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數(shù)學(xué)是中學(xué)教育過(guò)程中一門非常重要的學(xué)科,在教學(xué)計(jì)劃中占有相當(dāng)高的地位和相當(dāng)大的比重,并且日益受到教師、學(xué)生和家長(zhǎng)的重視。但是,在以往的教育教學(xué)過(guò)程中,教師往往只是重視學(xué)生分?jǐn)?shù)的高低而忽略學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力,造成高分低能的現(xiàn)象,這種應(yīng)試教育在全國(guó)范圍內(nèi)來(lái)講還是十分的普遍。在教育改革的春風(fēng)下,數(shù)學(xué)教學(xué)的方式方法也迫切需要改革。作為教師,我們的目光不應(yīng)該還停留在重視考試分?jǐn)?shù)的弊病上,而是應(yīng)該更加關(guān)注學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力,使學(xué)生們可以學(xué)以致用。無(wú)疑,數(shù)學(xué)建模是一個(gè)提高學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的好方法。而面對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)建模,首先應(yīng)該解決的是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣,只有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模感興趣,才能使他們能力全心全力的投入到數(shù)學(xué)建模的研究當(dāng)中。筆者就自己對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模興趣的理解進(jìn)行一下闡述。
一、 合理定位,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)建模的信心
在日常的教學(xué)過(guò)程中,教師要合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的實(shí)例,充分考慮學(xué)生的接受能力,先易后難,要逐步讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模沒(méi)有想象當(dāng)中的那么復(fù)雜,使他們?nèi)菀捉邮?,容易入門。著名科學(xué)家伽利略利用數(shù)學(xué)建模的方法發(fā)現(xiàn)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的案例家喻戶曉,堪稱經(jīng)典。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中,我們往往也想為學(xué)生們?cè)O(shè)計(jì)如此富有創(chuàng)意的課題。但是,此類極具挑戰(zhàn)的問(wèn)題明顯已經(jīng)超出了學(xué)生的可接受范圍,又怎能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)建模的信心呢?物極必反,如果此后學(xué)生一遇見(jiàn)此類的問(wèn)題,往往會(huì)感到不知所措,長(zhǎng)此以往,學(xué)生會(huì)逐漸失去對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的信心和興趣。所以,作為教師,要合理的設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生容易接受,樂(lè)于接受,同時(shí)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐漸增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)建模的信心和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣。
二、 要循序漸進(jìn),逐步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣
a) 在實(shí)際生活中選取和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題
在我們的日常生活中,處處存在著數(shù)學(xué),處處存在著可以用數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題,而我們的學(xué)生往往意識(shí)不到,不能以數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考和解決生活中存在的問(wèn)題。如果我們教師能在教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中選取貼近學(xué)生實(shí)際生活的問(wèn)題,合理的設(shè)計(jì)符合學(xué)生能力范圍的簡(jiǎn)單課題,肯定會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生好奇心和求知欲陡然增加。在好奇心和求知欲的驅(qū)使下,學(xué)生們必然會(huì)全心投入到解決問(wèn)題的過(guò)程中,在自己的努力思考下,享受成功的喜悅,并逐步培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣。
例如,假設(shè)一所學(xué)校有1000名學(xué)生,241人住在宿舍A,323人住在宿舍B,436人住在宿舍C。現(xiàn)在學(xué)校要組建一個(gè)10人的宿舍管理委員會(huì),要求使用合理的方法分配各個(gè)宿舍的管理委員人數(shù)。
這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是引導(dǎo)學(xué)生按照宿舍人數(shù)的比例合理的安排各個(gè)宿舍的管理員人數(shù),它都涉及到哪一些變量呢?這是我們需要考慮的重點(diǎn)問(wèn)題。那么,我們假設(shè)A宿舍的管理員人數(shù)為x人,B宿舍的管理員人數(shù)為y人,C宿舍的管理員人數(shù)為z人。由于人數(shù)為一個(gè)整數(shù)單位,因此我們需要將小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)部分最大的整數(shù)進(jìn)1,其余取整數(shù)部分。
則
x+y+z=10;
=;
=;
=;
x,y,z為正整數(shù)
解得:x=3,y=3,z=4
所以,宿舍A的管理員人數(shù)應(yīng)為3人,宿舍B的管理員人數(shù)應(yīng)為3人,宿舍C的管理員人數(shù)應(yīng)為4人,這樣的分配才算合理。宿舍管理問(wèn)題一直是圍繞在學(xué)生周圍的問(wèn)題,大部分學(xué)生都有過(guò)或長(zhǎng)或短的宿舍住宿經(jīng)歷,讓學(xué)生們通過(guò)數(shù)學(xué)建模的結(jié)果來(lái)決定宿舍管理員人數(shù),相信一定會(huì)吸引大多數(shù)學(xué)生的興趣。在上述問(wèn)題的模型基礎(chǔ)上,我們也可以學(xué)生利用課余時(shí)間走進(jìn)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查和求證,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,與此相似的問(wèn)題必將會(huì)迎刃而解。
b) 要緊密圍繞教學(xué)課堂展開(kāi)和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題
課堂作為教育教學(xué)的主要場(chǎng)所,是學(xué)生獲取知識(shí)和能力的源泉。所以,在我們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的實(shí)例時(shí)應(yīng)該緊緊圍繞日常的教學(xué)內(nèi)容,要注重在平時(shí)的教育教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生們的實(shí)際應(yīng)用能力。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題,要結(jié)合生產(chǎn)生活實(shí)際,并且依托教學(xué)過(guò)程中的講授內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn),或者將教材中的習(xí)題、例題改編成符合生產(chǎn)生活實(shí)際的應(yīng)用性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí),逐步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣和信心。
例如,氣象現(xiàn)象是我們?nèi)粘I钪凶畛R?jiàn)的現(xiàn)象,同學(xué)們每天都會(huì)感受到氣象的變幻無(wú)窮。在講解解析幾何時(shí),我為同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題:假設(shè)在A點(diǎn)的正西方向300Km處有一個(gè)臺(tái)風(fēng)中心,它正在以40Km/h的速度向東北方向移動(dòng),并且距離其中心250Km以內(nèi)的地方都會(huì)受到影響,問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間以后A點(diǎn)所在地區(qū)將遭受臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)多少時(shí)間?
這個(gè)問(wèn)題提出以后,同學(xué)們反應(yīng)都非常強(qiáng)烈,同時(shí)展現(xiàn)出濃厚的興趣,全部都摩拳擦掌,躍躍欲試。在學(xué)習(xí)和了解解析幾何的基礎(chǔ)之上,同學(xué)們很容易的就建立了解析幾何數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。
所以,大約在2個(gè)小時(shí)以后地點(diǎn)A所在地區(qū)將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響,持續(xù)時(shí)間大概是6.6個(gè)小時(shí)。通過(guò)此類數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的解決,不能能夠使學(xué)生的課堂知識(shí)得到理解和鞏固,而且會(huì)使學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力得到很明顯的提高,這些都是平時(shí)課堂教學(xué)所不能達(dá)到的效果。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模;模型建立;求解;分析;檢驗(yàn);應(yīng)用
一、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的意義和數(shù)學(xué)的社會(huì)需求
隨著人類的進(jìn)步,科技的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步日趨數(shù)字化,“數(shù)學(xué)已無(wú)處不在”“數(shù)學(xué)就等于機(jī)會(huì)”的時(shí)代已經(jīng)到來(lái),數(shù)學(xué)應(yīng)用越來(lái)越廣泛,越來(lái)越受到重視,數(shù)學(xué)模型(Mathematical Mondel)和數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling)這兩個(gè)詞的使用頻率越來(lái)越高,可以這樣說(shuō),現(xiàn)實(shí)生活處處存在數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)建模離不開(kāi)現(xiàn)實(shí)生活。因?yàn)閿?shù)學(xué)建模的最終目的是服務(wù)于生產(chǎn)勞動(dòng)和生活,解決實(shí)際問(wèn)題。
當(dāng)今,“開(kāi)展數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)”的重心已從大學(xué)轉(zhuǎn)移到了中學(xué),并已成為中學(xué)教學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題,從高考數(shù)學(xué)命題來(lái)看:1993年有賀卡分配、燈光照明、商品抽樣、游泳池造價(jià)等問(wèn)題;1994年有細(xì)胞分裂、任務(wù)分配、物理測(cè)量等問(wèn)題;1995年有淡水魚(yú)養(yǎng)殖的問(wèn)題;1996年有耕地糧食的問(wèn)題;1997年有運(yùn)輸成本問(wèn)題;1998年有環(huán)保設(shè)備問(wèn)題;1999年有軋鋼問(wèn)題等等。其中應(yīng)用問(wèn)題的演變趨勢(shì)有兩個(gè)特點(diǎn):一是應(yīng)用題正由小題向大題,進(jìn)而向大小題相結(jié)合轉(zhuǎn)化;二是由簡(jiǎn)單的直接應(yīng)用向?qū)嶋H問(wèn)題數(shù)學(xué)模型化轉(zhuǎn)變。通過(guò)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的。那么,怎樣把現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題用數(shù)學(xué)建模的辦法來(lái)解決呢?一般來(lái)講,生活中的數(shù)學(xué)建模有如下幾個(gè)步驟。
模型假設(shè):根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化,并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)囊庖?jiàn)。
二、數(shù)學(xué)建模的基本思路和方法
1.模型假設(shè)。
2.模型建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)形式的抽象,利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
3.模型求解。利用獲取的數(shù)據(jù)資料對(duì)模型中所有參數(shù)做出計(jì)算。
4.模型分析。對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。
5.模型檢驗(yàn)。將模型分析結(jié)果在實(shí)際情形中進(jìn)行比較,以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合,則要給出計(jì)算結(jié)果的實(shí)際含義,并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)修改假設(shè)再次重復(fù)建模過(guò)程。
6.模型應(yīng)用。模型的應(yīng)用和適用范圍因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。
下面以2001年高考文科第21題為例,具體闡述生活中的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。
題目:某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年時(shí)令得知,從二月一日開(kāi)始的300天內(nèi),西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖1的一條折線表示:西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2的拋物線表示。
(1)寫(xiě)出圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;寫(xiě)出圖2表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。
(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益,問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?
(注:市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位:元/百千克,時(shí)間單位:天)
綜上所述:從二月一日開(kāi)始的第50天時(shí)上市的西紅柿純收益最大。
這道題把日常生活中極普遍的種植、上市、銷售、利潤(rùn)、物件諸因素融入“西紅柿”中,情境貼近生活,通過(guò)圖象給出各元素關(guān)系,形象具體、深刻,既有生活又含生產(chǎn);既有種植又有銷售;既有支出(成本)又有收入(利潤(rùn))。所有元素?cái)?shù)據(jù),相關(guān)聯(lián)系信息,都是用圖象給出。這些符合實(shí)際的數(shù)據(jù),描繪出兩條經(jīng)驗(yàn)曲線,考生需從圖象中“讀”所需數(shù)據(jù),建立函數(shù)關(guān)系式,去尋求最佳方案。由此可知,成功的“數(shù)學(xué)建?!彪x不開(kāi)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的現(xiàn)象進(jìn)行模擬體驗(yàn)和細(xì)致的觀察、認(rèn)真的記錄,運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法對(duì)材料進(jìn)行加工分析,大膽地猜想和不斷地提出問(wèn)題,并加以嚴(yán)密的論證,再回到實(shí)際生活中去接受檢驗(yàn),不斷地修正和完善,從而得出具有較高精度和一定指導(dǎo)價(jià)值的結(jié)論等重要環(huán)節(jié),由此可以看出實(shí)踐性是第一的。2月1日起剛上市的西紅柿每千克的市場(chǎng)價(jià)較高,但收益并不理想,原因是此時(shí)的成本也較高。由圖1和圖2分析得到:天氣冷時(shí),蔬菜基地靠大棚作業(yè),種植成本相應(yīng)提高;隨著時(shí)間推移,季節(jié)變化,天氣逐漸變暖,種植成本下降,市場(chǎng)售價(jià)也降低;影響因素遠(yuǎn)不止于此。針對(duì)這個(gè)普遍存在的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)得到:“從2月1日起第50天上市的西紅柿獲利最大”的結(jié)論,結(jié)論是現(xiàn)實(shí)的,對(duì)某地區(qū)的菜農(nóng)也是有積極指導(dǎo)意義的。
三、學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)方法與途徑
培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,一般來(lái)講,可按以下基本程序進(jìn)行。
1.課堂,即課內(nèi)先讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的有關(guān)理論性知識(shí),再通過(guò)教師對(duì)一些實(shí)例的講解、分析,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和方法,以及怎樣利用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。
2.課外,即學(xué)生可利用放學(xué)回家的路上,或在節(jié)假日深入工廠、農(nóng)村、機(jī)關(guān)、超市等場(chǎng)所進(jìn)行調(diào)查研究,取得一定素材和數(shù)據(jù),然后對(duì)那些較典型的素材進(jìn)行分析,并結(jié)合自己所掌握的有關(guān)數(shù)學(xué)常識(shí)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。
3.回到課堂,即教師對(duì)學(xué)生中較典型的數(shù)學(xué)建模進(jìn)行剖析,并讓學(xué)生相互交流數(shù)學(xué)建模心得,做到取長(zhǎng)補(bǔ)短,共同提高。
4.再回到課外,即繼續(xù)深入生活,對(duì)自己所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行反復(fù)修正,直至接近于現(xiàn)實(shí)。
總之,學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)方法和途徑是“學(xué)習(xí)―實(shí)踐―再學(xué)習(xí)―再實(shí)踐”的過(guò)程。
第一學(xué)期,在講完“函數(shù)的應(yīng)用”一節(jié)之后,我布置了這樣一個(gè)作業(yè):要求學(xué)生根據(jù)自己的生活體驗(yàn),針對(duì)自己了解的某個(gè)問(wèn)題,建立一個(gè)函數(shù)模型。第二節(jié)課,我先檢查作業(yè),發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能基本達(dá)到要求,而且有幾個(gè)學(xué)生的作業(yè)完成得比較好。如,“服裝銷售單價(jià)與營(yíng)利大小”的問(wèn)題,“某品牌的洗發(fā)水單價(jià)與包裝重量”的問(wèn)題,“城市打的付費(fèi)”的問(wèn)題等等。其中,“城市打的付費(fèi)問(wèn)題”是較典型的一個(gè)例子。
題目:某市現(xiàn)行的打的付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起價(jià)8元,三公里后開(kāi)始跳表1.6元/公里,另外10公里以上需加30%的返程費(fèi)。
(1)寫(xiě)出打的費(fèi)用與路程的函數(shù)關(guān)系;
(2)當(dāng)路程為x=11公里時(shí),乘客應(yīng)付費(fèi)多少元?
有位學(xué)生是這樣解的。
接下來(lái),我讓同學(xué)們相互交流各自的作業(yè),然后比較、討論、修改,這時(shí)另外一個(gè)學(xué)生看了他的作業(yè)之后,向他提出了這樣的問(wèn)題:11公里的路程,如果我分兩輛的士乘坐,結(jié)果又會(huì)怎樣呢?這個(gè)問(wèn)題提出得太好了,他聽(tīng)了之后,似乎馬上意識(shí)到了自己的疏忽。最后,經(jīng)過(guò)幾個(gè)同學(xué)一起討論、修改、又得到了另外一種解答方案。
解:若按乘坐兩輛的士到達(dá)目的地,設(shè)乘坐第一臺(tái)所走的路程為x1,乘坐第二臺(tái)所走的路程為x2,則x1+x2=11,設(shè)n≤x1
通過(guò)比較兩種計(jì)算結(jié)果,他們還發(fā)現(xiàn),對(duì)于11公里的路程,分乘兩輛的士到達(dá)目的地要少付費(fèi)3.04元。
當(dāng)然,這個(gè)問(wèn)題,同學(xué)們還可以繼續(xù)深入探討:對(duì)于多少公里的路程,分乘兩輛的士到達(dá)目的地,比單乘一輛的士到達(dá)目的地付費(fèi)要少呢?
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中,同樣要發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用,從生活中來(lái),到生活中去,構(gòu)建學(xué)生的生活情境,植根于生活,從易到難,使學(xué)生有成功的體驗(yàn),從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)興趣。
綜上所述,通過(guò)數(shù)學(xué)建模的教學(xué),能夠提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,它有助于學(xué)生綜合經(jīng)營(yíng)素質(zhì)的提高,有助于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)與綜合運(yùn)用知識(shí)的能力的提高,并能培養(yǎng)學(xué)生關(guān)心社會(huì)的人文精神。因此,數(shù)學(xué)建模的教學(xué)是當(dāng)前乃至今后數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和總要求。
以上贅述只是本人的一點(diǎn)淺見(jiàn)。還是姜伯駒院士概括得好:“數(shù)學(xué)已從幕后走到臺(tái)前,直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。”作為新世紀(jì)的數(shù)學(xué)教師,更應(yīng)該清楚,課堂上,我們需要將什么教給學(xué)生,將什么不教給學(xué)生,而讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型
中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1992-7711(2014)08-0123
一、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象,為了某個(gè)目的,在作了一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)之后運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,并通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)建模思想就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉,抽象為數(shù)學(xué)模型,求出模型的解,驗(yàn)證模型的合理性,并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。
數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法,是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法,通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化能近似解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段。它旨在拓展學(xué)生的思維空間,培養(yǎng)學(xué)生做生活的有心人,體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,享受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣,體驗(yàn)到充滿生命活力的學(xué)習(xí)過(guò)程,這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和實(shí)踐能力是一個(gè)很好的途徑。
二、數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)的主要步驟
1. 模型準(zhǔn)備:了解問(wèn)題的實(shí)際背景,明確其實(shí)際意義,掌握對(duì)象的各種信息,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。
2. 模型假設(shè):根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化,并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。
3. 模型建立:在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)――即建立數(shù)學(xué)模型。
4. 模型求解:利用獲取的數(shù)據(jù)資料,對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算。
5. 模型分析:對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。
6. 模型檢驗(yàn):將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,以此來(lái)驗(yàn)證模型的正確性、合理性和適用性。
7. 模型應(yīng)用:應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。
三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義
1. 體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系,能解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題,使學(xué)生感受到所學(xué)的知識(shí)是有用的,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí),從而激發(fā)了學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、樂(lè)于學(xué)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈愿望。
2. 有助于培養(yǎng)學(xué)生的能力。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)體現(xiàn)了多方面能力的培養(yǎng),如數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力、交流合作能力、數(shù)學(xué)想象能力、創(chuàng)造能力等。
3. 創(chuàng)設(shè)了學(xué)生參與探究的時(shí)空,讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)自行獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的方法,學(xué)習(xí)主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐的本領(lǐng),進(jìn)而獲得終身受用的數(shù)學(xué)能力和社會(huì)活動(dòng)能力,真正做到讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體,符合現(xiàn)代教學(xué)理念,有助于教學(xué)質(zhì)量的提高。
4.素質(zhì)教育的目的就是要“培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力與實(shí)踐能力”,對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用,不能僅看作是一種知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,而是要站在數(shù)學(xué)建模的高度來(lái)認(rèn)識(shí),并按數(shù)學(xué)建模的過(guò)程來(lái)實(shí)施和操作,要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,就必須具有建立數(shù)學(xué)模型的能力。
四、初中數(shù)學(xué)建模的典型實(shí)例
數(shù)學(xué)建模這一思想方法幾乎貫穿于整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域都孕育著數(shù)學(xué)模型。熟悉、掌握和運(yùn)用這種方法,是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵所在。筆者現(xiàn)例舉初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾類主要建模:
1. 方程建模
現(xiàn)實(shí)生活中存在著數(shù)量之間的相等關(guān)系,在應(yīng)用意識(shí)上方程(組)模型是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型。它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系上更準(zhǔn)確、清晰的認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。諸如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、銀行利率問(wèn)題、打折銷售等問(wèn)題,??梢猿橄蟪煞匠蹋ńM)模型,通過(guò)列方程(組)加以解決。
2. 不等式模型
現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系是普遍存在的。如日常生活中的決策、方案設(shè)計(jì)、分配問(wèn)題、市場(chǎng)營(yíng)銷、核實(shí)價(jià)格范圍、社會(huì)生活中的有關(guān)統(tǒng)籌安排等問(wèn)題,可以通過(guò)給出的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式(組)模型,從而使問(wèn)題得到解決。
3. 函數(shù)模型
函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系,以學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活為背景,通過(guò)刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)研究問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的意識(shí),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。諸如計(jì)劃決策、用料造價(jià)、最優(yōu)方案、最省費(fèi)用等問(wèn)題,??山⒑瘮?shù)模型求解。
此題如果用代數(shù)方法來(lái)解很麻煩,但通過(guò)代數(shù)式形式的觀察,可歸納為求兩個(gè)直角三角形斜邊的和的最小值或利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理,于是構(gòu)造幾何圖形來(lái)將題輕松地解決。
五、結(jié)束語(yǔ)
總之,數(shù)學(xué)建模的過(guò)程就是讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際情景中運(yùn)用數(shù)學(xué)的過(guò)程。因此,在教學(xué)中,教師應(yīng)重視學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流,在充分激活學(xué)生已有生活常識(shí)的基礎(chǔ)上理解題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系,增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí),從而提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力,將隱性的生活經(jīng)驗(yàn)上升為顯性的理論知識(shí)。
參考文獻(xiàn):
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【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽;培訓(xùn)與選拔;軍隊(duì)院校;研究與實(shí)踐
【中圖分類號(hào)】G642【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】2095-3089(2017)06-0016-02
一、軍校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔與培訓(xùn)面臨的主要問(wèn)題
1.學(xué)員報(bào)名參賽還存在很大的盲目性
數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的目的在于激勵(lì)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,提高學(xué)員建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。軍校和地方高校一樣,鼓勵(lì)學(xué)員踴躍參加課外科技活動(dòng),以開(kāi)拓知識(shí)面,培養(yǎng)創(chuàng)新精神。隨著畢業(yè)生分配制度的改革與學(xué)員綜合評(píng)分掛鉤,競(jìng)賽類得分在一定程度上影響著學(xué)員的最終排名,部分學(xué)員并不是出于興趣愛(ài)好而是為了提高綜合成績(jī)報(bào)名參賽,違背了組織數(shù)模競(jìng)賽的初衷。
2.學(xué)員掌握的數(shù)學(xué)建模知識(shí)還不夠系統(tǒng)和全面
目前我校學(xué)員除了一、二年級(jí)開(kāi)設(shè)的《高等數(shù)學(xué)》和《工程數(shù)學(xué)》數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程以外,數(shù)學(xué)建模知識(shí)的學(xué)習(xí)主要依賴公共選修課程《數(shù)學(xué)模型》,數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,這幾門課程所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)用來(lái)參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。為了實(shí)現(xiàn)將數(shù)學(xué)建模相關(guān)知識(shí)向?qū)嶋H應(yīng)用能力的轉(zhuǎn)化,我們前兩年曾申請(qǐng)了公選課《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新與實(shí)踐》和《國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽創(chuàng)新與實(shí)踐》,但是經(jīng)常會(huì)由于學(xué)員報(bào)名人數(shù)不足20人,導(dǎo)致課程無(wú)法開(kāi)設(shè)。[1]出現(xiàn)了學(xué)員報(bào)名參賽非常踴躍,但是自愿參加賽前培訓(xùn)的學(xué)員確寥寥無(wú)幾的巨大的矛盾。
3.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽前培訓(xùn)和指導(dǎo)的針對(duì)性不強(qiáng)
目前我校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的參賽者大多數(shù)是二、三年級(jí)的學(xué)生,主要依賴公共選修課進(jìn)行賽前的培訓(xùn),雖然學(xué)員已經(jīng)學(xué)習(xí)完大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程《高等數(shù)學(xué)》和《工程數(shù)學(xué)》,但由于學(xué)習(xí)過(guò)程中仍然沿襲了中學(xué)的應(yīng)試型學(xué)習(xí)模式,靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的實(shí)踐機(jī)會(huì)很少,很多剛接觸數(shù)學(xué)建模的學(xué)員都會(huì)遇到看著題目不知如何下手,在做的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不了適用的算法,不會(huì)使用相關(guān)軟件等問(wèn)題。因此,在培訓(xùn)過(guò)程中,一方面對(duì)參賽學(xué)員進(jìn)行大量基本算法的知識(shí)補(bǔ)充和數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用能力提升的訓(xùn)練;另一方面,針對(duì)往年賽題和具體案例進(jìn)行有針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練,并進(jìn)行一些模擬訓(xùn)練和賽前選拔。希望通過(guò)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn),將介紹若干數(shù)學(xué)方法(如數(shù)值計(jì)算、優(yōu)化和統(tǒng)計(jì)等)及相應(yīng)的軟件有機(jī)結(jié)合起來(lái),能方便地完成模型的求解,從而借助于計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件補(bǔ)充模型求解的空白。[2]目前,受到學(xué)時(shí)的限制和學(xué)員實(shí)際有效利用的時(shí)間不足等客觀條件的限制,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的培訓(xùn)和選拔還不夠系統(tǒng)化和制度化。
4.賽后總結(jié)與賽題研究還不夠深入
對(duì)于參賽學(xué)員、指導(dǎo)教師和競(jìng)賽組織者來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的結(jié)束并不意味著數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽工作的終結(jié)。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽真正的收獲并不完全在于獲不獲獎(jiǎng),而在于通過(guò)競(jìng)賽期間的培訓(xùn)、競(jìng)賽是否考驗(yàn)、鍛煉了自己的能力,善于總結(jié)才能往更高境界前進(jìn)。歷年數(shù)學(xué)建模的競(jìng)賽賽題都是專家在相關(guān)領(lǐng)域長(zhǎng)期研究的科研成果或時(shí)下熱點(diǎn)課題,是我們進(jìn)行科學(xué)研究的很好素材,如果能夠以這些問(wèn)題的研究為著眼點(diǎn),進(jìn)行深入研究,將會(huì)為我們下一步的科學(xué)研究打開(kāi)突破口。
二、我校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔與培訓(xùn)的主要做法
1.在數(shù)學(xué)類課程教學(xué)中突顯數(shù)學(xué)建模理念的教學(xué)
任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,都是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行思維的過(guò)程。在這一過(guò)程中,既運(yùn)用到抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式,又運(yùn)用到直覺(jué)、靈感、聯(lián)想、猜想等非邏輯思維形式來(lái)探索問(wèn)題的解決方法。高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課所涉及問(wèn)題的解決方法有許多都是經(jīng)典方法,要求學(xué)員必須針對(duì)具體問(wèn)題具體分析,找出研究對(duì)象的存在方式或運(yùn)動(dòng)規(guī)律,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,從而找到解決具體問(wèn)題的方法。也就是說(shuō),解決具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)過(guò)程,是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程,同時(shí)也是創(chuàng)新性思維的過(guò)程。[3]例如,微分方程的教學(xué)過(guò)程中必須讓學(xué)員理解學(xué)習(xí)解微分方程就是為了解決實(shí)際問(wèn)題。雖然運(yùn)用微分方程建立數(shù)學(xué)模型沒(méi)有通用的規(guī)則方法,但是微分方程概念的建立由實(shí)際引入,微分方程的求解可解決很多的實(shí)際問(wèn)題,在教學(xué)中本著由淺入深的原則,多舉實(shí)例,比如常見(jiàn)的傳染病模型、人口數(shù)量模型等。由此可以推廣到依照物理、生物、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等眾多學(xué)科領(lǐng)域中的理論或經(jīng)驗(yàn)得出的規(guī)律和定理建立起的微分方程,讓學(xué)員了解到在科學(xué)的發(fā)展過(guò)程中,數(shù)學(xué)起到了多么重要的作用,培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)員的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和創(chuàng)新能力。
2.組織訓(xùn)練有素的隊(duì)員參賽
以西北地區(qū)、全軍數(shù)學(xué)建競(jìng)賽為契機(jī),給學(xué)員一個(gè)考驗(yàn)自己臨場(chǎng)應(yīng)變能力(獨(dú)立查找文獻(xiàn)、編制程序、論文寫(xiě)作等等)、組織能力(如何分工合作,適當(dāng)時(shí)候如何互相妥協(xié)、互相支持鼓勵(lì))的機(jī)會(huì)。在這個(gè)過(guò)程中,培養(yǎng)參賽隊(duì)員的創(chuàng)新精神尤為重要,鼓勵(lì)隊(duì)員積極動(dòng)手,不拘束于傳統(tǒng)模式,敢想敢做。結(jié)合西北地區(qū)和全軍數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的結(jié)果,以及學(xué)員在前兩個(gè)培訓(xùn)階段的表現(xiàn),確定全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的參賽隊(duì)伍。國(guó)際建模競(jìng)賽因?yàn)橐紤]學(xué)員的英文寫(xiě)作能力,通過(guò)校內(nèi)模擬競(jìng)賽并結(jié)合前三個(gè)培訓(xùn)階段的表現(xiàn)來(lái)確定人選。這樣做不僅全面地培養(yǎng)了學(xué)員的數(shù)學(xué)建模能力和素質(zhì),還將這幾類競(jìng)賽有機(jī)地聯(lián)系成一個(gè)整體,盡可能將有創(chuàng)新能力、綜合素質(zhì)全面和真正喜歡數(shù)學(xué)建模的參賽隊(duì)吸納進(jìn)來(lái)。
3.建立合理的淘汰機(jī)制
數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽隊(duì)員選拔是讓所有數(shù)學(xué)建模教練感到非常棘手的問(wèn)題。很多學(xué)校是通過(guò)校內(nèi)競(jìng)賽的方式來(lái)選拔,由于學(xué)員參賽經(jīng)驗(yàn)不足和教師批改的隨機(jī)性,不能保證將所有有能力和有潛力的學(xué)生都選中,也不可能做到絕對(duì)公平。為了盡量把數(shù)學(xué)建模能力強(qiáng)、創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)較高的學(xué)員吸納進(jìn)來(lái),我們建立了“初選-競(jìng)賽淘汰-培訓(xùn)再淘汰”的多重淘汰機(jī)制,不但給教師多一些了解學(xué)員的機(jī)會(huì),教練在與學(xué)員的教學(xué)過(guò)程中,對(duì)每位學(xué)員的實(shí)際情況,可以做到心中有數(shù),便于有針對(duì)性地開(kāi)展培訓(xùn)和參賽,為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)的良性循環(huán)打下良好的基礎(chǔ)。
4.充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模俱樂(lè)部的作用
為了更好地開(kāi)展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,擴(kuò)大數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)在學(xué)員中的影響力,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)員數(shù)學(xué)建模和定量化思維的意識(shí)。從前年開(kāi)始,我室的教員建立了數(shù)學(xué)建模俱樂(lè)部,學(xué)校也加大了對(duì)俱樂(lè)部的組織、引導(dǎo)力度。通過(guò)定期舉行一些數(shù)學(xué)建模模擬競(jìng)賽,邀請(qǐng)西北工業(yè)大學(xué)、西安交通大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)等知名高校的專家教授和學(xué)生組織學(xué)術(shù)講座和建模競(jìng)賽方面的交流活動(dòng),“請(qǐng)進(jìn)來(lái),走出去”讓學(xué)員對(duì)數(shù)學(xué)建模有更深入的了解與認(rèn)識(shí),增加他們對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣,開(kāi)闊視野和思路,使數(shù)學(xué)建模俱樂(lè)部成為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔隊(duì)員的一個(gè)重要基地。
5.注重賽后總結(jié)與研究
在參加完比賽之后,參賽隊(duì)員、教練員都各自忙自己的事去了,學(xué)員們也期盼著成績(jī)的公布,獲獎(jiǎng)則高興,否則就不高興,這實(shí)際上是一種很消極的態(tài)度。善于總結(jié)才能往更(下轉(zhuǎn)126頁(yè))(上接16頁(yè))高境界前進(jìn),通過(guò)賽后教師、學(xué)員在一起切磋、討論可以對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革方面提出意見(jiàn)建議,使數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)的研究更加完善,更加系統(tǒng),為下一步的科學(xué)研究打下良好的基礎(chǔ)。一方面,我室教員根據(jù)大學(xué)數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)開(kāi)展實(shí)踐教學(xué)研究,以數(shù)學(xué)建模活動(dòng)為牽引,推進(jìn)資源素材建設(shè),修訂了《數(shù)學(xué)模型》教材,細(xì)致剖析歷年數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽賽題,編寫(xiě)了一系列輔導(dǎo)教材;另一方面,結(jié)合競(jìng)賽所涉及的問(wèn)題和方向開(kāi)展學(xué)術(shù)研究,為青年教員開(kāi)闊了思路和拓寬了視野,調(diào)動(dòng)了參與科學(xué)研究的積極性,近兩年來(lái)申請(qǐng)和參與軍隊(duì)教學(xué)成果二等獎(jiǎng)1項(xiàng),學(xué)校教學(xué)成果二等獎(jiǎng)1項(xiàng),學(xué)校教育教學(xué)理論研究項(xiàng)目4項(xiàng),學(xué)校青年基金項(xiàng)目2項(xiàng),學(xué)校軍管文項(xiàng)目3項(xiàng),發(fā)表多篇教學(xué)研究和學(xué)術(shù)論文,其中sci檢索2篇,國(guó)際期刊和中文核心期刊十余篇。
三、結(jié)語(yǔ)
目前,我校組織本科生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)已經(jīng)涉及西北地區(qū)、全軍、全國(guó)和國(guó)際四個(gè)層次,所有層次的比賽都已取得過(guò)最高獎(jiǎng)項(xiàng),2016年首次捧得了“軍事運(yùn)籌杯”,這是軍事建模競(jìng)賽的最高榮譽(yù)。指導(dǎo)教員以競(jìng)賽賽題為著眼點(diǎn),先后發(fā)表競(jìng)賽指導(dǎo)論文和相關(guān)科學(xué)研究論文十余篇,編寫(xiě)數(shù)學(xué)建模系列指導(dǎo)教材《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文解析與點(diǎn)評(píng)》、《國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽創(chuàng)新與實(shí)踐》、《軍隊(duì)院校軍事建模競(jìng)賽賽題解析與點(diǎn)評(píng)》、《數(shù)學(xué)模型講義》,其中《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文解析與點(diǎn)評(píng)》已經(jīng)公開(kāi)出版,得到了廣大高校相關(guān)教師和學(xué)生的一致好評(píng)。教研室的指導(dǎo)教員作為西北地區(qū)、全軍和全國(guó)數(shù)模競(jìng)賽專家組成員,為全軍和全國(guó)數(shù)模競(jìng)賽命制賽題,為提高學(xué)校知名度、推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革和提高學(xué)員的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力作出了巨大貢獻(xiàn)。
參考文獻(xiàn)
[1]陳春梅,敬斌,郝琳.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用.軍事院校工科數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2015(1):180-182.
[2]陳春梅,楊萍,郝琳,張輝.大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)體系優(yōu)化設(shè)計(jì)研究.教育研究,2016(12):29-30.
運(yùn)籌學(xué)是一種研究在給定的物質(zhì)條件(人力、物力、財(cái)力)下,運(yùn)用科學(xué)的方法主要是數(shù)學(xué)方法,進(jìn)行數(shù)量分析、統(tǒng)籌兼顧,最經(jīng)濟(jì)、最有效地使用人力、物力、財(cái)力,以期達(dá)到最佳效果的科學(xué)方法。
運(yùn)籌學(xué)課程具有如下特點(diǎn):
1.1 應(yīng)用性
運(yùn)籌學(xué)就是從實(shí)踐和應(yīng)用中發(fā)展而來(lái)的,因此它從一開(kāi)始就有著強(qiáng)烈的應(yīng)用性。目前,除了傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域外,運(yùn)籌學(xué)已廣泛應(yīng)用于航天、通信、自動(dòng)化等高新技術(shù)領(lǐng)域。
1.2 綜合性
運(yùn)籌學(xué)是一種綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、管理學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的科學(xué)方法,這些學(xué)科相互滲透、交叉,綜合運(yùn)用。
1.3 最優(yōu)性
運(yùn)籌學(xué)強(qiáng)調(diào)最優(yōu)性,既在空間上尋求整體最優(yōu),又在時(shí)間上尋求全過(guò)程最優(yōu)。
2 數(shù)學(xué)建模意義
2.1 數(shù)學(xué)建模能夠大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
我們知道,大學(xué)數(shù)學(xué)課程讓不少大學(xué)生感到比較難學(xué),甚至害怕。而在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中往往重理論、輕實(shí)踐,使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性認(rèn)識(shí)不足,從而使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒,大大降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。而數(shù)學(xué)建模的題目多數(shù)來(lái)源于生活中的一些熱門實(shí)際問(wèn)題,充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,學(xué)生通過(guò)參與數(shù)學(xué)建?;顒?dòng),能夠充分體會(huì)到利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的快樂(lè),從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
2.2 數(shù)學(xué)建模能夠提升學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力以及表達(dá)能力
由于實(shí)際問(wèn)題各種各樣、千變?nèi)f化,故數(shù)學(xué)建模題目大都靈活性很強(qiáng),事先并沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的答案。學(xué)生針對(duì)同一問(wèn)題可以從不同的角度、運(yùn)用不同的方法去解決,但只要所建立的數(shù)學(xué)模型合理可行、具有創(chuàng)新性,并能用文字清晰地表達(dá)出來(lái)即可。因此,數(shù)學(xué)建模加強(qiáng)了學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和表達(dá)能力。
2.3 數(shù)學(xué)建模能夠加強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力
由于建模問(wèn)題主要來(lái)源于各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題,故解決它需綜合運(yùn)用相關(guān)各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí),但任何學(xué)生又不可能全面掌握各個(gè)領(lǐng)域的專業(yè)知識(shí),因而學(xué)生在建模過(guò)程中就需要查閱大量的文獻(xiàn)資料,并有針對(duì)性地汲取和利用,因此,學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模,可以加強(qiáng)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
3 數(shù)學(xué)建模在運(yùn)籌學(xué)中的教學(xué)案例
綜合上述運(yùn)籌學(xué)的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)建模的意義來(lái)看,運(yùn)籌學(xué)應(yīng)該是與數(shù)學(xué)建模結(jié)合的最為密切的課程之一,因此,在運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)上,一定要體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想,并密切結(jié)合數(shù)學(xué)建模的案例。
例1 “田忌賽馬”問(wèn)題
在上運(yùn)籌學(xué)的第一次課時(shí),我就引入“田忌賽馬”的故事:田忌與齊王賽馬,兩人各有上、中、下3個(gè)等次的馬,兩人規(guī)定三局兩勝。若按同等次比,齊王的馬均比田忌的馬略勝一籌,田忌肯定會(huì)輸;于是田忌想出一個(gè)策略:用他的一等馬對(duì)齊王的中等馬,中等馬對(duì)齊王的下等馬,下等馬對(duì)齊王的上等馬,結(jié)果田忌兩勝一負(fù),終獲勝利。
分析:這是我國(guó)著名的一個(gè)歷史故事,田忌充分利用現(xiàn)有的條件,統(tǒng)籌考慮,取得了最佳比賽成績(jī)。這個(gè)故事的引入,不僅充分體現(xiàn)出了運(yùn)籌學(xué)的優(yōu)化思想,而且避免了直接給出運(yùn)籌學(xué)的定義和研究對(duì)象的枯燥乏味,同時(shí)大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
例2 “學(xué)生選課問(wèn)題”
某高校規(guī)定,應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生必須至少學(xué)習(xí)過(guò)3門數(shù)學(xué)課程、2門運(yùn)籌學(xué)課程和2門計(jì)算機(jī)課程且考試或考查合格才能畢業(yè).這些課程的編號(hào)、學(xué)分、所屬類別和選課要求見(jiàn)表1.如果某生既希望所學(xué)課程的數(shù)量少,又希望所獲學(xué)分高,那么他該如何選課呢?
表1
分析:這是一個(gè)學(xué)生非常關(guān)心的學(xué)習(xí)上的實(shí)際問(wèn)題,屬分配優(yōu)化問(wèn)題,可建立一個(gè)0―1規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型,由此可引出整數(shù)規(guī)劃及0一l規(guī)劃問(wèn)題的求解方法.又可引出多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。
例3 “服裝評(píng)判”問(wèn)題
設(shè)U ={款式花色,耐穿程度,價(jià)格費(fèi)用},V ={很歡迎,比較歡迎,不太歡迎,不歡迎},現(xiàn)有一服裝,其相關(guān)信息見(jiàn)下表2,請(qǐng)對(duì)其中單個(gè)元素進(jìn)行評(píng)價(jià)。
分析:這是一個(gè)非常貼近學(xué)生日常生活的實(shí)際問(wèn)題。我們可以利用模糊綜合評(píng)判法,將上述所有單因素組成一評(píng)判矩陣:
A=0.7 0.2 0.1 00.2 0.3 0.4 0.10.3 0.4 0.2 0.1
由于每個(gè)人的性別、愛(ài)好、經(jīng)濟(jì)狀況等的不同,對(duì)服裝的三要素U所給予的權(quán)數(shù)也不同。若某班學(xué)生給出的權(quán)數(shù)為B=(0.5,0.3,0.2),采用模糊綜合評(píng)判模型,可得該班學(xué)生對(duì)這種服裝的綜合評(píng)判為:
R=BA=(0.47,0.27,0.21,0.05)
它表示的意思是“很歡迎”的程度為0.47,“比較歡迎”的程度為0.27,“不太歡迎”的程度為0.21,“不歡迎”的程度為(下轉(zhuǎn)第249頁(yè))(上接第27頁(yè))0.05. 按最大隸屬原則,結(jié)論是該服裝很受歡迎。
論文摘要:本文分析了高職院校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教育的原因,討論了在高等職業(yè)教育的數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的必要性、可行性與實(shí)現(xiàn)的途徑,并根據(jù)教學(xué)實(shí)踐,介紹了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的一些實(shí)踐與認(rèn)識(shí),并提出了要注意的幾個(gè)問(wèn)題。
高職數(shù)學(xué)教育的目的不僅是為學(xué)習(xí)專業(yè)課打基礎(chǔ),更重要的是培養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維。高職數(shù)學(xué)教改必須重視轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教師的教育教學(xué)觀念,改善其知識(shí)結(jié)構(gòu),樹(shù)立“把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂”的理念。正因?yàn)槿绱?,?shù)學(xué)科學(xué)中的一個(gè)新的具有極大生命力的分支——數(shù)學(xué)建模,應(yīng)運(yùn)而生并得到迅速的、極大的發(fā)展。
數(shù)學(xué)建模進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的思想方法是:從若干實(shí)際問(wèn)題出發(fā)——發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律——提出猜想——進(jìn)行證明或論證。數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù),靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法獨(dú)立地分析和解決問(wèn)題,不僅能培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí),而且能培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作、不怕困難、求實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)。將這樣一種思想引入數(shù)學(xué)教育中,對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的積極性和主動(dòng)性,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力,具有十分重大的現(xiàn)實(shí)意義和理論意義。
高職教育開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的原因
目前人們對(duì)高職數(shù)學(xué)教育存在許多片面認(rèn)識(shí),使高職數(shù)學(xué)教改舉步維艱,無(wú)論是課程內(nèi)容,還是教學(xué)思想、方法和手段,基本上承襲了普通教育方式,脫離了高職教育的目標(biāo)要求和相應(yīng)的專業(yè)需要。主要表現(xiàn)在:(1)教學(xué)內(nèi)容重古典、輕現(xiàn)代,重連續(xù)、輕離散,重理論、輕應(yīng)用;(2)教學(xué)方式和方法重演繹而輕歸納,教師采用“填鴨式”的教學(xué),啟發(fā)思維少,課堂信息量小,學(xué)生處于被動(dòng)狀態(tài),主體作用得不到發(fā)揮;(3)教學(xué)模式重統(tǒng)一、輕個(gè)性,過(guò)分強(qiáng)調(diào)教材、教學(xué)要求和教學(xué)進(jìn)度的統(tǒng)一,缺乏層次性、多樣化,不能很好地適應(yīng)不同專業(yè)、不同培養(yǎng)規(guī)格的要求;(4)考試內(nèi)容單一,偏重于理論和繁瑣計(jì)算的考察,忽視數(shù)學(xué)應(yīng)用和知識(shí)引申的考察,不能反映出學(xué)生真正的數(shù)學(xué)水平;(5)現(xiàn)代輔助教學(xué)手段應(yīng)用不廣泛,大多數(shù)教師的教具還停留在粉筆加黑板上,教學(xué)的直觀性、趣味性不強(qiáng),教學(xué)效果不理想;(6)數(shù)學(xué)教學(xué)與其他教學(xué)的協(xié)調(diào)不夠,與其他學(xué)科不能充分地相互補(bǔ)充。這些問(wèn)題的存在,不但影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,更主要的是影響了后繼課程的學(xué)習(xí),不利于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。這些都反映出數(shù)學(xué)教改的迫切性。審視當(dāng)前我國(guó)的高職數(shù)學(xué)教育,尋找其改革的出路和對(duì)策是十分必要的。
解決這些問(wèn)題的有效的方法是在高等職業(yè)教育的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中,增加數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)建模既提供了一些新的教學(xué)內(nèi)容,又提供了一些新的教學(xué)方法和環(huán)節(jié),強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主觀能動(dòng)性與共同參與意識(shí)的培養(yǎng),改變了由教師單項(xiàng)傳輸?shù)慕虒W(xué)模式。因此,以數(shù)學(xué)建模教育為高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革的切入點(diǎn),有助于提高高職生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。
可行性與實(shí)現(xiàn)途徑
在高等職業(yè)教育階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想與方法的訓(xùn)練,有兩種途徑:第一是開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課,這個(gè)途徑受到時(shí)間的限制,對(duì)于高等職業(yè)教育更是如此,由于學(xué)制短,分配給數(shù)學(xué)課程的時(shí)數(shù)較少,這對(duì)于我們要做的事情來(lái)說(shuō)是非常不夠的;第二個(gè)途徑就是將數(shù)學(xué)建模的思想和方法有機(jī)地貫穿到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中去,使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),初步獲得數(shù)學(xué)建模的知識(shí)和技能,為他們?nèi)蘸笥盟鶎W(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題打下基礎(chǔ)。將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中,是一種非常適合我國(guó)高等職業(yè)教育實(shí)際的一種教育方法,原因有二:
其一,數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的明顯的特點(diǎn)之一是它的應(yīng)用的極其廣泛性(另兩個(gè)特點(diǎn)是抽象性和精確性),宇宙之大,數(shù)學(xué)無(wú)處不在。目前我國(guó)高職教育的幾乎所有專業(yè)都開(kāi)設(shè)了微積分課程,還有許多專業(yè)開(kāi)設(shè)了線性代數(shù)、概率論初步等課程。課程內(nèi)容的廣度和深度雖不及本科教育,但也可以解決許多實(shí)際問(wèn)題,因?yàn)樵S多模型,如銀行存款利率的增加、人口增長(zhǎng)率、細(xì)菌的繁殖速度、新產(chǎn)品的銷售速度,甚至某些體育訓(xùn)練問(wèn)題等等,用數(shù)學(xué)知識(shí)就可以解了。所以在高職教育現(xiàn)有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的某些章節(jié)中插入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容,有著非常豐富的資源。
其二,比較本科教育而言,高等職業(yè)教育更注重實(shí)用性,而不強(qiáng)調(diào)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性。這使得我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)教育的改革時(shí),擁有較大的優(yōu)勢(shì)和靈活性。在高職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中融入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容時(shí),可以對(duì)原有的教學(xué)內(nèi)容作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,如只講本專業(yè)課需要用到的內(nèi)容,刪除某些繁瑣的推導(dǎo)過(guò)程和計(jì)算技巧等等。對(duì)于大多數(shù)的計(jì)算問(wèn)題,包括求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分,都可以用Mathematica、Matlab等數(shù)學(xué)軟件直接在計(jì)算機(jī)上得出結(jié)果。這樣一來(lái),可以有效地解決增加數(shù)學(xué)建模內(nèi)容而不增加課時(shí)的矛盾。比如說(shuō),一元函數(shù)微積分中,不定積分的計(jì)算方法靈活多樣,技巧性強(qiáng),幾種常用的積分法的教學(xué)要好幾個(gè)課時(shí),學(xué)生課后也要花費(fèi)大量的時(shí)間做練習(xí),負(fù)擔(dān)過(guò)重。如果在積分的教學(xué)中刪除這些計(jì)算,只講一些積分的性質(zhì),積分的基本思想和應(yīng)用,在增加數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練的同時(shí),又提供一些使用計(jì)算機(jī)解題的訓(xùn)練,把寶貴的時(shí)間用在學(xué)習(xí)解決實(shí)際問(wèn)題上,就是一個(gè)非常好的方案。對(duì)高職學(xué)生來(lái)說(shuō),有些東西沒(méi)有必要一步一步嚴(yán)格地學(xué)習(xí),有時(shí)采用滲透式的學(xué)習(xí)方法可能更有成效。
在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)踐初探
高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、微分、積分都是數(shù)學(xué)模型,但在教學(xué)中也要選擇更現(xiàn)實(shí)、更具體,與自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域關(guān)系直接,同時(shí)有重大意義的模型與問(wèn)題,這樣的題材能夠更有說(shuō)服力地揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的起源和數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的相互作用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)的不斷發(fā)展,激發(fā)學(xué)生參與探索的興趣,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。
重視高等數(shù)學(xué)中每一個(gè)概念的建立數(shù)學(xué)本身就是研究和刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中,每引入一個(gè)新概念或開(kāi)始一個(gè)新內(nèi)容,都應(yīng)有一個(gè)刺激學(xué)生學(xué)習(xí)欲的實(shí)例,說(shuō)明該內(nèi)容的應(yīng)用性。在每一章節(jié)結(jié)束時(shí),列舉與本章內(nèi)容相聯(lián)系的,與生產(chǎn)、生活實(shí)際和所學(xué)專業(yè)結(jié)合緊密的應(yīng)用實(shí)例。這樣在講授知識(shí)的同時(shí),可讓學(xué)生充分體會(huì)到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程也是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。
重視函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用建立函數(shù)模型在數(shù)學(xué)建模中非常重要,因?yàn)橛脭?shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的許多例子首先都是建立目標(biāo)函數(shù),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這一章中要重點(diǎn)介紹建立函數(shù)模型的一般方法,掌握現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中較為常用的函數(shù)模型。
重視導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線在某點(diǎn)的曲率在解決實(shí)際問(wèn)題中很有意義。在講到這些章節(jié)時(shí),適當(dāng)向數(shù)學(xué)建模的題目引申,可以收到事半功倍的效果。例如,傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的建立,就用到了導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義(函數(shù)的變化率);經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、彈性分析、征稅問(wèn)題的例子都要用到導(dǎo)數(shù)??傊趯?dǎo)數(shù)的應(yīng)用這章中,適當(dāng)多講一些實(shí)際問(wèn)題,能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的積極性。 轉(zhuǎn)貼于
充分重視定積分的應(yīng)用定積分在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用廣泛,因此,在定積分的應(yīng)用這章中,微元法以及定積分在幾何物理上的應(yīng)用,都要重點(diǎn)講授,并應(yīng)盡可能講一些數(shù)學(xué)建模的片段,要巧妙地應(yīng)用微元法建立積分式。
重視二元函數(shù)的極值與最值問(wèn)題求二元函數(shù)的極值與條件極值,拉格朗日乘數(shù)法,以及最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生用上述工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。利用偏導(dǎo)數(shù)可以對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)許多問(wèn)題作定性和定量分析。例如,經(jīng)濟(jì)分析中的邊際分析,彈性分析,經(jīng)濟(jì)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題中的成本固定時(shí)產(chǎn)出最大化,產(chǎn)出一定時(shí)成本最小化等都可以用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)討論。
充分重視常微分方程的講授建立常微分方程,解常微分方程是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。為此,
在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中,要用更多的時(shí)間講解如何在實(shí)際問(wèn)題中提煉微分方程,并且求解。
滲透數(shù)學(xué)建模思想要注意的幾個(gè)問(wèn)題
首先,要循序漸進(jìn),由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,逐步滲透。應(yīng)選擇密切聯(lián)系學(xué)生實(shí)際,易接受、且有趣、實(shí)用的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容,不能讓學(xué)生反感。
其次,在教學(xué)中列舉數(shù)學(xué)建模實(shí)例,僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法和思想的初步,因此,在教學(xué)中舉例宜少而精,忌大而泛,不能沖淡高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的學(xué)習(xí),因?yàn)闆](méi)有扎實(shí)的理論知識(shí),就談不上應(yīng)用。
再次,教學(xué)中在強(qiáng)調(diào)重視實(shí)際應(yīng)用的同時(shí),也要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)絕不僅是工具,要從所做的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論中,指出所包含的更一般、更深刻的內(nèi)在規(guī)律,指出從具體問(wèn)題進(jìn)一步抽象化、形式化,上升到一般規(guī)律性認(rèn)識(shí)的必要與可能。使學(xué)生理解數(shù)學(xué)工作是如何源于現(xiàn)實(shí)而又高于現(xiàn)實(shí)的。
最后,應(yīng)注重計(jì)算機(jī)與課堂教學(xué)的整合。數(shù)學(xué)教育由一支粉筆、一塊黑板的課堂教學(xué)走向“屏幕教學(xué)”,由講授型教學(xué)向創(chuàng)新型教學(xué)的發(fā)展,離不開(kāi)多媒體輔助。用Matlab等軟件做出來(lái)的部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果(包括圖形和計(jì)算結(jié)果等),可使課堂教學(xué)更生動(dòng),使得教師的講解更貼近學(xué)生的建模過(guò)程,取得很好的教學(xué)效果。將計(jì)算機(jī)引入到數(shù)學(xué)建模教育中,可以切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理的能力,完成數(shù)學(xué)建模、求解及結(jié)果分析的全過(guò)程,改變學(xué)生被動(dòng)接受的形式,有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。
作為數(shù)學(xué)教育工作者,在教學(xué)中,在講授知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)要注意數(shù)學(xué)建模思想的滲透,要把培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)學(xué)方法、解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力放在首位,為祖國(guó)培養(yǎng)出更多的復(fù)合型的應(yīng)用人才。
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根據(jù)構(gòu)建主義思想,以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為主要任務(wù),通過(guò)構(gòu)建實(shí)驗(yàn)課程三級(jí)教學(xué)平臺(tái),從對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程及專業(yè)數(shù)學(xué)課程授課平臺(tái)、課后興趣小組和社團(tuán)參加競(jìng)賽及構(gòu)建自主學(xué)習(xí)平臺(tái)和實(shí)驗(yàn)室建設(shè)平臺(tái),增強(qiáng)同學(xué)們數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新意識(shí),通過(guò)實(shí)施構(gòu)建主義思想,增強(qiáng)同學(xué)們團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力、溝通的能力、解決應(yīng)用問(wèn)題的能力等,多種學(xué)習(xí)平臺(tái)和以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)方式,發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)作用,從而達(dá)到提高同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的興趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的效果。
關(guān)鍵詞:
構(gòu)建主義;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);教學(xué)平臺(tái)
建構(gòu)主義是一種關(guān)于知識(shí)和學(xué)習(xí)的理論,強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的主動(dòng)性,認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過(guò)程,而這一過(guò)程常常是在社會(huì)文化互動(dòng)中完成的。本文以培養(yǎng)應(yīng)用型人才體系為培養(yǎng)目標(biāo),將構(gòu)建主義思想融入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中,建立三級(jí)教學(xué)模式下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)。在主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生們的歸納能力和推理演繹能力,加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),旨在培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新意識(shí)、團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和實(shí)踐能力。
一、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的存在的問(wèn)題
自20世紀(jì)90年代以來(lái),數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在全國(guó)范圍內(nèi)開(kāi)展,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程也逐步走進(jìn)高校,而作為醫(yī)學(xué)院校來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開(kāi)設(shè)情況不容樂(lè)觀,有的院校甚至將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程作為選修課開(kāi)設(shè),開(kāi)設(shè)的專業(yè)一般也是設(shè)置在學(xué)習(xí)較多數(shù)學(xué)知識(shí)的生物工程專業(yè)或是信息管理專業(yè)。目前,在開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中,也存在教材不規(guī)范、課程沒(méi)有較為完善的教學(xué)體系,學(xué)生實(shí)習(xí)地點(diǎn)不完善等。而對(duì)于學(xué)生們而言,在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程中,也存在以下問(wèn)題:
1.缺乏主動(dòng)性、創(chuàng)新意識(shí)
醫(yī)學(xué)院校的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中普遍存在這樣的思想,對(duì)學(xué)習(xí)的醫(yī)學(xué)知識(shí)非常重視,能夠主動(dòng)學(xué)習(xí)并認(rèn)真聽(tīng)課,而對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程等數(shù)學(xué)類專業(yè)教育課程,本身重視程度不夠,本身缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的精神,在上課的過(guò)程中,主要以教師授課為主,沒(méi)有主動(dòng)去尋求問(wèn)題的解答,探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的根源及解決辦法等意識(shí)。沒(méi)有將數(shù)學(xué)的問(wèn)題建立模型,去用數(shù)學(xué)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力。因此很難參與實(shí)驗(yàn),因而創(chuàng)新能力和創(chuàng)新思維的能力較弱。
2.實(shí)踐應(yīng)用能力弱,缺乏專業(yè)性指導(dǎo)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)的軟件解決實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域的復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題,而一般院校沒(méi)有建立專業(yè)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)室,只是在上課時(shí)間進(jìn)行練習(xí)。也有的院校將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程作為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的準(zhǔn)備課程,重視競(jìng)賽,而輕視課程本身的建設(shè),同時(shí)主要針對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)學(xué)生開(kāi)設(shè),而對(duì)于非數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè),開(kāi)設(shè)的情況不容樂(lè)觀。因此造成學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐的能力薄弱,缺乏廣泛的平時(shí)操作基礎(chǔ)。學(xué)生本身在課后的練習(xí)過(guò)程中,沒(méi)有相關(guān)的教師給予專業(yè)性的指導(dǎo)。
3.團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力弱
進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程,多數(shù)是幾個(gè)人組成一個(gè)小組,合作完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程。而在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中,每個(gè)小組成員都會(huì)有分工,合作完成一項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程。但通過(guò)實(shí)際教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn),團(tuán)隊(duì)的協(xié)作能力較弱,有些同學(xué)存在僥幸心理,依賴其他同學(xué)操作,組員之間也缺乏溝通和交流,造成實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不理想。
二、構(gòu)建主義在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中的作用
將構(gòu)建主義應(yīng)用到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)當(dāng)中,教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起引導(dǎo)作用,設(shè)置問(wèn)題情景、建立符合學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型,構(gòu)建慕課形式的自主學(xué)習(xí)平臺(tái),利用團(tuán)隊(duì)協(xié)作,建立學(xué)生興趣小組,構(gòu)建學(xué)生會(huì)話討論場(chǎng)景、參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,增加學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力,通過(guò)從課上、課下和參加競(jìng)賽等培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力、創(chuàng)新精神和主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力等。
三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程體系設(shè)計(jì)
為改善數(shù)學(xué)建模的教學(xué)效果,我校探索出符合本校特點(diǎn)的適合新建醫(yī)學(xué)本科院校培養(yǎng)應(yīng)用型人才體系的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程體系建設(shè)。本身基于課程建設(shè)體系,提出以下構(gòu)建思想:并且以此為契機(jī),創(chuàng)建基于構(gòu)建主義的課程三級(jí)教學(xué)平臺(tái),具體平臺(tái)體系具體如下:
1.公共數(shù)學(xué)課程講數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程內(nèi)容的滲透及專業(yè)性課程教學(xué)
第一級(jí)教學(xué)體系,將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程滲透到公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程中,將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入到與數(shù)學(xué)相關(guān)的生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)和信息管理專業(yè)教學(xué)中。在公共基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)過(guò)程中,可相應(yīng)引入數(shù)學(xué)的軟件,介紹軟件對(duì)其的驗(yàn)證和計(jì)算。Matlab軟件和Math-ematica軟件對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。往往基礎(chǔ)課程中僅僅是理論課程的介紹,以此基礎(chǔ)上,在課程中增加一節(jié)教師操作實(shí)習(xí)課程。雖然同學(xué)們對(duì)軟件解題和驗(yàn)證不能夠完全理解,但能夠激發(fā)同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣,數(shù)學(xué)過(guò)程中復(fù)雜的計(jì)算可通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件幾步就可進(jìn)行解答驗(yàn)證,增加同學(xué)們的自信心和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、處理問(wèn)題的能力。同時(shí)在理論課程中,介紹一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用。如傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用,可用作信號(hào)處理,如衛(wèi)星圖像信息、數(shù)字通信信息等技術(shù)等,將枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單有趣,提高授課效果。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為專業(yè)課程加入到生物醫(yī)學(xué)工程和信息管理專業(yè)中,明確教學(xué)目標(biāo)、根據(jù)學(xué)生們的層次水平,按照國(guó)防科技大學(xué)制定的六個(gè)層次的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)。進(jìn)行基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、研究性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、應(yīng)用性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、拓展性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和綜合性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。將教學(xué)內(nèi)容由簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)引入,介紹相關(guān)軟件的使用方法和一些基本命令。驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)是通過(guò)教師演示,介紹專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件如何在解決一些基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題或統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)問(wèn)題分析,增強(qiáng)其對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。在學(xué)生入學(xué)的第三學(xué)期開(kāi)始,進(jìn)行研究性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),引入構(gòu)建主義的思想,注重學(xué)生自主操作,這部分授課首先由學(xué)生討論分析,建立簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)方案,并根據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果討論方案的可行性及缺點(diǎn)。從應(yīng)用性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)階段開(kāi)始,放手讓學(xué)生動(dòng)手操作,教師根據(jù)課程需要,構(gòu)建合理的教學(xué)情境,并根據(jù)情境,選擇合適的教學(xué)案例,設(shè)立小組,通過(guò)小組間相互討論、查閱資料并整理思路,設(shè)立實(shí)驗(yàn)步驟,確立相關(guān)實(shí)驗(yàn)方向并驗(yàn)證其實(shí)驗(yàn)的可行性。學(xué)生自主學(xué)習(xí)后,教師根據(jù)其實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)討論,加以引導(dǎo),并擴(kuò)展思維方向,將數(shù)學(xué)的問(wèn)題引入到生活中可涉及的各種問(wèn)題中,如圖書(shū)館建造面積合理分配和太陽(yáng)陰影面積計(jì)算等。
2.廣泛開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課外活動(dòng),講座、培訓(xùn)、興趣小組、案例分析討論,參與教學(xué)競(jìng)賽
在課后,開(kāi)展廣泛而豐富的課外活動(dòng),我校根據(jù)學(xué)生的興趣成立數(shù)學(xué)建模社團(tuán),社團(tuán)成員每周固定舉辦豐富的關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模相關(guān)的活動(dòng)。定期聘請(qǐng)相關(guān)專家和教授進(jìn)行講座,不僅介紹關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程相關(guān)的內(nèi)容,也根據(jù)同學(xué)們的需要,聘請(qǐng)計(jì)算機(jī)專業(yè)的教師,介紹相關(guān)軟件的用法和各種計(jì)算機(jī)程序的介紹。成立興趣小組,在建模社團(tuán)中,幾個(gè)人自愿組合分組,按照建模小組的要求,一般小組分3~4個(gè)人,每?jī)芍苡缮鐖F(tuán)老師分配給學(xué)生們一個(gè)案例,首先各個(gè)小組組織討論案例解決方案,并制定實(shí)驗(yàn)步驟,明確個(gè)人在小組中的分工。在鍛煉同學(xué)們的協(xié)作能力的同時(shí),也鍛煉他們的相互之間的溝通“會(huì)話”的能力。在小組中同學(xué)們的主動(dòng)性和互動(dòng)能力均得到提高,由教師引導(dǎo)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主設(shè)計(jì),并最后根據(jù)設(shè)計(jì)出的實(shí)驗(yàn),由一名同學(xué)作為代表進(jìn)行匯報(bào)演講。這樣也鍛煉出學(xué)生們的臨場(chǎng)發(fā)揮能力并通過(guò)匯報(bào),由全體小組人員討論該方案的優(yōu)缺點(diǎn)。這種教學(xué)的方式,引入同學(xué)們主動(dòng)參與的熱情,并提高其競(jìng)爭(zhēng)的意識(shí),增強(qiáng)同學(xué)們的成就感。同時(shí),教師在這里起到適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)的作用,根據(jù)情境,對(duì)問(wèn)題加以引導(dǎo),評(píng)價(jià)學(xué)生在討論中的內(nèi)容是否合適,實(shí)驗(yàn)的步驟是否有遺漏,實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是否正確。每年組織學(xué)生參加省級(jí)或國(guó)家級(jí)的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,通過(guò)建模競(jìng)賽鍛煉同學(xué)們的實(shí)戰(zhàn)能力,通過(guò)實(shí)戰(zhàn)演練,增加同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性,也增強(qiáng)其解決應(yīng)用問(wèn)題的能力,在比賽中,增加學(xué)生們的榮譽(yù)感,踏實(shí)的工作精神,對(duì)所學(xué)知識(shí)的協(xié)調(diào)運(yùn)用等能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作的能力及小組成員之間信任能力等。
3.課后構(gòu)建答疑互動(dòng)平臺(tái)及自主學(xué)習(xí)平臺(tái)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)專門的機(jī)房建設(shè)
組織教師建立課后QQ群,每周三周六由教師上線進(jìn)行答疑解惑。并參與建設(shè)自主學(xué)習(xí)平臺(tái),構(gòu)建出網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái),教師們根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),制定層層遞進(jìn)的教學(xué)大綱,教學(xué)內(nèi)容中舉出實(shí)際生活中的實(shí)例分析,盡量通過(guò)簡(jiǎn)單易懂的語(yǔ)言,使同學(xué)們理解更加通暢,學(xué)生們根據(jù)自己的時(shí)間和興趣,到學(xué)習(xí)平臺(tái)中選擇自己需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過(guò)平臺(tái)的學(xué)習(xí),增強(qiáng)同學(xué)自主學(xué)習(xí)的能力。以往的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程都是在統(tǒng)一的計(jì)算機(jī)機(jī)房授課,沒(méi)有專門機(jī)房可供同學(xué)們進(jìn)行練習(xí),學(xué)生只在上課的一兩個(gè)學(xué)時(shí)中熟悉數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程,為了更好的使同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中得到鍛煉,我校專門申請(qǐng)專項(xiàng)基金,組建一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模的機(jī)房。這樣可供同學(xué)們?cè)谡n余時(shí)間練習(xí)和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽期間使用。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程是高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié),將構(gòu)建主義的“情境”“協(xié)作”“會(huì)話”“構(gòu)建意義”加入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)中,充分鍛煉學(xué)生們自主學(xué)習(xí)的能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和解決應(yīng)用問(wèn)題能力。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的三級(jí)教學(xué)平臺(tái)的構(gòu)建,使學(xué)習(xí)延伸到學(xué)生生活的各個(gè)方面,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,解決實(shí)際問(wèn)題的能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度等,為打造應(yīng)用型人才奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
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數(shù)學(xué)難題分析思考一、前言
在當(dāng)前高等教育數(shù)學(xué)學(xué)科公共基礎(chǔ)科目中,《高等代數(shù)》《微積分》《線性代數(shù)》等均屬于研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支,唯獨(dú)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》研究的領(lǐng)域是隨機(jī)現(xiàn)象。因此,《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)也應(yīng)當(dāng)與其他數(shù)學(xué)課程有所區(qū)別,不單單是要講授概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),更重要的是要向?qū)W生傳遞一種數(shù)學(xué)思維方式,將概率論縱橫交錯(cuò)的邏輯架構(gòu)清晰地展現(xiàn)在學(xué)生眼前,使其眼前“豁然開(kāi)朗”,感受到“境界的升華”,進(jìn)而有效地解決數(shù)學(xué)難題。
二、概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的數(shù)學(xué)難題分析要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)
概率論課程從學(xué)生高中時(shí)就有所接觸,那為什么學(xué)生們?cè)诖髮W(xué)階段更進(jìn)一步地深入學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》時(shí),卻頻頻出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙呢?其中很重要的一點(diǎn)問(wèn)題,就在于學(xué)生在學(xué)習(xí)課程知識(shí)點(diǎn)時(shí),缺乏有意識(shí)的思維訓(xùn)練,所掌握的僅僅是零散的知識(shí),未能從整體上把握該課程常需要應(yīng)用到的數(shù)學(xué)解題技巧,不利于學(xué)生整體上的理解,以致在解題時(shí)頻頻失誤。對(duì)此,筆者認(rèn)為,在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)時(shí),不僅要強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)問(wèn)題的歸納能力的培養(yǎng),也要將歸納和演繹思維的訓(xùn)練納入教學(xué)目標(biāo)內(nèi),要綜合運(yùn)用多種教學(xué)手段培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,使學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力得到本質(zhì)上的提高。
三、結(jié)合概念實(shí)際背景融入數(shù)學(xué)建模思想,解決數(shù)學(xué)難題
1.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的可行性
總體來(lái)看,概率統(tǒng)計(jì)教材中所涉及的隨機(jī)數(shù)學(xué)問(wèn)題大致可分為4大類:(1)隨機(jī)事件與概率;(2)隨機(jī)變量及其函數(shù)的概率分布;(3)大數(shù)定律和中心極限定理;(4)隨機(jī)變量的數(shù)字特征等。教師要深入鉆研教材,結(jié)合相關(guān)實(shí)例來(lái)講解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論,使其確立數(shù)學(xué)建模的思維理念,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“再思維”來(lái)展現(xiàn)數(shù)學(xué)“活生生”的創(chuàng)造活動(dòng),逐漸深化對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解,進(jìn)而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
2.數(shù)學(xué)建模解決數(shù)學(xué)難題的實(shí)例分析
教師應(yīng)當(dāng)合理地利用教學(xué)案例來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)難題的講解,并以此培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解題的意識(shí)。以報(bào)刊亭的收益問(wèn)題為例:
例題:報(bào)刊亭每天清晨從報(bào)站批發(fā)報(bào)紙零售,晚上將未賣完的報(bào)紙退回。每份報(bào)紙零售價(jià)a元,批發(fā)價(jià)b元,回收價(jià)c元,且a>b>c,則報(bào)刊亭每售出一份報(bào)紙可賺取a-b元,退回一份會(huì)賠b-c元,問(wèn)如何確定每天批發(fā)報(bào)紙的數(shù)量,才能獲得最大收益。
分析:很明顯,求解批發(fā)量需要根據(jù)需求量來(lái)確定,也就是說(shuō),報(bào)紙的需求量為隨機(jī)變量,設(shè)報(bào)刊亭每天報(bào)紙的需求量為X=x份,批發(fā)量為n份,其概率為P(x)。而需求量x是隨機(jī)的,因此報(bào)刊亭的收益也是隨機(jī)的,作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù),報(bào)刊亭每天獲取的最大收益應(yīng)考慮到其長(zhǎng)期(半年、一年等)的日平均收入即其期望值(以下簡(jiǎn)稱為平均收入)。
由此,假設(shè)報(bào)刊亭每日批發(fā)n份報(bào)紙,日均收入為S(n),若x≤n,則表示當(dāng)前報(bào)刊亭售出報(bào)紙x份,退回n-x份;若x>n,則表示報(bào)紙完全售出。因此,平均收入,建立數(shù)學(xué)模型后,只需了解到需求量為x的概率P(x)、a、b、c的具體值,就可以求取S(x)max。
在此基礎(chǔ)上,教師還可以進(jìn)一步提出問(wèn)題:如模型中需求量x、批發(fā)量n取值較大,將x視為連續(xù)變量時(shí)應(yīng)如何求解?學(xué)生們綜合以上模型及所學(xué)連續(xù)型隨機(jī)變量概念,將概率P(x)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)f(x),并套用模型S(x)可得:
進(jìn)而得出結(jié)論:批發(fā)量n滿足條件
時(shí)報(bào)刊亭日均收入最高,因?yàn)?/p>
因此又可以轉(zhuǎn)化為,即每份報(bào)紙賺錢與賠錢之比越高時(shí),批發(fā)報(bào)紙分?jǐn)?shù)也越多。同樣的,指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用離散型隨機(jī)變量概念解題也可以得出相同結(jié)論。
通過(guò)報(bào)刊亭收益問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型,還可以大量引用到其他不同的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中,這對(duì)于鍛煉學(xué)生的思維靈活性及解決數(shù)學(xué)難題都有著很好的幫助。
四、巧用“逆事件”,解決數(shù)學(xué)難題
求解古典概率問(wèn)題時(shí)一般會(huì)涉及到基本事件總數(shù)、有利事件數(shù)等,從正面探求這些問(wèn)題往往不易解決,且學(xué)生在復(fù)雜的計(jì)算中稍不留神,就會(huì)陷入到思維陷阱中,腦中一團(tuán)亂麻,解題就更加麻煩了。對(duì)此,教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生熟練應(yīng)用“逆事件”解題,從問(wèn)題的反面逆向思維上尋求解決數(shù)學(xué)難題的方案。以下題為例:
例題:已知4個(gè)人在旅社住宿,每個(gè)人都等可能地被分配到5個(gè)房間中的任一間去住,問(wèn):事件A={4人各住一房}的概率,事件B={至少有2人同住一房}的概率?
按照一般的解題思路,首先需要求解A、B事件的有利事件數(shù)和基本事件總數(shù),如事件A包含的有利事件數(shù)為P54,;事件B也同樣如此,。如果問(wèn)題中住宿人數(shù)或房間數(shù)進(jìn)一步增加,計(jì)算也會(huì)變得更加繁瑣,甚至出現(xiàn)遺漏或重復(fù)計(jì)算等情況。在此情況下,運(yùn)用逆事件求解就簡(jiǎn)單多了。如事件B的發(fā)生概率可由定理P(A)=1-P(A)推導(dǎo)得出,P(B)=P(A)=1-P(A)=1-0.192=0.808。同樣的,將住宿人數(shù)、房間數(shù)放大,設(shè)已知n個(gè)人,每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任一間去住,且n≤N,求A、B事件的概率。在此問(wèn)題中,可以簡(jiǎn)單地計(jì)算出基本事件總數(shù)Nn,進(jìn)而得出事件A的有利事件數(shù)PNn,得出結(jié)果,。其他的常見(jiàn)數(shù)學(xué)題如“生日問(wèn)題”“電梯問(wèn)題”,U檢驗(yàn)法、X2檢驗(yàn)法進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)中臨界值的確定,也可以借鑒“逆事件”來(lái)解決,此處不再一一贅述。
五、結(jié)語(yǔ)
所謂“通達(dá)善變”,“通”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),是基本保證,立足通法,才能準(zhǔn)確地應(yīng)用各種解題技巧,才能發(fā)展可靠的邏輯思維和發(fā)散思維,生出巧法。在大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)當(dāng)客觀準(zhǔn)確地把握學(xué)生的數(shù)學(xué)能力狀況,在課堂教學(xué)中融入多種解題技巧教學(xué),幫助學(xué)生拓展解題思路,提高其分析難題與解決難題的能力,以更好更深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。
參考文獻(xiàn):
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摘要:綜述 數(shù)學(xué)建模方法
前言:數(shù)學(xué)建模,就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型,對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解,然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型是一種模擬,是用數(shù)學(xué)符號(hào),數(shù)學(xué)式子,程序,圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà),它或能解釋某些客觀現(xiàn)象,或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律,或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模。在21世紀(jì)新時(shí)代下,信息技術(shù)的快速發(fā)展使得數(shù)學(xué)建模成了解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要的有效手段。
正文:自從20世紀(jì)以來(lái),隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的日益普及,人們對(duì)各種問(wèn)題的要求越來(lái)越精確,使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛和深入,特別是在21世紀(jì)這個(gè)知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代,數(shù)學(xué)科學(xué)的地位會(huì)發(fā)生巨大的變化,它正在從國(guó)家經(jīng)濟(jì)和科技的后備走到了前沿。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展、數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充,使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫(kù),數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。而數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)方面的分支,在其中起到了關(guān)鍵性的作用。
談到數(shù)學(xué)建模的過(guò)程,可以分為以下幾個(gè)部分:
一.模型準(zhǔn)備
了解問(wèn)題的實(shí)際背景,明確其實(shí)際意義,掌握對(duì)象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來(lái)包容問(wèn)題的精髓,數(shù)學(xué)思路貫穿問(wèn)題的全過(guò)程,進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。要求符合數(shù)學(xué)理論,符合數(shù)學(xué)習(xí)慣,清晰準(zhǔn)確。
二.模型假設(shè)
根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化,并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。
三.模型建立
在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
四.模型計(jì)算
利用獲取的數(shù)據(jù)資料,對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(或近似計(jì)算)。其中需要應(yīng)用到一些計(jì)算工具,如matlab。
五.模型分析
對(duì)所要建立模型的思路進(jìn)行闡述,對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。
六.模型檢驗(yàn)
將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合,則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義,并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè),再次重復(fù)建模過(guò)程。
數(shù)學(xué)建模中比較重要的是,我們需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,適當(dāng)調(diào)整,采取正確的數(shù)學(xué)建模方法,以較為準(zhǔn)確地對(duì)實(shí)際問(wèn)題發(fā)展的方向進(jìn)行有據(jù)地預(yù)測(cè),達(dá)到我們解決實(shí)際問(wèn)題的目的,
在近些年,數(shù)學(xué)建模涉及到的實(shí)際問(wèn)題有關(guān)于各個(gè)領(lǐng)域,包括病毒傳播問(wèn)題、人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問(wèn)題、衛(wèi)星的導(dǎo)航跟蹤、環(huán)境質(zhì)量的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)等等,這些就能說(shuō)明數(shù)學(xué)建模涉及領(lǐng)域之廣泛,針對(duì)這些問(wèn)題我們需要采取對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)建模方法,采用不同的數(shù)學(xué)模型,再綜合起來(lái)分析,得出結(jié)論,這需要我們要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和掌握一些應(yīng)用數(shù)學(xué)方法,以適應(yīng)各種實(shí)際問(wèn)題類型的研究,也應(yīng)該在一些數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)行不斷地拓展和延伸,這也是在新時(shí)代下對(duì)于數(shù)學(xué)工作者的基本要求,我們對(duì)數(shù)學(xué)建模的所能達(dá)到的要求就是實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的定性分析達(dá)到定量的程度,更能直觀地展現(xiàn)其中的內(nèi)在關(guān)系,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的巨大作用。
而在對(duì)數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)處理中,我們往往采用十類算法:
一.蒙特卡羅算法
也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法,是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明,而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。當(dāng)所求解問(wèn)題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率,或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí),通過(guò)某種“實(shí)驗(yàn)”的方法,以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率,或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征,并將其作為問(wèn)題的解。如粒子輸運(yùn)問(wèn)題。
二.數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法
比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理,而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法,通常使用Matlab作為工具,而在其中有一些要用到參數(shù)估計(jì)的方法,包括矩估計(jì)、極大似然法、一致最小方差無(wú)偏估計(jì)、最小風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)、同變估計(jì)、最小二乘法、貝葉斯估計(jì)、極大驗(yàn)后法、最小風(fēng)險(xiǎn)法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數(shù)據(jù)擬合在數(shù)學(xué)建模中常常有應(yīng)用,與圖形處理有關(guān)的問(wèn)題很多與擬合有關(guān)系。
三.線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問(wèn)題
建模競(jìng)賽大多數(shù)問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題,很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述,通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現(xiàn)。它尤其適用于傳統(tǒng)搜索方法難于解決的復(fù)雜和非線性問(wèn)題,在運(yùn)籌學(xué)和模糊數(shù)學(xué)中也有應(yīng)用。
四.圖論算法
這類算法可以分為很多種,包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法,涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決,需要認(rèn)真準(zhǔn)備,其中,圖論具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,圖論可將各種復(fù)雜的工程系統(tǒng)和管理問(wèn)題用“圖”來(lái)描述,然后用數(shù)學(xué)方法求得最優(yōu)結(jié)果,圖論是解決許多工程問(wèn)題中算法設(shè)計(jì)的一種有效地?cái)?shù)學(xué)模型,便于計(jì)算分析和計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。
五.動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法
動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用極其廣泛,包括工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)生產(chǎn)、軍事以及自動(dòng)化控制等領(lǐng)域,并在背包問(wèn)題、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)問(wèn)題、資金管理問(wèn)題、資源分配問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題和復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問(wèn)題等中取得了顯著的效果?;厮菟惴ㄊ巧疃葍?yōu)先策略的典型應(yīng)用,回溯算法就是沿著一條路向下走,如果此路不同了,則回溯到上一個(gè)分岔路,在選一條路走,一直這樣遞歸下去,直到遍歷萬(wàn)所有的路徑。八皇后問(wèn)題是回溯算法的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,還有一個(gè)經(jīng)典的應(yīng)用場(chǎng)景就是迷宮問(wèn)題?;厮菟惴ㄊ巧疃葍?yōu)先,那么分支限界法就是廣度優(yōu)先的一個(gè)經(jīng)典的例子?;厮莘ㄒ话銇?lái)說(shuō)是遍歷整個(gè)解空間,獲取問(wèn)題的所有解,而分支限界法則是獲取一個(gè)解。分治算法的基本思想是將一個(gè)規(guī)模為N的問(wèn)題分解為K個(gè)規(guī)模較小的子問(wèn)題,這些子問(wèn)題相互獨(dú)立且與原問(wèn)題性質(zhì)相同。求出子問(wèn)題的解,就可得到原問(wèn)題的解。即一種分目標(biāo)完成程序算法,簡(jiǎn)單問(wèn)題可用二分法完成。
這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法,很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中。
六.最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法:模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法
模擬退火算法的依據(jù)是固體物質(zhì)退火過(guò)程和組合優(yōu)化問(wèn)題之間的相似性。物質(zhì)在加熱的時(shí)候,粒子間的布朗運(yùn)動(dòng)增強(qiáng),到達(dá)一定強(qiáng)度后,固體物質(zhì)轉(zhuǎn)化為液態(tài),這個(gè)時(shí)候再-進(jìn)行退火,粒子熱運(yùn)動(dòng)減弱,并逐漸趨于有序,最后達(dá)到穩(wěn)定。
“物競(jìng)天擇,適者生存”,是進(jìn)化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優(yōu)化問(wèn)題,若把它看作對(duì)自然過(guò)程高度理想化的模擬,更能-顯出它本身的優(yōu)雅——雖然生存競(jìng)爭(zhēng)是殘酷的。 遺傳算法以一種群體中的所有個(gè)體為對(duì)象,并利用隨機(jī)化技術(shù)指導(dǎo)對(duì)一個(gè)被編碼的參數(shù)空間進(jìn)行高效搜索 。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從名字就知道是對(duì)人腦的模擬。它的神經(jīng)元結(jié)構(gòu),它的構(gòu)成與作用方式都是在模仿人腦,但是也僅僅是粗糙的模仿,遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到完美的地步。和馮·諾依曼機(jī)不同-,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算非數(shù)字,非精確,高度并行,并且有自學(xué)習(xí)功能。
這些問(wèn)題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法,對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助,但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難,需慎重使用。
七 .網(wǎng)格算法和窮舉法
對(duì)于小數(shù)據(jù)量窮舉法就是最優(yōu)秀的算法,網(wǎng)格算法就是連續(xù)問(wèn)題的枚舉。網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法,在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用,當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候,可以使用這種暴力方案,最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具。
八.一些連續(xù)離散化方法
很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的,數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的,而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù),因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。
九.數(shù)值分析算法
在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話,那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、 函數(shù)積分等算法就需要額外編寫(xiě)庫(kù)函數(shù)進(jìn)行調(diào)用。
十.圖像處理法
賽題中有一類問(wèn)題與圖形有關(guān),即使與圖形無(wú)關(guān),論文中也應(yīng)該要不乏圖片的,這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn)題,通常使用Matlab進(jìn)行處理。
這十類算法對(duì)于數(shù)據(jù)處理有很大的幫助,甚至從其中可以發(fā)現(xiàn)在它們中的很多算法都是數(shù)學(xué)某些分支的延伸,可能我們不一定能掌握里面的所有算法,但是我們可以盡可能學(xué)習(xí),相信這對(duì)我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助,然后,就是數(shù)學(xué)模型的類別。
常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有離散動(dòng)態(tài)模型、連續(xù)動(dòng)態(tài)模型、庫(kù)存模型、線性回歸模型、線性規(guī)劃模型、綜合評(píng)價(jià)模型、傳染病模型等數(shù)學(xué)模型、常微分方程模型、常微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性、人口模型、差分方程模型,這些模型都有針對(duì)性地從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái),得到這些模型的建立,我們?cè)谄渲屑尤脒m當(dāng)合理的簡(jiǎn)化,但要保證能反映原型的特征,在數(shù)學(xué)模型中,我們能進(jìn)行理性的分析,也能進(jìn)行計(jì)算和演繹推導(dǎo),我們最終都會(huì)通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的正確性,加以完善和提升,在對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象進(jìn)行建模時(shí),人們常常對(duì)預(yù)測(cè)未來(lái)某個(gè)時(shí)刻變量的值感興趣,變量可能是人口、房地產(chǎn)的價(jià)值或者有一種傳染病的人數(shù)。數(shù)學(xué)模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規(guī)劃未來(lái),可以把數(shù)學(xué)模型看做一種研究特定的實(shí)際系統(tǒng)或者人們感興趣的行為而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
例如人口增長(zhǎng)模型:
中國(guó)是世界上人口最多的發(fā)展中國(guó)家,人口多,底子薄,人均耕地少,人均占有資源相對(duì)不足,是我國(guó)的基本國(guó)情,人口問(wèn)題一直是制約中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的首要因素。人口數(shù)量、 質(zhì)量和年齡分布直接影響一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、資源配置、社會(huì)保障、社會(huì)穩(wěn)定和城市活力。 在我國(guó)現(xiàn)代化進(jìn)程中,必須實(shí)現(xiàn)人口與經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、資源、環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展, 進(jìn)一步控制人口數(shù)量,提高人口質(zhì)量,改善人口結(jié)構(gòu)。對(duì)此,單純的人口數(shù)量控制(如已實(shí)施多年的計(jì)劃生育)不能體現(xiàn)人口規(guī)劃的科學(xué)性。 政府部門需要更詳細(xì)、 更系統(tǒng)的人口分析技術(shù),為人口發(fā)展策略的制定提供指導(dǎo)和依據(jù)。長(zhǎng)期以來(lái),對(duì)人口年齡結(jié)構(gòu)的研究?jī)H限于粗線條的定性分析, 只能預(yù)測(cè)年齡結(jié)構(gòu)分布的大致范圍,無(wú)法用于分析年齡結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)。 隨著對(duì)人口規(guī)劃精準(zhǔn)度要求的提高,通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)定量計(jì)算各種人口指數(shù)的方法日益受到重視,這就是人口控制和預(yù)測(cè)。
人口增長(zhǎng)模型是由生育、死亡、疾病、災(zāi)害、環(huán)境、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等諸多因素影響和制約的共同結(jié)果,如此眾多的因素不可能通過(guò)幾個(gè)指標(biāo)就能表達(dá)清楚,他們對(duì)人口增長(zhǎng)的潛在而復(fù)雜的影響更是無(wú)法精確計(jì)算。這反映出人口系統(tǒng)具有明顯的灰色性, 適宜采用灰色模型去發(fā)掘和認(rèn)識(shí)原始時(shí)間序列綜合灰色量所包含的內(nèi)在規(guī)律?;疑A(yù)測(cè)模型屬于全因素的非線性擬合外推類法,其特點(diǎn)是單數(shù)列預(yù)測(cè),在形式上只用被預(yù)測(cè)對(duì)象的自身序列建立模型,根據(jù)其自身數(shù)列本身的特性進(jìn)行建模、預(yù)測(cè),與其相關(guān)的因素并沒(méi)有直接參與,而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中,看成是灰色信息即灰色量,對(duì)灰色量進(jìn)行預(yù)測(cè),不必拼湊數(shù)據(jù)不準(zhǔn)、關(guān)系不清、變化不明的參數(shù),而是從自身的序列中尋找信息建立模型,發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)。
基于以上思想我們建立了灰色預(yù)測(cè)模型:
灰色建模的思路是:從序列角度剖析微分方程,是了解其構(gòu)成的主要條件,然后對(duì)近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對(duì)序列而言(一般指有限序列)只能獲得有限差異信息,因此,用序列建立微分方程模型,實(shí)質(zhì)上是用有限差異信息建立一個(gè)無(wú)限差異信息模型。
在灰色預(yù)測(cè)模型中,與起相關(guān)的因素并沒(méi)有直接參與,但如果考慮到直接影響人口增長(zhǎng)的因素, 例如出生率、死亡率、 遷入遷出人口數(shù)等,根據(jù)具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算, 則可以根據(jù)年齡移算理論,從某一時(shí)點(diǎn)的某年齡組人數(shù)推算一年或多年后年齡相應(yīng)增長(zhǎng)一歲或增長(zhǎng)多歲的人口數(shù)。在這個(gè)人口數(shù)的基礎(chǔ)上減去相應(yīng)年齡的死亡人數(shù), 就可以得到未來(lái)某年齡組的實(shí)際人口數(shù)。對(duì)于0 歲的新生人口, 則需要通過(guò)生育率作重新計(jì)算。當(dāng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)條件變化不大時(shí), 各年齡組死亡率比較穩(wěn)定, 相應(yīng)活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩(wěn)定不變。 因而可以根據(jù)現(xiàn)有的分性別年齡組存活率推算未來(lái)各相應(yīng)年齡組的人數(shù)。
通過(guò)這樣的實(shí)例就能很細(xì)致地說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的方法應(yīng)用,數(shù)學(xué)模型方法是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法。它是將研究的某種事物系統(tǒng),采用數(shù)學(xué)形式化語(yǔ)言把該系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系,抽象出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的方法,這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就叫數(shù)學(xué)模型。一般地,一個(gè)實(shí)際問(wèn)題系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式,如代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關(guān)系式,甚至是一個(gè)計(jì)算機(jī)的程序等等。由這種表達(dá)式算得某些變量的變化規(guī)律, 與實(shí)際問(wèn)題系統(tǒng)中相應(yīng)特征的變化規(guī)律相符。一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,就是對(duì)其中某些特征的變化規(guī)律作出最精煉的概括。
數(shù)學(xué)模型為人們解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供了十分有效和足夠精確的工具, 在現(xiàn)實(shí)生活中, 我們經(jīng)常用模型的思想來(lái)認(rèn)識(shí)和改造世界,模型是針對(duì)原型而言的,是人們?yōu)榱艘欢ǖ哪康膶?duì)原型進(jìn)行的一個(gè)抽象。
隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展,數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)與現(xiàn)代化管理等方面獲得越來(lái)越廣泛而深入的應(yīng)用, 尤其是在經(jīng)濟(jì)發(fā)展方面, 數(shù)學(xué)建模也有很重要的作用。 數(shù)學(xué)模型這個(gè)詞匯越來(lái)越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中,從而使人們逐漸認(rèn)識(shí)到建立數(shù)學(xué)模型的重要性。數(shù)學(xué)模型就是要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻畫(huà)實(shí)際,是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的,描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、 圖形或算法。也可以這樣描述:對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律,做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模的作用在21實(shí)際毋庸置疑,我們通過(guò)不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建可以掌握解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)大武器。
參考文獻(xiàn):數(shù)學(xué)建模方法與案例,張萬(wàn)龍,等編著,國(guó)防工業(yè)出版社(2014).
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