大值點(diǎn)
B.為的極小值點(diǎn)
C.為的極大值點(diǎn)
D.為的極小值點(diǎn)
15.(2011福建)若,,且函數(shù)在處有極值,則的最大值等于
A.2
B.3
C.6
D.9
16.(2011浙江)設(shè)函數(shù),若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象不可能為的圖象是
A
B
C
D
17.(2011湖南)設(shè)直線
與函數(shù),
的圖像分別交于點(diǎn),則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為
A.1
B.
C.
D.
二、填空題
18.(2016年天津)已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù),則的值為____.
19.(2015四川)已知函數(shù),(其中).對于不相等的實(shí)數(shù),設(shè)=,=.現(xiàn)有如下命題:
①對于任意不相等的實(shí)數(shù),都有;
②對于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù),都有;
③對于任意的,存在不相等的實(shí)數(shù),使得;
④對于任意的,存在不相等的實(shí)數(shù),使得.
其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號).
20.(2011廣東)函數(shù)在=______處取得極小值.
三、解答題
21.(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù).
(1)設(shè)是的極值點(diǎn).求,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
22.(2018浙江)已知函數(shù).
(1)若在,()處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;
(2)若,證明:對于任意,直線與曲線有唯一公共點(diǎn).
23.(2018全國卷Ⅱ)已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:只有一個(gè)零點(diǎn).
24.(2018北京)設(shè)函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0,求;
(2)若在處取得極小值,求的取值范圍.
25.(2018全國卷Ⅲ)已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
26.(2018江蘇)記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在,滿足且,則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”.
(1)證明:函數(shù)與不存在“點(diǎn)”;
(2)若函數(shù)與存在“點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)已知函數(shù),.對任意,判斷是否存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”,并說明理由.
27.(2018天津)設(shè)函數(shù),其中,且是公差為的等差數(shù)列.
(1)若
求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若,求的極值;
(3)若曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn),求d的取值范圍.
28.(2017新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,求的取值范圍.
29.(2017新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
30.(2017新課標(biāo)Ⅲ)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),證明.
31.(2017天津)設(shè),.已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線,
(i)求證:在處的導(dǎo)數(shù)等于0;
(ii)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.
32.(2017浙江)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的導(dǎo)函數(shù);
(Ⅱ)求在區(qū)間上的取值范圍.
33.(2017江蘇)已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)
的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值)
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)證明:;
34.(2016年全國I卷)已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性;
(II)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
35.(2016年全國II卷)已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
36.(2016年全國III卷)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),;
(III)設(shè),證明當(dāng)時(shí),.
37.(2015新課標(biāo)2)已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)有最大值,且最大值大于時(shí),求的取值范圍.
38.(2015新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí).
39.(2014新課標(biāo)2)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
40.(2014山東)設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
41.(2014新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù),
曲線處的切線斜率為0
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若存在使得,求的取值范圍.
42.(2014山東)設(shè)函數(shù)
,其中為常數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
43.(2014廣東)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),試討論是否存在,使得.
44.(2014江蘇)已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)證明:是R上的偶函數(shù);
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式≤在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)已知正數(shù)滿足:存在,使得成立.試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.
45.(2013新課標(biāo)1)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處切線方程為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)討論的單調(diào)性,并求的極大值.
46.(2013新課標(biāo)2)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的極小值和極大值;
(Ⅱ)當(dāng)曲線的切線的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),求在軸上截距的取值范圍.
47.(2013福建)已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)當(dāng)?shù)闹禃r(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.
48.(2013天津)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)
證明:對任意的,存在唯一的,使.
(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中所確定的關(guān)于的函數(shù)為,
證明:當(dāng)時(shí),有.
49.(2013江蘇)設(shè)函數(shù),,其中為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;
(Ⅱ)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
50.(2012新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=-ax-2
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)若,為整數(shù),且當(dāng)時(shí),,求的最大值
51.(2012安徽)設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)求在內(nèi)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為;求的值。
52.(2012山東)已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),其中是的導(dǎo)數(shù).
證明:對任意的,.
53.(2011新課標(biāo))已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng),且時(shí),.
54.(2011浙江)設(shè)函數(shù),
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求所有實(shí)數(shù),使對恒成立.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
55.(2011福建)已知,為常數(shù),且,函數(shù),(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和(),使得對每一個(gè)∈,直線與曲線(∈[,e])都有公共點(diǎn)?若存在,求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù);若不存在,說明理由.
56.(2010新課標(biāo))設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)若=,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)≥0時(shí)≥0,求的取值范圍.
專題三
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第八講
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
答案部分
2019年
1.解析(1).
令,得x=0或.
若a>0,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
若a=0,在單調(diào)遞增;
若a
(2)當(dāng)時(shí),由(1)知,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以在[0,1]的最小值為,最大值為或.于是
,
所以
當(dāng)時(shí),可知單調(diào)遞減,所以的取值范圍是.
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以的取值范圍是.
綜上,的取值范圍是.
2.解析(Ⅰ)由得.
令,即,得或.
又,,
所以曲線的斜率為1的切線方程是與,
即與.
(Ⅱ)要證,即證,令.
由得.
令得或.
在區(qū)間上的情況如下:
所以的最小值為,最大值為.
故,即.
(Ⅲ),由(Ⅱ)知,,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
綜上,當(dāng)最小時(shí),.
3.解析(1)因?yàn)?,所以?/p>
因?yàn)?,所以,解得?/p>
(2)因?yàn)椋?/p>
所以,
從而.令,得或.
因?yàn)槎荚诩现?,且?/p>
所以.
此時(shí),.
令,得或.列表如下:
1
+
–
+
極大值
極小值
所以的極小值為.
(3)因?yàn)?,所以?/p>
.
因?yàn)?,所以?/p>
則有2個(gè)不同的零點(diǎn),設(shè)為.
由,得.
列表如下:
+
–
+
極大值
極小值
所以的極大值.
解法一:
.因此.
解法二:因?yàn)?,所以?/p>
當(dāng)時(shí),.
令,則.
令,得.列表如下:
+
–
極大值
所以當(dāng)時(shí),取得極大值,且是最大值,故.
所以當(dāng)時(shí),,因此.
4.解析
(1)設(shè),則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,故在存在唯一零點(diǎn).
所以在存在唯一零點(diǎn).
(2)由題設(shè)知,可得a≤0.
由(1)知,在只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,所以,當(dāng)時(shí),.
又當(dāng)時(shí),ax≤0,故.
因此,a的取值范圍是.
5.解析
(1)設(shè),則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,故在存在唯一零點(diǎn).
所以在存在唯一零點(diǎn).
(2)由題設(shè)知,可得a≤0.
由(1)知,在只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,所以,當(dāng)時(shí),.
又當(dāng)時(shí),ax≤0,故.
因此,a的取值范圍是.
6.解析(1)的定義域?yàn)椋?,+).
.
因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,又,
,故存在唯一,使得.
又當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
因此,存在唯一的極值點(diǎn).
(2)由(1)知,又,所以在內(nèi)存在唯一根.
由得.
又,故是在的唯一根.
綜上,有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
7.解析(Ⅰ)由已知,的定義域?yàn)?,?/p>
,
因此當(dāng)時(shí),
,從而,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知.令,由,
可知在內(nèi)單調(diào)遞減,又,且
.
故在內(nèi)有唯一解,從而在內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為,則.
當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)單調(diào)遞減,因此是的唯一極值點(diǎn).
令,則當(dāng)時(shí),,故在內(nèi)單調(diào)遞減,從而當(dāng)時(shí),
,所以.
從而,
又因?yàn)椋栽趦?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而,在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).
(ii)由題意,即,從而,即.因?yàn)楫?dāng)時(shí),
,又,故,兩邊取對數(shù),得,于是
,
整理得.
8.解析(Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+).
(Ⅱ)由,得.
當(dāng)時(shí),等價(jià)于.
令,則.
設(shè)
,則
.
(i)當(dāng)
時(shí),,則
.
記,則
.
故
1
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以,
.
因此,.
(ii)當(dāng)時(shí),.
令
,則,
故在上單調(diào)遞增,所以.
由(i)得.
所以,.
因此.
由(i)(ii)得對任意,,
即對任意,均有.
綜上所述,所求a的取值范圍是.
2010-2018年
1.C【解析】由,知,在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,排除A、B;又,
所以的圖象關(guān)于對稱,C正確.
2.D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,的單調(diào)性是減增減增,排除
A、C;由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,的極值點(diǎn)一負(fù)兩正,所以D符合,選D.
3.C【解析】函數(shù)在單調(diào)遞增,
等價(jià)于
在恒成立.
設(shè),則在恒成立,
所以,解得.故選C.
4.D【解析】因?yàn)椋?,,?dāng)
時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以.故選D.
5.D【解析】,,在(1,+)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)
時(shí),恒成立,即在(1,+)上恒成立,
,,所以,故選D.
6.C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知:的極值點(diǎn)滿足,
則,從而得.所以不等式
,即為,變形得,其中.由題意,存在整數(shù)使得不等式成立.當(dāng)且時(shí),必有,此時(shí)不等式顯然不能成立,故或,此時(shí),不等式即為,解得或.
7.C【解析】當(dāng)時(shí),得,令,則,
,令,,
則,顯然在上,,單調(diào)遞減,所以,因此;同理,當(dāng)時(shí),得.由以上兩種情況得.顯然當(dāng)時(shí)也成立,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
8.C【解析】設(shè),則,故在上有一個(gè)極值點(diǎn),即在上不是單調(diào)函數(shù),無法判斷與的大小,故A、B錯(cuò);構(gòu)造函數(shù),,故在上單調(diào)遞減,所以,選C.
9.B【解析】當(dāng),可得圖象D;記,
,
取,,令,得,易知的極小值為,又,所以,所以圖象A有可能;同理取,可得圖象C有可能;利用排除法可知選B.
10.C【解析】若則有,所以A正確。由得
,因?yàn)楹瘮?shù)的對稱中心為(0,0),
所以的對稱中心為,所以B正確。由三次函數(shù)的圖象可知,若是的極小值點(diǎn),則極大值點(diǎn)在的左側(cè),所以函數(shù)在區(qū)間(∞,
)單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的,D正確。選C.
11.A【解析】若在上恒成立,則,
則在上無解;
同理若在上恒成立,則。
所以在上有解等價(jià)于在上有解,
即,
令,所以,
所以.
12.D【解析】A.,錯(cuò)誤.是的極大值點(diǎn),并不是最大值點(diǎn);B.是的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.相當(dāng)于關(guān)于y軸的對稱圖像,故應(yīng)是的極大值點(diǎn);C.是的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.相當(dāng)于關(guān)于軸的對稱圖像,故應(yīng)是的極小值點(diǎn).跟沒有關(guān)系;D.是的極小值點(diǎn).正確.相當(dāng)于先關(guān)于y軸的對稱,再關(guān)于軸的對稱圖像.故D正確.
13.B【解析】,,由,解得,又,
故選B.
14.D【解析】,,恒成立,令,則
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)增,
則為的極小值點(diǎn),故選D.
15.D【解析】,由,即,得.
由,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.選D.
16.D【解析】若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則易知,選項(xiàng)A,B的函數(shù)為,,為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)滿足條件;選項(xiàng)C中,對稱軸,且開口向下,
,,也滿足條件;選項(xiàng)D中,對稱軸
,且開口向上,,,與題圖矛盾,故選D.
17.D【解析】由題不妨令,則,
令解得,因時(shí),,當(dāng)時(shí),
,所以當(dāng)時(shí),達(dá)到最小.即.
18.3【解析】.
19.①④【解析】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的,所以對于不相等的實(shí)數(shù),恒成立,①正確;因?yàn)?,所?/p>
=,正負(fù)不定,②錯(cuò)誤;由,整理得.
令函數(shù),則,
令,則,又,
,從而存在,使得,
于是有極小值,所以存
在,使得,此時(shí)在上單調(diào)遞增,故不存在不相等的實(shí)數(shù),使得,不滿足題意,③錯(cuò)誤;由得,即,設(shè),
則,所以在上單調(diào)遞增的,且當(dāng)時(shí),
,當(dāng)時(shí),,所以對于任意的,與的圖象一定有交點(diǎn),④正確.
20.2【解析】由題意,令得或.
因或時(shí),,時(shí),.
時(shí)取得極小值.
21.【解析】(1)的定義域?yàn)椋?/p>
由題設(shè)知,,所以.
從而,.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),.
設(shè),則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以是的最小值點(diǎn).
故當(dāng)時(shí),.
因此,當(dāng)時(shí),.
22.【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),
由得,
因?yàn)椋裕?/p>
由基本不等式得.
因?yàn)?,所以?/p>
由題意得.
設(shè),
則,
所以
16
+
所以在上單調(diào)遞增,
故,
即.
(2)令,,則
,
所以,存在使,
所以,對于任意的及,直線與曲線有公共點(diǎn).
由得.
設(shè),
則,
其中.
由(1)可知,又,
故,
所以,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此方程至多1個(gè)實(shí)根.
綜上,當(dāng)時(shí),對于任意,直線與曲線有唯一公共點(diǎn).
23.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,.
令解得或.
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
故在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)由于,所以等價(jià)于.
設(shè),則,
僅當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增.
故至多有一個(gè)零點(diǎn),從而至多有一個(gè)零點(diǎn).
又,,
故有一個(gè)零點(diǎn).
綜上,只有一個(gè)零點(diǎn).
24.【解析】(1)因?yàn)椋?/p>
所以.
,
由題設(shè)知,即,解得.
(2)方法一:由(1)得.
若,則當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以在處取得極小值.
若,則當(dāng)時(shí),,
所以.
所以1不是的極小值點(diǎn).
綜上可知,的取值范圍是.
方法二:.
(ⅰ)當(dāng)時(shí),令得.
隨的變化情況如下表:
1
+
?
↗
極大值
在處取得極大值,不合題意.
(ⅱ)當(dāng)時(shí),令得.
①當(dāng),即時(shí),,
在上單調(diào)遞增,
無極值,不合題意.
②當(dāng),即時(shí),隨的變化情況如下表:
1
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極大值,不合題意.
③當(dāng),即時(shí),隨的變化情況如下表:
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極小值,即滿足題意.
(ⅲ)當(dāng)時(shí),令得.
隨的變化情況如下表:
?
+
?
極小值
↗
極大值
在處取得極大值,不合題意.
綜上所述,的取值范圍為.
25.【解析】(1),.
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
(2)當(dāng)時(shí),.
令,則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
所以.因此.
26.【解析】(1)函數(shù),,則,.
由且,得,此方程組無解,
因此,與不存在“點(diǎn)”.
(2)函數(shù),,
則.
設(shè)為與的“點(diǎn)”,由且,得
,即,(*)
得,即,則.
當(dāng)時(shí),滿足方程組(*),即為與的“點(diǎn)”.
因此,的值為.
(3)對任意,設(shè).
因?yàn)?,且的圖象是不間斷的,
所以存在,使得.令,則.
函數(shù),
則.
由且,得
,即,(**)
此時(shí),滿足方程組(**),即是函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)“點(diǎn)”.
因此,對任意,存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”.
27.【解析】(1)由已知,可得,故,
因此,=?1,
又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為,
故所求切線方程為.
(2)由已知可得
.
故.令=0,解得,或.
當(dāng)變化時(shí),,的變化如下表:
(?∞,
)
(,
)
(,
+∞)
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
所以函數(shù)的極大值為;函數(shù)小值為.
(3)曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,
令,可得.
設(shè)函數(shù),則曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
.
當(dāng)時(shí),,這時(shí)在R上單調(diào)遞增,不合題意.
當(dāng)時(shí),=0,解得,.
易得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
的極大值=>0.
的極小值=?.
若,由的單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意.
若即,
也就是,此時(shí),
且,從而由的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),符合題意.
所以的取值范圍是
28.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
,
①若,則,在單調(diào)遞增.
②若,則由得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
③若,則由得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)①若,則,所以.
②若,則由(1)得,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為
.從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.
③若,則由(1)得,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為
.
從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí).
綜上,的取值范圍為.
29.【解析】(1)
令得
,.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2).
當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,因此在單調(diào)遞減,而,故,所以
.
當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,所以在單調(diào)遞增,而,故.
當(dāng)時(shí),,,
取,則,,
故.
當(dāng)時(shí),取,則,.
綜上,的取值范圍是.
30.【解析】(1)的定義域?yàn)?,?/p>
若,則當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),在取得最大值,最大值為
.
所以等價(jià)于,
即.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為.所以當(dāng)時(shí),.從而當(dāng)時(shí),,即.
31.【解析】(I)由,可得
,
令,解得,或.由,得.
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
所以,的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(II)(i)因?yàn)?,由題意知,
所以,解得.
所以,在處的導(dǎo)數(shù)等于0.
(ii)因?yàn)?,,由,可得?/p>
又因?yàn)椋蕿榈臉O大值點(diǎn),由(I)知.
另一方面,由于,故,
由(I)知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),在上恒成立,
從而在上恒成立.
由,得,.
令,,所以,
令,解得(舍去),或.
因?yàn)?,,,故的值域?yàn)椋?/p>
所以,的取值范圍是.
32.【解析】(Ⅰ)因?yàn)椋?/p>
所以
(Ⅱ)由
解得或.
因?yàn)?/p>
x
(,1)
1
(1,)
(,)
-
+
-
↗
又,
所以在區(qū)間上的取值范圍是.
33.【解析】(1)由,得.
當(dāng)時(shí),有極小值.
因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn).
所以,又,故.
因?yàn)橛袠O值,故有實(shí)根,從而,即.
時(shí),,故在R上是增函數(shù),沒有極值;
時(shí),有兩個(gè)相異的實(shí)根,.
列表如下
+
–
+
極大值
極小值
故的極值點(diǎn)是.
從而,
因此,定義域?yàn)?
(2)由(1)知,.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?,所以,故,即?/p>
因此.
(3)由(1)知,的極值點(diǎn)是,且,.
從而
記,所有極值之和為,
因?yàn)榈臉O值為,所以,.
因?yàn)?,于是在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?,于是,?
因此的取值范圍為.
34.【解析】
(Ⅰ)
(i)設(shè),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(ii)設(shè),由得或.
①若,則,所以在單調(diào)遞增.
②若,則,故當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
③若,則,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(Ⅱ)(i)設(shè),則由(I)知,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
又,取b滿足b
則,所以有兩個(gè)零點(diǎn).
(ii)設(shè)a=0,則,所以有一個(gè)零點(diǎn).
(iii)設(shè)a
又當(dāng)時(shí),
綜上,的取值范圍為.
35.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),
,
曲線在處的切線方程為
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),等價(jià)于
令,則
,
(i)當(dāng),時(shí),,
故在上單調(diào)遞增,因此;
(ii)當(dāng)時(shí),令得
,
由和得,故當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,因此.
綜上,的取值范圍是
36.【解析】(Ⅰ)由題設(shè),的定義域?yàn)?,,令,解得.?dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在處取得最大值,最大值為.
所以當(dāng)時(shí),.
故當(dāng)時(shí),,,即.
(Ⅲ)由題設(shè),設(shè),則,
令,解得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
由(Ⅱ)知,,故,又,
故當(dāng)時(shí),.
所以當(dāng)時(shí),.
37【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)?,?/p>
若,則,所以在單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),在上無最大值;當(dāng)時(shí),在取得最大值,最大值為.
因此等價(jià)于.
令,則在單調(diào)遞增,.
于是,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此的取值范圍是.
38.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?/p>
當(dāng)時(shí),,沒有零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞增,所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)滿足且時(shí),,故當(dāng)時(shí),存在唯一零點(diǎn).
(Ⅱ)由(Ⅰ),可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.
由于,所以.
故當(dāng)時(shí),.
39.【解析】(Ⅰ)=,.
曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為.
由題設(shè)得,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
設(shè),由題設(shè)知.
當(dāng)≤0時(shí),,單調(diào)遞增,,所以=0在有唯一實(shí)根.
當(dāng)時(shí),令,則.
,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以,所以在沒有實(shí)根.
綜上,=0在R有唯一實(shí)根,即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
40.【解析】(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
由可得
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以
的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減,
故在內(nèi)不存在極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,因此.
當(dāng)時(shí),時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增
故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)
當(dāng)且僅當(dāng),解得
綜上函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),的取值范圍為.
41.【解析】(Ⅰ),
由題設(shè)知,解得.
(Ⅱ)的定義域?yàn)?,由(Ⅰ)知,?/p>
(?。┤簦瑒t,故當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,存在,使得的充要條件為,
即,解得.
(ii)若,則,故當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.所以,存在,使得的充要條件為,
而,所以不合題意.
(iii)若,則.
綜上,的取值范圍是.
42.【解析】(Ⅰ)由題意知時(shí),,
此時(shí),可得,又,
所以曲線在處的切線方程為.
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),令,
由于,
①當(dāng)時(shí),,
,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
②當(dāng)時(shí),,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
③當(dāng)時(shí),,
設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),
則,,
由
,
所以時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
綜上可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
43.【解析】(Ⅰ)
(Ⅱ)
44.【解析】(Ⅰ),,是上的偶函數(shù)
(Ⅱ)由題意,,即
,,即對恒成立
令,則對任意恒成立
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立
(Ⅲ),當(dāng)時(shí),在上單調(diào)增
令,
,,即在上單調(diào)減
存在,使得,,即
設(shè),則
當(dāng)時(shí),,單調(diào)增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)減
因此至多有兩個(gè)零點(diǎn),而
當(dāng)時(shí),,;
當(dāng)時(shí),,;
當(dāng)時(shí),,.
45.【解析】.由已知得,,
故,,從而;
(Ⅱ)
由(I)知,
令得,或.
從而當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
故在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,極大值為.
46.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?/p>
①
當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),
所以在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
故當(dāng)時(shí),取得極小值,極小值為;當(dāng)時(shí),取得極大值,極大值為.
(Ⅱ)設(shè)切點(diǎn)為,則的方程為
所以在軸上的截距為
由已知和①得.
令,則當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍是.
所以當(dāng)時(shí),的取值范圍是.
綜上,在軸上截距的取值范圍.
47.【解析】(Ⅰ)由,得.
又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,
得,即,解得.
(Ⅱ),
①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.
②當(dāng)時(shí),令,得,.
,;,.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值;
當(dāng),在處取得極小值,無極大值.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),
令,
則直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.
假設(shè),此時(shí),,
又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故.
又時(shí),,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解.
所以的最大值為.
解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),.
直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程:
(*)
在上沒有實(shí)數(shù)解.
①當(dāng)時(shí),方程(*)可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解.
②當(dāng)時(shí),方程(*)化為.
令,則有.
令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
當(dāng)時(shí),,同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于,
從而的取值范圍為.
所以當(dāng)時(shí),方程(*)無實(shí)數(shù)解,解得的取值范圍是.
綜上,得的最大值為.
48.【解析】(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=2xln
x+x=x(2ln
x+1),令f′(x)=0,得.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
f′(x)
-
+
f(x)
極小值
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)證明:當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)≤0.
設(shè)t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).
由(1)知,h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
h(1)=-t<0,h(et)=e2tln
et-t=t(e2t-1)>0.
故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.
(Ⅲ)證明:因?yàn)閟=g(t),由(2)知,t=f(s),且s>1,從而
,
其中u=ln
s.
要使成立,只需.
當(dāng)t>e2時(shí),若s=g(t)≤e,則由f(s)的單調(diào)性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.
所以s>e,即u>1,從而ln
u>0成立.
另一方面,令F(u)=,u>1.F′(u)=,令F′(u)=0,得u=2.
當(dāng)1<u<2時(shí),F(xiàn)′(u)>0;當(dāng)u>2時(shí),F(xiàn)′(u)<0.
故對u>1,F(xiàn)(u)≤F(2)<0.
因此成立.
綜上,當(dāng)t>e2時(shí),有.
49.【解析】:(Ⅰ)由題在上恒成立,在上恒成立,;
若,則在上恒成立,在上遞增,
在上沒有最小值,,
當(dāng)時(shí),,由于在遞增,時(shí),遞增,時(shí),遞減,從而為的可疑極小點(diǎn),由題,,
綜上的取值范圍為.
(Ⅱ)由題在上恒成立,
在上恒成立,,
由得
,
令,則,
當(dāng)時(shí),,遞增,
當(dāng)時(shí),,遞減,
時(shí),最大值為,
又時(shí),,
時(shí),,
據(jù)此作出的大致圖象,由圖知:
當(dāng)或時(shí),的零點(diǎn)有1個(gè),
當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)有2個(gè),
50.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)?,?/p>
若,則,所以在單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)時(shí),當(dāng),,所以
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(Ⅱ)
由于,所以(x-k)
f′(x)+x+1=.
故當(dāng)時(shí),(x-k)
f′(x)+x+1>0等價(jià)于
()
①
令,則
由(Ⅰ)知,函數(shù)在單調(diào)遞增.而,所以在存在唯一的零點(diǎn),故在存在唯一的零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在的最小值為,又由,可得,所以
故①等價(jià)于,故整數(shù)的最大值為2.
51.【解析】(Ⅰ)設(shè);則
①當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)
得:當(dāng)時(shí),的最小值為
②當(dāng)時(shí),
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為
(Ⅱ)
由題意得:
52.【解析】(Ⅰ)由
=
可得,而,
即,解得;
(Ⅱ),令可得,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).
(Ⅲ)
=
因此對任意的,等價(jià)于
設(shè)
所以,
因此時(shí),,時(shí),
所以,故.
設(shè),則,
,,,,即
,對任意的,.
53.【解析】(Ⅰ)
由于直線的斜率為,且過點(diǎn),故
即,解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
考慮函數(shù),則
所以當(dāng)時(shí),故
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
從而當(dāng)
54.【解析】(Ⅰ)因?yàn)?/p>
所以
由于,所以的增區(qū)間為,減區(qū)間為
(Ⅱ)【證明】:由題意得,
由(Ⅰ)知內(nèi)單調(diào)遞增,
要使恒成立,
只要,解得
55.【解析】(Ⅰ)由
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得從而
,故:
(1)當(dāng);
(2)當(dāng)
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為。
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),
由(Ⅱ)可得,當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí),的變化情況如下表:
-
+
單調(diào)遞減
極小值1
單調(diào)遞增
2
又的值域?yàn)閇1,2].
由題意可得,若,則對每一個(gè),直線與曲線
都有公共點(diǎn).并且對每一個(gè),
直線與曲線都沒有公共點(diǎn).
綜上,當(dāng)時(shí),存在最小的實(shí)數(shù)=1,最大的實(shí)數(shù)=2,使得對每一個(gè),直線與曲線都有公共點(diǎn).
56.【解析】(Ⅰ)時(shí),,
。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。故在,單調(diào)增加,在(1,0)單調(diào)減少.
(Ⅱ)。令,則。若,則當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),而,從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0,即≥0.
若,則當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),而,
高三的復(fù)習(xí)主要是對高中所有教材內(nèi)全部模塊中的教學(xué)內(nèi)容展開有效的整理,從根本上掌握好高中時(shí)期的數(shù)學(xué)主線,強(qiáng)化知識和知識之間的橫豎關(guān)聯(lián),使復(fù)習(xí)的效率達(dá)到最佳。
比如,在復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)知識的時(shí)候,要把數(shù)學(xué)1中函數(shù)的概念跟基本初等函數(shù)、數(shù)學(xué)4中的基本初等函數(shù)2一并提取出來,將其看成是一個(gè)整體進(jìn)行復(fù)習(xí),要讓學(xué)生對初等函數(shù)的性質(zhì)跟概念都能熟練掌握,并從自然界中體會函數(shù)的應(yīng)用情況,幫助學(xué)生站在數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度上對函數(shù)有所理解。
就高中時(shí)期數(shù)學(xué)知識內(nèi)運(yùn)算主線來說,要把數(shù)學(xué)1當(dāng)中集合之間的運(yùn)算法則(其中主要包含指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則)跟數(shù)學(xué)3中概率事件的運(yùn)算法則、數(shù)學(xué)4中三角含數(shù)一系列運(yùn)算;數(shù)學(xué)4中向量的運(yùn)算、選修2-2中導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相關(guān)運(yùn)算相連接在一起,使學(xué)生從中感受到不同的運(yùn)算概念及運(yùn)算法則,根據(jù)類比的方式對算理有一個(gè)清晰的理解和認(rèn)識,進(jìn)而提升學(xué)生運(yùn)算的正確率。對于高三時(shí)期數(shù)學(xué)知識的總復(fù)習(xí)來說,要一遍遍通過交匯模塊知識的形式,站在整體數(shù)學(xué)高度中掌握好知識之間的關(guān)聯(lián)性,要根據(jù)知識之間的橫豎關(guān)系把不同的模塊知識融合到一起,在學(xué)生腦海中形成一個(gè)知識網(wǎng)絡(luò)。
二、高三時(shí)期的數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)要以鞏固基礎(chǔ)為主
復(fù)習(xí)的時(shí)候,一定要注意基礎(chǔ)知識,培養(yǎng)基本技能,重視知識發(fā)展的過程,站在更高層次上去解讀數(shù)學(xué)概念,做到對數(shù)學(xué)知識有一個(gè)全新的認(rèn)識,只有打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。例如下面是2010年福建的一道高三質(zhì)檢試題:
已知函數(shù)f(x)=cosx,記Sk=?f(π),(k=1,2,3,…,n),若Tn=S1+S2+S3+…+Sn,則
A.數(shù)列{Tn}是遞減數(shù)列且各項(xiàng)值均小于1
B.數(shù)列{Tn}是遞減數(shù)列且各項(xiàng)值均大于1
C.數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列且各項(xiàng)值均小于1
D.數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列且各項(xiàng)值均大于1
這道題我們可著手于定積分的定義,劃分【0,】的區(qū)間,從這個(gè)思路往下看就可知道第Tn一定會比f(x)圖象跟x軸、y軸正方向所圍成的曲邊三角形面積大,因?yàn)樗臉O限是1,所以B答案是正確的。
復(fù)習(xí)過程中一定要熟練掌握教材給出的每個(gè)概念,把概念產(chǎn)生的過程等都表現(xiàn)在更高層次上,轉(zhuǎn)變并加深對概念的掌握,使學(xué)生對概念有一個(gè)真正客觀的理解,進(jìn)而掌握好基礎(chǔ)知識以及基本技巧。
三、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要致力于完善學(xué)生的思維
高三時(shí)期進(jìn)行的總復(fù)習(xí),一定要在平時(shí)教學(xué)的前提下展開,強(qiáng)化教學(xué)方式的滲透,逐漸完善學(xué)生的思維,使學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)得到培養(yǎng),繼而提升學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題跟分析數(shù)學(xué)問題的能力。其中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)講到的解題方式跟思路,一定要在教師跟學(xué)生共同探究下完成,只有師生共同參與經(jīng)過不斷優(yōu)化跟調(diào)整解題方式,逐漸滲透解題數(shù)學(xué)思想方式,才會加深學(xué)生對這種題型的解題印象,才會幫助學(xué)生學(xué)會多種解題手法,通過這種一道題多種解題手法的形式,可方便我們逐漸完善學(xué)生對知識的理解,深化解題方式結(jié)構(gòu),進(jìn)而完善學(xué)生對知識的認(rèn)識水平。
在復(fù)習(xí)教學(xué)中要給學(xué)生信心和啟示,逐漸向?qū)W生透露函數(shù)跟方程的思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想,達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的,加快養(yǎng)成學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
四、高三時(shí)期的數(shù)學(xué)總復(fù)?要以優(yōu)化教學(xué)方式為主
在總復(fù)習(xí)中,講評試卷的課程占據(jù)的時(shí)間很多,復(fù)習(xí)的時(shí)候一定要不斷優(yōu)化教學(xué)手段,避免整堂灌的復(fù)習(xí)手法,要改變“題型+技巧+反復(fù)訓(xùn)練”這種復(fù)習(xí)形式,使學(xué)生從研究中學(xué)到知識,在跟教師的溝通中得到進(jìn)步,在實(shí)際解答問題的操作中學(xué)到解題思路,比如我們可以鼓勵(lì)分層教學(xué)、分組學(xué)習(xí)等,盡可能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的主體。
五、強(qiáng)化解答數(shù)學(xué)的有效性
解題屬于一項(xiàng)認(rèn)識活動,是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)學(xué)習(xí)過程,找到解答問題的思路,實(shí)際上就是探尋條件跟結(jié)論兩者間邏輯關(guān)聯(lián)的過程。就解答數(shù)學(xué)問題來說,教師首要任務(wù)并不是為學(xué)生提供出解題的方法和最終的結(jié)論,也不是看解題方式有多么的,而是要拋開解法的那層神秘面紗,為這種解法找到一種能夠說服學(xué)生的合理詮釋,必要情況下還要恰當(dāng)進(jìn)行引申,指導(dǎo)學(xué)生尋找到解答問題最一般的方式,也就是我們說的通性通法,只有如此,學(xué)生才會學(xué)會解答問題的最基本手法,才會提升解答數(shù)學(xué)問題的有效性。
一、在重要公式的推導(dǎo)過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法
學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法,不能脫離公式、定理的推證過程。在高三總復(fù)習(xí)中依然要重視定理、公式的推證過程,從推證過程中總結(jié)典型方法,有助于學(xué)生加深理解,從而為應(yīng)用提供了啟發(fā)原形,提高復(fù)習(xí)效率有效手段。
例如:復(fù)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)時(shí),不要照本宣科地一一羅列幾何性質(zhì),可以重現(xiàn)知識的發(fā)生過程。引導(dǎo)學(xué)生對橢圓的方程進(jìn)行研究,得出橢圓的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是介紹如何通過方程得出x,y的范圍,如何來判斷對稱性,從而教會學(xué)生通過方程研究幾何性質(zhì)的方法,這也是整個(gè)解析幾何研究的本質(zhì)。為了對知識進(jìn)一步的深化,可以總結(jié)判斷一個(gè)曲線是否關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、直線y=-x、原點(diǎn)(0,0)對稱時(shí),只需分別把(x,-y)、(-x,y)、(y,x)、(-y,-x)、(-x,-y)代入方程即可。從中指明了證明對稱的一類方法――取點(diǎn)法(證明線線對稱時(shí),轉(zhuǎn)化為證明任意點(diǎn)的對稱關(guān)系)。
二、在錯(cuò)解的剖析過程中培養(yǎng)批判思維
教育心理學(xué)指出,“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息,反例則傳遞了最有利于辨別的信息”。正確與錯(cuò)誤同在,成功與失敗同在,如果能充分利用好錯(cuò)誤的教學(xué)功能,通過設(shè)錯(cuò)―糾錯(cuò)―醒悟的教學(xué)過程,可進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和掌握知識的難點(diǎn)和重點(diǎn)。思維的原動力來源于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的不協(xié)調(diào),如果我們設(shè)計(jì)一些錯(cuò)誤迷惑點(diǎn),猶如一石激起千層浪,必將激起學(xué)生強(qiáng)烈的探求新知識的愿望和動力,如:
展示兩種解法讓學(xué)生剖析,學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)答案不一樣,這種鮮明的對比、答案的沖突,必將給學(xué)生帶來吸引力與挑戰(zhàn),通過學(xué)生熱烈的辨析、反省后對使用均值定理關(guān)于等號成立的條件認(rèn)識就會更深刻、更到位,比直接講授效果好得多??傊捎缅e(cuò)解的剖析過程教學(xué),具有如下幾方面的積極功能:(1)對知識的深化理解功能;(2)對發(fā)現(xiàn)思維的培養(yǎng)功能;(3)對數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)功能;(4)對批判思維的訓(xùn)練功能。
三、通過解題后的“解后思”過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)
從最近幾年的高考看,對能力的要求逐年提高,“題海戰(zhàn)術(shù)”的功效明顯下降。如何在教學(xué)中擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”,提高數(shù)學(xué)綜合素質(zhì),“解后思”不失為一個(gè)較佳的途徑。所謂“解后思”,即做完一道題目后,要多問幾個(gè)為什么,并從中獲得對下次解題有用的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。通過下面一道試題加以說明:
解題后,要引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的問題:(1)為什么要這么證?這么證明正確嗎?(2)證明過程中有哪些關(guān)鍵地方?
通過“一思”,至少有以下的收獲:其一是思路方面的,求解思路得到肯定(或否定),下次遇到同類問題時(shí)不會手足無措。其二是運(yùn)算技能方面的,反思過程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)技巧,這樣在以后遇到類似問題時(shí)少耗時(shí)間。
進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考,此解法是否是最好的?可不可以換個(gè)角度另辟佳徑?仔細(xì)分析題中條件,令人感到不好下手,但我們知道向量可以用坐標(biāo)表示,能否把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,用解析法求解呢?
若仔細(xì)分析題中的條件和結(jié)論,通過聯(lián)想:發(fā)現(xiàn)欲證式子的分子是兩個(gè)向量的模之和,分母是兩個(gè)向量的差的模,因此可以考慮向量的加法法則,構(gòu)造直角三角形,從“形”的角度求證。
“二思”實(shí)際是一題多解,從不同的角度來審視問題,對各種解題思路進(jìn)行比較和篩選,這樣可以達(dá)到溝通新舊知識,各個(gè)知識體系之間聯(lián)系的目的,使所學(xué)知識融會貫通,使解題思路更加開闊,解題過程更加合理,從而達(dá)到“優(yōu)”的境界。
如有可能,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行較高層次的思考,將題目的條件或結(jié)論進(jìn)行變化,看解題的思路、方法有何變化,看原命題能否推廣。
“三思”的優(yōu)點(diǎn)在于通過以上的變題,使我們發(fā)現(xiàn)這一類問題的求解方法,它不但能達(dá)到事半功倍的效果,而且可以領(lǐng)略到解題的規(guī)律,提煉出具有解決一些問題的思考方法。
摘 要:我們要認(rèn)真進(jìn)行學(xué)情分析,充分體現(xiàn)“學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)”,了解學(xué)生,了解課堂,注重教學(xué)生成,有意識地讓自己的教去適應(yīng)學(xué)生的學(xué),使課堂教學(xué)成為提高高三物理復(fù)習(xí)效率的支點(diǎn)。只有提高高三物理復(fù)習(xí)效率,才能實(shí)現(xiàn)高三物理課堂教學(xué)的有效性。
關(guān)鍵詞:高中;物理復(fù)習(xí)
高三物理的復(fù)習(xí)教學(xué)是一項(xiàng)必不可少的相當(dāng)重要的一環(huán)。經(jīng)過兩年多的學(xué)習(xí),學(xué)生們對高中物理的知識體系有了一定的認(rèn)識,但所學(xué)知識往往是片面的、雜亂無章的、不系統(tǒng)。所以必須進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí),復(fù)習(xí)的方式有以專題為主的,有以條、塊為主的,但不管以什么方式為主,都應(yīng)在以下幾個(gè)方面引起足夠的重視。只有這樣才能使高三物理的復(fù)習(xí)工作做到事半功倍的效果。
一、夯實(shí)基礎(chǔ)知識
物理基礎(chǔ)知識一般表現(xiàn)為概念、原理、定律和公式等,主要是一些理論知識,比較抽象且不容易理解。我們要把這種抽象的理論知識內(nèi)化成自己的本領(lǐng),就必須在實(shí)踐活動中積累一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。一開始我忽視了基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí),認(rèn)為學(xué)習(xí)物理不用死記硬背這些文字性的東西,結(jié)果在高三總復(fù)習(xí)中往往不能準(zhǔn)確地說出物理基本概念,例如重力的實(shí)質(zhì)是地球?qū)ξ矬w的萬有引力的分力。摩擦力的產(chǎn)生條件包括:相互接觸的物體間有彈力的存在;“接觸面粗糙”,接觸面間有相對運(yùn)動或相對運(yùn)動的趨勢。功的定義即物體受到了力的作用并在力的方向上發(fā)生了一段位移,我們就說這個(gè)力對物體做了功。物體內(nèi)所有分子動能和所有分子勢能的總和就是物體的內(nèi)能等。正是由于類似基礎(chǔ)不扎實(shí),從而導(dǎo)致高三總復(fù)習(xí)期間做物理題往往不得心用手,限制了高三沖刺的高度。認(rèn)識了這一問題后,我調(diào)整了學(xué)習(xí)思路,在理解記住基本概念的基礎(chǔ)上并學(xué)會運(yùn)用它,這樣在以后做題過程中解題能力大大提高,二輪復(fù)習(xí)受益匪淺。學(xué)完一章后,我們還要及時(shí)復(fù)習(xí),把每節(jié)或每章的基本知識按“樹結(jié)構(gòu)”或以圖表形式使零碎的知識逐步系統(tǒng)化、條理化。例如:學(xué)習(xí)三種常見的力,重力、彈力、摩擦力,從力的三要素及產(chǎn)生條件進(jìn)行對比和歸納;例如:對死桿和活桿上的彈力進(jìn)行比較,死桿的彈力方向不一定沿桿而活桿上的彈力方向一定沿桿。還有電場和磁場的學(xué)習(xí)更是越對比越有滋味。把基礎(chǔ)知識串成線,連成網(wǎng),結(jié)成體,極大的提高了復(fù)習(xí)效率。
二、引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)解題方法規(guī)律化
在復(fù)習(xí)過程中,要使學(xué)生牢固地保持所學(xué)知識,并在掌握技能、技巧方面達(dá)到一定的熟練程度,這就要求學(xué)生們必須在平時(shí)的復(fù)課過程中在知識的鞏固和解題思維方法上總結(jié)出一定的規(guī)律來。題不在于做得多少,只要平時(shí)在練習(xí)過程中,要求學(xué)生多歸納、多總結(jié),使他們掌握解決一類問題的基本解題方法就行了。只有這樣才能大大提高解決同類問題的速度和能力。如解決兩個(gè)物體組成的連接體問題。若兩個(gè)物體的運(yùn)動狀態(tài)相同,可以先用整體法,再用隔離法就可以解決問題;假設(shè)兩個(gè)物體的運(yùn)動狀態(tài)不相同,一個(gè)處于平衡狀態(tài),另一個(gè)做勻變速直線運(yùn)動,就可以用隔離法來解決此類問題。先對一個(gè)物體進(jìn)行受力分析,列平衡方程(或牛頓第二定律方程),再對另一個(gè)物體進(jìn)行受力分析,列牛頓第二定律方程(或平衡方程),找出二者相互聯(lián)系的紐帶――內(nèi)力,最后把所有方程聯(lián)立,就可以解決問題。
三、注意學(xué)生能力培養(yǎng)
陶行知說過:“教育是什么?教人變!教人變好的是好教育,教人變壞的是壞教育?;罱逃倘俗兓睿澜逃倘俗兯?。不教人變、教人不變的不是教育。”物理學(xué)科教學(xué)更是充分體現(xiàn)了這句話,高考將能力的考核放在首要位置,通過對知識及其理解運(yùn)用的考核來鑒別學(xué)生的能力高低。在第一輪復(fù)習(xí)中,基本上按教材的順序,課堂上以“問題――知識點(diǎn)――典型題”為主線,構(gòu)建知識網(wǎng)。以一個(gè)知識點(diǎn)為中心盡量聯(lián)系與此有關(guān)的知識點(diǎn),并使它們有機(jī)地連成一體。復(fù)習(xí)重在理解能力的培養(yǎng),在教學(xué)中應(yīng)通過多形式的辨析使學(xué)生理解概念、規(guī)律的含義、適用條件,認(rèn)識其表達(dá)形式,并通過似是而非的典型事例分析進(jìn)一步加強(qiáng)理解。第二輪復(fù)習(xí)的任務(wù)主要是通過一系列的專題復(fù)習(xí)加強(qiáng)對學(xué)生的各種能力的培養(yǎng),如分析綜合能力、推理能力、解題能力等。培養(yǎng)分析綜合能力時(shí)可從以下幾個(gè)要素進(jìn)行強(qiáng)化。
(一)提高學(xué)生受力分析能力
受力分析是大多數(shù)學(xué)生的薄弱點(diǎn),尤其是較復(fù)雜過程的受力分析。準(zhǔn)確畫出正確的受力分析圖是正確解答物理問題的基礎(chǔ),因此應(yīng)重視每一道題的受力分析,認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生畫出正確的受力分析圖。
(二)提高學(xué)生運(yùn)動過程的分析能力
教學(xué)過程中應(yīng)多培養(yǎng)學(xué)生多說物理過程,多畫物理過程圖,使學(xué)生能夠拆解運(yùn)動過程,清楚整個(gè)過程是由哪幾個(gè)運(yùn)動模型組成的,各個(gè)運(yùn)動模型之間是怎么進(jìn)行轉(zhuǎn)換的,清楚其中起重要作用的因素及有關(guān)條件,清楚每一個(gè)過程所對應(yīng)的規(guī)律,清楚物體各個(gè)位置或關(guān)鍵時(shí)刻的物理狀態(tài)。
(三)加強(qiáng)培養(yǎng)隱含條件和臨界態(tài)分析能力
一般來說復(fù)雜的物理問題有四方面的難點(diǎn):復(fù)雜的運(yùn)動過程、以隱含形式給出部分已知條件、不清楚臨界態(tài)對應(yīng)的物理實(shí)質(zhì)、對有些物理背景或科學(xué)名詞不熟悉。其中學(xué)生尤其感到困難的是臨界態(tài)的物理實(shí)質(zhì)、隱含條件的挖掘,因此平時(shí)應(yīng)多加強(qiáng)這幾方面的練習(xí)。
四、高效進(jìn)行試卷評講
試卷評講是高三物理n堂教學(xué)的重要組成部分,上好評講課對提高學(xué)生解決物理問題的能力等有很重要的作用。課前應(yīng)充分了解學(xué)生答卷情況,做好三件事:統(tǒng)計(jì)分析――分析學(xué)生的答題情況,找出學(xué)生存在的普遍性錯(cuò)誤,然后有針對性地按照知識出錯(cuò)、考試技巧、非智力因素(如計(jì)算錯(cuò)誤)等情況進(jìn)行歸類。校對反饋――考試結(jié)束后給學(xué)生試卷參考答案,讓學(xué)生自己先自行校對,針對錯(cuò)題找原因,提交“試卷講評反饋表”。確定講評試題――根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)、“試卷講評反饋表”等信息,教師要在上課前明確需要講的試題及補(bǔ)充的題目。試卷講評課堂中,要注意講評結(jié)合,杜絕只講不評或只評不講。“講”要突出重點(diǎn)和難點(diǎn),通過重點(diǎn)試題的講解和難題的突破,使學(xué)生在知識構(gòu)建或物理方法等方面得到提升。評講過程中要抓住問題的本質(zhì),注意方式方法,避免以題論題、孤立講解。教師可以“一題多解、一題多聯(lián)、一題多變”;錯(cuò)題再校正,拓展練習(xí),再反饋。學(xué)生的練和教師的講要著力于培養(yǎng)解決問題的高手,而不是訓(xùn)練解題“高手”?!熬殹睉?yīng)重視審題能力的培養(yǎng),強(qiáng)調(diào)解題的思維操作規(guī)范、解題的書寫操作規(guī)范;“講”讓學(xué)生通過錯(cuò)誤分析,掌握自己犯錯(cuò)的類型――防范錯(cuò)誤。
參考文獻(xiàn):
關(guān)鍵詞:新課標(biāo);科學(xué)備考;提高;復(fù)習(xí)效率
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)量大面廣、思想方法多,聯(lián)系緊密,內(nèi)涵豐富,相對于其他學(xué)科而言,內(nèi)容抽象,邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。因此不少學(xué)生既感到畏懼,又無從下手。另外高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多,復(fù)習(xí)時(shí)間緊,學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)較重。如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對性和實(shí)效性呢?因此在數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)時(shí),需要講究方法,注重實(shí)效,老師要引領(lǐng)到位、不做無用之功,減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。
一、回歸教材,立足主干,知識與能力并重
教材是考試內(nèi)容的媒介,是高考命題的重要依據(jù),也是學(xué)生思維能力的生長點(diǎn)。只有吃透課本上的例題和習(xí)題,才能全面、系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法及基本思想,構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò),以不變應(yīng)萬變。數(shù)學(xué)的基本概念、定義、公式和數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的聯(lián)系,基本的數(shù)學(xué)解題思路與方法是第一輪復(fù)習(xí)的重中之重。
回歸教材,自己先對知識點(diǎn)進(jìn)行梳理,把教材上的每一個(gè)例題、習(xí)題再做一遍,確保基本概念、公式等牢固掌握,要扎扎實(shí)實(shí),不要盲目攀高,欲速則不達(dá)。因此,對基本數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識,基本數(shù)學(xué)問題解法模式的研究,基本問題所涉及的數(shù)學(xué)知識、技能、思想方法的理解是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重心。多年的教學(xué)實(shí)踐使我深刻體會到:基礎(chǔ)題、中檔題不需要題海,高檔題題海也是不能解決的。因此在第一輪復(fù)習(xí)中,切忌“高起點(diǎn)、高強(qiáng)度、高要求。”
二、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),強(qiáng)化知識交匯點(diǎn)問題的訓(xùn)練
知識網(wǎng)絡(luò)就是知識之間的基本聯(lián)系,它反映知識發(fā)生的過程,知識所要回答的基本問題。構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的過程是一個(gè)把厚書(課本)讀薄的過程;同時(shí)通過綜合復(fù)習(xí),還應(yīng)該把薄書讀厚,這個(gè)厚,應(yīng)該比課本更充實(shí),在課本的基礎(chǔ)上加入一些更宏觀的認(rèn)識,更個(gè)性化的理解,更具操作性的解題經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識要抓住各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合進(jìn)行重新組合,對所學(xué)知識的認(rèn)識形成一個(gè)較為完整的結(jié)構(gòu)。在第一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)“低起點(diǎn)、中強(qiáng)度、細(xì)要求”。在復(fù)習(xí)過程中,必須再現(xiàn)主干知識形成的過程,注意知識結(jié)構(gòu)的重組與概括,揭示其內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律,重新全面梳理知識,提煉方法,感悟思想。強(qiáng)化基本技能的訓(xùn)練要克服“眼高手低”現(xiàn)象,主要在速算、語言表達(dá)、解題、反思矯正等方面下工夫,盡量不丟或少丟一些不應(yīng)該丟失的分?jǐn)?shù)。復(fù)習(xí)中考生對知識交匯點(diǎn)的問題應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)訓(xùn)練,實(shí)際上就是訓(xùn)練學(xué)生的分析問題解決問題的能力。綜合性的問題往往是可以分解為幾個(gè)簡單的問題來解決的,這幾個(gè)簡單問題有機(jī)的結(jié)合在一起。要解決這類考題,關(guān)鍵在于弄清題意,將之分解,找到突破口。
三、注重通性通法,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)
高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持新題不難、難題不怪的命題方向,強(qiáng)調(diào)“注意通性通法,淡化特殊技巧”。重視高中數(shù)學(xué)的通性通法,倡導(dǎo)舉一反三、一題多解和多題一解,努力培養(yǎng)學(xué)生“五種能力、兩個(gè)意識”,即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。能力的分類和要求與以前有不同,必然要反映在命題中。特別應(yīng)注意新增加的“數(shù)據(jù)處理能力”和“應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”.前者與統(tǒng)計(jì)有關(guān),后者與應(yīng)用問題有關(guān)。另外“推理論證能力”有別于先前四大能力之一的“邏輯思維能力”,邏輯思維能力注重是演繹推理,“合情推理”應(yīng)引起我們的重視,它可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,這正是新課改大力倡導(dǎo)的。寧夏和陜西的試題中在“數(shù)據(jù)處理能力”方面體現(xiàn)得很明顯,所以我們要引起重視。
四、精選習(xí)題,優(yōu)化訓(xùn)練,提高備考復(fù)習(xí)的有效性
高考要想取得好成績,取決于扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、熟練的基本技能和解題能力。而這些能力的提高都需要通過適當(dāng)有效的練習(xí)才能實(shí)現(xiàn)。第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)特別針對學(xué)生基礎(chǔ)較差,動手能力不強(qiáng),知識不能縱橫聯(lián)系的問題進(jìn)行復(fù)習(xí),達(dá)到重難點(diǎn)的突破,使學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。要側(cè)重于訓(xùn)練客觀題和中檔題,訓(xùn)練速度和正確率,也要適量做一些綜合題,提高解題思維能力。并及時(shí)總結(jié)、記憶,內(nèi)化提高。要強(qiáng)化解題技能的形成。解題技能主要包括:計(jì)算、推理、畫圖、語言表達(dá),這些必須做得非常規(guī)范,非常熟練,做的時(shí)候要再現(xiàn)數(shù)學(xué)思想,也就是要明白每一步為什么要這么做。
五、以考代練,重視強(qiáng)化訓(xùn)練
備考復(fù)習(xí)中進(jìn)行模擬考試,可以進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,提高學(xué)生的解題能力和解題速度。備考復(fù)習(xí)時(shí)要抓好以下三個(gè)方面:①強(qiáng)化客觀題的訓(xùn)練,結(jié)合專題復(fù)習(xí),采用定時(shí)定量的訓(xùn)練方法,尋求合理、簡潔的解題途徑,力爭“保準(zhǔn)求快”,拿足基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)分;②強(qiáng)化中等學(xué)生的輔導(dǎo),使班級均分水漲船高,通過專題性的題組訓(xùn)練,旨在將知識轉(zhuǎn)化為能力,轉(zhuǎn)化為成績;③強(qiáng)化考試試卷的講評,讓學(xué)生知道正確的標(biāo)準(zhǔn),每一次考完后,要讓學(xué)生自己認(rèn)真總結(jié)。
一、問題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有趣味性,自然性
問題的設(shè)置不能過于生硬,讓人感受不到其自然性,琢磨不透是怎么想到這個(gè)問題的,要給人一種自然的、水到渠成的感覺;同時(shí)問題的設(shè)計(jì)要盡可能的有趣味性,緊密聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生的興趣和參與性,才能激發(fā)學(xué)生求知欲,才能調(diào)動學(xué)生注意力,刺激學(xué)生思維,讓學(xué)生體會到智力角逐的樂趣。如在復(fù)習(xí)幾何概型這節(jié)課時(shí)設(shè)計(jì)如下問題:
問題1:在3米長的繩子上有四個(gè)點(diǎn)P,Q,R,S將繩子五等分,從這四個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)處將繩子剪斷,如果剪得兩段長都不小于1米,那么灰太郎就可以不去捉羊,那么它不去的概率是多少?
問題2:紅外保護(hù)線長3米,只有在和兩端距離均不小于1米的點(diǎn)接觸紅外線,才不會報(bào)警,灰太郎能夠安全進(jìn)羊村的概率是多少?
問題3:羊村是個(gè)面積為10000平方米的矩形,灰太郎在羊村內(nèi)炸出的圓有100平方米,假設(shè)喜洋洋在羊村的每一點(diǎn)都是等可能的,那么他炸到喜洋洋的概率是多少?
通過以上三個(gè)問題,讓學(xué)生很自然由古典概型的概念延伸到幾何概型的概念,體會二者的區(qū)別和聯(lián)系,讓學(xué)生深入思考幾何概型的特點(diǎn),同時(shí)在解題的過程中體會到數(shù)學(xué)的趣味性。
二、問題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有層次性
新課程要求教學(xué)應(yīng)面向全體的學(xué)生,關(guān)注每個(gè)學(xué)生的發(fā)展。如果問題太易,學(xué)生就會不以為然,失去問題的價(jià)值,教師也會失去與學(xué)生溝通的機(jī)會,浪費(fèi)教學(xué)時(shí)間。如果問題太難,學(xué)生不敢答,不能答,就會損傷學(xué)生思維的積極性,影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心。因此課堂問題的設(shè)計(jì)要滿足不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)的需要,教學(xué)中遇到重難點(diǎn)問題應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā),充分調(diào)動每一位學(xué)生的積極性,增強(qiáng)自信心。
三、問題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有迷惑性
教學(xué)中應(yīng)結(jié)合平時(shí)對學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的問題收集積累,加以分析研究,根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤設(shè)計(jì)相關(guān)的問題,幫助學(xué)生澄清錯(cuò)誤,強(qiáng)化正確的概念,能很好的實(shí)現(xiàn)有效地教學(xué)。例如在解決恒成立問題這節(jié)課,我對一道題目作了如下設(shè)計(jì):
已知函數(shù)f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8
問題1:若對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
問題2:若對任意的x1,x2∈[0,+∞),都有f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
問題3:若存在x1,x2∈[0,+∞)時(shí),都有f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
這三個(gè)問題都是不等式恒成立的問題,看似相似,很多同學(xué)都轉(zhuǎn)化f(x)-g(x)≥0恒成立,即只需求(f(x)-g(x))min≥0。實(shí)際上這只是問題1的思路,而問題2是對任意的x1,x2∈[0,+∞),都有f(x1)≥g(x2)成立,不等式的兩端的自變量不同,x1,x2的取值在[0,+∞)是有任意性的,所以不等式恒成立的充要條件是f(x)的最小值大于g(x)的最大值。而問題3不等式恒成立的充要條件是f(x)的最大值大于等于g(x)的最小值。
這類題是學(xué)生的弱點(diǎn),難點(diǎn),所以也就成了高考的熱點(diǎn)。一道好的數(shù)學(xué)命題,能使解題成為培養(yǎng)一種科學(xué)的方法,分析和解決問題的正確的思路,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)實(shí)踐中歸納總結(jié)出理性認(rèn)知的過程。在高三總復(fù)習(xí)中教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的基本題型的變式訓(xùn)練,使其掌握基本的解題技巧,以不變應(yīng)萬變。
四、問題設(shè)計(jì)要具有探究性
新課程改革提出要培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力,對于同一問題,教師要能運(yùn)用條件的增減變化及結(jié)論的延伸和條件與結(jié)論的互換,一題多解,一題多變等方法,設(shè)計(jì)出新的問題。這有助與學(xué)生縱穿橫拓的思維活動,有利于提高學(xué)生的思維能力和探究能力。
在探究過程中進(jìn)一步理解所學(xué)的知識,在新的情境下實(shí)現(xiàn)知識的潛移。當(dāng)探索與研究真正到達(dá)課堂,融入教學(xué)時(shí),數(shù)學(xué)會變得更加有趣,學(xué)生也會更加喜歡數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)能力也會得到進(jìn)一步提高。
五、問題設(shè)計(jì)應(yīng)具有開放性
開放性試題,能很好的考查學(xué)生的推理及分析能力,是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散和創(chuàng)新思維的很好的載體。問題設(shè)計(jì)應(yīng)具有開放性,所提出的問題是不確定的和不一般性的,讓學(xué)生按自己的思維方式尋求不同的結(jié)論,而并不要求結(jié)論的唯一性和標(biāo)準(zhǔn)化,在求解問題的過程中通常需要從多角度進(jìn)行思考和探索,這不僅使學(xué)生的概括能力和遷移能力得到提高,而且對數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟。從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,訓(xùn)練和提高學(xué)生的創(chuàng)新思維,增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。
如:設(shè)x,y,z是空間的不同的直線或不同的平面,且直線不在平面內(nèi),請寫出能使xz且yz,則x∥y成立的x,y,z為直線或平面的所有可能。
新課標(biāo)對學(xué)生的空間想象能力要求是:能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并做出正確的平面直觀圖,能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形;能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系,并能夠?qū)臻g圖形進(jìn)行分解和組合。此題是一道很好的開放題,他對學(xué)生的空間想象能力及進(jìn)行符號語言、圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)化提出了更高的要求,它對提高學(xué)生思維的靈活性也提出更高的要求。課堂上很快就有學(xué)生得出諸如x為直線,y,z為平面;x,y為直線,z為平面;x,y為平面,z為直線等等很多種可能。
級別:北大期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
級別:北大期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
級別:省級期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
級別:省級期刊
榮譽(yù):Caj-cd規(guī)范獲獎(jiǎng)期刊
級別:省級期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫