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摘要:數(shù)學(xué)建模即為解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題而建立的數(shù)學(xué)模型,它是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶。結(jié)合教學(xué)案例,利用認(rèn)知心理學(xué)知識(shí),提出促進(jìn)學(xué)生建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的原則和方法,幫助學(xué)生由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)變,推進(jìn)素質(zhì)教育發(fā)展。
關(guān)鍵詞:認(rèn)知心理學(xué);思想;數(shù)學(xué)建模;認(rèn)知結(jié)構(gòu);學(xué)習(xí)觀
認(rèn)知心理學(xué)(CognitivePsychology)興起于20世紀(jì)60年代,是以信息加工理論為核心,研究人的心智活動(dòng)為機(jī)制的心理學(xué),又被稱為信息加工心理學(xué)。它是認(rèn)知科學(xué)和心理學(xué)的一個(gè)重要分支,它對(duì)一切認(rèn)知或認(rèn)知過程進(jìn)行研究,包括感知覺、注意、記憶、思維和言語等[1]。當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)主要用來探究新知識(shí)的識(shí)記、保持、再認(rèn)或再現(xiàn)的信息加工過程中關(guān)于學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)觀。而這一認(rèn)識(shí)觀在學(xué)習(xí)中體現(xiàn)較突出的即為數(shù)學(xué)建模,它是通過信息加工理論對(duì)現(xiàn)實(shí)問題運(yùn)用數(shù)學(xué)思想加以簡(jiǎn)化和假設(shè)而得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。本文通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型將“認(rèn)知心理學(xué)”的思想融入現(xiàn)實(shí)問題的處理,結(jié)合教學(xué)案例,并提出建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的原則和方法,進(jìn)一步證實(shí)認(rèn)知心理學(xué)思想在數(shù)學(xué)建模中的重要性。
一、案例分析
2011年微軟公司在招聘畢業(yè)大學(xué)生時(shí),給面試人員出了這樣一道題:假如有800個(gè)形狀、大小相同的球,其中有一個(gè)球比其他球重,給你一個(gè)天平,請(qǐng)問你可以至少用幾次就可以保證找出這個(gè)較重的球?面試者中不乏名牌大學(xué)的本科、碩士甚至博士,可竟無一人能在有限的時(shí)間內(nèi)回答上來。其實(shí),后來他們知道這只是一道小學(xué)六年級(jí)“找次品”題目的變形。
(一)問題轉(zhuǎn)化,認(rèn)知策略
我們知道,要從800個(gè)球中找到較重的一個(gè)球這一問題如果直接運(yùn)用推理思想應(yīng)該會(huì)很困難,如果我們運(yùn)用“使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化”這一認(rèn)知策略,問題就會(huì)變得具體可行。于是,提出如下分解問題。問題1.對(duì)3個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作[2]。問題2.對(duì)5個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題3.對(duì)9個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題4.對(duì)4、6、7、8個(gè)球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題5.如何得到最佳分配方法。
(二)模型分析,優(yōu)化策略
通過問題1和問題2,我們知道從3個(gè)球和5個(gè)球中找次品,最少并且保證找到次品的分配方法是將球分成3份。但這一結(jié)論只是我們對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的感知策略。為了尋找策略,我們?cè)O(shè)計(jì)了問題3,對(duì)于9個(gè)球的最佳分配方法也是分為3份。因此我們得到結(jié)論:在“找次品”過程中,結(jié)合天平每次只能比較2份這一特點(diǎn),重球只可能在天平一端或者第3份中,同時(shí),為了保證最少找到,9個(gè)球均分3份是最好的方法。能被3除盡的球我們得到均分這一優(yōu)化策略,對(duì)于不能均分的球怎么分配?于是我們?cè)O(shè)計(jì)了問題4,通過問題4我們得到結(jié)論:找次品時(shí),盡量均分為3份,若不能均分要求每份盡量一樣,可以多1個(gè)或少1個(gè)。通過問題解決,我們建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu):2~3個(gè)球,1次;3+1~32個(gè)球,2次;32+1~33個(gè)球,3次;……
(三)模型轉(zhuǎn)化,歸納策略
通過將新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)運(yùn)用到生活實(shí)踐,我們知道800在36~37之間,所以我們得到800個(gè)球若要保證最少分配次數(shù)是7次。在認(rèn)知心理學(xué)中,信息的具體表征和加工過程即為編碼。編碼并不被人們所覺察,它往往以“刺激”的形式表現(xiàn)為知覺以及思想。在信息加工過程中,固有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、嚴(yán)密的邏輯思維能力以及抽象概況能力將為數(shù)學(xué)建模中能力的提高產(chǎn)生重要的意義。
二、數(shù)學(xué)建模中認(rèn)知心理學(xué)思想融入
知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)是認(rèn)知心理學(xué)的兩個(gè)基本概念[3]。數(shù)學(xué)是人類在認(rèn)識(shí)社會(huì)實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)成果,它起源于現(xiàn)實(shí)生活,以數(shù)字化的形式呈現(xiàn)并用來解決現(xiàn)實(shí)問題。它要求人們具有嚴(yán)密的邏輯思維以及空間思維能力,并通過感知、記憶、理解數(shù)形關(guān)系的過程中形成一種認(rèn)知模型或者思維模式。這種認(rèn)知模型通常以“圖式”的形式存在于客體的頭腦,并且可以根據(jù)需要隨時(shí)提取支配。
(一)我國數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀
《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將模型思想這一核心概念的引入成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方向。其實(shí),數(shù)學(xué)建模方面的文章最早出自1982年張景中教授論文“洗衣服的數(shù)學(xué)”以及“壘磚問題”。雖然數(shù)學(xué)建模思想遍布國內(nèi)外,但是真正將數(shù)學(xué)建模融入教學(xué),從生活事件中抽取數(shù)學(xué)素材卻很難。數(shù)學(xué)建模思想注重知識(shí)應(yīng)用,通過提取已有“圖式”→加工信息→形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式內(nèi)化形成客體自身的“事物結(jié)構(gòu)”,其不僅具有解釋、判斷、預(yù)見功能,而且能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)[4]。
(二)結(jié)合認(rèn)知心理學(xué)思想,如何形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)
知識(shí)結(jié)構(gòu)與智力活動(dòng)相結(jié)合,形成有效認(rèn)知結(jié)構(gòu)。我們知道,數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是前人在總結(jié)的基礎(chǔ)上,通過教學(xué)大綱、教材的形式呈現(xiàn),并通過語言、數(shù)字、符號(hào)等形式詳細(xì)記述的。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí),通過將教材中的知識(shí)簡(jiǎn)約化為特定的語言文字符號(hào)的過程叫作客體的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這一過程中,智力活動(dòng)起了重要作用。復(fù)雜的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)心體驗(yàn)以及有限的信息加工容量讓我們不得不針對(duì)內(nèi)外部的有效信息進(jìn)行篩選。這一過程中,“注意”起到重要作用,我們?cè)谶M(jìn)行信息加工時(shí),只有將知識(shí)結(jié)構(gòu)與智力活動(dòng)相結(jié)合,增加“有意注意”和“有意后注意”,才能夠形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。根據(jù)不同構(gòu)造方式,形成有利認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)遵循循序漸進(jìn)規(guī)律,并具有嚴(yán)密的邏輯性和準(zhǔn)確性,它是形成不同認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是通過積累和加工而來,即使數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)一樣,不同的人仍然會(huì)形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這一特點(diǎn)取決于客體的智力水平、學(xué)習(xí)能力。因此若要形成有利認(rèn)知結(jié)構(gòu),必須遵循知識(shí)發(fā)展一般規(guī)律,注重知識(shí)的連貫性和順序性,考慮知識(shí)的積累,注重邏輯思維能力的提高。
三、認(rèn)知心理學(xué)思想下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀
學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者已知的、所碰到的信息和他們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)所做的之間相互作用的結(jié)果[5]。如何將數(shù)學(xué)知識(shí)變?yōu)閭€(gè)體的知識(shí),從認(rèn)知心理學(xué)角度分析,即如何將數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)吸收為個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu),即建立良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀,這一課題成為許多研究者關(guān)注的對(duì)象。那么怎樣學(xué)習(xí)才能夠提高解決數(shù)學(xué)問題的能力?或者怎樣才能構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型,接下來我們將根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)知識(shí),提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的構(gòu)建原則和方法。
(一)良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的信息
加工過程學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)相互作用的結(jié)果,是人們?cè)谛畔⒓庸み^程中,通過提取已有“圖式”將新輸入的信息與頭腦中已存儲(chǔ)的信息進(jìn)行有效聯(lián)系而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程[6]。可是,當(dāng)客體對(duì)于已有“圖式”不知如何使用,或者當(dāng)遇到可以利用“圖式”去解決的問題時(shí)不知道去提取相應(yīng)的知識(shí),學(xué)習(xí)過程便變得僵化、不知變通。譬如,案例中,即使大部分學(xué)生都學(xué)習(xí)了“找次品”這部分內(nèi)容,卻只能用來解決比較明確的教材性問題,對(duì)于實(shí)際生活問題卻很難解決。學(xué)習(xí)應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的信息加工過程,數(shù)學(xué)的靈活性在這方面得到了較好的體現(xiàn)。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)遵循有效記憶策略,將所學(xué)知識(shí)與該知識(shí)有聯(lián)系的其他知識(shí)結(jié)合記憶,形成“流動(dòng)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)。例如在案例中,求800個(gè)球中較重球的最少次數(shù),可以先從簡(jiǎn)單問題出發(fā),對(duì)3個(gè)球和5個(gè)球進(jìn)行分析,猜測(cè)并驗(yàn)證出一般分配方法。這一過程需要有效提取已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),通過擬合構(gòu)造,不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,而且能夠增強(qiáng)知識(shí)認(rèn)識(shí)水平和思維能力。
(二)良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該具有層次化、條理化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)
如果頭腦中僅有“雙向產(chǎn)生式”的認(rèn)知結(jié)構(gòu),當(dāng)遇到問題時(shí),很難快速找到解決問題的有效條件。頭腦中數(shù)以萬計(jì)“知識(shí)組塊”必須形成一個(gè)系統(tǒng),一個(gè)可以大大提高檢索、提取效率的層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。如案例,在尋找最佳分配方案時(shí),我們可以把8個(gè)球中找次品的所有分配情況都羅列出來。這樣做,打破了“定勢(shì)”的限制,而以最少稱量次數(shù)為線索來重新構(gòu)造知識(shí),有助于提高學(xué)生發(fā)散思維水平,使知識(shí)結(jié)構(gòu)更加具有層次化、條理化。在學(xué)習(xí)過程中,隨著頭腦中信息量的增多,層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)也會(huì)越來越復(fù)雜。因此,必須加強(qiáng)記憶的有效保持,鞏固抽象知識(shí)與具體知識(shí)之間的聯(lián)系,能夠使思維在抽象和現(xiàn)實(shí)之間靈活轉(zhuǎn)化。而這一過程的優(yōu)化策略是有效練習(xí)。
(三)良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該具有有效的思維策略
要想形成有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀,提高解決實(shí)際問題的能力,頭腦中還必須要形成有層次的思維策略,以便大腦在學(xué)習(xí)和信息加工過程中,策略性思維能夠有效加以引導(dǎo)和把控。通過調(diào)節(jié)高層策略知識(shí)與底層描述性及程序性知識(shí)之間的轉(zhuǎn)換,不斷反思頭腦思維策略是否恰當(dāng)進(jìn)而做出調(diào)整和優(yōu)化。譬如,在案例中,思維經(jīng)過轉(zhuǎn)化策略、尋找策略、優(yōu)化策略、歸納總結(jié)四個(gè)過程,由一般→特殊→一般問題的求解也是思維由高層向底層再向高層轉(zhuǎn)換的層次性的體現(xiàn)。
在思維策略訓(xùn)練時(shí),我們應(yīng)重視與學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系度。底層思維策略主要以學(xué)科知識(shí)的形式存在于頭腦,它的遷移性較強(qiáng),能夠與各種同學(xué)科問題緊密結(jié)合。因此可以通過訓(xùn)練學(xué)生如何審題,如何利用已有條件和問題明確思維方向,提取并調(diào)用相關(guān)知識(shí)來解決現(xiàn)實(shí)問題。
另外,有效思維訓(xùn)練還必須做到“熟練”,對(duì)于課堂需要識(shí)記的東西要提前預(yù)習(xí)并及時(shí)復(fù)習(xí),對(duì)于同類型題目,找出知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性組建知識(shí)層次結(jié)構(gòu),有效練習(xí)同類型題目,提高解難題能力,做到“熟能生巧”。
總之,認(rèn)知心理學(xué)思想融入數(shù)學(xué)建模是非常有必要和有意義的。數(shù)學(xué)建模的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題,用數(shù)學(xué)的思維思考問題,用數(shù)學(xué)的方法解決問題的能力[4]。數(shù)學(xué)建模的過程即為已有信息經(jīng)過智力加工→編碼而形成心理產(chǎn)物,這一過程需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)和思維操作系統(tǒng)。因此,要想提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力、搭建理論與實(shí)踐的橋梁、促進(jìn)學(xué)生由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)變、推進(jìn)素質(zhì)教育發(fā)展,除了教師的引導(dǎo)、學(xué)校的重視外,學(xué)生自身在認(rèn)知結(jié)構(gòu)、信息構(gòu)建、思維策略、訓(xùn)練方式等方面也應(yīng)提出新的思考。
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作者:郭巧1 楊兵2 李艷3a 潘莉3b 單位:1.安徽大學(xué) 2.安徽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 3.合肥工業(yè)大學(xué) a.黨委學(xué)工部 b.馬克思主義學(xué)院
級(jí)別:北大期刊
榮譽(yù):中國優(yōu)秀期刊遴選數(shù)據(jù)庫
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