命題邏輯的推理理論精選(九篇)

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第1篇：命題邏輯的推理理論范文

【關(guān)鍵詞】形式證明 命題 邏輯推理 序列

【中圖分類號】G632 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）04-0141-02

在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，幾何知識是許多學(xué)生都倍感頭痛的問題，尤其是幾何證明。這是一個較為普遍的現(xiàn)象，其成因頗多，既有主觀因素也不乏客觀因素。不少同學(xué)在聽老師講課時基本能懂能接受，但要其證明時就出現(xiàn)了這樣那樣的問題，不是不會寫證明過程，就是說不清理由；不是東扯西拉，就是前后銜接不上……還有就是想當(dāng)然者——“我覺得就是這樣的”；更有甚者，將舉例說明和證明混為一談，真可謂是“百花齊放”，諸如此，林林總總，本文不在此一一列舉。

何謂證明？“一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能做出判斷，這個推理過程叫做證明?！比私贪妫吣昙壪聝?1頁，如是說。誠然，這不能說其不對，但也確實不夠清楚。什么是“推理過程”？具體問題又該如何“推理”？從課本的這段話中，我們恐怕不易弄清以上問題。許多初學(xué)幾何的初中生雖能朗朗上口地背誦定理，但卻不能真正理解其含義，更談不上對其的運用。那么，為何初中生都普遍覺得幾何難學(xué)呢？問題究竟出在哪里？這些問題本文將稍后逐步探討。

幾何學(xué)是一門非常古老的學(xué)科，早在古希臘時期幾何學(xué)就已經(jīng)非常繁榮，比如歐式幾何。時至今日，我們所學(xué)的初等幾何基本上都是建立在經(jīng)歷了兩千多年的歐式幾何的基礎(chǔ)之上的，由此可見其古老性之一斑。雖然幾何學(xué)由來已久，并經(jīng)過了數(shù)千年的積淀和研究，然而它仍然令一代又一代的學(xué)習(xí)者為之困惑，緣何？筆者認為，幾何學(xué)之難（尤其是幾何證明）關(guān)鍵在于其形式化的公理、定理、性質(zhì)以及演繹推理等。所謂形式化，即是用一系列約定的符號（如邏輯符號）來表示概念、符號化命題以及推理，并將一定范圍內(nèi)的所有正確的推理形式（邏輯規(guī)律）都匯集在一個整體中。在此基礎(chǔ)之上，由幾條公理及公設(shè)出發(fā)，并規(guī)定一些初始符號和規(guī)則，經(jīng)過有效的邏輯推理，得出若干新的、正確的、可靠的結(jié)論（即命題），這些命題的集合就形成一個公理系統(tǒng)，這就是形式化幾何。初中幾何主要研究的是平面幾何的圖形性質(zhì)及其數(shù)量關(guān)系，在歐式幾何的公理體系和框架下，早已經(jīng)形成了許多有關(guān)平面幾何的命題，但是教師在教學(xué)的過程中絕不能只告訴學(xué)生們一個結(jié)果，更多時候教師需要引導(dǎo)他們?nèi)ヌ剿鞑l(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)和證明他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，要證明就必然要弄清形式化的推理。

下面，本文就從數(shù)理邏輯的角度來探討何謂推理？何謂證明？為此，需要介紹一些有關(guān)的數(shù)理邏輯概念和符號。

一 命題與邏輯運算符

定義1：具有確定真假性的陳述句稱為命題。

凡是命題都有真值，命題的真值只有兩種情況，即取自集合{0，1}，具體情況是：真命題的真值為1，假命題的真值為0。

定義2：具有唯一確定真值的陳述句稱為命題。

要判斷一個語句是不是命題，需要注意兩點：一是先判斷其是否為陳述句；其次是看其真值是否唯一確定，這兩個條件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，該語句雖然是陳述句，但卻無法判斷真假。因為x是可變的，當(dāng)x取3時，其為假命題；當(dāng)x取7時，其為真命題。這類語句可稱之為命題變元或稱之為命題變量，值得注意的是命題變元不是命題，原因是其真值是可變的，時真時假。此外，還要特別注意像“我正在說謊話”這樣的陳述句，這個語句無論你假設(shè)其真值為“1”還是“0”都會推出矛盾，這樣的語句稱之為悖論。在數(shù)學(xué)中比較著名的有“羅素悖論”。

通常命題可分為簡單命題和復(fù)合命題，簡單命題就是不能分解成更簡單的陳述句的命題，簡單命題也稱為原子命題。復(fù)合命題就是除簡單命題外的命題，復(fù)合命題也可以理解為是由邏輯運算符聯(lián)結(jié)簡單命題而成的。為了便于后面的討論，本文約定用小寫的英文字母p、q、r…表示命題或命題變元。

比較常用的邏輯運算符有5種：（1）“”稱為否定運算符，讀為“非”。（2）“”稱為合取運算符，讀為“且”或“與”。（3）“”稱為合取運算符，讀為“或”。（4）“”稱為蘊含運算符，讀為“蘊含”。（5）“”稱為等價運算符，讀為“等價”。

以上5種邏輯運算有其優(yōu)先級，規(guī)定其優(yōu)先順序為：（）、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的順序來做運算，對于同一優(yōu)先級的運算符，先出現(xiàn)者先算。

二 推理和證明

定義3：命題公式遞歸定義如下：（1）單個的命題常量或命題變量是命題公式；（歸納基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命題公式；（歸納步）。（3）所有的命題公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符號串；（最小化）。

在這里可以使用大小寫英文字母表示命題公式，英文字母還可帶下標(biāo)。以后在沒有二義的情況下，將命題公式簡稱為公式。命題邏輯的推理理論就是利用命題邏輯公式研究什么是有效的推理。

定義4：推理就是從前提集合開始演繹出結(jié)論的思維過程，前提集合是一系列已知的命題公式，結(jié)論是從前提集合出發(fā)應(yīng)用推理規(guī)則推出的命題公式。

若前提是一系列真命題，并且推理中嚴格遵守推理規(guī)則，則推出的結(jié)論也是真命題。在命題邏輯中，主要研究推理規(guī)則。

定義5：稱蘊含式（A1A2…An）B為推理的形式結(jié)構(gòu)，A1，A2，…，An為推理的前提，B為推理的結(jié)論。若（A1A2…An）B為永真式，則稱從前提A1，A2，…，An推出結(jié)論B的推理正確（或說有效），B是A1，A2，…，An的邏輯結(jié)論或稱有效結(jié)論，否則稱推理不正確。若從前提A1，A2，…，An推出結(jié)論B的推理正確，則記為（A1A2…An）B。

通俗地講（A1A2…An）B即是說，若A1，A2，…，An都正確，則B也正確。清楚了什么是推理以及推理的結(jié)構(gòu)后，下面來討論什么是證明。

定義6：證明是一個描述推理過程的命題公式序列A1，A2，…，An，其中的每個命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應(yīng)用推理規(guī)則得到的結(jié)論，滿足這樣條件的公式序列A1，A2，…，An稱為結(jié)論An的證明。

在證明中常用的推理規(guī)則有3條：（1）前提引入規(guī)則：在證明的任何步驟都可以引入已知的前提；（2）結(jié)論引入規(guī)則：在證明的任何步驟都可以引入這次已經(jīng)得到的結(jié)論作為后續(xù)證明的前提；（3）置換規(guī)則：在證明的任何步驟上，命題公式中的任何子公式都可用與之等值的公式置換，得到證明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的邏輯推理規(guī)則，如何運用這些規(guī)則進行推理和證明呢？在定義6中可以看到，證明實質(zhì)上就是要把已知的命題公式按照一定順序排列起來，那么具體問題的證明要如何來將那些已知的條件、公理、定理、推論以及性質(zhì)等（諸如此類在邏輯上都可視為命題公式）按照怎樣的順序來排列呢？下面，通過初中幾何中的具體實例進一步體會理解證明的實質(zhì)。

例如，已知：如圖在RtABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。

求證：DE=DF。

分析：由ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中點，可考慮連接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。從而不難發(fā)現(xiàn)DCF≌DAE。

證明：連接CD。

AC=BC；

∠A=∠B。

∠ACB=90°，AD=DB；

CD=BD=AD，∠DCB=∠B

=∠A。

AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。

DCF≌DAE。

DE=DF。

上述證明的過程，實質(zhì)上就是一個命題的序列，可以如下來看：（1）等腰三角形ABC兩腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形ABC兩底角相等（∠A=∠B）；（3）已知條件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形DCB兩腰及兩底角相等；（5）等量減等量得等量（AE=CF），（4）得出的結(jié)論（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（DCF≌DAE）；（7）全等三角形對應(yīng)邊相等（DE=DF）。

這里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一個序列嗎？并且序列中的（7）就是要證明的結(jié)論，其實所有的證明都是如此，只要按照邏輯的推理規(guī)則構(gòu)造出一個包含證明結(jié)論的序列即可。那么，在這七步的序列中運用了哪些推理規(guī)則呢？（1）前提引入規(guī)則；（2）前提引入規(guī)則；（3）前提引入規(guī)則；（4）假言推理規(guī)則；（5）置換規(guī)則和結(jié)論引入規(guī)則；（6）假言推理規(guī)則；（7）假言推理規(guī)則。

數(shù)學(xué)能夠非常有效地訓(xùn)練人的邏輯思維能力，它是其他學(xué)科無可替代的，而數(shù)學(xué)證明又是最為有效的途徑，正如羅增儒先生所說，數(shù)學(xué)證明有助于獲得新的體驗、發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論；有助于增進理解，只有清楚了一個命題的證明，才能真正理解該命題的內(nèi)容。對于幾何證明，首先應(yīng)該弄清題意，明確證明方向即把握好題目的已知條件和要證明的結(jié)論，然后結(jié)合圖形理清思路，把和本題有關(guān)的命題搜索出來，再來思考需要用到哪些定理，將其羅列出來，最后按照邏輯的思維方法把它們構(gòu)造成一個包含要證明結(jié)論的序列，這就完成了證明的過程。

參考文獻

[1]人民教育出版社、課程教材研究所等.數(shù)學(xué)（七年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012

[2]張順燕.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京：高等教育出版社，2004

[3]耿素云.離散數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008

第2篇：命題邏輯的推理理論范文

    論文關(guān)鍵詞 法律邏輯學(xué) 形式邏輯 非形式邏輯

    在我國,法律邏輯的研究開始于80年代初期,起步較晚,而且國內(nèi)學(xué)者對國外法律邏輯的研究狀況也了解較少。在我國法律邏輯研究的初期階段,法律邏輯學(xué)的主要研究方向是如何把形式邏輯的知識應(yīng)用到法律當(dāng)中,法律邏輯的任務(wù)在于把形式邏輯的一般原理運用于法學(xué)和法律工作中。但隨著研究的深入以及學(xué)科理論的發(fā)展,不少學(xué)者認識到把法律邏輯限制在形式邏輯的框架下,不僅阻礙了這一學(xué)科的發(fā)展,也沒能使這一學(xué)科發(fā)揮出其應(yīng)有的作用。因此,國內(nèi)的法律邏輯學(xué)教材多呈現(xiàn)出兩種趨勢,一種是以形式邏輯為框架穿插法律案例,以形式邏輯的推論來解決法律案例中的邏輯問題;另一種是不局限于形式邏輯,而是采用了更多的非形式邏輯的方法來解決法律實踐中遇到的難題。在這樣的背景下,便產(chǎn)生了法律邏輯學(xué)的研究方向的轉(zhuǎn)向。有的學(xué)者更多的是從法律的角度出發(fā),把法律思維分為立法和司法兩個領(lǐng)域,司法領(lǐng)域中所涉及的推論分為事實推理、法律推理和判決推理。也有的學(xué)者更多的是從邏輯學(xué)角度出發(fā),認為法律邏輯學(xué)研究的主要趨向應(yīng)該是非形式邏輯的方向。本人認為法律邏輯學(xué)是法學(xué)和邏輯學(xué)的交叉學(xué)科,它既是法學(xué)的一個分支,又是邏輯學(xué)的一個分支,它運用的是邏輯工具,它需要解決的則是法律領(lǐng)域的問題,因此法律邏輯學(xué)有著它固有的邏輯基礎(chǔ)——形式邏輯,但僅有形式邏輯明顯不足以支撐起法律邏輯學(xué)的大廈,法律實踐中遇到的問題很多還要留給非形式邏輯去解決。

    一、形式邏輯與法律邏輯學(xué)

    法律推理是指運用“情境思維”的方法或“個別化的方法”來解讀或解釋法律,從已知或假定的法律語境出發(fā)判斷出法律意思或含義的推論,是一個在法律語境中對法律進行判斷或推斷的過程。法律推理旨在為案件確定一個可以適用的法律規(guī)則即上位法律規(guī)范,為判決確立一個法律理由或法律依據(jù)即裁判大前提。形式邏輯可以為法律邏輯學(xué)提供一定的理論基礎(chǔ),這是毋庸置疑的,運用形式邏輯的方法來解決法律邏輯問題的案例在法律邏輯學(xué)教科書中也屢見不鮮:

    偵查機關(guān)通過一番調(diào)查,初步判斷:

    被害者的上級(B)、妻子(M)、秘書(G)中至少有一人是兇手,但他們不全是兇手。

    僅當(dāng)謀殺發(fā)生在辦公室里(A),上級才是兇手;如果謀殺不發(fā)生在辦公室里,秘書不是兇手。

    假如使用毒藥(C)那么除非妻子是兇手,上級才是兇手;但妻子不是兇手。

    毒藥被使用了,而且謀殺未發(fā)生在辦公室里。

    問:偵查員的這些判斷都是真實的嗎?

    解決這一問題首先需要把四個命題用形式化的方法表示出來,然后運用自然推理系統(tǒng)PN進行推理,推理過程中如果得出了相互矛盾的結(jié)果則說明這些判斷不都是真實的,如果得出的結(jié)果沒有相互矛盾,則證明這些判斷都是真實的。這是運用形式邏輯來解決刑事案件的典型例子。從這個例子可以看出,形式邏輯是研究推理的,是一種證明的邏輯,傳統(tǒng)法律邏輯運用的是傳統(tǒng)邏輯即形式邏輯,可見它解決的是法律推理問題。所謂推理是指由一個推論的序列組成的推論鏈,其中一個推論的結(jié)論是下一個推論的前提;所謂推論是指一組命題,其中一個命題是結(jié)論,其他命題是前提;而一個推理序列則組成了論證,其中一個推理的結(jié)論充當(dāng)了下一個推理的前提?？梢哉f,一個論證包含了多個推理,一個推理包含了多個推論。形式邏輯雖然解決了法律推理問題,但是未能解決法律論證問題。

    另外,法律推理理論的研究大致有兩個方向,一是法律的形式推導(dǎo),二是法律的實質(zhì)推導(dǎo)。法律的形式推導(dǎo)是指基于法律的形式理性或邏輯理性進行的法律推理,是基于法律規(guī)范的邏輯性質(zhì)或邏輯關(guān)系進行的法律推理。法律的形式推導(dǎo)的結(jié)果是法律規(guī)范的邏輯后承,是對法律規(guī)范進行邏輯判斷的結(jié)果,是對法律規(guī)范進行“形式計算”或“概念計算”的結(jié)果。如果要進行法律形式推導(dǎo),則必定是建立在法律規(guī)范含義明確清晰,案件事實確鑿清楚,案件所適用的法律規(guī)范是確定無疑義的情況下的,這樣一來就可以根據(jù)法律規(guī)范本身的邏輯特性,按照相應(yīng)的邏輯規(guī)則進行推理,這種推理可以運用形式邏輯的的方法,但是這種法律形式推理只適用于較為簡易的案件判決。從這里可以看出,形式邏輯確實可以為法律邏輯學(xué)提供一定的理論基礎(chǔ)。

    雖然形式邏輯可以為法律邏輯學(xué)的研究提供一定的方法,但是僅僅有形式邏輯時無法滿足法律邏輯學(xué)發(fā)展的需要的。眾所周知,能夠進入訴訟程序的案件往往不是那么容易就被確認的,控辯雙方經(jīng)常會在法律規(guī)范的模糊意義下擺出自己的道理,控辯雙方對于案件事實的描述也往往大相徑庭,在這種情況下,法官則需要運用法律的實質(zhì)推導(dǎo)來處理案件。法律的實質(zhì)推導(dǎo)是指基于實踐理性或目的理性以及價值理性進行的法律推理。它是基于法律意圖或目的、法律的價值取向、社會效用或社會效益、社會公平正義觀念等實質(zhì)內(nèi)容對法律展開的推論。在法律出現(xiàn)空隙,法律規(guī)范含混不清,相互抵觸,“合法”與“合理”相悖的困境等問題上,法律實質(zhì)推理作出了法律形式推理無法給出的回答。

    形式邏輯也有傳統(tǒng)和現(xiàn)代之分,傳統(tǒng)形式邏輯主要是指亞里士多德三段論理論和斯多葛命題邏輯為主體的形式邏輯,現(xiàn)代形式邏輯主要是指皮爾士、弗雷格、羅素、希爾伯特等人發(fā)展起來的數(shù)理邏輯或符號邏輯。從形式邏輯本身性質(zhì)來看,它自身的一些特點決定了它無法完全滿足法律邏輯學(xué)發(fā)展的需要。

    首先,我們知道形式邏輯主要研究的是演繹推理的有效性問題,如果想要得到真實可靠的結(jié)論,則需兩個條件:前提真實并且形式有效,而形式邏輯關(guān)心的則是人工語言論證和邏輯系統(tǒng)的有效性,它對前提是否真實則關(guān)注不夠。一個論證的形式是有效的并不能保證前提是真的?！靶问竭壿媽φ撟C的評價是從真前提開始,但如何判定前提的真假,這已經(jīng)超出形式邏輯所討論的范圍?！?/p>

    其次,在法律事務(wù)中遇到的問題往往不像上述例子中那么簡單,某些不確定的因素總是包含在法律論證的大、小前提(即法律規(guī)范和案件事實)當(dāng)中,在由前提到結(jié)論的推論中,不是單純的形式邏輯的推演活動,因而這樣的推論不可能是像書本例題中的那種簡單形式邏輯的操作。作為法律論證大前提的法律規(guī)范是基于自然語言的產(chǎn)物,因此難免會受到自然語言多義性、模糊性的影響,導(dǎo)致法官、律師在運用法律規(guī)范的過程中產(chǎn)生困擾。

    在實際操作中,作為法律推論小前提的案件事實并不總是清晰地擺在人們面前,法官、律師也總是面對不完整的案件事實而進行推理、推論,而形式邏輯所進行的演繹推理必然是在前提充分的條件下進行的,它關(guān)注的更多是程序化的論證及人工語言的論證。從這點來看,用形式邏輯來進行法律推論顯然是力不從心的。

    再次,形式邏輯所研究的命題都是事實命題,是有真值的對象,形式邏輯對事實命題做出的非此即彼的評價是形式邏輯二值性的充分體現(xiàn)。但是在法律文本中有較多的命題并非事實命題,而是如“外國人入境,應(yīng)當(dāng)向出入境邊防檢查機關(guān)交驗本人的護照或者其他國際旅行證件、簽證或者其他入境許可證明,履行規(guī)定的手續(xù),經(jīng)查驗準許,方可入境。(中華人民共和國出境入境管理法第二十四條)”這一類的規(guī)范命題或價值命題,這類命題的性質(zhì)無所謂真假,它們也不充當(dāng)演繹推理的前提和結(jié)論,這類命題顯然已經(jīng)超出了形式邏輯的研究范圍。形式邏輯并不專門以法律領(lǐng)域中的推理與論證為對象,沒有涵蓋法律思維領(lǐng)域里的全部推理與論證。

    第四,《牛津法律大辭典》指出:“法律推理是對法律命題的一般邏輯推理”,包括演繹推理、歸納推理和類比推理。法律思維中涉及了大量的歸納推理、類比推理、語境推理等,這些都屬于非演繹推理的范疇,而形式邏輯對非演繹推理的研究十分粗糙,無法滿足法律思維的實踐,因此形式邏輯無法有效地評價、規(guī)范全部法律思維。

    二、法律邏輯學(xué)的研究方向——非形式邏輯

    非形式邏輯興起于上個世紀60年代,到目前為止,它還沒有一個完全統(tǒng)一公認的概念,現(xiàn)任《非形式邏輯》雜志主編拉爾夫·約翰遜(RalphH.Johnson)和安東尼·布萊爾(J.AnthonyBlair)提出:“非形式邏輯是邏輯的一個分支,其任務(wù)是講述日常生活中分析、解釋、評價、批評和論證建構(gòu)的非形式標(biāo)準、尺度和程序”。這個定義被認為是當(dāng)今流行的定義。從這個定義中可以看出,非形式邏輯的研究對象是日常生活的語言,也就是自然語言,這一點恰恰迎合了法律邏輯學(xué)以自然語言為文本的的特性。

    非形式邏輯之所以是“非形式的”,這主要是因為它不依賴于形式演繹邏輯的主要分析工具——邏輯形式的概念,也不依賴于形式演繹邏輯的主要評價功能——有效性。非形式邏輯在這方面與形式邏輯形成了良好的互補,形式邏輯研究論證主要是基于語義的研究,即真假命題之間的關(guān)系研究;而非形式邏輯研究論證主要是基于語用的研究,即從語境和論證目的角度進行研究,正是這一點成為了法律邏輯學(xué)與非形式邏輯的完美聯(lián)姻。在法律邏輯學(xué)中,與法律形式推導(dǎo)對應(yīng)的是法律實質(zhì)推導(dǎo),法律實質(zhì)推導(dǎo)是指基于實踐理性或目的理性以及價值理性進行的法律推理,是基于法律意圖或目的、法律的價值取向、社會效用或社會利益、社會公平正義觀念等實質(zhì)內(nèi)容之間的關(guān)系對法律展開的推論,可分為法律的目的推導(dǎo)和價值推導(dǎo)。法律實質(zhì)推導(dǎo)是基于目的蘊涵和價值蘊涵,而不是基于形式蘊涵,因此它應(yīng)當(dāng)有不同于法律形式推導(dǎo)的框架,而非形式邏輯從語境和論證目的角度進行研究就為法律實質(zhì)推導(dǎo)提供了工具。