周期函數(shù)精選(九篇)

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第1篇：周期函數(shù)范文

一、周期函數(shù)的定義

對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個不為零的常數(shù)T,當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù),不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的一個周期.

二、理解定義必須注意的問題

1.f(x+T)=f(x)必須使定義域內(nèi)每一個值都成立.

如:對于函數(shù)y=sinx,當(dāng)x=-π,0,π,2π,…等π的整數(shù)倍時,sin(x+π)=sinx都成立,能否說常數(shù)π是函數(shù)y=sinx的周期呢?顯然不能,因為當(dāng)x=π3時,sin(π3+π)≠sinπ3,可見常數(shù)π不能使定義域內(nèi)每一個值f(x+π)=f(x)都成立.

2.式子f(x+T)=f(x)是自變量x加上非零常數(shù)T對應(yīng)的函數(shù)值與x對應(yīng)的函數(shù)值對于定義域內(nèi)每一個x都成立.

如:對于函數(shù)y=sinx3,sin(x3+2π)=sinx3對于一切x∈R恒成立,所以該函數(shù)的周期為2π,這是錯誤的.正確的說法是sin(x3+2π)=sin[13(x+6π)]=sin13x,所以函數(shù)y=sinx3的周期為6π.

3.通常所說的函數(shù)周期是指其最小正周期,但并不是每個周期函數(shù)都有最小正周期.

如:常值函數(shù)f(x)=a(a為常數(shù)),任一個正數(shù)都是其周期,所以它沒有最小的正周期.

三、常見的函數(shù)周期性的結(jié)論及證明

證明或求函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),主要是根據(jù)周期函數(shù)的定義、性質(zhì)及圖像.

結(jié)論1若函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x+a)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù).

證明: 對任意x∈R,都有f(x+a)=-f(x).

f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x).

因此,函數(shù)y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù).

點評:這是一個重要的基本結(jié)論,如果問題中有f(x+a)=-f(x)(x∈R)就可得出該函數(shù)是周期為2a的周期函數(shù).

結(jié)論2若偶函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù).

證明:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,

f(x+2a)=f[a+(a+x)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x).

因此函數(shù)y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù).

點評:如果函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)且除x=0外還有對稱軸x=a(a≠0),則該函數(shù)是周期為2a的周期函數(shù).

結(jié)論3若奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,那么函數(shù)y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù).

證明:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,

f(x+4a)=f[a+(3a+x)]=f[a-(x+3a)]=f(-2a-x).

又函數(shù)y=f(x)(x∈R)是奇函數(shù),

f(-x)=-f(x).

f(-2a-x)=-f(2a+x)=-f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=f(x).

因此函數(shù)y=f(x)是周期為4a的周期函數(shù).

點評:如果函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),并且函數(shù)的圖像還有對稱軸x=a(a≠0),那么該函數(shù)是周期為4a的周期函數(shù).

結(jié)論4若函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=a與直線x=b(a

證明:函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=a與直線x=b(a

f(2a-x)=f(x),f(2b-x)=f(x).

f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).

因此函數(shù)y=f(x)是周期為2b-2a(b>a)的周期函數(shù).

點評:如果函數(shù)y=f(x)有兩個對稱軸,那么這個函數(shù)必為周期函數(shù),且周期為兩對稱軸間距離的二倍.

結(jié)論5若函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=a對稱,且關(guān)于點A(b,0)(a

證明:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,f(2a-x)=f(x).

函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于點A(b,0)(a

f(2b-x)=-f(x).

f[x+4(b-a)]=f[2b-(4a-2b-x)]=-f(4a-2b-x)=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(2b-2a+x)=-f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).

因此函數(shù)y=f(x)是周期為4(b-a)的周期函數(shù).

點評:以上結(jié)論告訴我們,如果函數(shù)y=f(x)有一個對稱軸和一個對稱中心,那么這個函數(shù)是周期函數(shù),周期為對稱軸與對稱中心相應(yīng)橫坐標(biāo)差的絕對值的四倍.

結(jié)論6若函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于點A(a,0)與B(b,0)(a

證明: 函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于點A(a,0)與B(b,0)(a

f(2a-x)=-f(x),f(2b-x)=-f(x),

f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=-f(2a-x)=f(x).

因此,函數(shù)y=f(x)是周期為2(b-a)的周期函數(shù).

點評:由以上結(jié)論2～6可以歸納得出:“如果函數(shù)y=f(x)的圖像有兩條對稱軸或有一條對稱軸和一個對稱中心或有兩個對稱中心,那么這個函數(shù)是周期函數(shù).

結(jié)論7若函數(shù)y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,則函數(shù)是周期為6a的周期函數(shù).

證明:函數(shù)y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,

可用x+a代換x,得f(x+2a)+f(x)=f(x+a) .

以上兩式消去f(x+a),得f(x+2a)=-f(x-a) .

再用x+a代換x,得f(x+3a)=-f(x),

f(x+6a)=f[3a+(x+3a)]=-f(x+3a)=f(x).

因此,函數(shù)y=f(x)是周期為6a的周期函數(shù).

點評:本結(jié)論證明兩次用到了x+a代換x,這種方法在解決周期性問題時經(jīng)常用到.

結(jié)論8對于函數(shù)y=f(x),若對任意x,存在非零常數(shù)t,使f(x+t)=1+f(x)1-f(x)都成立.則函數(shù)y=f(x)是周期為4t的周期函數(shù).

證明:f(x+2t)=f(x+t+t)=1+f(x+t)1-f(x+t) =1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),

f(x+4t)=f[(x+2t)+2t]=-1f(x+2t)=f(x).

所以,函數(shù)y=f(x)是周期為4t的周期函數(shù).

點評:由f(x+t)=1+f(x)1-f(x)的結(jié)構(gòu),聯(lián)想到tan(x+π4)=1+tanx1-tanx,而f(x)=tanx的周期是π4的4倍.由此可以猜想函數(shù)y=f(x)的周期為4t.

結(jié)論9 若函數(shù)y=f(x)對任意x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),其中a≠b,則函數(shù)y=f(x)是以T=|a-b|為周期的函數(shù).

證明: 函數(shù)y=f(x)對x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),

用x-a代換x,得f(x)=f(x-a+a)=f(x-a+b)=f[x+(b-a)].

因此函數(shù)y=f(x)是周期T=|b-a|的周期函數(shù).

點評:類比結(jié)論9還可以得到若函數(shù)y=f(x)對x∈R,都有f(x+a)=-f(x+b),其中a≠b,則函數(shù)y=f(x)是以T=2|a-b|為周期的函數(shù).

四、典型例題

例1已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+3)=f(x+1),若x∈[-1,1]時,f(x)=|x|,則函數(shù)y=f(x)與y=log5x的圖像交點個數(shù)是.

解析:由結(jié)論9可得函數(shù)y=f(x)的周期為2.在同一坐標(biāo)系中

作出函數(shù)y=f(x)和y=log5x在[0,5]的圖像,由圖像可以直觀得

到交點的個數(shù)為4個.

例2已知定義在(-∞,+∞)上的函數(shù)y=(x)的圖像關(guān)于點(-34,0)對稱,且滿足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2則f(1)+f(2)+…+f(2010)的值是.

解析:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(-34,0)對稱,

f(x)=-f(-x-32)

又 函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=-f(x+32),

f(-x-32)=f(x+32),

用x代換x+32得, f(-x)=f(x),且x∈(-∞,+∞),

函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

又由結(jié)論1,函數(shù)y=f(x)是T=3的周期函數(shù).

第2篇：周期函數(shù)范文

出錯的原因是他們把這題與另一個題混淆在一起了：如果f（1+x）=f（1-x），那么函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱，f（1+x）=f（1-x），用語言敘述出來就是點Q（1+x，y）與Q’（1-x，y）同在y=f（x）的圖像上，而且動點Q，Q’總關(guān)于直線x=1對稱，所以y=f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱。

把這兩個問題比較一下，就會發(fā)現(xiàn)它們有兩點明顯區(qū)別：首先前者說的是兩個函數(shù)圖像之間的相互對稱，后者說的是一個函數(shù)自身對稱。其次，前者所說的函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，自變量是x，后者說的只是外函數(shù)f（x），其中1+x，1-x是自變量的兩個不同取值。

現(xiàn)在我們更一般地討論一下對稱與周期問題：

如果f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱，這是因為關(guān)于直線x=對稱的兩點P（a+x，y）和P’（b-x，y）總同在（或同不在）y=f（x）的圖象上，所以上述結(jié)論成立，偶函數(shù)是a=b=0時的特例。還需指出一個容易與之混淆的問題：如果f（x+a）=f（x+b）（a>b），則a-b是f（x）的一個正周期。事實上：f（x+a-b）=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x），所以命題成立，兩個式子非常相似。x系數(shù)的絕對值都是1，其不同的是：x的系數(shù)異號時反映出的是對稱性，同號時反映出的是周期性。

y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，這是因為：如果點P（x，y）在y=f（a+x）上，則y=f（a+x）=f[b-（b-a-x）]，說明與P點關(guān)于直線x=對稱的點P’（b-a-x，y）必在y=f（b-x）的圖象上。如果f（a+x）=-f（b-x），則函數(shù)發(fā)f（x）的圖象關(guān)于點（，0）對稱。y=f（a+x）與y=-f（b-x）的圖象關(guān)于點（，0）對稱。

同理可以證明：方程f（x，y）=0與f（x，2a-y）=0的圖象關(guān)于直線y=a對稱。若f（x，y）=f（x，2a-y），則f（x，y）=0的圖象關(guān)于直線y=a對稱。

方程f（x，y）=0與f（2a-x，2b-y）=0的圖象關(guān)于點（a，b）對稱。若f（x，y）=f（2a-x，2b-y），則方程f（x，y）=0的圖象關(guān)于點（a，b）對稱。

方程f（x，y）=0與方程f（a-y，a-x）=0的圖象關(guān)于x+y=a對稱。若f（x，y）=f（a-y，a-x），則方程f（x，y）=0的圖象關(guān)于x+y=a對稱。

方程f（x，y）=0與方程f（a+y，x-a）=0的圖象關(guān)于x-y=a對稱。若f（x，y）=f（a+y，x-a），則f（x，y）=0的圖象關(guān)于直線小x-y=a對稱。

下面再指出對稱性和周期性的關(guān)系，給出以下三個定理：

定理一：如果f（x）=f（2a-x），并且f（x）=f（2b-x）（a>b），那么2（a-b）是y=f（x）的一個正周期。

證明：對于任意，對于任意，x∈R

y=f（x）是2（b-a）以為周期的周期函數(shù)。

定理二：若定義在上的函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點（a，0）和（b，0）對稱，則稱y=f（x）是以為周期的周期函數(shù)。

證明：對于任意，對于任意，x∈R

y=f（x）是2（b-a）以為周期的周期函數(shù)。

定理三：若定義在上的函數(shù)y=f（x）的圖像既關(guān)于直線x=a對稱，有關(guān)于點（b，0）對稱（a≠b），則稱y=f（x）是以4（b-a）為周期的周期函數(shù)。

證明：對于任意，x∈R

y=f（x）是以4（b-a）為周期的周期函數(shù)。

特別地，若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)（或偶函數(shù)）且它的圖像關(guān)于點（a，0）（a≠0）（或直線x=a）對稱，則稱此函數(shù)一定是周期函數(shù)。

同理可證明：

第3篇：周期函數(shù)范文

關(guān)鍵詞:函數(shù);定義式;周期性;對稱性

中圖分類號:G633 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-2851(2012)-08-0169-01

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線。函數(shù)的性質(zhì),特別是對稱性與周期性更是競賽和高考的重點與熱點,而學(xué)生因為對函數(shù)的對稱性所對應(yīng)的定義式掌握不夠、理解不透,所以將二者經(jīng)?；煜?本文將通過函數(shù)的對稱性的一般定義式的探究,進(jìn)而考察函數(shù)對稱性與周期性之間的關(guān)系,以饗讀者。

一、函數(shù)對稱性的探究

性質(zhì)1.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點A(a,b)對稱的充要條件是f(2a-x)+f(x)=2b。

證明:(必要性)設(shè)點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點。點P(x,y)關(guān)于點A(a,b)的對稱點P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)圖象上,2b-y=f(2a-x),即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b。

(充分性)設(shè)點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點,則y=f(x)。f(x)+f(2a-x)=2b即f(2a-x)=2b-y點P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)圖象上,而點P與點P′關(guān)于點A(a,b)對稱。

性質(zhì)2.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f(a+x)=f(a-x)。(證明同上)

二、函數(shù)周期性與對稱性關(guān)系的探究

性質(zhì)1.若函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)(a

證明:f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)

f(2a-x)=f(2b-x)f(x+2b-2a)=f(x)f(x)是以2(b-a)為一個周期的周期函數(shù)。

性質(zhì)2.若函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(2a-x)+f(x)=2c 且f(2b-x)+f(x)=2c(b>a),即f(x)有兩個對稱中心(a,c)與(b,c),則f(x)是以2(b-a)為一個周期的周期函數(shù)。

證明:f(2a-x)+f(x)=2c,f(2b-x)+f(x)=2cf(2a-x)=f(2b-x)f(2b-2a+x)=f(x)f(x)是以2(b-a)為一個周期的周期函數(shù)。

性質(zhì)3.若函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(a+x)=f(a-x)且f(2b-x)+f(x)=2c(b>a),即f(x)有對稱軸x=a及對稱中心(b,c),則f(x)是以4(b-a)為一個周期的周期函數(shù)。

證明:f(2b-x)+f(x)=2cf〔2b-(2a-x)〕+f(2a-x)=2c 即f〔2b-2a+x〕+f(2a-x)=2cf(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x)f(2b-2a+x)+f(x)=2c①f(x)=2c-f(2b-2a+x)f〔2(b-a)+x〕=2c-f〔2b-2a+2(b-a)+x〕f(2b-2a+x)=2c-f〔4(b-a)+x〕②由①②得,f〔4(b-a)+x〕=f(x)f(x)是以4(b-a)為一個周期的周期函數(shù)。

三、函數(shù)的對稱性和周期性應(yīng)用舉例

例1.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且g(x)是奇函數(shù),又有g(shù)(x)=f(x-1),若g(-1)=2013,則f(2012)的值是( )。

A2012 B-2012 C2013 D-2013

解:g(x)是奇函數(shù)g(-x)=f(-x-1)=-g(x)=-f(x-1)f(x-1)+f(-x-1)=0f(x)有對稱中心(-1,0)f(x)是R上的偶函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(2012)=f(0)=g(1)=-g(-1)=-2013 故選:D

例2.定義在R上的非常值函數(shù)f(x)滿足f(10+x)為偶函數(shù),且f(5-x)=f(5+x),則f(x)一定是:( )

A.是偶函數(shù),也是周期函數(shù) B.是偶函數(shù),但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù),也是周期函數(shù) B.是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)

解:f(10+x)為偶函數(shù)f(10-x)=f(10+x)f(x)有一條對稱軸x=10f(5-x)=f(5+x)f(x)還有一條對稱軸x=5 f(x)是以2(10-5)=10為周期的周期函數(shù)f(x)有另外一條對稱軸x=0即f(x)是偶函數(shù)。故選:A

例3:設(shè)R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=-f(1-x),當(dāng)1

解:由f(1+x)=-f(1-x),即f(1+x)+f(1-x)=0,得f(x)有對稱中心(1,0),又f(x)是奇函數(shù)f(x)有對稱中心(0,0)f(x)以2(1-0)=2為周期。設(shè)x∈(-1,0),則2+x∈(1,2),則f(2+x)=■即f(x)=■。

f(x)是奇函數(shù)當(dāng)x∈(0,1)時,則-x∈(-1,0),則f(-x)=-f(x)=■即f(x)=-■且f(0)=0

第4篇：周期函數(shù)范文

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；課堂小組

函數(shù)周期性是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，并且是函數(shù)的重要特征，學(xué)生必須熟練掌握才能學(xué)好函數(shù).教師在教學(xué)中應(yīng)合理設(shè)計教學(xué)，充分發(fā)揮課堂小組討論教學(xué)模式的作用，讓學(xué)生在相互合作和探究中更加熟練的掌握函數(shù)周期性的知識.

精心設(shè)計問題，能夠有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生愿意主動去探究和思考.尤其是針對小組討論設(shè)計的問題，應(yīng)具有較強的趣味性、探索性和創(chuàng)新性.教師在設(shè)計問題時應(yīng)注意根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平來安排具有引導(dǎo)性的問題，讓學(xué)生能夠在解決問題的過程中充分認(rèn)識新知識的形成和應(yīng)用.從而更好的體會要掌握的數(shù)學(xué)知識.如在學(xué)習(xí)函數(shù)周期性的知識中，教師首先可以讓學(xué)生思考一個關(guān)于三角函數(shù)的問題，三角函數(shù)周期性特征明顯，具有很好的導(dǎo)入效果.教師首先要完成理論知識的講解，關(guān)于函數(shù)周期性的定義為，對于一個函數(shù)f（x），如果有一個常數(shù)T（常數(shù)不為0），能夠使得定義域內(nèi)每一個自變量x，都有f（x）= f（x+T），則此函數(shù)為周期函數(shù)，常數(shù)T為此函數(shù)的周期.其中若所有周期中存在一個最小正數(shù)，則此正數(shù)為該周期函數(shù)的最小正周期.學(xué)生基本了解了周期的意義后，可以給學(xué)生展示一些簡單的周期性函數(shù)的題目.

例1 求函數(shù)f（x）=sin4x+cos2x的最小正周期.

教師教學(xué)中可以先讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)過的知識來進(jìn)行小組討論，對題目M行分析和思考，然后讓各小組的學(xué)生代表來說出解題過程和答案，最后再由教師對其進(jìn)行評價和完善，然后教師再統(tǒng)一給出解題步驟，讓學(xué)生在探究的過程中更加深刻的理解新學(xué)習(xí)的知識，熟練掌握.

分析f（x）=（sin2x）2+ cos2x=（1-cos2x2）2+1+cos2x2=34+14 cos22x=78+18cos4x，因此函數(shù)的最小正周期為T=2π4=π2.

給學(xué)生參考的解題步驟，讓學(xué)生對照自己的解題方法來進(jìn)行完善和補充，幫助學(xué)生掌握更加科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和解題方法.

一、仔細(xì)思考問題

教師在進(jìn)行函數(shù)周期性的小組教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成觀察問題的習(xí)慣.通過提出的問題，訓(xùn)練學(xué)生獨立思考，讓學(xué)生在遇到問題時第一時間去思考問題的核心和關(guān)鍵.教師在提出問題后需要給學(xué)生留出時間，讓學(xué)生進(jìn)行獨立的思考，通過自主思考和分析，對題意有自己的理解，構(gòu)建出自己的思維網(wǎng)絡(luò).然后再讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，說出自己的看法，然后根據(jù)學(xué)生們的多種意見，完善自己不足的地方，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.如上述的題目中解題的過程也并不是唯一的.教師在學(xué)生小組討論后說出自己的解題過程和答案，答案是唯一的，但解題的變換過程是多種的，讓學(xué)生通過這種形式意識到解題方法及步驟是多樣化的，避免盲從，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成自己的學(xué)習(xí)特點，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

例2已知x∈（-∞，+∞），f（x）為周期為2的周期函數(shù)，k∈Z，I表示區(qū)間（2k-1，2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時，f（x）=x2，求出f（x）在I上的解析式.

分析1因為f（x）是周期為2的周期函數(shù)，所以當(dāng)k∈Z時，f（x）的周期為2k，因為x∈I時，x-2k∈ I0，所以f（x）=（x-2k）2，即對k∈Z，x∈I時，函數(shù)的解析式為f（x）=（x-2k）2.

分析2這個題目還可以通過圖像法進(jìn)行解答：做出函數(shù)f（x）在R上的圖像，如圖1所示，將x∈I0的圖像向右平移2k個單位就是x∈I的函數(shù)圖像，因此可以得出函數(shù)解析式為f（x）=（x-2k）2.

通過共享彼此的想法，也能夠拓寬學(xué)生的思路，啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在小組交流中收獲更多有用的知識，從而更好的掌握學(xué)習(xí)的知識.

二、提高小組討論效率

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的交流和溝通.課堂小組討論教學(xué)模式具有很強的自主性，教師在其中扮演著引導(dǎo)的角色，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，需要進(jìn)行自主的學(xué)習(xí).但教師必須做好小組學(xué)習(xí)中的引導(dǎo)工作，保證學(xué)生是圍繞著課堂主題進(jìn)行討論和思考的.同時有些學(xué)生在交流的過程中還存在思路不清晰、表達(dá)不清楚的狀況，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的表達(dá)方法.也有學(xué)生存在發(fā)言時間過長的情況，教師也要進(jìn)行相應(yīng)的提醒，同時有的小組學(xué)生的觀點存在很大的分歧，教師在聆聽過后，對其進(jìn)行引導(dǎo)和調(diào)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生向正確的方向去思考和探究.并且及時解決學(xué)生在討論過程中遇到的問題，讓學(xué)生掌握正確的思路，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.通過這種長期的堅持和訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力，從而加強學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生更加有效的學(xué)習(xí).并且教師在組織學(xué)生進(jìn)行小組討論時，可以創(chuàng)設(shè)一些教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生探討的興趣，讓學(xué)生愿意去主動學(xué)習(xí).同時在引導(dǎo)的過程中進(jìn)行一些針對性的指導(dǎo)和點撥.讓學(xué)生更好的理解題意和知識的內(nèi)涵，從而更加準(zhǔn)確的將所學(xué)的函數(shù)知識應(yīng)用到問題中，并在解題的過程中提高自己思維、交流的能力.最后教師要做好相應(yīng)的評價和總結(jié)，教師在學(xué)生進(jìn)行小組學(xué)習(xí)的過程中不要急于指出學(xué)生答案的對錯，而是在學(xué)生思考的過程中給予正確的引導(dǎo)，讓學(xué)生向正確的方向思考.并且讓各小組代表發(fā)表自己小組經(jīng)過共同討論得出的解題過程和答案，然后由全體學(xué)生和教師共同參與評價，來發(fā)現(xiàn)各個小組的優(yōu)缺點.教師對于每個小組的表現(xiàn)都應(yīng)給予充分的肯定，同時對出現(xiàn)的問題進(jìn)行公正全面的指出，讓學(xué)生意識到自己存在的問題，給予合理的評價，讓學(xué)生保持學(xué)習(xí)的熱情，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，從而總結(jié)出更加完善的學(xué)習(xí)方法.

總之，教師在進(jìn)行函數(shù)周期性的教學(xué)中，應(yīng)合理應(yīng)用小組討論的教學(xué)模式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊志文探究，讓課堂煥發(fā)生命活力――“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)實錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（08）.

[2]趙偉“問題探究”教學(xué)模式與創(chuàng)造力培養(yǎng)[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2000（08）.

第5篇：周期函數(shù)范文

[關(guān)鍵詞]水族馬尾繡;刺繡藝術(shù);文化內(nèi)涵

[中圖分類號]K892.24 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1005-3115（2015）24-0040-03

刺繡是用彩色絲、絨、棉線、毛等在綢、緞、布等底料上用針進(jìn)行穿刺與釘制，從而形成了圖案紋樣或者文字的一種特殊工藝。中國的刺繡藝術(shù)以其美觀、典雅、華潤的藝術(shù)特色和豐富精湛的技藝著稱于世，并已流傳數(shù)千年。①在古老的刺繡藝術(shù)長河中，閃爍著眾多的民俗文化，通過刺繡者靈巧的雙手有意無意地將其融入繡品，而且世代相傳，在傳承刺繡技藝的同時，也傳播了民俗文化，直指人的心靈乃至成為某種意義上的信仰。②

水族馬尾繡也不例外，可以說它是水族婦女獨有的絕活，在刺繡的過程中將現(xiàn)代意義上的“點、線、面”等元素巧妙地構(gòu)圖與組合，在不經(jīng)意之中，將水族諸多的民俗文化融入馬尾繡品中，一幅幅馬尾繡片包含著水族婦女對生活和愛情等的情感，絢麗的色彩配上銀光閃閃的白色馬尾絲線輪廓和浮雕感的視覺效果，凸顯出一種意想不到的品質(zhì)。獨具特色的創(chuàng)造與彰顯出的個性化的審美觀相輔相成、相得益彰，孕育出水族特有的情感和文化內(nèi)涵。在以前，有經(jīng)驗者甚至可以從娘家送給女兒背扇的工藝中，便可清楚地判斷女兒所生孩子是男是女。

一、水族馬尾繡的特殊使用功能

從民間美術(shù)史料中不難發(fā)現(xiàn)，原本的刺繡是將織錦、染印、挑花等諸多工藝應(yīng)用到服裝上，對服飾做點綴和裝飾作用，在諸多的民間服裝裝飾工藝之中，刺繡應(yīng)用最普遍且流傳區(qū)域也是最為廣泛的。③ 而水族婦女制作的馬尾繡以前只是用在水族小孩的背扇和水族婦女的繡花鞋上。

生活在貴州三都都柳江邊的水族婦女，和西南諸省的其他少數(shù)民族一樣，在生了孩子之后，當(dāng)孩子還很小的時候，勤勞的水族婦女不能只顧抱小孩，還要忙家里家外的活兒，抱了孩子就無法干活。出于生活的需要，聰慧的水族婦女創(chuàng)造了與其生活環(huán)境相適應(yīng)的“背扇”。有了背扇，干活的時候可以騰出雙手，無論提水、挑蘿、爬山、下地、趕集、走親串友、料理家務(wù)都可以照常進(jìn)行。水族婦女都用背扇把孩子背在身后，水族孩子的童年大多是在母親的背上度過的。

水族婦女常見的刺繡種類有馬尾繡、盤繡、鎖邊繡、打籽繡、縐繡、挑花等，最典型的還屬馬尾繡，她們常常用馬尾繡刺繡出精美的“歹結(jié)”、“歹臘巴”、“歹格”背扇、圍腰和童帽等，但最具代表性的還是“歹結(jié)”背扇，也就是通常所說的水族馬尾繡背帶。④馬尾繡在我國屬于水族所特有的一種刺繡絕活，依靠水族婦婦代代相傳幾千年延續(xù)至今。在水族原始的生活中，馬尾繡最主要的功能是用其刺繡孩子的背扇、童帽和馬尾繡繡花鞋。解放前，水族的背扇都是以黃色為主，這是因為在我國幾千年的封建社會中，黃色往往被視為高貴的顏色，為此，水族先民對黃色尤為崇尚，這與傳說中水族是貴族的身份也許有一定的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。解放以后，水族人民的審美觀念也隨之發(fā)生了很大的變化，開始選用象征著“太陽、光明、熱烈、幸福和吉祥”的紅色。

從背扇上的刺繡圖案中，可以進(jìn)一步了解到背扇所特有的文化內(nèi)涵。在馬尾繡背扇上，圖案紋樣都是以蝴蝶為主，配有蝙蝠、石榴、葫蘆、魚等。在水族人民的生活中，有一個美麗動人的傳說，相傳蝴蝶救活了水族的孩子，才使水族得以幸存而繁衍至今。所以蝴蝶被水族尊崇為孩子成長的“保護神”。在水族婦女世代傳承的藝術(shù)活動中，自覺或不自覺地進(jìn)入古代神話傳說的藝術(shù)境界，在特殊而封閉的生活環(huán)境中，人們在潛移默化地傳承著古人的思維方式和生活習(xí)俗，將自然崇拜、祖先崇拜、神靈崇拜、生殖崇拜，以及萬物有靈、天人合一的宇宙觀、生命觀，通過物化之后的形態(tài)自然而巧妙地流露于孩子的背扇、婦女的服飾等手工藝品之中。從水族馬尾繡背扇中各式各樣的圖案紋樣的文化內(nèi)涵，可以窺視水族人民源遠(yuǎn)流長的文化觀念和哲學(xué)思想。⑤水族馬尾繡為今天的人們研究水族的民俗、審美、思想觀念等提供了寶貴的有形資料。

二、水族服飾中的馬尾繡

水族的服飾，尤其婦女的服飾可謂是絢麗多姿，這些服飾體現(xiàn)了水族婦女的聰明才智和審美情趣，而且也負(fù)載了水族深厚的歷史文化內(nèi)涵。⑥

在田野調(diào)查的過程中，聽當(dāng)?shù)氐睦先酥v，水族的馬尾繡最早并沒有繡在水族婦女的服飾上，只是到了解放以后，水族婦女為了裝飾服飾才開始運用馬尾繡刺繡婦女的服飾，男士服裝中偶爾也有刺繡馬尾繡的，一般都是節(jié)日的盛裝。

追溯水族歷史，唐代水族婦女與東謝蠻大多數(shù)居民一樣，“男女椎髻，以緋束之”。到了清代，多穿對襟無領(lǐng)闊袖銀扣短上衣，下裝多為百折裙，有些還扎裹腿，并在前后系上兩塊長條腰巾。長衫上裝，便褲下裝逐步盛行。⑦腳穿翹尖鞋，中年婦女有的開始穿繡花鞋?，F(xiàn)在，水族婦女的服飾有了很明顯的變化，未婚女孩多穿淺藍(lán)色、綠色或灰色作便服長衫。衣身衣袖相比以前沒那么寬松，顯得更為貼身，富有時代特點。從習(xí)俗看，未婚女子衣身衣腳是不做任何花邊裝飾，但隨著人們思想觀念的變化，為了視覺的美觀，部分女孩子在節(jié)日的盛裝中也有在衣腳邊用花邊做裝飾，再配上繡花圍腰和青白的長條巾，顯得尤為素潔淡雅，開朗明快。刺繡著馬尾繡的已婚中青年婦女服飾可謂是水族服飾的代表之作。尤其是節(jié)日盛裝，在款式上與未婚女子類同外，主要的區(qū)別就是袖口、環(huán)肩至衽口及褲腳，多以水族特有的馬尾刺繡作裝飾，另佩戴精美的銀飾作裝飾。這類服飾以三都和獨山等地水族較為普及，九阡和荔波等地的婦女，又多以紗質(zhì)細(xì)勻的青布作便裝見多，與青紫色的毛巾配在一起，顯得既典雅端莊，又古樸大方。與其他民族雜居的水族婦女服飾，往往在此特征基礎(chǔ)上，或多或少受其他民族的影響服飾略有變化。

無論選擇什么顏色與什么衣料來制作服裝，但在服飾裝飾過程中所刺繡的馬尾繡圖案都是大同小異，其中，鳳、鳥、魚、石榴花、八角花、小草、蜜蜂、葫蘆、閃電等圖案紋樣是刺繡構(gòu)圖的主要元素。這些圖案紋樣有著對生活幸福美滿、多子多福等家業(yè)興旺繁榮的美好寓意。

三、水族馬尾繡特殊的文化內(nèi)涵

（一）情感文化內(nèi)涵

水族先民婦女在封建禮教的束縛下，代代相傳遵從著三從四德的傳統(tǒng)生活方式，對于婚姻的選擇也多半聽從父母之命、媒妁之言。一個水族姑娘將來能否找到好婆家，是否精通馬尾繡技藝在當(dāng)?shù)厮坪跻殉蔀橐粋€年輕小伙擇偶的一個硬性指標(biāo)，也是衡量一個姑娘心靈手巧的標(biāo)志。再加上水族女孩在原始宗教崇拜的影響之下，信奉一草一木皆有靈性，在大人的引領(lǐng)下傳承著馬尾繡刺繡技藝，在朦朦朧朧中全身心地投入到刺繡創(chuàng)作。在刺繡的過程中，似乎已領(lǐng)悟到先輩們對于馬尾繡審美的標(biāo)準(zhǔn)。有些靈巧的姑娘很自信地用心摹仿著長輩或者心中的師傅，從搓馬尾線到盤繡輪廓，直至最后繡出一幅馬尾繡繡片，之后將諸繡片組合在一起，自己的一幅完整的處女作從此誕生。

隨著自己技法和針法不斷的熟練，在前輩們的指教下，水族姑娘們開始刺繡起了自己的嫁妝，這一繡就是好幾年的光景。在特定的說笑氛圍中，帶著羞澀的水家姑娘開始構(gòu)思起圖案和紋飾。從她們小心翼翼的神態(tài)中可以默默地體會到她們似乎就是在學(xué)屬于自己一生的看家本領(lǐng)。一幅幅小小的繡片可以說是水族姑娘一段段情感的心理掃描。談到藝術(shù)，人們常常會說“字如其人、畫如其人”，真正能夠懂得作畫者內(nèi)心情感世界的人才能與作者本人達(dá)到共鳴。此時的水家姑娘似乎就在世代相傳的圖案紋樣的刺繡中繡出自已的情感世界，期待著解讀她的人早一天到來。

（二）生育文化內(nèi)涵

在水族傳統(tǒng)禮儀中，馬尾繡扮演著重要角色。今天貴州三都縣內(nèi)的三洞、中和、板告、延牌、水龍等地的水族村寨，哪家姑娘出嫁，按照傳統(tǒng)習(xí)俗，母親必須得準(zhǔn)備一條馬尾繡的小孩背扇送給女兒作陪嫁品，預(yù)祝女兒早生貴子。

這個習(xí)俗要從背扇本身的作用談起。背扇是水族婦女們用來背小孩的工具。馬尾繡制作工藝繁瑣復(fù)雜，耗時耗力，精心刺繡一床馬尾繡背扇需要一年左右的時間，在人們心目中自然而然已屬于極其貴重的物品，也充分表明了母親對婚姻大事的重視程度和對女兒幸福生活的期望值。另外，從水族背扇上刺繡的圖案紋樣來看，都是以蝴蝶為主題紋樣，配有太陽和月亮、蝙蝠和葫蘆以及吉祥鳥等吉祥圖案。蝴蝶本身對于水族就有著十分重要而特殊的意義，它被視為水族孩子健康成長的“保護神”;蝙蝠在水族習(xí)俗中有遍地是福的喻意;葫蘆諧音為“福祿”?？傊瑢τ诩磳㈦x開家的女兒，從此不能在母親的“翅膀”下生活了，點點滴滴的母愛寄予在數(shù)年用馬尾絲制作的背扇中，與其說是一個貴重的嫁妝，不如說是母親情感的物化物。在傳統(tǒng)封建社會，歷來都有著母憑子貴的傳統(tǒng)思想，在原本生產(chǎn)力不夠發(fā)達(dá)的水族地區(qū)，這一傳統(tǒng)思想的影響更為嚴(yán)重。一個水族婦女在婚后沒能生下孩子會受到男方家族的歧視，這會是一個水族婦女一生的不幸，如果因此婚姻破滅，在傳統(tǒng)的水族社會中將是苦不堪言。為此，母親繡制的馬尾背扇最重要的意義便是希望女兒婚后能夠稱心如意，早得貴子，從而確保一生幸福。這才是水族背扇蘊含的生育文化內(nèi)涵之精髓。

（三）性別文化內(nèi)涵

當(dāng)水族人家的女兒出嫁以后，在生第一個孩子時，外婆或是舅母探望外甥道喜時，按傳統(tǒng)習(xí)俗，必須得備上馬尾繡背扇和童帽這兩樣禮物。馬尾繡的此類禮物在水族的生活禮儀中具有特殊而重要的意義，它是外甥平安健康、富貴吉祥的象征。一個水族婦女一生不管生多少個孩子，也只有在生第一個孩子時才能得此殊榮。這一隆重的禮儀帶著娘家人全部的深情和期望，之所以只有這一次，不僅是因為馬尾繡是難得的手工藝品，更重要的是娘家希望女兒婚姻穩(wěn)固;娘家人更希望女兒及外甥安康吉祥，希望女兒再生，多子多福，幸福長久。

盡管娘家人對女兒備加關(guān)愛，送來如此珍貴的禮物。但是，幾千年來男尊女卑的封建傳統(tǒng)觀念，一直在影響著很多人的思想，尤其處在先前相對封閉的特殊的地域環(huán)境之中，不發(fā)達(dá)的生產(chǎn)力促使著重男輕女的思想在水族祖輩們的心里扎下了根，在女兒出嫁時，母親不僅預(yù)祝女兒婚姻美滿，而且希望早生貴子，此時的“貴子”實質(zhì)就是期盼早日生一個健壯的男孩，主要是給男方家傳承血脈。在女兒生下孩子后，水族先民對此非常講究，如果女兒生了男孩，那在這個特殊而至關(guān)重要的禮儀中，娘家人就會選取家人做的手工最好的背扇送給外甥作賀禮，即使自家沒有做好或是做得不好，也要想盡一切辦法去十里八鄉(xiāng)買一個稱心如意的背扇送給外甥。當(dāng)然，這是根據(jù)娘家經(jīng)濟狀況和家庭具體情況，在此前提下要做到盡善盡美。如果外甥是女孩，同樣也要道喜和送背扇等賀禮，但相比之下，背扇只是一個象征性的禮儀而已，只要有就可以了。如果自家沒有，同樣是根據(jù)娘家人的經(jīng)濟狀況在集市上買一床即可。有經(jīng)驗的水族人，誰家給剛出生的外甥去道喜，看看帶的馬尾繡背扇心里就“有底”了，知曉她家閨女生的是男孩還是女孩了。一床背扇，牽動著全家人的心;一床背扇，也滿載了水族人們幾千年來存留的傳統(tǒng)思想。為此，可以說水族馬尾繡手工藝，不僅是水族特有的絕技，也是一種刺繡著“性別”的藝術(shù)。

隨著社會文明程度的進(jìn)步和市場經(jīng)濟的發(fā)展，水族人們的社會觀念隨之發(fā)生了根本性的轉(zhuǎn)變。再加上水族馬尾繡被首批列入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，國家和政府的大力支持，促使馬尾繡的產(chǎn)業(yè)化發(fā)展有了可供發(fā)展的環(huán)境，專門從事培訓(xùn)和銷售馬尾繡產(chǎn)業(yè)鏈正在逐步形成與完善。在三洞、板告、延牌等三都境內(nèi)很多水族村寨，先前男性或是農(nóng)閑，或是長年在外打工，現(xiàn)在隨著馬尾繡產(chǎn)業(yè)化發(fā)展趨勢的日漸成熟，竟然出現(xiàn)很少有人出外打工的情況，而且有些家庭的男性成為農(nóng)業(yè)和家務(wù)的主要承擔(dān)者，部分心靈手巧的水族婦女依靠刺繡馬尾繡成為家庭經(jīng)濟收入的“頂梁柱”。社會的發(fā)展使得水族婦女的社會分工和經(jīng)濟收入有了明顯的變化，這一變化促使水族女性在家庭和社會中的地位不斷提高，重男輕女的思想在日漸淡化。

思想觀念的變化支配著人們行為意識的改變，如今水族的年輕一代，尤其生活在城市中的水族人，他們的觀念發(fā)生很大變化，認(rèn)為生男生女都一樣。如今，在女兒出嫁后生了第一個孩子，娘家人送背扇、童帽這一傳統(tǒng)習(xí)俗仍舊在延續(xù)著，甚至這個禮儀比以前更隆重，但娘家人對外甥的賀禮再不像從前那么刻意了，以前被認(rèn)為是刺繡著“性別”的藝術(shù)隨著時代的變化在不經(jīng)意中抹去了“性別”，只剩下了藝術(shù)。

馬尾繡是水族特有的絕活，不僅是一種刺繡藝術(shù)，更是水族先民民俗文化和情感文化的載體，在水族人民在生活中有著特殊而重要的意義。絢麗多姿的水族馬尾繡婦女服飾，負(fù)載著水族先民古老而傳統(tǒng)的歷史文化內(nèi)涵。水族馬尾繡藝術(shù)蘊含著水族媽媽特殊的情感文化、生育文化內(nèi)涵。同時，在水族特殊的生活禮儀中有著特殊的性別文化內(nèi)涵。馬尾繡既是衡量水族姑娘是否心靈手巧的標(biāo)準(zhǔn)，又是她們情感寄托的載體。既是母親對心愛女兒一生婚姻幸福、家庭美滿、生育順心的全部祝福，在特殊的生活禮儀中，又是判斷孩子“性別”的特殊信息指標(biāo)。

[注 釋]

①錢元龍：《作為文化表達(dá)的蘇繡》，《學(xué)海》，2010年第3期。

②王光普、張燕：《母親的針和線：刺繡與香包》，甘肅人民美術(shù)出版社2009年版，第84頁。

③王平：《中國民間美術(shù)通論》，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社2007年版，第183頁。

④潘映熹：《民間服飾》，江西美術(shù)出版社2006年版，第42頁。

⑤丁朝北：《淺談水族馬尾繡》，《民族藝術(shù)》，1994年第6期。

第6篇：周期函數(shù)范文

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 對稱性 探討

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)對稱的充要條件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)

推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函數(shù)y = f (x)的圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

②若函數(shù)y = f (x)的圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)成中心對稱。

定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。

②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y= a成軸對稱。

③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y= a成軸對稱。

三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表

四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1.定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5－x) = f (5+x)，則f (x)一定是( )(第十二屆希望杯高二 第二試題)

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：f (10+x)為偶函數(shù)

f (10+x) = f (10－x).

f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)。

x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。

故選(A)

例2.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時，f (x) = － x，則f (8.6 ) = ________(第八屆希望杯高二第一試題）

解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)

x = 0是y = f(x)對稱軸；

又f(1+x)= f(1－x)

x = 1也是y = f (x) 對稱軸。

第7篇：周期函數(shù)范文

一、同一函數(shù)的對稱性

性質(zhì)1.若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則圖像關(guān)于點A（a，b）對稱.

證明：（必要性）設(shè)點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，點P（x，y）關(guān)于點A（a，b）的對稱點P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖像上，2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.

（充分性）設(shè)點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，則y=f（x）.

f（x）+f（2a-x）=2bf（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.

故點P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P'關(guān)于點A（a，b）對稱，充分性得證.

推論：（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，則圖像關(guān)于原點對稱；

（2）若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=0，則圖像關(guān)于點（a，0）對稱；

（3）若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=2b，則圖像關(guān)于點（0，b）對稱；

性質(zhì)2.若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x），則圖像關(guān)于（，0）對稱.

性質(zhì)3.若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則圖像關(guān)于直線x=對稱.

推論：（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x），則圖像關(guān)于y軸對稱;

（2）若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x），則圖像關(guān)于直線x=a對稱.

性質(zhì)4.若函數(shù)f（x）圖像同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且周期為2|a-b|.

性質(zhì)5.若函數(shù)f（x）圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b）則y=f（x）是周期函數(shù)，且周期為2|a-b|.

性質(zhì)6.若函數(shù)f（x）圖像既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且周期為4|a-b|.

證明：函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于點A（a，c）成中心對稱，

f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c（*）

又函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，

f（2b-x）=f（x），代入（*）得：

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］（**），用2（a-b）-x代x得

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］代入（**）得：

f（x）=f［4（a-b）+x］，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期.

二、不同函數(shù)的對稱性

性質(zhì)1.函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點A（a，b）成中心對稱.

性質(zhì)2.函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）的圖像關(guān)于x軸對稱.

性質(zhì)3.函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱.

性質(zhì)4.函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（x）的圖像關(guān)于直線y=b成軸對稱.

性質(zhì)5.函數(shù)yf（x）與y=f（x）與的圖像關(guān)于直線x-y=0成軸對稱.

性質(zhì)6.函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）與的圖像關(guān)于直線x+y=0成軸對稱.

性質(zhì)7函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關(guān)于直線x=成軸對稱.

三、三角函數(shù)的對稱性

性質(zhì)1.函數(shù)y=sinx的圖像的對稱中心為（kπ，0），對稱軸為x=kπ+.

性質(zhì)2.函數(shù)y=cosx的圖像的對稱中心為（kπ+，0），對稱軸為x=kπ.

性質(zhì)3.函數(shù)y=tanx和y=cotx的圖像的對稱中心為（，0）.

性質(zhì)4.函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像若關(guān)于y軸對稱，則φ=kπ+，若關(guān)于原點對稱，則φ=kπ.

性質(zhì)5.若函數(shù)y=cos（ωx+φ）的圖像若關(guān)于y軸對稱，則φ=kπ，若關(guān)于原點對稱，則φ=kπ+.

四、應(yīng)用舉例

例1.若非常值函數(shù)f（x）滿足：f（8+x）為偶函數(shù)，且f（4+x）=f（4-x），則f（x）一定是（）

（A）既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)（C）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：f（8+x）為偶函數(shù)，f（8+x）=f（8-x），又f（4+x）=f（4-x）f（x）是以8為周期的周期函數(shù)f（x）=f（x+8），即f（x）是偶函數(shù).故選（A）.

例2設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）、g（x）存在反函數(shù)，并且f（x-1）和g（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g（8）=2011，那么f（7）=（）

（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013

解：y=g（x-2）反函數(shù)是y=f（x-1）又y=g（x-2）的反函數(shù)是：y=g（x）+2，f（x-1）=g（x）+2，f（8-1）=2+g（8）=2013，故f（7）=2013，應(yīng)選（D）.

例3設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=2x+1，則f（9）=?搖?搖?搖?搖

解：f（x）是奇函數(shù)，又f（2+x）=f（2-x）f（x）關(guān)于直線x=2對稱.故y=f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，f（9）=f（8+1）=f（1）=-f（-1）=1.

例4.已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)y=g（x）的圖像與y=（x+1）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，求g（11）的值.

解：函數(shù)y=g（x）與y=f（x+1）互為反函數(shù)，又函數(shù)y=f（x+1）的反函數(shù)為y=f（x）-1，g（x）=f（x）-1=，g（11）=.

例5.函數(shù)y=sinxcosx+cosx-的圖像的一個對稱中心為（）

（A）（，-） （B）（，-）

（C）（-，） （D）（，-）

解：y=sin（2x+）-

2x+=kπ即x=-

選（B）

第8篇：周期函數(shù)范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；對稱性；思考

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）13-0121

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點A（a，b）對稱的充要條件是：f（x）+f（2a-x）=2b

證明：（必要性）設(shè)點P（x，y）是y=f（x）圖象上任一點，點P（x，y）關(guān)于點A（a，b）的對稱點P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖象上，2b-y=f（2a-x）

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點P（x0，y0）是y=f（x）圖象上任一點，則y0=f（x0）

f（x）+f（2a-x）=2bf（x0）+f （2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故點P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖象上，而點P與點P′關(guān)于點A（a，b）對稱，充分性得征。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點O對稱的充要條件是f（x）+ f（-x）=0

定理2. 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是：f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f （2a-x）（證明留給讀者）

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是y=f（x）=f（-x）

定理3. ①若函數(shù)y=f（x）圖象同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。

②若函數(shù)y=f（x）圖象同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱 （a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。

③若函數(shù)y=f（x）圖象既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

函數(shù)y=f（x）圖象既關(guān)于點A（a，c） 成中心對稱，

f（x）+ f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f [2a-（2b-x）] =2c………………（*）

又函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=b軸對稱，

f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f [2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得

f [2 （a-b）+ x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）= f [4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4. 函數(shù)y=f（x）與y=2b-f （2a-x）的圖象關(guān)于點A（a，b）成中心對稱。

定理5. ①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱。

②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖象關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。

③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖象關(guān)于直線x-y=a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③：

設(shè)點P（x0，y0）是y=f（x）圖象上任一點，則y0=f（x0）。記點P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點為P’（x1，y1），則x1= a+y0，y1=x0-a，x0 =a+y1，y0=x1-a 代入y0= f（x0）之中得x1-a=f（a+y1） 點P′（x1，y1）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖象上。

同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖象上任一點關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f（x）的圖象上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象與x=f（y）的圖象關(guān)于直線x=y成軸對稱。

三、三角函數(shù)圖象的對稱性列表

注：①上表中k∈Z；②y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是（kπ/2，0），而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)是（kπ，0），這明顯是錯的。

四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1. 定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f （5-x）=f （5+x），則f （x）一定是（ ）。（第十二屆希望杯高二第二試題）

（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

（D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：f（10+x）為偶函數(shù)，f（10+x）= f （10-x）.

f （x）有兩條對稱軸 x=5與x=10 ，因此f （x）是以10為其一個周期的周期函數(shù)， x=0即y軸也是f （x）的對稱軸，因此f （x）還是一個偶函數(shù)。

故選（A）

例2. 設(shè)定義域為R的函數(shù)y=f （x）、y=g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002

解：y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，

y=g-1（x-2） 反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g-1（x-2） 的反函數(shù)是：y=2+g（x），f（x-1）=2+g（x），有f（5-1）=2+g（5）=2001

故f（4） = 2001，應(yīng)選（C）。

例3. 設(shè)f （x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）= f（1-x），當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=-x，則f（8.6 ） = .

解：f （x）是定義在R上的偶函數(shù)x=0是y=f （x）的對稱軸；

又f（1+x）= f（1-x） x=1也是y=f （x）的對稱軸。故y=f （x）是以2為周期的周期函數(shù)，f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4.函數(shù) y=sin（2x+）的圖象的一條對稱軸的方程是（ ）。（1992年全國高考理）

（A）x=- （B）x=- （C）x= （D）x=

解：函數(shù)y=sin（2x+）的圖象的所有對稱軸的方程是2x+=kπ+

x=-π，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=-故選（A）

例5. 設(shè)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=- f （x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）=（ ）。

（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5

解：y=f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，點（0，0）是其對稱中心；

又f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+ x） = f（1-x）， 直線x=1是y= f（x）的對稱軸，故y=f （x）是周期為2的周期函數(shù)。

第9篇：周期函數(shù)范文

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 思維深刻性 變異教學(xué) 本質(zhì)因素 批判性教學(xué)

數(shù)學(xué)給予人們的不僅是知識，更重要的是能力。這種能力包括觀察實驗、收集信息、歸納類比、直覺判斷、邏輯推理、建立模型和精確計算。這些能力一旦形成，將使人終身受益。然而，現(xiàn)在的很多學(xué)生，面對數(shù)學(xué)猶如洪水猛獸，完全沒有體會到數(shù)學(xué)對其思維產(chǎn)生的巨大影響。數(shù)學(xué)對其思維的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，也不可能有立竿見影的效果，是一個循序漸進(jìn)的過程。懼怕數(shù)學(xué)的學(xué)生其根本是主觀依賴性嚴(yán)重，從而缺失了積極主動的主觀思維能力。思想的惰性要遠(yuǎn)比肉體的懶惰可怕，肉體的懶惰充其量就是個懶人，而思想的懶惰者，卻會成為一個不折不扣的庸人、廢人。在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，如何讓學(xué)生克服這種思維的惰性，進(jìn)而培養(yǎng)對問題進(jìn)行深入思考的良好習(xí)慣，是我在教學(xué)中常常思考的一個問題。

思維是在表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的綜合分析、判斷、推理等認(rèn)識活動的過程。在教學(xué)中，我嘗試著用如下一些方式加強對學(xué)生能力的培養(yǎng)。

一、通過變異教學(xué)，加深對概念、原理的理解，培養(yǎng)思考的習(xí)慣。

例如：判斷函數(shù)y=sinx，x∈（-7π，7π）是否是周期函數(shù)。

許多學(xué)生已經(jīng)成為了一種思維定勢，認(rèn)為y=sinx是最小正周期為2π的周期函數(shù)，因此會毫不猶豫地下結(jié)論：y=sinx，x∈（-7π，7π）是周期函數(shù)。有這種思維定勢的同學(xué)，明顯就是對認(rèn)識周期函數(shù)相關(guān)性質(zhì)一知半解，沒有對周期函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入的思考和分析。因此教師可以借用該例引導(dǎo)學(xué)生對周期函數(shù)的性質(zhì)有更進(jìn)一步的認(rèn)識。由于學(xué)生已經(jīng)知道，設(shè)y=f（x）的定義域是I，如果存在一個的正數(shù)T，使得對于?坌x∈I，有（x±T）∈I，且有f（x+T）=f（x）恒成立，則函數(shù)y=f（x）稱為周期函數(shù)，若T為最小正周期，則T的非零整數(shù)倍也是y=f（x）的周期。因此，學(xué)生容易理解，若取x=6π∈（-7π，7π），有sin（6π）=sin（6π+2π）=sin（8π），但8π?埸（-7π，7π），因而可以斷定函數(shù)y=sinx，x∈（-7π，7π）不是周期函數(shù)。如果教師的分析到此結(jié)束的話，那么對以后遇到其他周期函數(shù)時，學(xué)生仍然可能犯同樣的錯誤，也就達(dá)不到對其深刻的理解。因為若T為最小正周期，則T的非零整數(shù)倍也是y=f（x）的周期，容易推出，非零整數(shù)的個數(shù)是無限的，所以，凡是具有周期性函數(shù)所對應(yīng)的區(qū)間絕不可能是有限值。通過對周期函數(shù)的變異教學(xué)，學(xué)生對周期函數(shù)的認(rèn)識就更加深刻。這樣的教學(xué)，能讓學(xué)生體會到深入思考的必要性，經(jīng)常這樣進(jìn)行有目的教學(xué)，學(xué)生就會養(yǎng)成思考的習(xí)慣，形成思考的條件反射。

二、引導(dǎo)學(xué)生識別具有本質(zhì)的因素，培養(yǎng)思考的深刻性。

例如：設(shè)a+a+1=0，+b+1=0，且1-a≠0，求的值。

對于這個題目，大多數(shù)學(xué)生會分析為要求的值，只需要從a+a+1=0中求出a，從+b+1=0中求出b，然后再結(jié)合條件1-a≠0對前面求出的a和b進(jìn)行篩選，從而可輕易求出的值，但是在求解的過程中卻出現(xiàn)了虛數(shù)，因此直接求出a和b顯得比較麻煩了，便會考慮把變形為+a，把1-a≠0變形為≠。因此只需要從a+a+1=0中求出，從+b+1=0中求出，分別有兩個根，然后根據(jù)≠分兩種情況討論，就可求出=-1。通過上面的常規(guī)分析，也能求出的值，但比較麻煩。此時，教師就要引導(dǎo)學(xué)生對題目本身加以挖掘，發(fā)現(xiàn)其中的亮點，已知中給出的兩個等式（a）+a+1=0和（）++1=0形式相似，則a和分別為方程x+x+1=0的兩個根，而=+a本質(zhì)上是兩根之和。所以，應(yīng)用韋達(dá)定理便可輕松求出=+a=-1。運用韋達(dá)定理的解法抓住了問題的本質(zhì)因素，突破了思維定勢，進(jìn)一步開闊了學(xué)生的視野，使得學(xué)生對問題的認(rèn)識更加深刻和全面。

三、通過批判性教學(xué)，促進(jìn)深刻性的發(fā)展。

例如：證明：任意三角形皆為等腰三角形。

證明：任作ABC，∠A的角平分線與BC邊的中垂線相交于O，

過O作OEAB，OFAC，

可證得RtAEO≌RtAFO，RtBDO≌RtCDO，

?圯RtEOB≌RtFOC，

EB=FC，AB=AC，

任意ABC皆為等腰三角形。

此題的論證完全正確，可是問題的關(guān)鍵在于角平分線與BC邊的中垂線相交于O點，該交點并非交于ABC的內(nèi)部，只可能在BC邊上或ABC外。當(dāng)然這個錯誤問題的出現(xiàn)原因可讓學(xué)生先分析，查找問題，教師再做點評。

又例如：ABC的周長為18，面積為30，求ABC的內(nèi)切圓的半徑。

解：S=（a+b+c）r?圯r=

粗略一看，該題目的解法也是相當(dāng)正確的，但是仔細(xì)思考會發(fā)現(xiàn)當(dāng)三角形的周長一定時，面積最大的是正三角形，而S=×6=9＜18＜30，滿足題目中條件的三角形根本就不存在?？上忍崾緦W(xué)生尋找周長一定時，面積最大的是什么三角形，面積一定時，周長最長的是什么三角形等類似問題。在以后的教學(xué)中，也要有計劃地引導(dǎo)學(xué)生對類似問題進(jìn)行思考。

上述兩個例子，從解決的過程來看，都比較容易解決，只是因為沒有對題目本身加以深入分析，才造成了錯誤的題目都有著看似正確的答案。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對于平時學(xué)習(xí)過程中一些常識性結(jié)論和范圍有個基本把握，不能盲目地相信專家權(quán)威，通過這種批判性的教學(xué)，使學(xué)生能夠認(rèn)識到：只有做到全方位地把握問題，才不容易范常識性的錯誤。