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一、從問題創(chuàng)設(shè)入手,感知建模思想
在小學數(shù)學教學中,要讓學生建立建模思想,就要從現(xiàn)實生活背景入手,讓學生根據(jù)生活實際,本著解決問題的需要,感知數(shù)學模型的構(gòu)建。
如在教學平均數(shù)時,我創(chuàng)設(shè)了生活情境:5名男生一組,6名男生一組,兩組分別進行跳繩比賽,哪個組的水平更高一些?如何判斷兩組的水平高低?有學生提出,可以根據(jù)總數(shù)多少來進行比較,也有學生認為可以根據(jù)每組中的最高成績來比較。經(jīng)過探究之后發(fā)現(xiàn),這兩種方法都不能完全公正地表示出每組成員的真實水平。這時有學生提出要算出每組成員的平均水平,由此平均數(shù)的概念建立起來了,求解平均數(shù)的建模策略應需而生。通過情境的創(chuàng)設(shè),學生有了構(gòu)建“平均數(shù)”的內(nèi)在需求,同時也能夠明確平均數(shù)模型構(gòu)建的條件。
二、充分感知,積累表象,培育建模的基礎(chǔ)
數(shù)學模型的建立過程,需要通過共性事物的不斷積累,教學中教師要提供給學生多維度的數(shù)量關(guān)系,為學生構(gòu)建數(shù)學模型提供可能。
如低年級湊十法的模型構(gòu)建中,首先要讓學生探究從9加幾一直到4加幾的湊十的過程,這其中還要有不同的層次,9加幾是教師引導,而8加幾和7加幾則采取“半扶半放”的方法。通過探究達到表象的積累,又經(jīng)過觀察、操作、實踐、討論,最終為學生掌握“湊十法”的建模思想打下了良好的基礎(chǔ),為學生的抽象思維做足了準備。
又如在教學“解決問題的策略之替換”實際教學中,我先讓學生分析題中的數(shù)量關(guān)系,得出:6個小杯和1個大杯一共是720毫升;一個大杯的容量相當于3個小杯的容量。(如下圖)
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提出問題:如果這樣的大杯和小杯進行替換,你打算怎么做?
學生通過尋找數(shù)量關(guān)系得到解答:
大杯換成小杯:
1個大杯可以換成3個小杯
720÷(3+6)
=720÷9
=80(毫升)……一小杯容量
小杯換成大杯:
3個大杯可以換成1個小杯
720=(6÷3+1)
=720÷3
=240(毫升)……大杯容量
通過引導學生把直觀圖形抽象成幾何圖形,學生在抽象概括的基礎(chǔ)上初步感知了數(shù)學中的建模思想。
三、組織躍進,抽象本質(zhì),完成模型的構(gòu)建
在進行模型構(gòu)建的過程中,問題情境的設(shè)置只是為數(shù)學模型的構(gòu)建提供可能,而建模的完成則要借助于從形象到抽象的躍進,最終實現(xiàn)對抽象本質(zhì)的揭示,并能夠讓學生學會運用,否則,就不能稱之為建模。
如在教學“平行與相交”時,如果教師只是讓學生感知火車鐵軌、雙杠、五線譜等平行的形象,而沒有引導學生抽象出平行線的模型,那么數(shù)學建模思想就沒有成功構(gòu)建。
為此我在教學“平行”這一數(shù)學概念時,抓住“同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變”的這一本質(zhì)特性,將學生關(guān)注的目標從具體的素材抽象到兩條直線及直線間的寬度。于是,我讓學生思考:為什么兩條直線永遠不相交呢? 工人師傅是通過什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的?根據(jù)問題學生進行試驗探究,并能想到要在兩條平行線間做垂線段,并測量垂線段的長度。
經(jīng)過從思考到試驗再思考的過程,學生對平行的理解也有了一個從具體到抽象的模型構(gòu)建過程,最終構(gòu)建起真正的數(shù)學認知,同時也學會運用分析、綜合、歸納、操作等思維活動,抽象數(shù)學本質(zhì),完成平行線從物理模型到直觀數(shù)學模型,再到抽象數(shù)學模型的建構(gòu)過程。
又如在“圓柱的體積”教學中,我在建構(gòu)體積公式這一模型時突出“數(shù)學思想方法”的建模過程,一方面要交給學生轉(zhuǎn)化思想,將未知轉(zhuǎn)為已知,另一方面還要滲透極限思想。通過探究,提煉出蘊藏其中的具有高度概括意義的數(shù)學思想方法,這也是數(shù)學建模的本質(zhì)意義所在。
通過學習我們已經(jīng)知道,數(shù)學建模就是以現(xiàn)實問題為特定對象,作必要、合理的簡化與假設(shè),經(jīng)過分析、歸納,運用數(shù)學語言抽象出模型結(jié)構(gòu),并在實踐中檢驗與完善的過程。將其引入數(shù)學教學之中,不僅符合數(shù)學自身的認識發(fā)展過程,也是以培養(yǎng)創(chuàng)新思維、應用能力為出發(fā)點的素質(zhì)教育的客觀要求。
《全日制義務教育數(shù)學課程標準》對數(shù)學建模提出了明確要求?!皹藴省敝兄赋?,“數(shù)學建模是數(shù)學學習的一種新的方式,它為學生提供了自主學習的空間,有助于學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用,體驗數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系,體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程,增強應用意識;有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力”。實踐證明,強化數(shù)學建模的能力,不僅能使學生更好地掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識,學會數(shù)學的基本思想和方法,也能增強學生應用數(shù)學的意識,比較全面的認識數(shù)學及其與社會、科學和技術(shù)的關(guān)系,提高分析問題,解決實際問題的能力。解決這類問題體現(xiàn)在數(shù)學建模思維過程中,要根據(jù)所掌握的信息和背景材料,對問題加以變形,使問題簡單化,且重要過程是根據(jù)題意建立函數(shù)、方程(或方程組)、不等式(組)等數(shù)學模型。使學生明白:數(shù)學建模過程就是通過觀察、類比、歸納、分析、等數(shù)學思想,構(gòu)造新的數(shù)學模型來解決問題。數(shù)學建模的關(guān)鍵是善于通過對實際問題的分析,抓住其本質(zhì),聯(lián)想相應的數(shù)學知識,建立數(shù)學表達式,并應用其性質(zhì)找到解決問題的途徑.
數(shù)學建模思想是指從實際問題中,發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程,它包括對實際問題進行抽象、簡化、建立數(shù)學模型,求解數(shù)學模型,解釋驗證等步驟.數(shù)學建模思想廣泛地體現(xiàn)在初中數(shù)學知識體系中,隨著學生知識的增加,能力的增強,數(shù)學建模的類型也越來越豐富,初中數(shù)學建模的基本形式有方程(不等式)模型、函數(shù)模型、統(tǒng)計概率模型、幾何模型等.。
數(shù)學建模的步驟及分析方法.數(shù)學建模由以下六個步驟完成:1、建模準備。要考慮實際問題的背景,明確建模的目的,掌握必要的數(shù)據(jù)資料,分析問題所涉及的量的關(guān)系,弄清其對象的本質(zhì)特征。2、模型假設(shè)。根據(jù)實際問題的特征和建模的目的,對問題進行必要的簡化,并用精確的語言進行假設(shè),選擇有關(guān)鍵作用的變量和主要因素。3、建立模型。根據(jù)模型假設(shè),著手建立數(shù)學模型,將利用適當?shù)臄?shù)學工具,建立各個量之間的定量或定性關(guān)系,初步形成數(shù)學模型。4、解出模型中的數(shù)學問題.利用數(shù)學知識解答求出所要解決的問題。5、還原實際問題.將已經(jīng)解決的數(shù)學問題賦予它原來的實際意義,從而完成問題的解決。6、根據(jù)客觀實際判斷決定取舍以解答出數(shù)學問題的現(xiàn)實意義。
數(shù)學建模教學還有一個重要的作用就是培養(yǎng)學生探究科學的熱情.強調(diào)遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律,從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā),讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程.它提倡數(shù)學知識、數(shù)學能力、數(shù)學意識等目標的教育層次。
下面就初中數(shù)學教學中所涉及的基本數(shù)學模型進行應用舉例
一、建立方程模型
例:某工程若由甲、乙兩隊合做6天完成,廠家需付甲、乙兩隊共8700元;若由乙、丙兩隊合做10天完成,廠家需付乙、丙兩隊共9500元;若由甲、丙兩隊合做,5天完成全部工程的2/3,廠家需付甲、丙兩隊共5500元。1.求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天?2.若工期要求不超過15天完成全部工程,問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少?請說明理由。
略解:1.設(shè)甲隊單獨做x天完成,乙隊單獨做y天完成,丙隊單獨做z天完成,則有:
1/X+1/Y=1/6——(1);1/Z+1/Y=1/10——(2);1/X+1/Z=2/15——(3);(1)(2)(3)聯(lián)立成方程組解出X=10;Y=15;Z=30.甲隊做一天應付給a元,乙隊做一天應付給b元,丙隊做一天應付給C元,得出6(a+b)=8700——(1);10(c+b)=9500——(2);5(a+c)=5500——(3).聯(lián)立方程組解得a=2550;b=2400;c=2050.按照要求從而求出答案。本題的解答過程體現(xiàn)了將實際問題簡化抽象為數(shù)學問題,用數(shù)學語言、符號表達這一問題,然后建立方程模型、解出方程,再把數(shù)學問題還原為實際問題這一過程。
二、建立不等式模型
例(1998年河北省中考試題)某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克,乙種原料290千克;計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件.已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4千克、乙種原料1O千克,按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù),有哪幾種方案?請你設(shè)計出來.
略解:設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件,則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(50一x)件,依題意,得9x+4(50一x)≤360,3x+10(50一x)≤290.。x為整數(shù),…x只能取30、31、32;相應的(50一x)的值應為:20、19、18,即有三種安排方案,設(shè)計方案見解(略)評注將實際問題中原料、產(chǎn)品的數(shù)量限制關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型—不等式組,再通過求解這個數(shù)學模型(解不等式組),就可以獲得符合條件的安排方案.
三、建立函數(shù)模型
在數(shù)學應用題中,某些量的變化,通常都是遵循一定規(guī)律的,這些規(guī)律就是我們所說的函數(shù)。
例:某人將進價為8元的產(chǎn)品,按每件10元的價格出售,每天可以銷售50件,若價格每提高1元銷售量就減少5件.問此人將價格定為多少元時,可獲得最大利潤?
略解:設(shè)價格在10元的基礎(chǔ)上再提高X元,則銷售利潤y=(2十x)(50一5x);顯然,當X=4時,函數(shù)有最大值180,故銷售價格應定為每件14元.這個定價也是符合現(xiàn)實意義的。解決本題的關(guān)鍵就是找到一種動態(tài)的等量關(guān)系,建立函數(shù)模型,然后依照數(shù)學知識解決這個數(shù)學問題,再回到實際問題中加以確定,最后得出所要求解的結(jié)論。
四、統(tǒng)計概率模型、幾何模型等
數(shù)學建模思想的應用在統(tǒng)計學方面的研究也得到很好地體現(xiàn),有些幾何模型的建立往往依托幾何圖形中蘊藏的性質(zhì)、定理或方程思想,在此就不再贅述。
關(guān)鍵詞:數(shù)學建模;創(chuàng)新能力;大學數(shù)學主干課程
中圖分類號:G642.4 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2012)07-0158-03
大學生數(shù)學建模競賽不僅能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的學生,也能一定程度上提高教師的教學和科研水平,而且最重要的是它能直接推動大學數(shù)學的教學改革。教育部高教司對我國大學生數(shù)學建模競賽活動的主要指導思想之一就是“擴大受益面、推動教育改革”。開展數(shù)學建模教育,可以推動大學數(shù)學教育改革。開展“在大學數(shù)學教學融入數(shù)學建模、數(shù)學實驗的思想和方法,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力”課題的研究和實踐,就是擴大數(shù)學建模受益面的一個重要探索。本文研究對在大學數(shù)學教學融入數(shù)學建模、數(shù)學實驗的思想和方法的必要性,相應的融入手段,以及在融入過程中可能遇到的困難和解決辦法等進行了論述。
一、數(shù)學建模思想融入大學數(shù)學的教學中的必要性
1.數(shù)學建模幾乎是一切應用科學的基礎(chǔ)。數(shù)學在科學中的一個重要作用就是能夠使人們對事實上是相當混亂的東西進行適當?shù)睦硐牖?,抽象出概念與模型,從而解決實際問題。在解決復雜科學技術(shù)問題時,數(shù)學建模的方法能使人們設(shè)計出最佳和可行的新技術(shù)方法、手段,以及預測新的現(xiàn)象等。數(shù)學建模及相應的計算也正在成為工廠里常用的主要工具。Charlies R. Mischke指出:學生一般都并不確信大學所開設(shè)的所有課程是否真能培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。他們對學習漸漸失去興趣,原因之一就是缺乏讓學生了解大學教育進程安排的合理性。工程專業(yè)課程強調(diào)的基本都是專業(yè)方面的問題。而實際用來進行教學、組織和應用的工具卻是數(shù)學模型。但不幸的是,專業(yè)教師很少花時間來講授不涉及專業(yè)方面的建模過程本身。所以將數(shù)學建模的思想和方法融入大學主干數(shù)學課程教學中是具有現(xiàn)實的必要性。
2.當前數(shù)學教學的問題。傳統(tǒng)的數(shù)學教學和考試可以很好地檢查學生對所學數(shù)學知識的概念、定理和方法等的掌握情況,但缺乏對學生的應用數(shù)學的能力和創(chuàng)新能力進行考察。因此,在大學數(shù)學教學和考試中融入數(shù)學建模思想和方法非常必要。傳統(tǒng)的大學數(shù)學教育已不能有效地激發(fā)廣大學生的求知欲和激情,不能有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。在現(xiàn)實的大學數(shù)學教學活動中,學生常常陷入前所未有的困惑之中,投入大量的精力,做了大量的習題,卻絲毫感受不到“數(shù)學”有何作用,老師也拿不出鮮活的例子來使學生信服數(shù)學的用處。一大半學生認為大學數(shù)學的教學內(nèi)容是沒意義的,并且認為無意義的最大原因是和實際沒有聯(lián)系,學生最常問老師的問題就是“高等數(shù)學有什么用?”“線性代數(shù)有什么用?”等問題。
二、數(shù)學建模思想融入大學數(shù)學的教學中的具體措施
在大學數(shù)學的教學中融入數(shù)學建模思想主要是要讓學生明白大學教育進程安排的合理性,以及數(shù)學的重要性和廣泛應用性。但還是必須明確要以數(shù)學主干課程為主,建模思想培養(yǎng)為輔的指導思想,最主要的目的還是促進學生更好地學習和掌握大學數(shù)學主要內(nèi)容、思想和方法。要建立一套恰當?shù)臄?shù)學建模思想融入大學數(shù)學教學的具體措施。首先必須弄清楚數(shù)學建模的具體過程以及我們大學數(shù)學教學的內(nèi)容和思想。數(shù)學建模過程一般分為下面幾步:①對實際問題進行觀察、分析,進行必要的抽象、簡化(抓住要點),確定模型建立中的變量和參數(shù);②根據(jù)已知的各學科中的定律,甚至是經(jīng)驗等建立變量和參數(shù)之間的數(shù)學關(guān)系,這實際上就得到了明確的數(shù)學問題;③求解該數(shù)學問題。大部分情況是沒有辦法得到解析解,而只能得到近似解。這往往涉及復雜的數(shù)學思想、理論和方法,以及近似方法和算法;④得到的數(shù)學結(jié)果是否能解釋或預測實際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象,或用歷史數(shù)據(jù)、實驗數(shù)據(jù)或現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)等來驗證模型是否恰當;如果模型是恰當?shù)?,那么就可以試用;如果是否定的,那就要進行仔細分析,重復上述建模過程,不斷調(diào)整、最終得到恰當?shù)臄?shù)學模型。大學數(shù)學的特點是的抽象的思想、嚴謹?shù)倪壿嬐评砗蛷V泛的應用,也正是由于它的抽象和嚴謹,使得其成為我們將其他學科量化的一個有效的工具。它與許多其他學科的本質(zhì)區(qū)別在于它抽象地反映了現(xiàn)實世界里各種對象及其變化在數(shù)量方面的一般規(guī)律,它能夠把一個學科的思想經(jīng)過抽象、推理和提煉得到的結(jié)果用到別的學科,從而具有廣泛的應用性。將數(shù)學建模思想融入大學數(shù)學的教學的具體方法。
1.具體的切入點。①經(jīng)驗建?!谒占瘮?shù)據(jù)中提煉事物發(fā)展的趨勢;②講授一些實際問題及相關(guān)數(shù)學模型:人口模型、管理模型、抵押貸款模型、傳染病模型、減肥模型等等。在現(xiàn)有教材中已經(jīng)講解了所涉及的數(shù)學內(nèi)容,但如果從分析具體問題到建立數(shù)學建模的過程來學習的話,不僅能激發(fā)學生的學習興趣和積極性,而且還能使其能在學、做而后知不足,從而誘導學生進一步學習數(shù)學。
一、在“數(shù)與代數(shù)”的教學中滲透數(shù)學建模思想
《課程標準》指出:“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù),它們都是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學模型,幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度準確、清晰地認識現(xiàn)實世界。如建立不等式模型解決實際問題:某商店舉行促銷優(yōu)惠活動,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內(nèi)的任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。請你幫小麗算一算,所購買的商品的價格在什么范圍時,采用方案一更合算。抓住“采用方案一更合算”建立“方案一的費用<方案二的費用”這樣不等式的數(shù)學模型,從而在實際生活問題中提煉出利用不等式解決的數(shù)學問題。再如建立函數(shù)模型解決實際問題,函數(shù)反映了現(xiàn)實世界中變量之間的關(guān)系,函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征,建立函數(shù)關(guān)系式從而解決實際問題,體現(xiàn)了聯(lián)系和變化的辯證唯物主義世界觀。構(gòu)建函數(shù)模型的關(guān)鍵是挖掘?qū)嶋H問題中變量之間的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式并準確運用函數(shù)的性質(zhì)。如:某電信公司推出甲、乙兩種收費方式供手機用戶選擇:甲種方式每月收費25元,每分鐘通話費為0.2元;乙種方式不收月租費,每分鐘通話費為0.45元;請你根據(jù)通話時間的多少選擇一種合適的方式。在這個實際問題中,通話費用隨通話時間的變化而變化,這兩個變量之間存在著一次函數(shù)關(guān)系,因此應分別建立兩種通話費與通話時間的函數(shù)關(guān)系式,從而構(gòu)建函數(shù)模型解決問題。設(shè)通話時間為x分鐘,甲種通話費為y甲元,乙種通話費為y乙元。y甲=0.2x+25,y乙=0.45x,(1)若y甲>y乙,即0.2x+25>0.45x,則x<100;(2)若y甲=y乙,0.2x+25=0.45x,則x=100;(3)若y甲<y乙,即0.2x+25<0.45x,則x>100。學生通過建模求解,感受了“生活處處有數(shù)學”,體會了數(shù)學的價值,也體會了數(shù)學能夠使人做出正確的決策。
二、在“圖形與幾何”教學中滲透數(shù)學建模思想
新課程設(shè)計思路指出:在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時,重視學生已有的經(jīng)驗,使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。“圖形與幾何”的主要內(nèi)容包括:空間和平面基本圖形的認識;圖形的性質(zhì)、分類和度量;圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影;平面圖形基本性質(zhì)的證明;運用坐標描述圖形的位置和運動。這些教學內(nèi)容中包含著各種幾何模型。教學中要密切聯(lián)系生活實際,自覺主動的運用幾何模型解決實際問題。例如,如圖,在電線桿上的C處拉線CE、CF固定電線桿,拉線CE和地面成60°角,在離電線桿6m的B處安置測角儀,在A處測得電線桿C處的仰角為30°,已知測角儀AB高為1.5m,求拉線CE的長(結(jié)果保留根號)。要求拉線CE的長,必須在RtCDE中求出CD的長,要求CD,又要過點A作AHCD構(gòu)造直角三角形(如圖),求出CH,CD=AB+CH。從而建立三角函數(shù)模型達到解題目的。再如:小明和小麗輪流向一小圓形桌面上放一元硬幣,硬幣不重疊,直至圓形桌面里不能再放入為止,誰放入圓形桌面上最后一個,誰就獲勝,這個游戲公平嗎?解決這個問題要建立圓的中心對稱性數(shù)學模型,圓是中心對稱圖形,先將一枚硬幣放在圓心,然后先放者總能把硬幣放在后放者的對稱位置,故先放者勝。
三、在“統(tǒng)計與概率”的教學中滲透建模思想
日常生活是數(shù)學問題的源泉之一,統(tǒng)計與概率與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切,模型很多。數(shù)學教學中可以通過實踐活動學習數(shù)據(jù)處理方法,建立數(shù)學模型進行推斷和預測,為決策提供依據(jù)和參考。例如,甲、乙兩人玩游戲,他們準備了1個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤和一個不透明的袋子。轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的三個扇形,并在每一個扇形內(nèi)分別標上-1,-2,-3;袋子中裝有除了數(shù)字以外其它均相同的三個乒乓球,球上標有數(shù)字1,2,3。游戲規(guī)則:轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,當轉(zhuǎn)盤停止后,指針所指向區(qū)域的數(shù)字與隨機從袋中摸出乒乓球的數(shù)字之和為0時,甲勝;其他情況乙勝(如果指針恰好指在分界線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一區(qū)域為止)。這個游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎,請判斷并說明理由。這是一個典型運用概率模型解決實際問題的游戲,游戲公平與否,就看指針指向區(qū)域的數(shù)字與摸出乒乓球的數(shù)字之和為0的概率與其他情況的概率是否相等,概率相等則游戲公平,否則不公平。
[關(guān)鍵字]數(shù)學建模 數(shù)學教學 問題 數(shù)學模型
一、緒論
隨著科技與自然科學的飛速發(fā)展,數(shù)學已經(jīng)從一門單純的研究性學科轉(zhuǎn)變?yōu)樯鐣A(chǔ)學科。數(shù)學已經(jīng)滲透到了自然科學、社會科學等各個領(lǐng)域,形成了“數(shù)學無處不在,無所不用”的大環(huán)境。數(shù)學能夠使許多定性的問題逐步定量化、精確化,使許多實際問題的解決更加科學合理。數(shù)學學習不再單純的是一種重要“工具”的學習,更是思維方式、邏輯思維的學習。數(shù)學作為高等學校的重要課程,更是在培養(yǎng)學生數(shù)學素質(zhì)與創(chuàng)新能力上有著重要作用。傳統(tǒng)的數(shù)學教學,僅僅局限于公式、定理、定義出發(fā)的邏輯推理已經(jīng)不再適用于當今的素質(zhì)教育。新的教學方式要求激發(fā)學生運用數(shù)學解決實際問題的興趣,培養(yǎng)探索精神、應用意識和實踐能力,做到學以致用,進一步體會數(shù)學的作用和價值,感受到數(shù)學的魅力。
二、在高等數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模的思想
當學生步入大學生活之后,遇到的是截然不同的學習生活,有些學習喜歡學習數(shù)學;有些學生則是懼怕學習數(shù)學,沒有自信,否定自己;甚至有些學生感到迷茫認為學習數(shù)學無用,放棄學習數(shù)學。如何激發(fā)學生的學習興趣,端正學習態(tài)度,是數(shù)學教學面臨首要難題。因此,將數(shù)學建模思想滲透到教學中,可以讓學生知道數(shù)學的實際應用價值,端正學習態(tài)度,樹立數(shù)學的應用意識和對生活數(shù)學化的觀念,鍛煉學生運用數(shù)學了解實際、觀察生活、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,培養(yǎng)學生應用創(chuàng)造能力。
(一)聯(lián)系實際,從興趣出發(fā)
“興趣是最好的老師”,從學生的興趣出發(fā)可以調(diào)動學生的注意力,提高教學效果,提出一些與教學相關(guān)的實際問題讓學生思考,只有當學生對問題有了強烈的興趣,才可能對問題大膽的去探究。例如椅子的穩(wěn)定性問題,正方形的椅子能在高低不平的地面上放穩(wěn)嗎?學生能否大膽思考,善于思考,決定著學生對知識的牢固掌握和靈活運用。
另外,在解決某一個較難的數(shù)學問題時,常常把一個大問題分解成若干個相關(guān)聯(lián)的小問題,降低思維坡度,有利于全體參與,每個同學都有不同的程度收獲。數(shù)學題中的解法甚多,恰當?shù)氖褂靡活}多解可以使學生更深刻地理解基本知識,熟練掌握相當?shù)慕忸}方法和技巧,進而啟迪思維,開發(fā)智力,發(fā)展能力。根據(jù)每節(jié)課不同的教學目標,可以采取不同的教學方法。靈活多變的教學方法能更好地調(diào)動學生學習的積極性,發(fā)展學生的數(shù)學能力。不但學生學起來有興趣,而且學習能力同步得到發(fā)展。
(二)以問題驅(qū)動學習
數(shù)學建模思想核心就是問題驅(qū)動式學習,以一個一個的“問題(案例)”為載體,以學生為中心,以尋求解決“問題”的“方法”為主線,以多樣化的教學方式和直觀的現(xiàn)代化教育技術(shù)為平臺,以培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新思維、應用意識、實踐能力和協(xié)作精神為目的。首先,發(fā)現(xiàn)問題。尋找實際生活中的數(shù)學原型。從實際生活中尋找學生所熟悉的問題的原型,能夠化抽象為形象,激發(fā)學生性興趣。其次,提出問題。通過一些列的問題引導學生構(gòu)將問題原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。讓學生自己總結(jié)解決問題的方法,形成待解決的命題。再次,解決問題。教師引導學生一起來證明大家的推測,并理解每個方法的基本原理和適用范圍。然后,應用。用學生自己獲得的結(jié)論去解決問題包括例子、習題。最后,總結(jié)反思。讓學生反思所學,提出新問題。
在教學過程中,利用數(shù)學建模的思想,通過問題驅(qū)動學習,讓學生自主的去思考,引導學生提出問題,分析問題,解決問題,推廣應用。在這個過程中,將學生置身于問題環(huán)境之中,在解決問題的過程中學習數(shù)學知識,掌握數(shù)學方法和領(lǐng)悟數(shù)學精神。充分利用學生的主觀能動性,鍛煉學生運用數(shù)學知識進行分析、推理、證明與計算的能力。使學生在學習數(shù)學知識和數(shù)學方法的同時,領(lǐng)悟數(shù)學精神,鍛煉數(shù)學思維及應用能力。
例如:信息傳播問題,改進為學生中的八卦新聞傳播的問題,這樣的話題與學生的生活相關(guān),能夠激發(fā)出學生學習和討論的興趣。通過問題,引導學生思考需要考慮哪些因素,這些因素之間有什么關(guān)系?考慮的因素主要有:總?cè)藬?shù),知道消息的人數(shù),傳播率。假設(shè)學生的總?cè)藬?shù)應該是固定的假設(shè)為N,且在短期內(nèi)不會有大的改變,x(t)表示為知道消息的人數(shù)所在總數(shù)的百分比,t為時間,初始時刻的百分比x0
這樣可以解出 ,顯然這個結(jié)果不符合實際的情況。怎么樣能夠更加貼近實際的情況?實際情況是有些人從傳播中知道了消息并傳播信息出去,傳播率為h,而有一部分人雖然知道消息,但不輕信,不去傳播,于是可以設(shè)置不傳播率為r,則數(shù)學模型為:
求解得出 ,于是有了 ,隨著時間的增長,消息會慢慢淡化,逐步被遺忘,這樣是符合實際情況的。
(四)融入建模思想的教學模式
與傳統(tǒng)的教學方法相比,將數(shù)學建模的思想融入教學后,教學的主導將由老師轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生;新知識的引入不再是概念與定義,而是利用案例和問題,通過教師的引導,讓學生自己去發(fā)現(xiàn)新的知識;對于定理的講解也由傳統(tǒng)的證明,轉(zhuǎn)變?yōu)樽寣W生去分析定理是否成立,并且找出定理能夠解決那些相關(guān)的問題;舉例和聯(lián)系也轉(zhuǎn)變?yōu)椋轮R的應用與反思。 教學效果也由鞏固數(shù)學知識
訓練數(shù)學邏輯思維轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅財?shù)學應用、培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新意識。
在教學中融入數(shù)學建模思想,能夠使得課程學習過程更有趣味性,提高了學生的學習興趣, 激發(fā)了學生發(fā)現(xiàn)問題,提出問題的靈感;使得教學的目的更加明確,教學思路更加清晰,教師有的放矢的教學,學生心中有數(shù)的學習,從而由原來的被動接受到現(xiàn)在的主動學習;使得教學雙方都在不斷反思,提出新的問題,養(yǎng)成了教師教學研究,不斷創(chuàng)新的良好習慣,同時也養(yǎng)成了學生勤于思考,自覺學習的良好風氣。;使得學生之間的交流,師生之間的互動更加頻繁,拉近了人與人的距離,建立起了更加深厚的學友和師生情誼,學生在課堂里不僅學習知識,還能體會到人文關(guān)懷、團結(jié)協(xié)作帶來的精神力量,真正達到教書育人的目的。
三、總結(jié)
在教學中融入數(shù)學建模思想,以問題為引導,以數(shù)學模型案例為載體,以學生為主導,讓學生自己去認識問題、分析問題、解決問題、推廣應用問題,不但能夠達到更佳的教學效果,也能夠充分的鍛煉學生的數(shù)學思維、創(chuàng)新思維和應用能力。但是,在教學中融入數(shù)學建模思想的過程中,仍然有很多地方需要完善與討論。1.不是所有的數(shù)學概念及數(shù)學問題都有合適實際模型,這就需要多動腦筋去思考的問題。2.防止“喧賓奪主”,要明確將數(shù)學建模的思想融入數(shù)學課程,而不是用“數(shù)學模型”或“數(shù)學實驗”課的內(nèi)容搶占各個數(shù)學課程的陣地。3. 宜采用漸進的方式,力爭和已有的教學內(nèi)容有機地結(jié)合,充分體現(xiàn)數(shù)學建模思想的引領(lǐng)作用。4. 數(shù)學模型的選擇應該慎重,以具有代表性,與教學內(nèi)關(guān)系緊密的數(shù)學模型為最佳。
綜上所述,將數(shù)學建模思想融入教學,不但能夠培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣,提高學生的數(shù)學素養(yǎng),鍛煉學生各方面能力,而且可以激發(fā)學生的創(chuàng)新精神,培養(yǎng)創(chuàng)新型人才,具有十分重要的意義。
基金:??诮?jīng)濟學院教育教學改革研究項目(hjyj2012001)
[參考文獻]
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【關(guān)鍵詞】數(shù)學建模思想性;高數(shù)課堂;實踐案例研究
數(shù)學對學生的邏輯思維能力、語言理解能力、空間想象能力有很高的要求.數(shù)學建模思想講求在解決實際問題的過程中,引入數(shù)學知識和方法,通過對實際問題的簡化和抽象,建立數(shù)學模型并求解.這種解題方式是對數(shù)學的一種實際應用,也是對學生思維能力的提高,所以在高等數(shù)學中運用數(shù)學建模思想對提高學生的綜合素質(zhì)有關(guān)鍵作用.
一、高等數(shù)學教學中數(shù)學建模思想融入的意義
數(shù)學建模其實屬于一種應用數(shù)學,其主要目的是要求我們通過對實際問題進行分析并簡化為一個數(shù)學問題,再運用適當?shù)臄?shù)學方法解決問題.數(shù)學建模思想最早提出于1992年,雖然當時這種新穎的邏輯思維能力受到了很多學校的重視,并在組織的數(shù)學建模競賽中選取優(yōu)秀的學生參加,但這種新的數(shù)學解題模式并沒有得到大面積的普及,很多學生因為學習任務繁重根本沒有時間了解數(shù)學建模思想.進入大學的學習后,基本上所有的學生都要學習高數(shù),高數(shù)是一門極為抽象的科目,很多學生根本不知道學習的意義,從而對高數(shù)喪失學習的動力.若將高數(shù)與數(shù)學建模思想融合起來,不但可以激發(fā)學生的學習興趣,還能鼓勵學生多運用數(shù)學知識解決實際問題.
在數(shù)學建模過程中,不但可以讓學生更加透徹的領(lǐng)悟數(shù)學中的知識,還能對學生的綜合素質(zhì)進行提升.建模過程重要反復推敲、計算.最終找出模型的最優(yōu)解.數(shù)學建模其實沒有統(tǒng)一的答案,講求的是方法的運用,針對同一問題,學生可以從不同的角度分析,創(chuàng)建不同的數(shù)學模型,選用不同的方法解決問題,選出最優(yōu)的解決方案.在將數(shù)學問題準確的抽象為數(shù)學模型時,要求學生具有敏銳的洞察能力,在合作解決問題時,培養(yǎng)學生的協(xié)作合作能力,整個過程中,學生們一起探討、分享數(shù)學知識,開闊了彼此的數(shù)學思維能力,所以數(shù)學建模思想對學生綜合素質(zhì)的提升和思維能力的培養(yǎng)有較大裨益,是一種值得推行的數(shù)學思維方式.
二、實際案例分析
提到微積分相信大家都耳熟能詳,但很多人卻因不了解用途而覺得枯燥不堪.其實微積分在生活中運用廣泛,該實例就是運用微積分中的定積分解決問題.
題目:除雪機在清理路面上的積雪時,設(shè)定當路面積雪達到0.5 m時開始工作,但由于在清理積雪的同時天空正在下雪,下雪的大小直接影響除雪機的工作效率,對于一條10公里的公路,除雪機能否完成除雪任務,當雪下多大時除雪機將不能工作?
相關(guān)條件:
1.降雪持續(xù)1個小時.
2.降雪的大小隨著時間的變化而變化,當雪下到最大時,積雪以0.1 cm/s的速度增長.
3.當積雪厚度達到1.5 m時,除雪機將停止工作.
4.除雪機在無雪的路面行駛速度為10 m/s.
分析問題:
通過題目和條件所含的信息,影響除雪機除雪的因素主要包括:降雪的速度、降雪的時間、積雪的厚度、除雪機工作時間等.
模擬解題環(huán)境:
1.降雪的速度維持不變
2.除雪機的工作速度和積雪的厚度成正比
3.降雪的速度為R(cm/s),積雪厚度為d(m),除雪機工作速度為v(m/s)
創(chuàng)建數(shù)學模型:
假設(shè)降雪速度維持不變,積雪在時間t內(nèi)的厚度增加量Δd為 Δd=1100Rt.
由此解得t秒內(nèi)的積雪厚度為 d(t)=0.5+Rt100.
(1)
(2)通過對問題的假設(shè),當d=0,時,v=10;d=1.5時,v=0,可以建立關(guān)系式v(t)=101-23d(t),當0.5≤d(t)≤1.5時,將(1)帶入公式得到t秒時除雪機的工作速度為 v(t)1032-Rt30.
(2)
通過以上的公式推斷出除雪機工作被迫停止時間v(t)=0,
t0=100R.
(3)
除雪機在工作t時的行駛距離:
S(t)=∫t0vudu=103∫t02-Ru50du=203t-R30t2.
(4)
假設(shè)情況1:大雪的降雪速度以0.1 cm/s持續(xù)1小時,那么積雪的新增厚度為0.1×3600100=3.6(m),再加上原來的積雪厚度0.5 m,總厚度已經(jīng)超過1.5 m,所以只能考慮積雪厚度在0.5 m~1.5 m之間的工作時間和除雪距離.通過(3)可以算出t0=100R=1000.1=1000(s)≈16.67,所以除雪機只能工作16.67分就會被迫停止工作,期間的行駛距離由(4)算出
St0=S1000=20×10003-0.1×1000302≈3.3(km).
假設(shè)情況2:大雪的降雪速度以0.025 cm/s持續(xù)1小時,降雪的速度變化如右圖所示:
在該種情況下,積雪的新增厚度為0.9 m,再加上原來的0.5 m,總厚度不超過1.5 m,除雪機可以正常工作,除雪機清除10公里的道路所需時間,將S=10×1000 m帶入式子(4),算出10000=203t-0.02530t2,t=2000(s)≈33.33(min),所以只需要33.33分鐘,除雪機就可以完成10公里路面的積雪清理工作.
初次建模,考慮問題比較粗糙,現(xiàn)對所建模型進行優(yōu)化.首先降雪速度不可能一直維持不變,為了讓模型與事實更加貼合,可以設(shè)置下雪速度在前半個小時均勻增大到最大值0.1 cm/s,在后半個小時逐漸減小到0.則在t時刻降雪的速度r(t)為: r(t)=0.1 t1800 0≤t≤1800
a-0.11800≤1≤3600
運用t=1800處r(t)的連續(xù)性,可算出參數(shù)a的值為0.2.
積雪厚度函數(shù):
當0≤t≤1800時d(t)=0.5+1100∫t00.1u1800du=0.5+0.0013600t2.
(6)
計算得到d(1800)=0.50.001×(1800)36002=0.5+0.9=1.4(m),表示除雪機工作半個小時,積雪厚度為1.4 m.當1800≤t≤3600. d(t)=1.4+1100∫t18000.2-0.1t1800du=0.010.2t-0.43600t2-1.3.
(7)
計算得到d3600=0.010.2×3600-0.1×(3600)23600-1.3=2.3 m,表示除雪機停止工作時,雪還在下,工作時間可由(7),d(t)=1.5 m,t≈35(min).
當然,在對模型的完善過程中,講求層層深入,逐步細化,最終建立與實際問題最貼近的數(shù)學模型,使解出的答案更加貼近,這就是數(shù)學建模思想在高數(shù)中的應用實例.
三、總 結(jié)
總而言之,數(shù)學建模思想就是用通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題,并接受實際的檢驗.在模型的建立過程中,不但可以重新點燃學生對數(shù)學的興趣,還可以訓練邏輯思維能力,將高數(shù)與數(shù)學建模思想完美的融合,解決現(xiàn)實生活中的各種問題,拉近數(shù)學與生活的距離,提高高數(shù)的教學質(zhì)量.
【參考文獻】
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關(guān)鍵詞數(shù)學專業(yè)課程;數(shù)學建模;融入教學
中圖分類號G44文獻標識碼A文章編號1673-9671-(2010)042-0169-01
在知識經(jīng)濟時代,數(shù)學科學的地位發(fā)生了巨大的變化,數(shù)學理論與方法的不斷擴充,數(shù)學應用越來越廣泛和深入。傳統(tǒng)的數(shù)學教育(幾乎所有傳統(tǒng)的數(shù)學課程),重視的是數(shù)學知識體系的傳授,數(shù)學概念、定義、定理及基本計算方法的傳授,而不重視如何應用數(shù)學方法解決實際問題,在整個教學過程中,沒有體現(xiàn)出學生的主體地位,學習的自主性、創(chuàng)造性得不到充分發(fā)揮,學生對于數(shù)學的思想、方法領(lǐng)會不透,數(shù)學能力、創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力得不到提高,其結(jié)果是培養(yǎng)出來的學生既不懂得如何運用數(shù)學知識來解決問題,又會認為學數(shù)學無用。而數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學理論與實際問題的橋梁,把數(shù)學建模融入到專業(yè)課程的教學之中,可以改變這種狀況,以適應現(xiàn)代社會的人才需求。
要了解數(shù)學的思想方法和精神實質(zhì),就應該知道數(shù)學思想是怎樣發(fā)展的。我們提出將數(shù)學建模思想融入數(shù)學專業(yè)課的教學當中,并不是對每個概念、公式,都要先講它們的數(shù)學模型,而是通過在數(shù)學教學中突出數(shù)學思想的來龍去脈,揭示數(shù)學概念和公式的實際來源和應用,恢復并暢通數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。
數(shù)學建模是對現(xiàn)實的現(xiàn)象通過心理活動構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征的表示,是形象化的或符號化的表示,所以數(shù)學建模的關(guān)鍵是將實際問題抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,即建立數(shù)學模型。在教學中我們可以適當選編一些實際應用問題,引導學生進行分析,通過抽象、簡化、假設(shè),確定變量、參數(shù),確立數(shù)學模型,解答數(shù)學問題,從而解決實際問題,這樣既使學生掌握了數(shù)學建模的方法,又使學生深刻體會到數(shù)學是解決實際問題的銳利武器,既在教學中貫徹理論和實際相結(jié)合的原則,又極大提高了學生分析問題和解決問題的能力。
如,在數(shù)學分析課程中,對于函數(shù)關(guān)系的應用,重要的是建立函數(shù)模型,因為用數(shù)學方法解決實際問題的許多例子首先都是建立目標函數(shù),將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。這里要重點介紹建立函數(shù)模型的一般方法,掌握現(xiàn)實問題中較為常用的函數(shù)模型。例如:指數(shù)增長模型可以用來討論在穩(wěn)定的理想狀態(tài)下、生物學中的細菌的繁殖情況,Logistic曲線:可以用來描述當自然資源和環(huán)境條件對種群增長起著阻滯作用時種群增長的情況、銀行計息的復利公式等等;二元函數(shù)的極值問題,Lagrange乘數(shù)法,以及最小二乘法在數(shù)學建模中有廣泛的應用,在教學過程中,應注意培養(yǎng)學生用上述工具解決實際問題的能力。利用偏導數(shù)可以對經(jīng)濟學許多問題作定性和定量分析。例如:在經(jīng)濟學中涉及的邊際分析,彈性分析,經(jīng)濟函數(shù)的優(yōu)化問題中的成本固定時產(chǎn)出最大化;產(chǎn)出一定時成本最小化;利潤最大化等都可以用偏導數(shù)來討論。
高等代數(shù)教學中,在諸如多項式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等概念上,可找到相應的實際問題,作為理解知識點的平臺。當然在選擇案例時,可以考慮從簡潔、直觀和與知識點相稱的實際出發(fā),以達到既有利于知識的理解,又可通過對實際問題的解決,使學生感受到獲取知識的樂趣。高等代數(shù)內(nèi)容雖多且抽象,但層次清晰,在教學過程中,我們可從教材基本內(nèi)容的框架入手,讓學生了解各個章節(jié)的內(nèi)容所產(chǎn)生的時代背景,與哪方面的知識相關(guān);對概念、定理和推論的教學,我們應從它們的實際“原型”或?qū)W生熟悉的日常生活中的例子作為媒介引入,融入數(shù)學建模思想。比如行列式概念引入可用貨物交換的經(jīng)濟模型,矩陣及其運算教學單元可以“運動會成績記錄”問題作為案例。在課后習題中滲透數(shù)學建模思想,適當選擇一些與實際問題有關(guān)的習題,讓學生用所學的知識運用數(shù)學建模的思想方法來解決。這樣,不僅能鞏固所學知識,而且能提高數(shù)學知識的應用能力。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門學科。概率統(tǒng)計方法是現(xiàn)代工程、信息、社會和經(jīng)濟研究運用的基本方法。為使學生清楚這門學科的實際應用,在教學中可插入一些反映社會中所關(guān)心的問題,像社會學中的購買彩票的中獎問題、估計一項新產(chǎn)品在未來市場上的暢銷率、工程上的產(chǎn)品質(zhì)量評價、醫(yī)學中的疾病診斷等問題。通過常見的傳染病的傳播模型、報童最優(yōu)進貨模型、元器件的壽命模型、學生成績分布模型、排隊等候模型,使學生對運用“概率統(tǒng)計”知識建立數(shù)學模型和解決實際問題具有感性認識,對“概率統(tǒng)計”知識產(chǎn)生濃厚興趣,從而變被動學習為主動學習,譬如,講授幾何概型時,可結(jié)合“醉漢模型”講授poisson分布,指出它常用于描述“單位時間內(nèi)到達超市的顧客數(shù)”或“單位時間內(nèi)的粒子流”等,對于指數(shù)分布,則要指出它主要用于描述“等待時間”“電子元器件的壽命”等等,并順便指明它與poisson分布的內(nèi)在聯(lián)系;又如在講授二項分布時,為了加深學生對知識的理解,我們可以用一個“盥洗室問題”為實例,講授二項分布的實際應用背景、應用模式等,這種講授的方法往往能起到很好的效果,學生在接受時能看到應用背景,會對數(shù)學建模有個初步的概念。從而提高學生的分析問題和解決問題的能力。在概率與統(tǒng)計教學中融入數(shù)學建模思想,不但搭建起概率與統(tǒng)計知識與應用的橋梁,而且使得概率與統(tǒng)計知識得以加強、應用領(lǐng)域得以拓展,在推進素質(zhì)教育和培養(yǎng)創(chuàng)新能力上將會發(fā)揮重要的作用。
常微分方程教學中,涉及到建立數(shù)學模型的問題更多。建立與求解常微分方程是建立數(shù)學模型解決實際問題的有力工具。為此,在數(shù)學專業(yè)課程教學中,要多花時間講如何在實際問題中提煉微分方程,并且求解??闪信e如下例子:馬爾薩斯人口模型;阻滯增長模型;再生資源的管理和開發(fā)的數(shù)學模型、SARS傳播模型等。
總之,數(shù)學建模所涉及的實際問題類型繁多,要想從現(xiàn)實問題中經(jīng)過適當簡化、假設(shè),抽取出對象的數(shù)學描述,除了要具備數(shù)學知識外,現(xiàn)實問題本身的非數(shù)學類知識也是不可缺少的。把數(shù)學建模思想融入到數(shù)學專業(yè)課程的教學之中,不僅能優(yōu)化教學內(nèi)容,有效的激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性,培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力,提高學生的自身素質(zhì),而且還能帶動教師進一步提高教學質(zhì)量,但將數(shù)學建模思想融入數(shù)學專業(yè)課程時,不應該簡單地在所有的概念或命題之前或之后都機械地裝上數(shù)學建模的實例,把一個完整的數(shù)學體系變成處處用不同的數(shù)學模型驅(qū)動的支離破碎的大雜燴。而要采用循序漸進的方式,將其與已有的教學內(nèi)容有機地結(jié)合,從而真正體現(xiàn)數(shù)學建模思想的引領(lǐng)作用。
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作者簡介
關(guān)鍵詞:建模思想方法;高職數(shù)學;教學改革
中圖分類號:G712 文獻標識碼:B 文章編碼:1672-0601(2016)04-0041-03
引言
傳統(tǒng)的高職數(shù)學教學注重于知識的系統(tǒng)性傳授、計算能力的培養(yǎng),忽視了數(shù)學思想方法培養(yǎng),授人以魚而非漁。將數(shù)學建模的思想方法有機地融合到高職數(shù)學課程中則可有效提高學生學習的興趣,增強學習效果,促進學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的思想形成。姜啟源教授認為:“相對于本科院校而言,以培養(yǎng)技能型、應用型人才為目標的高職高專院校,將數(shù)學建模作為數(shù)學教學的重要組成部分,更有其必要性和可行性?!币簿褪钦f,融合了數(shù)學建模思想方法的高職數(shù)學教育更符合職業(yè)院校人才培養(yǎng)目標的要求。在高等數(shù)學課程教學中,盡量引用專業(yè)案例或?qū)嶋H生活案例作為培養(yǎng)學生“用數(shù)學”思維的載體。引導學生產(chǎn)生專注解決問題的一系列連貫行為:能夠有目的地查閱問題相關(guān)資料,收集整理數(shù)據(jù),還要善于抓問題的主要矛盾和次要矛盾,根據(jù)矛盾的主次做出合理簡化假設(shè),建立反映事物內(nèi)部機理的模型(數(shù)學模型),借助恰當?shù)氖侄吻蠼饽P?,再回歸實際問題,做出科學解釋或給出創(chuàng)新成果。這樣的數(shù)學教學模式極大地提升了學生學習的主動性,鍛煉了學生動手實踐能力,并在解決問題中感受到數(shù)學文化的熏陶,達到知識、能力、情感三方并重的目標。
1高職數(shù)學教學引入數(shù)學建模思想方法的途徑
1.1以點帶面,在教學活動中用數(shù)學建模思想方法提高學生學習興趣
針對高職學生的學習特點,結(jié)合高職人才培養(yǎng)方案,要以實現(xiàn)知識、能力、情感三方面并重為目標,優(yōu)化和調(diào)整高等數(shù)學課程內(nèi)容。以機械類專業(yè)群數(shù)學教學為例,其機械運動、受力狀況、承載能力等的分析均是數(shù)學建模的典型案例。在函數(shù)知識模塊講解前,植入生活中常見的初等數(shù)學模型,如居民電費模型等,培養(yǎng)學生學會用建立簡單的函數(shù)解決實際問題的意識。在極限連續(xù)知識模塊之后,引導學生用函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)解決椅子在不平的地面上放穩(wěn)的問題;在導數(shù)概念的導入時用“曲線的切線”、“變速直線運動的瞬時速度”為引例;在曲率知識講解之前,引入工人選取合適的砂輪打磨有弧度工件內(nèi)表面的案例;在積分知識模塊講解后,引入無縫鋼管制成的傳動軸的強度校核案例;在微分方程知識講解后,綜合應用微積分思想解決懸梁臂在自由端受力后的擾度和轉(zhuǎn)角分析等等。這樣的教學變化使學生對每個知識模塊都能有“學以致用”的新認識,對數(shù)學為專業(yè)服務有切身體會,在有期望的學習中實現(xiàn)對微積分知識的整體接受。
1.2創(chuàng)新方法,讓數(shù)學建模思想方法融入培養(yǎng)學
生數(shù)學素養(yǎng)的全過程教學有法,教無定法,貴在得法。不同的教師應根據(jù)自身特點以及學生的特點靈活選擇合適的教學方法與手段,以達到課堂效果最優(yōu)化。比如在曲率知識講解時,教師播放事先準備好的工人選取砂輪打磨有弧度工件內(nèi)表面的視頻。學生觀看后,分組探討選取合適砂輪所蘊含的技巧,然后以小組為單位發(fā)表討論意見。教師從選取砂輪技巧中蘊含的數(shù)學原理角度,對學生進行啟發(fā)誘導,引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,同時,進行曲率相關(guān)知識的探究與學習,最后成功應用所學知識解決選取合適砂輪的問題。鼓勵學生完整講解問題的轉(zhuǎn)化、數(shù)學模型的建立及求解、再回歸到解釋問題上。課后分層設(shè)置學習任務,對曲率知識原理感興趣的同學分為一組(小部分),著重于對知識的掌握與再提升;對曲率的應用感興趣的同學分為一組或幾組(大部分),負責搜集生活或?qū)I(yè)技能中有關(guān)曲率應用的案例,并給出解釋;對課堂知識掌握不太好的學生分為一組(小部分),通過反復學習教師開發(fā)的免費網(wǎng)絡教學資源如MOOC\MOOT課程資源或教學視頻加強學習效果。教師借助網(wǎng)絡平臺對以上三組學生進行學習監(jiān)控與指導,最終實現(xiàn)對學生的抽象思維的培養(yǎng)目標。
1.3學會精煉,在提升中領(lǐng)會數(shù)學建模思想方法的精華
幾十年的應試教育養(yǎng)成了學生總是希望一次性得到理想結(jié)果的習慣,往往對建模中反復精煉的過程不感興趣。這樣,不僅得到的模型結(jié)果不夠好,學生建模的水平也難以提升。基于賞識教育的理念,肯定學生所建現(xiàn)有模型的優(yōu)點,樹立學生建模的信心,再通過實際的檢驗,指出現(xiàn)有模型的改進空間,引導學生不斷完善模型。適時穿插一些數(shù)學概念、方法不斷完善的故事,比如數(shù)學史上的三次危機等,加強學生對模型精煉過程的重視,提升學生建模的能力。培養(yǎng)學生在工作過程中不畏艱難、持之以恒、精益求精、改革創(chuàng)新的良好品格,這也符合大多數(shù)企業(yè)對高職學生的綜合職業(yè)素養(yǎng)要求。
2高職數(shù)學教學改革引入數(shù)學建模思想方法應解決的幾個問題
以數(shù)學建模思想為引導的高職數(shù)學教學改革實施多年來,獲得了學生的認同,高職院校的參賽學生在全國大學生數(shù)學建模競賽中也取得了不錯的成績。但將數(shù)學建模思想方法融入到高職數(shù)學課堂中仍然難以大范圍地推廣,主要存在以下幾個問題。
2.1高職數(shù)學教師應有專業(yè)背景知識
一是高職數(shù)學老師自身不應該是一個封閉的知識體,同專業(yè)課教師一樣,也應該進入所教專業(yè)的相關(guān)企業(yè)體驗學生今后的職場環(huán)境,了解他們的工作內(nèi)容,發(fā)現(xiàn)工作中與數(shù)學有關(guān)的工程問題或社會問題。對搜集到的問題分類,簡單的問題采用合理的方法或手段解決,進行整理、歸類,以備課堂選用。二是有較強的數(shù)學建模能力的數(shù)學老師和專業(yè)課教師及企業(yè)技術(shù)人員等形成數(shù)學建模案例開發(fā)團隊,一起開發(fā)可以形成數(shù)學模型的相關(guān)案例,分難易程度交付數(shù)學老師或?qū)W生完成項目,逐步引導職業(yè)院校師生綜合運用所學知識為實際服務,其中好的模型結(jié)果可以給予推廣。這樣,又可以吸引更多有建模需要的企業(yè)行業(yè)加入到題目提供者的隊伍中,形成學科為企業(yè)服務的良性循環(huán)。
2.2配備合理必需的教學環(huán)境
為了更貼合學生在實際工作狀態(tài)下解決問題的場景,有條件的學??梢赃x擇帶有互聯(lián)網(wǎng)的多媒體機房做教室,以“學習島”模擬“工作臺”,將學生分組,成為解決問題的團隊。一個團隊擁有一個配備電腦的“學習島”,便于隨時查找資料以及團隊內(nèi)成員的交流。或者有WIFI開放的普通多媒體教室,學生自己提供幾臺手提電腦,甚至是幾部智能手機即可實現(xiàn)“學習島”功能。這樣做,可以縮短課堂內(nèi)外距離,有利于提高學生的學習興趣。課堂時間的設(shè)置以完成一個建模項目的關(guān)鍵步驟為最佳。這樣有助于學生思維的連貫性,解決問題的完整性。
2.3創(chuàng)新學習成績評定方式
改變以往對學生學習成果的檢驗式考核方式,注重彈性形成性考核評價。對學生成績的評定分別放在每一個模型的建立過程中和建模結(jié)果后,側(cè)重對學生的態(tài)度、合作、能力、成果等四方面的考核,形成考核評價表。實施初期,可適度側(cè)重對學生學習態(tài)度及其在團隊中作用等方面的考核,待學生適應之后逐步加重對模型成果的考察。課前先告知學生考核內(nèi)容,通過各種公開途徑使學生及時了解自己的考核情況,激勵學生學習,幫助學生有效調(diào)控自己的學習過程,以比較容易完成的方式獲得成就感,增強自信心,培養(yǎng)團隊合作精神,形成良好學風,提高數(shù)學素養(yǎng),提升建模能力。逐步使學生從被動接受評價轉(zhuǎn)變成為評價的主體和積極參與者。
3結(jié)語
隨著時代的發(fā)展和和社會的需要,數(shù)學在社會各領(lǐng)域發(fā)揮著愈來愈重要的作用?,F(xiàn)代社會的科學技術(shù)主要是數(shù)學技術(shù)。高職數(shù)學要特別重視培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識與能力。在這一點上,融入建模思想方法的數(shù)學課堂比傳統(tǒng)課堂邁進了一大步。數(shù)學建模思想方法引導學生聯(lián)系實際,運用數(shù)學知識解決問題。它鼓勵創(chuàng)新,認可多結(jié)果的合理性,提高了學生主動學習的能力、分析問題和解決問題的能力對學生的團隊合作能力、口頭表達能力及撰寫科技論文的能力也是一種很好的培養(yǎng)。這些能力有助于他們迅速適應技術(shù)工作崗位的需求。同時,也強調(diào)建模思想方法的掌握離不開一定數(shù)學基礎(chǔ)知識的積累。因此,高職數(shù)學教師需要在不斷學習和實踐中總結(jié)創(chuàng)新,厚積薄發(fā)。
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首先,引入:"同學們,魚缸里有多少魚?"
毫無疑問,學生都說:"數(shù)數(shù)不就行了。"
然后再問"池塘里有多少條魚?"
這個問題提出以后,也有學生不加思索的回答:"數(shù)數(shù)唄。"但馬上就被其他學生:"你怎么數(shù)?魚不停地游動,根本沒法數(shù)。"這個過程就是提出一個生產(chǎn)領(lǐng)域常見的問題,引導學生思考解決它的方法,但我們不能直接通過代數(shù)計算、幾何推理等常見的數(shù)學方法來解決,那么建立一個近似刻畫本問題的數(shù)學模型就應運而生了,于是采用小球來代替魚,不透明的袋子代替池塘,因為池塘中的魚無法數(shù),那么如果不將袋子中的球倒出來數(shù)數(shù),你能知道袋子中有到底有多少個球嗎?到此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。接下來,我們就要來解決數(shù)學模型,因為前面的學習,學生提出放入其它只有顏色不同的球,通過摸球?qū)嶒瀬斫y(tǒng)計袋子中原有球的個數(shù)(運用概率和統(tǒng)計的知識來解決問題),順勢我給出下面的問題:"一個袋子中有8個藍球和若干個綠球,如果不允許將球倒出來數(shù),那么你能估計出其中的綠球數(shù)嗎?請你設(shè)計一種方案,試一試。"
出示這個問題之后,先讓學生思考,然后小組討論,最后推舉代表發(fā)言,因為有的學生預習,所以就引出了書上給出的兩種解題思路。沒有預習的學生因為思考和討論,也有了初步的認識。那么給出解決方案的時機成熟了。
你看下面兩個方案可行嗎?
(1)小明是這要做的:從口袋中隨機摸出-球,記下其顏色.再把它放回口袋中,不斷重復上述的過程,我們共摸了200次,其中有57次摸到藍球,因此我估計口袋中大約有20個綠球.你能說說他這樣做的道理嗎?
解:設(shè)口袋中有x個綠球,因此摸到藍球的理論概率為8/8+x,根據(jù)題意得
8/8+x=57/200
解之得x≈20
答:綠球大約有20個。
(2)小亮是這樣做的:利用抽樣調(diào)的方法。從口袋中一次摸出10個球.求出其中藍球數(shù)與10的比值,再把球放回口袋中.不斷重復上述過程.我總共摸了20次,藍球數(shù)與10的比值的平均數(shù)為0.25,因此,我估計口袋中大約有24個綠球.你能說說他這樣做的道理嗎?
解:設(shè)口袋中有x個綠球,因此摸到藍球的理論概率為8/8+x,根據(jù)題意得
8/8+x=1/4
解之得x=24
答:綠球大約有24個。
在經(jīng)過討論、講解、計算之后,學生理解了這兩種方法,從而給學生下面的活動提供了解答依據(jù)。
下面請同學們分組分別采用兩種方法估計袋中綠球的個數(shù)。
方法1
方法2
這時可以放手讓學生分組實際操作,并且將自己組的結(jié)果寫到黑板上,進行比較,最后匯總,并且與實際結(jié)果相比較,總結(jié)經(jīng)驗。在這個過程中,學生親身感受到了活動經(jīng)驗,積累解決問題的方法,進一步體驗到模型的作用。
議一議:
通過親自實踐,我們除感受到上述兩種方法合理外,還存在著估計的偏差,但它們在現(xiàn)實生活中意義卻很重要,請同學們思考:它們各有哪些優(yōu)缺點?
這個環(huán)節(jié)的目的是將實驗操作上升到理論高度,加深對"試驗頻率穩(wěn)定于理論概率"的理解,并讓讓學生體會數(shù)學的實用性。
想一想:
如果口袋中只有若干個綠球,沒有其他顏色的球,而且不許將球倒出來數(shù),那么你如何估計出其中的綠球數(shù)呢?與同伴交流.
這個問題的答案因為前面的鋪墊,思維靈活的學生很快就想出來:可向口袋中另放入幾個藍球,也可以從口袋中抽出幾個球并將它們?nèi)境伤{色或作標記。
接下來從數(shù)學模型回歸到實際問題:現(xiàn)在你能設(shè)計已方案來估計池塘里魚的數(shù)目嗎?
提示學生池塘里的魚可以看做上一個問題中的綠球,將數(shù)學模型與實際問題聯(lián)系起來,讓學生體會數(shù)學的作用。學生也就能給出答案:可以先撈出若干條魚,將它們作上標記,然后放回池塘經(jīng)過一段時間后,再從中隨機撈出若干條魚,并以其中有標記的魚的比例作為整個魚塘中有標記的魚的比例,據(jù)此估計與塘里魚的數(shù)目。
到此,問題終于得到解決。