高中數(shù)學(xué)常見結(jié)論精選(九篇)

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第1篇：高中數(shù)學(xué)常見結(jié)論范文

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我經(jīng)常被一些問題所困惑：課堂上，教師講解概念及解題過程，學(xué)生能聽懂，但學(xué)生在作業(yè)和考試時(shí)常出現(xiàn)這樣的情境：許多題目明明知道教師在課堂上反復(fù)講解過，即使明白題目的意思也感到無從下手；有些學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間花不少，精力投入較多，學(xué)習(xí)刻苦認(rèn)真，但收效甚微；對許多學(xué)習(xí)上的易錯(cuò)問題，盡管教師反復(fù)地講評和剖析，事后學(xué)生仍“舊病復(fù)發(fā)”，找不出問題的癥結(jié).這些問題表明學(xué)生缺乏反思意識或反思意識比較差.

究其原因大致為：學(xué)生沒有反思的意識或不知道如何反思；學(xué)生由于被大量的作業(yè)壓得喘不過氣來，沒有時(shí)間進(jìn)行反思.其本質(zhì)原因是教師在教學(xué)中只注重知識的傳授與講解，忽視對學(xué)生反思能力的培養(yǎng)；或教師反思意識不強(qiáng)，不知道在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的反思能力.

二、高中學(xué)生應(yīng)該進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)

基于上述問題，且不論新課程突出強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，教師應(yīng)將反思性教學(xué)應(yīng)視為高中教學(xué)的新型教學(xué)方式，加強(qiáng)反思性教學(xué)，使學(xué)生真正從學(xué)習(xí)中獲得能力.

（一）概念教學(xué)的反思活動

概念是最基本的思維形式，數(shù)學(xué)中的命題都是由概念構(gòu)成的；數(shù)學(xué)中的推理和證明，又是命題構(gòu)成的.因此，正確地理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)知識的前提.數(shù)學(xué)概念的理解包括概念的內(nèi)涵和外延，即牢固掌握概念和靈活運(yùn)用概念兩個(gè)方面.學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的過程是一個(gè)認(rèn)識的過程，必須遵循認(rèn)識的規(guī)律，以唯物辯證法作指導(dǎo).抓住事物的本質(zhì)，對概念作辯證的分析.并注意在實(shí)踐中運(yùn)用概念，在運(yùn)用中加深對概念的理解.

【例1】 與圓C：x2+（y+5）2=3相切，且在x、y軸上截距相等的直線有（ ）.

A.2條 B.3條 C.4條 D.6條

錯(cuò)解：A或D；正解：C.

本題錯(cuò)解的關(guān)鍵在學(xué)生對“截距”概念的理解不透徹.選（A）以為“截距”不能為零；選（D）以為“截距”為距離.實(shí)際上直線在x、y軸上的截距即為原點(diǎn)到直線與x、y軸的交點(diǎn)的有向線段的數(shù)量.

可見，在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生多次反思，挖掘概念的本質(zhì)，研究概念形成的條件和形成的過程，這樣才能使學(xué)生更深刻理解概念，更準(zhǔn)確地掌握概念、運(yùn)用概念.同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的反思意識，提高了學(xué)生的反思能力.

（二）解題教學(xué)的反思活動

1.解題方法上的反思

在解題過程中，不同的題存在著不同的解題方法或者存在相同的解題策略.

（1）指導(dǎo)學(xué)生反思一題多解的差異性.

【例2】 在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？

解法一：添加的3個(gè)節(jié)目有三類辦法排進(jìn)去：①3個(gè)節(jié)目連排，有C17A33種方法；②3個(gè)節(jié)目互不相鄰，有A37種方法；③有且僅有兩個(gè)節(jié)目連排，有C13C17C16A22種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有C17A33+A37+C13C17C16A22=504種.

解法二：從結(jié)果考慮，排好的節(jié)目表中有9個(gè)位置，先排入3個(gè)添加節(jié)目有A39種方法，余下的六個(gè)位置上按6個(gè)節(jié)目的原有順序排入只有一種方法.故所求排法為A39=504種.

解法三：（消去順序）A99A66=504.

這里應(yīng)做三法優(yōu)化的反思，法一可視為分組插入法（將三個(gè)不同元素分成1組或2組或3組，再插入7個(gè)空隙），可取.法二抓住整體中的不變性和可變性，但思維要求較高；法三視為相同元素排列法，具有一般性，可取.

（2）指導(dǎo)學(xué)生反思多題一解的共通性.

【例3】 ①6個(gè)人并排站成一排，B站在A的右邊，C站在B的右邊，則不同的排法總數(shù)為多少種？

②書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書本的相對順序不變，則不同的放法有多少種？

③有一名同學(xué)在書寫英文單詞“error”時(shí)，只是記不清字母的順序，那么他寫錯(cuò)這個(gè)單詞的概率為 .

以上幾個(gè)例子實(shí)際上應(yīng)用例2的法一和法三的解題思路就可以解答！

2.解題思維過程的反思

即思考在問題解決的過程中，自己是否很好地理解了題意？是否弄清了題干和設(shè)問之間的內(nèi)在聯(lián)系？是否較快地找到了解題的突破口？在解題過程中以前曾走過的彎路，犯過的錯(cuò)誤，以及所獲得的感悟，此時(shí)能否得到較好的聯(lián)想？

【例4】 （2005年浙江卷，理）已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（x）=x2+2x.

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|.

分析：由圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱聯(lián)想到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱；含有一個(gè)絕對值聯(lián)想分段；函數(shù)值大小比較聯(lián)想函數(shù)圖像的上方或下方等，這些是否于本題解決有助呢？

進(jìn)行解題思維的反思，能達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的.所以我們在教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持讓學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生在解題后對思維過程進(jìn)行反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3.解題結(jié)果的反思

（1）指導(dǎo)學(xué)生反思答案的正確性和最佳性

【例5】 從圓（x-1）2+（y-1）2=1外一點(diǎn)P（2，3），向該圓引切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，求直線AB的方程.

方法一：根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求得切線方程為x=2和3x-4y+6=0.再將切線方程與圓方程聯(lián)立求得切點(diǎn)A（2，1），B

（25，95）

.再由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法易被學(xué)生采用，但求切點(diǎn)運(yùn)算量較大，由此引導(dǎo)學(xué)生反思：如何求切點(diǎn)更簡捷？

方法二：設(shè)已知圓的圓心為C（1，1），根據(jù)平面幾何知識可知，切點(diǎn)是以PC為直徑的圓與圓C的交點(diǎn)，以PC為直徑的圓方程為

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，將③代入②，求得切點(diǎn)為A（1，2），B（25，95）.再由兩點(diǎn)式可得直線AB的方程為x+2y-4=0.

此法充分運(yùn)用平面幾何性質(zhì)，減少了運(yùn)算層次，簡化了解題過程.是否仍有改進(jìn)之處？

方法三：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由方法二知，切點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程①和②，則也滿足③，這說明方程③即為過切點(diǎn)A，B的直線方程.

此法避免了求切點(diǎn)的過程，過程更簡捷，值得關(guān)注.通過上述不同角度的探討，學(xué)生開闊了視野，使學(xué)生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發(fā)展，這有利于提高學(xué)生靈活解題的能力.

（2）指導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤答案

【例6】 過點(diǎn)（1，2）總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k2D.都不對

錯(cuò)解：C；正解：D.

反思：當(dāng)二元二次方程中含參數(shù)時(shí)首先必須對參數(shù)予以關(guān)注.關(guān)鍵語句：“過點(diǎn)（1，2）總可作圓的切線”意味著點(diǎn)（1，2）恒在圓上或圓外.這樣對錯(cuò)解的“錯(cuò)”就釋然了.

4.立意的反思

通過完成解題，可否對題目進(jìn)行全方位審視？題目立意的目的是什么？它是否具有現(xiàn)實(shí)性或普遍性？比如對下列的演變可否作為對題目立意的反思的詮釋？

【例7】 點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上運(yùn)動，求定點(diǎn)A（0，2）到動點(diǎn)P的距離|AP|的最大值.

變式1：將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值.（變結(jié)論）

變式2：將橢圓改為雙曲線x2-y2=1，結(jié)論改為求|AP|的最小值.（條件、結(jié)論均變）

變式3：已知點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上運(yùn)動，定點(diǎn)A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（變條件，且具一般性）

變式4：動點(diǎn)Q在圓x2+y2-4y+3=0上運(yùn)動，動點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上運(yùn)動，求|PQ|的最大值.（將點(diǎn)A以隱藏的方式給出）

（將圓方程化為x2+（y-2）2=1，則圓心A（0，2），問題就轉(zhuǎn)化為原題了.）

變式5：設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且離心率e=12，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，若定點(diǎn)A（0，2）到動點(diǎn)P的距離的最大值是45，求橢圓方程.并求|AP|取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo).

（三）作業(yè)（或試卷）評講教學(xué)的反思活動

作業(yè)（或試卷）評講的結(jié)束，并非以題目評講的終結(jié)為標(biāo)志，應(yīng)利用這一契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面進(jìn)行反思.

（1）學(xué)生應(yīng)依據(jù)教師提出的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合自己實(shí)際達(dá)成的目標(biāo)進(jìn)行反思.這是測試后的反思的前提條件.

（2）學(xué)會正視自己.特別要正視自己在學(xué)習(xí)上存在的問題，全面分析自己的現(xiàn)狀與自定目標(biāo)之間的差距.這是一種科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度，是進(jìn)行測試后的反思的思想基礎(chǔ).

（3）對每一次測試，首先是反思失分多寡之原因.計(jì)算自己在試卷中有哪些是不應(yīng)有的失分.如，筆誤、計(jì)算錯(cuò)誤、看錯(cuò)題目、當(dāng)時(shí)的遺忘等.其次是分類分析.高中數(shù)學(xué)考卷的題型一般分為①填空題、②選擇題、③解答題三類.對于填空選擇題，如有失誤往往是源于對基本概念理解上的偏差.學(xué)生要做的是在反思時(shí)，細(xì)讀概念、定理以及相關(guān)的變式與圖形，理解老師總結(jié)出的常見結(jié)論.解答題中綜合題、探究題是讓學(xué)生感到頭痛的題型，反思的重點(diǎn)就是設(shè)法掌握解決此類問題的步驟：①掃清障礙，先做好簡單的問題并得出一些有用的結(jié)論；②定性分析與定量分析相結(jié)合；③反思各類答題的經(jīng)驗(yàn)和技巧.