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解答題除了考查基礎(chǔ)知識和基本技能外,更主要的是通過解答的過程考查考生思維的過程,從而測量其思維能力、思維品質(zhì)、探究能力和創(chuàng)新能力等,是試卷中體現(xiàn)區(qū)分度的關(guān)鍵部分.因此,探索解答題的解決途徑,掌握常見的解答策略與技巧,至關(guān)重要.
一、三角函數(shù)與解三角形解答技巧
“三角函數(shù)與解三角形”專題包括:三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形三部分內(nèi)容.通過對近幾年全國各省市高考試題分析可以發(fā)現(xiàn),不論文理,本模塊的內(nèi)容都是考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn).由于近幾年的高考已經(jīng)逐步拋棄了對復(fù)雜的三角變換和特殊技巧的考查,重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到利用三角公式進(jìn)行恒等變形,三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換等方面,利用正、余弦定理解三角形.重視對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查,突出三角與代數(shù)、幾何、向量等知識點(diǎn)的綜合聯(lián)系,多考查三角化簡和三角函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性、周期性、最值等問題.
例1. 已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值和最小值.
解析:由已知條件,可知:
f(x)=-=(cos2x+sin2x)-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).
所以f(x)的最小正周期T==?仔.
(II)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-,-]上是減函數(shù),在區(qū)間[-,]上是增函數(shù),
f(-)=-,f(-)=-,f()=,
所以f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值為,最小值為-.
點(diǎn)評:本題主要考查兩角和與差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).綜合運(yùn)用三角知識,從正確求函數(shù)解析式出發(fā),考查最小正周期的求法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,從而求出函數(shù)的最大值與最小值.在化簡的過程中,如果各位考生對降冪公式不是十分熟悉的話,建議通過二倍角公式cos2?琢=2cos2?琢-1=1-2sin2?琢重新推導(dǎo)得出cos2?琢=,sin2?琢=,這并不會浪費(fèi)時間.
在求給定區(qū)間上三角函數(shù)最值的時候也可以如下解決:
因?yàn)閤∈[,],所以2x-∈[,],所以sin(2x-)∈[1,].
所以,當(dāng)2x-=-,即x=-時,f(x)有最小值為-;
當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)有最大值為.
追蹤練習(xí)1. ?駐ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,?駐ABD面積是?駐ADC面積的2倍.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.
解析:(Ⅰ)S?駐ABD=AB?AD?sin∠BAD,S?駐ADC=AC?AD?sin∠CAD,
因?yàn)镾?駐ABD=2S?駐ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.由正弦定理可得==.
(Ⅱ)因?yàn)?=2,DC=,所以BD=.
在?駐ABD和?駐ADC中,由余弦定理得:
AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD?DCcos∠ADC.
因?yàn)閏os∠ADB=-cos∠ADC,
所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.
點(diǎn)評:本題考查了三角形的面積公式、角分線概念、正弦定理和余弦定理,由角分線的定義得角的等量關(guān)系,由面積關(guān)系得邊的關(guān)系,由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系;分析兩個三角形中cos∠ADB和cos∠ACD互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件,利用余弦定理列方程,進(jìn)而求AC.
二、數(shù)列與不等式解答技巧
數(shù)列與不等式知識結(jié)合是近幾年高考的熱點(diǎn),高考命題主要有以下三個方面:
(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識,其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式.
(2)數(shù)列與其它知識的結(jié)合,其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合.
(3)數(shù)列的應(yīng)用問題,其中主要是以增長率問題為主.
如果單純考查數(shù)列本身有關(guān)知識,多以選擇填空題出現(xiàn),考查考生對“三基”的掌握情況,解答題多以中檔題為主.但是個別省市會將用數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題.這類題目的綜合性強(qiáng),解題所用的方法豐富,能力要求高,需要對數(shù)列、函數(shù)和不等式的知識和方法有較好的掌握.
例2. 已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,2an+1-2an-1=0,n∈N?鄢.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=9-()n-2,n∈N?鄢.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=anbn,n∈N?鄢,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析:(Ⅰ)由2an+1-2an-1=0得an+1-an=,n∈N?鄢,又a1=1,
所以{an}是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=,n∈N?鄢.
當(dāng)n=1時,b1=S1=9-()1-2=6,
當(dāng)n≥2時,Sn-1=9-()n-3,
bn=Sn-Sn-1=[9-()n-2]-[9-()n-3]=,
又n=1時=6=b1,所以bn=,n∈N?鄢.
(Ⅱ)知(Ⅰ)知an=,bn=,n∈N?鄢,所以cn=an?bn=(n+1)()n-2,n∈N?鄢.
所以Tn=2×()-1+3×()0+4×()1+…+(n+1)×()n-2 (1)
等式兩邊同乘以得:
Tn=2×()0+3×()1+4×()2+…+(n+1)×()n-1 (2)
(1)-(2)得:
Tn=2×()-1+×()0+×()1+…+()n-2-(n+1)×()n-1=6+-(n+1)()n-1.
所以Tn=-()n-2,n∈N?鄢.
點(diǎn)評:已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系,求數(shù)列通項(xiàng)公式,常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系.若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.關(guān)于數(shù)列求和,本題中所用的是錯位相減法,這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和,其中{an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
追蹤練習(xí)2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=且an+1=an-(n∈N?鄢)
(Ⅰ)證明:1≤≤2(n∈N?鄢);
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,證明≤
解析:(Ⅰ)由題意,得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,an≤,
由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0,
由0
(Ⅱ)由題意得an2=an-an+1,
Sn=a1-an+1……①,由-=和1≤≤2,得1≤-≤2,
n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N?鄢)
……②,
由①②得:
≤≤.
點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列的遞推公式,不等式的證明等知識點(diǎn),屬于較難題,第(Ⅰ)問易證,利用條件中的遞推公式作等價(jià)變形,即可得到==,再結(jié)合已知條件即可得證,第(Ⅱ)問具有較強(qiáng)的技巧性,首先根據(jù)遞推公式將Sn轉(zhuǎn)化為只與an+1有關(guān)的表達(dá)式,再結(jié)合已知條件得到an+1的取值范圍即可得證.由于數(shù)列綜合題與不等式相結(jié)合,技巧性比較強(qiáng),需要平時一定量的訓(xùn)練與積累,在后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.
三、立體幾何解答技巧
立體幾何解答題核心考點(diǎn)主要分為三大類:一是考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,這類問題需要考生熟練掌握公理、定理、定義以及空間向量,在高考中考查最多的是平行和垂直關(guān)系,主要以解答題第一問的形式出現(xiàn),在解決這類問題時,要把握好問題的轉(zhuǎn)化方向,并且做好將問題反復(fù)轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)備.二是考查空間向量在立體幾何問題中的綜合應(yīng)用,包括空間角、距離、體積、面積等的計(jì)算,這類問題常以空間幾何體為載體,考查空間量的計(jì)算,這部分內(nèi)容現(xiàn)在基本是用空間向量的方法解決.三是部分考題會設(shè)計(jì)一問探究題,通過空間向量考查考生“推理論證”“運(yùn)算求解”“數(shù)據(jù)處理”等基本能力.
例3. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PB底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD//BC,ADAB,且PB=AB=AD=3,BC=1.
(Ⅰ)若點(diǎn)F為PD上一點(diǎn)且PF=PD,
證明:CF//平面PAB;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的大??;
(Ⅲ)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得CMPA?若存在,求出PM的長;若不存在,說明理由.
解析:(Ⅰ)過點(diǎn)F作FH//AD,交PA于H,連接BH,因?yàn)镻F=PD,
所以HF=AD=BC. 又FH//AD,AD//BC,所以HF//BC.
所以BCFH為平行四邊形,所以CF//BH.
又BH?奐平面PAB,CF?埭平面PAB,所以CF//平面PAD.
(Ⅱ)因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD//AB,ADAB,所以BCAB.
因?yàn)镻B平面ABCD,所以PBAB,PBBC.
如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).
設(shè)平面BPD的一個法向量為=(x,y,z),平面APD的一個法向量為=(a,b,c),
因?yàn)?(3,3,-3),=(0,0,3),
所以?=0,?=0,即3x+3y-3z=0,3z=0.
取x=1得到=(1,-1,0),同理可得=(0,1,1),
所以cos==-,因?yàn)槎娼荁-PD-A為銳角,
所以二面角B-PD-A為.
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)M,設(shè)==(3,3,-3),
所以=+=(-1+3,3,3-3),所以?=-9+3(3-3)=0,解得=,
所以存在點(diǎn)M,且PM=PD=.
點(diǎn)評:本題主要考查直線和平面平行、線線、線面垂直,二面角、空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化,體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用,即把幾何的證明與計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問題,是向量的最大優(yōu)勢,把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題,有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題. 另外利用空間向量解題時,要準(zhǔn)確寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo),這很重要.
四、概率統(tǒng)計(jì)解答技巧
概率與統(tǒng)計(jì)是歷屆高考的必考內(nèi)容之一.從今年各地高考試題來看,對概率統(tǒng)計(jì)的考查幾乎涉及所有基本概念和基本公式,并且在題型包裝上多以解答題的形式出現(xiàn),而且概率統(tǒng)計(jì)問題可以通過對題干情境的重新組合、變化使得試題更加貼近學(xué)生實(shí)際,具有時代氣息,從而更進(jìn)一步考查考生的分析問題、解決問題的能力.
試題往往以實(shí)際應(yīng)用問題為背景.文科則通過統(tǒng)計(jì)、頻率、古典概型、幾何概型等知識考查考生的運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力.而理科以排列組合、概率統(tǒng)計(jì)等知識為工具,著重考查基本概型、基本概率事件的識別、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望等主干知識.試題難度屬于中檔題.
例4. 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:
(Ⅰ)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);
(Ⅱ)計(jì)算(Ⅰ)中樣本的平均值x 和方差s2;
(Ⅲ)36名工人中年齡在x-s與x+s之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?
解析:由系統(tǒng)抽樣可知,36人分成9組,每組4人,其中第一組的工人年齡為44,所以所抽樣本編號是一個首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,所以所得樣本數(shù)據(jù)的編號為:4n-2,(n=1,2,…,9),對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為:44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由平均值公式得x==40.
由方差公式得s2==.
(3)因?yàn)閟2=,所以s=. x-s=36,x+s=43,
所以36名工人中年齡在x-s和x+s之間的人數(shù)等于區(qū)間[37,43]的人數(shù),
即40,40,41,…,39,共23人.
所以年齡在x-s與x+s之間共有23人,所占百分比為≈63.89%.
點(diǎn)評:本題主要考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題,整體難度不大,解答本題關(guān)鍵在于第(Ⅰ)問要準(zhǔn)確由系統(tǒng)抽樣的定義得出對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),第(Ⅱ)(Ⅲ)問則直接準(zhǔn)確運(yùn)用公式即可解答,但需注意運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的應(yīng)用.
追蹤練習(xí)3. 某校要用三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū),已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路,汽車走公路①堵車的概率為,不堵車的概率為;汽車走公路②堵車的概率為p,不堵車的概率為1-p.若甲、乙兩輛汽車走公路①,丙汽車由于其他原因走公路②,且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.
(Ⅰ)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為,求走公路②堵車的概率;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求三輛汽車中被堵車輛的個數(shù)?孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.
點(diǎn)評:高考中常常通過實(shí)際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,同時也考查二項(xiàng)分布、超幾何分布等特殊的概率模型.解讀此類問題時要注意分清類型,運(yùn)用相應(yīng)的知識進(jìn)行解答.本題易犯的錯誤是相互獨(dú)立事件之間的關(guān)系混亂,沒有理解題中給定道路選擇的實(shí)際意思.
五、圓錐曲線解答技巧
解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.在高考以及各種類型的模擬考試中,基本考查形式是“一大一小”.考小題,重在基本知識、基本技能的靈活應(yīng)用.而考大題,則主要以圓錐曲線為載體,綜合各個模塊知識點(diǎn)(平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等),全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.由于此處題目綜合性強(qiáng),解法靈活多變,充分體現(xiàn)出高考能力立意的命題方向.
圓錐曲線綜合題由于內(nèi)容豐富、考法靈活,從而難度較大.其能綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力,重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識點(diǎn), 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
例5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.
(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解析:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)B與A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為(1,-1).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意得?=-,
化簡得x2+3y2=4(x≠±1).
故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N得坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN).
則直線AP的方程為y-1=(x+1),直線BP的方程為y+1=(x-1).
令x=3得yM=,yN=.
于是?駐PMN得面積:
S?駐PMN=| yM-yN |(3-x0)=.
又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=2,
點(diǎn)P到直線AB的距離d=.
于是?駐PAB的面積S?駐PAB=|AB|?d=|x0+y0|.
當(dāng)S?駐PAB=S?駐PMN時,得|x0+y0|=.
又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=.
因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,
故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).
點(diǎn)評:本題背景取自于教材,但作了創(chuàng)新,重點(diǎn)考查了學(xué)生對知識的遷移能力,邏輯思維能力及代數(shù)運(yùn)算能力和探究問題的能力.本題第一問,是常規(guī)問題,也是課本問題的一個變形.課本問題是“將橢圓上任意一點(diǎn)與長軸頂點(diǎn)連線的斜率之積為定值”,而本題則將其變化為“橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓上關(guān)于中心對稱的兩個點(diǎn)的連線的斜率之積為定值”.解決不難,注意需要去掉兩個點(diǎn).
本題第二問,是非常出彩的一個問題,入口寬,但是能得結(jié)論不易. 具體解決時,可以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),之后由直線AP,BP的方程求得點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo),進(jìn)而可以求得?駐PMN得面積;由|AB|=2以及點(diǎn)P到直線AB的距離可以求得?駐PAB的面積;兩者相等,則可以解出點(diǎn)P的坐標(biāo),具體解題過程如上所示.其實(shí)各位考生應(yīng)該也發(fā)現(xiàn)了,這樣去算的話,計(jì)算量還是很大的.那么有沒有簡單一點(diǎn)的方法呢?在這里,由于∠APB與∠MPN是對頂角,所以相等.從而由|PA|? |PB|sin∠APB=|PM|?|PN|sin∠MPN可得=,則可以有效的化簡解題過程.如下所示.
【方法二】(Ⅱ)若存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),
則|PA|?|PB|sin∠APB=|PM|?|PN|sin∠MPN.
因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN,所以=,
所以=,即(3-x0)2=|x02+1|,解得x0=,
因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,
故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).
六、函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答技巧
“函數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)中的核心知識,其思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終,是高考考點(diǎn)中的重中之中.通過導(dǎo)數(shù),可以把函數(shù)、不等式、向量、數(shù)列、解析幾何等知識相互交匯滲透,使得這些知識聯(lián)系的更加緊密.而在這些知識點(diǎn)的綜合處,由于知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、思想豐富、綜合性強(qiáng).能夠設(shè)置不同層次、難度不一的綜合題以考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識和方法解決問題的能力,從而使得歷年高考以“函數(shù)、導(dǎo)數(shù)”為主體內(nèi)容的壓軸題頻頻出現(xiàn),且??汲P?
例6. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k∈R)
(Ⅰ)證明:當(dāng)x>0時,f(x)
(Ⅱ)證明:當(dāng)k0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x);
(Ⅲ)確定k的所有可能取值,使得存在t>0,對任意的x∈(0,t),恒有| f(x)-g(x)|
解析: (Ⅰ)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x, x∈(0,+∞), 則有F′(x)=-1=-.
當(dāng) x∈(0,+∞), F′(x)
故當(dāng)x>0時, F(x)0時, f(x)
(Ⅱ)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, x∈(0,+∞),
則有G′(x)=-k=.
①當(dāng)k0,所以G(x)在 [0,+∞)上單調(diào)遞增,G(x)>G(0)=0.
故對任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.
② 當(dāng)0
取x0=-1,對任意x∈(0, x0), 恒有G′(x)>0,所以G(x)在[0, x0)上單調(diào)遞增, G(x)>G(0)=0, 即f(x)>g(x).
綜上,當(dāng)k0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
(Ⅲ)①當(dāng)k>1時,由(Ⅰ)知,對于任意x∈[0,+∞),g(x)>x>f(x), 故g(x)>f(x),
| f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)
令M(x)=kx-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞),
則有M′(x)=k--2x=,
故當(dāng)x∈(0,)時,M′(x)>0,M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故M(x)>M(0)=0,即| f(x)-g(x)|>x2,所以滿足題意的t不存在.
②當(dāng)k0,使得對任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
此時| f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,
令N(x)=ln(1+x)-kx-x2, x∈[0,+∞),
則有N′(x)=-k-2x=,
故當(dāng)x∈(0, )時, N′(x)>0, M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,記x0與中較小的為x1, 則當(dāng)x∈(0, x1)時,恒有| f(x)-g(x)|>x2, 故滿足題意的t不存在.
③當(dāng)k=1,由(Ⅰ)知,當(dāng)x(0,+∞),| f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),
令H(x)=x-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞), 則有H′(x)=1--2x=,
當(dāng)x>0時,H′(x)
故當(dāng)x>0時,恒有| f(x)-g(x)|
綜上,k=1.
點(diǎn)評:在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時,我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化,探究這類問題的根本,從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn),解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值,從而證得不等式,注意f(x)>g(x)與f(x)min>g(x)max不等價(jià),f(x)min>g(x)max只是f(x)>g(x)的特例,但是也可以利用它來證明,在2014年全國Ⅰ卷理科高考第21題中,就是使用該種方法證明不等式;導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖像,這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的,而是其延續(xù).
數(shù)學(xué)解答題(主觀性試題)在每年的各省市高考中都是拉開考生分差的題型,其考查形式是考生最為熟悉的題型,而其考查功能無論是在廣度上還是深度上,都要優(yōu)于選擇題和填空題.解答題的試題模式(計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題、探索題等)靈活多變,能充分考查考生對相關(guān)知識的掌握程度.
解答題除了考查基礎(chǔ)知識和基本技能外,更主要的是通過解答的過程考查考生思維的過程,從而測量其思維能力、思維品質(zhì)、探究能力和創(chuàng)新能力等,是試卷中體現(xiàn)區(qū)分度的關(guān)鍵部分.因此,探索解答題的解決途徑,掌握常見的解答策略與技巧,至關(guān)重要.
一、三角函數(shù)與解三角形解答技巧
“三角函數(shù)與解三角形”專題包括:三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形三部分內(nèi)容.通過對近幾年全國各省市高考試題分析可以發(fā)現(xiàn),不論文理,本模塊的內(nèi)容都是考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn).由于近幾年的高考已經(jīng)逐步拋棄了對復(fù)雜的三角變換和特殊技巧的考查,重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到利用三角公式進(jìn)行恒等變形,三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換等方面,利用正、余弦定理解三角形.重視對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查,突出三角與代數(shù)、幾何、向量等知識點(diǎn)的綜合聯(lián)系,多考查三角化簡和三角函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性、周期性、最值等問題.
例1. 已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值和最小值.
解析:由已知條件,可知:
f(x)=-=(cos2x+sin2x)-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).
所以f(x)的最小正周期T==?仔.
(II)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-,-]上是減函數(shù),在區(qū)間[-,]上是增函數(shù),
f(-)=-,f(-)=-,f()=,
所以f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值為,最小值為-.
點(diǎn)評:本題主要考查兩角和與差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).綜合運(yùn)用三角知識,從正確求函數(shù)解析式出發(fā),考查最小正周期的求法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,從而求出函數(shù)的最大值與最小值.在化簡的過程中,如果各位考生對降冪公式不是十分熟悉的話,建議通過二倍角公式cos2?琢=2cos2?琢-1=1-2sin2?琢重新推導(dǎo)得出cos2?琢=,sin2?琢=,這并不會浪費(fèi)時間.
在求給定區(qū)間上三角函數(shù)最值的時候也可以如下解決:
因?yàn)閤∈[,],所以2x-∈[,],所以sin(2x-)∈[1,].
所以,當(dāng)2x-=-,即x=-時,f(x)有最小值為-;
當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)有最大值為.
追蹤練習(xí)1. ?駐ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,?駐ABD面積是?駐ADC面積的2倍.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.
解析:(Ⅰ)S?駐ABD=AB?AD?sin∠BAD,S?駐ADC=AC?AD?sin∠CAD,
因?yàn)镾?駐ABD=2S?駐ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.由正弦定理可得==.
(Ⅱ)因?yàn)?=2,DC=,所以BD=.
在?駐ABD和?駐ADC中,由余弦定理得:
AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD?DCcos∠ADC.
因?yàn)閏os∠ADB=-cos∠ADC,
所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.
點(diǎn)評:本題考查了三角形的面積公式、角分線概念、正弦定理和余弦定理,由角分線的定義得角的等量關(guān)系,由面積關(guān)系得邊的關(guān)系,由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系;分析兩個三角形中cos∠ADB和cos∠ACD互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件,利用余弦定理列方程,進(jìn)而求AC.
二、數(shù)列與不等式解答技巧
數(shù)列與不等式知識結(jié)合是近幾年高考的熱點(diǎn),高考命題主要有以下三個方面:
(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識,其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式.
(2)數(shù)列與其它知識的結(jié)合,其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合.
(3)數(shù)列的應(yīng)用問題,其中主要是以增長率問題為主.
如果單純考查數(shù)列本身有關(guān)知識,多以選擇填空題出現(xiàn),考查考生對“三基”的掌握情況,解答題多以中檔題為主.但是個別省市會將用數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題.這類題目的綜合性強(qiáng),解題所用的方法豐富,能力要求高,需要對數(shù)列、函數(shù)和不等式的知識和方法有較好的掌握.
例2. 已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,2an+1-2an-1=0,n∈N?鄢.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=9-()n-2,n∈N?鄢.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=anbn,n∈N?鄢,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析:(Ⅰ)由2an+1-2an-1=0得an+1-an=,n∈N?鄢,又a1=1,
所以{an}是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=,n∈N?鄢.
當(dāng)n=1時,b1=S1=9-()1-2=6,
當(dāng)n≥2時,Sn-1=9-()n-3,
bn=Sn-Sn-1=[9-()n-2]-[9-()n-3]=,
又n=1時=6=b1,所以bn=,n∈N?鄢.
(Ⅱ)知(Ⅰ)知an=,bn=,n∈N?鄢,所以cn=an?bn=(n+1)()n-2,n∈N?鄢.
所以Tn=2×()-1+3×()0+4×()1+…+(n+1)×()n-2 (1)
等式兩邊同乘以得:
Tn=2×()0+3×()1+4×()2+…+(n+1)×()n-1 (2)
(1)-(2)得:
Tn=2×()-1+×()0+×()1+…+()n-2-(n+1)×()n-1=6+-(n+1)()n-1.
所以Tn=-()n-2,n∈N?鄢.
點(diǎn)評:已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系,求數(shù)列通項(xiàng)公式,常用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系.若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.關(guān)于數(shù)列求和,本題中所用的是錯位相減法,這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和,其中{an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
追蹤練習(xí)2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=且an+1=an-(n∈N?鄢)
(Ⅰ)證明:1≤≤2(n∈N?鄢);
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,證明≤
解析:(Ⅰ)由題意,得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,an≤,
由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0,
由0
(Ⅱ)由題意得an2=an-an+1,
Sn=a1-an+1……①,由-=和1≤≤2,得1≤-≤2,
n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N?鄢)
……②,
由①②得:
≤≤.
點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列的遞推公式,不等式的證明等知識點(diǎn),屬于較難題,第(Ⅰ)問易證,利用條件中的遞推公式作等價(jià)變形,即可得到==,再結(jié)合已知條件即可得證,第(Ⅱ)問具有較強(qiáng)的技巧性,首先根據(jù)遞推公式將Sn轉(zhuǎn)化為只與an+1有關(guān)的表達(dá)式,再結(jié)合已知條件得到an+1的取值范圍即可得證.由于數(shù)列綜合題與不等式相結(jié)合,技巧性比較強(qiáng),需要平時一定量的訓(xùn)練與積累,在后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.
三、立體幾何解答技巧
立體幾何解答題核心考點(diǎn)主要分為三大類:一是考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,這類問題需要考生熟練掌握公理、定理、定義以及空間向量,在高考中考查最多的是平行和垂直關(guān)系,主要以解答題第一問的形式出現(xiàn),在解決這類問題時,要把握好問題的轉(zhuǎn)化方向,并且做好將問題反復(fù)轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)備.二是考查空間向量在立體幾何問題中的綜合應(yīng)用,包括空間角、距離、體積、面積等的計(jì)算,這類問題常以空間幾何體為載體,考查空間量的計(jì)算,這部分內(nèi)容現(xiàn)在基本是用空間向量的方法解決.三是部分考題會設(shè)計(jì)一問探究題,通過空間向量考查考生“推理論證”“運(yùn)算求解”“數(shù)據(jù)處理”等基本能力.
例3. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PB底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD//BC,ADAB,且PB=AB=AD=3,BC=1.
(Ⅰ)若點(diǎn)F為PD上一點(diǎn)且PF=PD,
證明:CF//平面PAB;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的大??;
(Ⅲ)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得CMPA?若存在,求出PM的長;若不存在,說明理由.
解析:(Ⅰ)過點(diǎn)F作FH//AD,交PA于H,連接BH,因?yàn)镻F=PD,
所以HF=AD=BC. 又FH//AD,AD//BC,所以HF//BC.
所以BCFH為平行四邊形,所以CF//BH.
又BH?奐平面PAB,CF?埭平面PAB,所以CF//平面PAD.
(Ⅱ)因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD//AB,ADAB,所以BCAB.
因?yàn)镻B平面ABCD,所以PBAB,PBBC.
如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).
設(shè)平面BPD的一個法向量為=(x,y,z),平面APD的一個法向量為=(a,b,c),
因?yàn)?(3,3,-3),=(0,0,3),
所以?=0,?=0,即3x+3y-3z=0,3z=0.
取x=1得到=(1,-1,0),同理可得=(0,1,1),
所以cos==-,因?yàn)槎娼荁-PD-A為銳角,
所以二面角B-PD-A為.
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)M,設(shè)==(3,3,-3),
所以=+=(-1+3,3,3-3),所以?=-9+3(3-3)=0,解得=,
所以存在點(diǎn)M,且PM=PD=.
點(diǎn)評:本題主要考查直線和平面平行、線線、線面垂直,二面角、空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化,體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用,即把幾何的證明與計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問題,是向量的最大優(yōu)勢,把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問題,有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題. 另外利用空間向量解題時,要準(zhǔn)確寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo),這很重要.
四、概率統(tǒng)計(jì)解答技巧
概率與統(tǒng)計(jì)是歷屆高考的必考內(nèi)容之一.從今年各地高考試題來看,對概率統(tǒng)計(jì)的考查幾乎涉及所有基本概念和基本公式,并且在題型包裝上多以解答題的形式出現(xiàn),而且概率統(tǒng)計(jì)問題可以通過對題干情境的重新組合、變化使得試題更加貼近學(xué)生實(shí)際,具有時代氣息,從而更進(jìn)一步考查考生的分析問題、解決問題的能力.
試題往往以實(shí)際應(yīng)用問題為背景.文科則通過統(tǒng)計(jì)、頻率、古典概型、幾何概型等知識考查考生的運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力.而理科以排列組合、概率統(tǒng)計(jì)等知識為工具,著重考查基本概型、基本概率事件的識別、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望等主干知識.試題難度屬于中檔題.
例4. 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:
(Ⅰ)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);
(Ⅱ)計(jì)算(Ⅰ)中樣本的平均值x 和方差s2;
(Ⅲ)36名工人中年齡在x-s與x+s之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?
解析:由系統(tǒng)抽樣可知,36人分成9組,每組4人,其中第一組的工人年齡為44,所以所抽樣本編號是一個首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,所以所得樣本數(shù)據(jù)的編號為:4n-2,(n=1,2,…,9),對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為:44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由平均值公式得x==40.
由方差公式得s2==.
(3)因?yàn)閟2=,所以s=. x-s=36,x+s=43,
所以36名工人中年齡在x-s和x+s之間的人數(shù)等于區(qū)間[37,43]的人數(shù),
即40,40,41,…,39,共23人.
所以年齡在x-s與x+s之間共有23人,所占百分比為≈63.89%.
點(diǎn)評:本題主要考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題,整體難度不大,解答本題關(guān)鍵在于第(Ⅰ)問要準(zhǔn)確由系統(tǒng)抽樣的定義得出對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),第(Ⅱ)(Ⅲ)問則直接準(zhǔn)確運(yùn)用公式即可解答,但需注意運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的應(yīng)用.
追蹤練習(xí)3. 某校要用三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū),已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路,汽車走公路①堵車的概率為,不堵車的概率為;汽車走公路②堵車的概率為p,不堵車的概率為1-p.若甲、乙兩輛汽車走公路①,丙汽車由于其他原因走公路②,且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.
(Ⅰ)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為,求走公路②堵車的概率;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求三輛汽車中被堵車輛的個數(shù)?孜的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解析:(Ⅰ)由已知條件得???(1-p)+()2?p=,
即3p=1,則p=.
(Ⅱ)?孜可能的取值為0,1,2,3,
P(?孜=0)=??=,
P(?孜=1)=,
P(?孜=2)=??+???=,
P(?孜=3)=??=,
?孜的分布列為:
所以E?孜=0?+1?+2?+3?=.
點(diǎn)評:高考中常常通過實(shí)際背景考查互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,同時也考查二項(xiàng)分布、超幾何分布等特殊的概率模型.解讀此類問題時要注意分清類型,運(yùn)用相應(yīng)的知識進(jìn)行解答.本題易犯的錯誤是相互獨(dú)立事件之間的關(guān)系混亂,沒有理解題中給定道路選擇的實(shí)際意思.
五、圓錐曲線解答技巧
解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.在高考以及各種類型的模擬考試中,基本考查形式是“一大一小”.考小題,重在基本知識、基本技能的靈活應(yīng)用.而考大題,則主要以圓錐曲線為載體,綜合各個模塊知識點(diǎn)(平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等),全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.由于此處題目綜合性強(qiáng),解法靈活多變,充分體現(xiàn)出高考能力立意的命題方向.
圓錐曲線綜合題由于內(nèi)容豐富、考法靈活,從而難度較大.其能綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力,重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識點(diǎn), 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
例5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.
(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解析:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)B與A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為(1,-1).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意得?=-,
化簡得x2+3y2=4(x≠±1).
故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N得坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN).
則直線AP的方程為y-1=(x+1),直線BP的方程為y+1=(x-1).
令x=3得yM=,yN=.
于是?駐PMN得面積:
S?駐PMN=| yM-yN |(3-x0)=.
又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=2,
點(diǎn)P到直線AB的距離d=.
于是?駐PAB的面積S?駐PAB=|AB|?d=|x0+y0|.
當(dāng)S?駐PAB=S?駐PMN時,得|x0+y0|=.
又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=.
因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,
故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).
點(diǎn)評:本題背景取自于教材,但作了創(chuàng)新,重點(diǎn)考查了學(xué)生對知識的遷移能力,邏輯思維能力及代數(shù)運(yùn)算能力和探究問題的能力.本題第一問,是常規(guī)問題,也是課本問題的一個變形.課本問題是“將橢圓上任意一點(diǎn)與長軸頂點(diǎn)連線的斜率之積為定值”,而本題則將其變化為“橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓上關(guān)于中心對稱的兩個點(diǎn)的連線的斜率之積為定值”.解決不難,注意需要去掉兩個點(diǎn).
本題第二問,是非常出彩的一個問題,入口寬,但是能得結(jié)論不易. 具體解決時,可以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),之后由直線AP,BP的方程求得點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo),進(jìn)而可以求得?駐PMN得面積;由|AB|=2以及點(diǎn)P到直線AB的距離可以求得?駐PAB的面積;兩者相等,則可以解出點(diǎn)P的坐標(biāo),具體解題過程如上所示.其實(shí)各位考生應(yīng)該也發(fā)現(xiàn)了,這樣去算的話,計(jì)算量還是很大的.那么有沒有簡單一點(diǎn)的方法呢?在這里,由于∠APB與∠MPN是對頂角,所以相等.從而由|PA|? |PB|sin∠APB=|PM|?|PN|sin∠MPN可得=,則可以有效的化簡解題過程.如下所示.
【方法二】(Ⅱ)若存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),
則|PA|?|PB|sin∠APB=|PM|?|PN|sin∠MPN.
因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN,所以=,
所以=,即(3-x0)2=|x02+1|,解得x0=,
因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±,
故存在點(diǎn)P使得?駐PAB與?駐PMN的面積相等,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,±).
六、函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答技巧
“函數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)中的核心知識,其思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終,是高考考點(diǎn)中的重中之中.通過導(dǎo)數(shù),可以把函數(shù)、不等式、向量、數(shù)列、解析幾何等知識相互交匯滲透,使得這些知識聯(lián)系的更加緊密.而在這些知識點(diǎn)的綜合處,由于知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、思想豐富、綜合性強(qiáng).能夠設(shè)置不同層次、難度不一的綜合題以考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識和方法解決問題的能力,從而使得歷年高考以“函數(shù)、導(dǎo)數(shù)”為主體內(nèi)容的壓軸題頻頻出現(xiàn),且??汲P?
例6. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k∈R)
(Ⅰ)證明:當(dāng)x>0時,f(x)
(Ⅱ)證明:當(dāng)k0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x);
(Ⅲ)確定k的所有可能取值,使得存在t>0,對任意的x∈(0,t),恒有| f(x)-g(x)|
解析: (Ⅰ)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x, x∈(0,+∞), 則有F′(x)=-1=-.
當(dāng) x∈(0,+∞), F′(x)
故當(dāng)x>0時, F(x)0時, f(x)
(Ⅱ)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, x∈(0,+∞),
則有G′(x)=-k=.
①當(dāng)k0,所以G(x)在 [0,+∞)上單調(diào)遞增,G(x)>G(0)=0.
故對任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.
② 當(dāng)0
取x0=-1,對任意x∈(0, x0), 恒有G′(x)>0,所以G(x)在[0, x0)上單調(diào)遞增, G(x)>G(0)=0, 即f(x)>g(x).
綜上,當(dāng)k0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
(Ⅲ)①當(dāng)k>1時,由(Ⅰ)知,對于任意x∈[0,+∞),g(x)>x>f(x), 故g(x)>f(x),
| f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)
令M(x)=kx-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞),
則有M′(x)=k--2x=,
故當(dāng)x∈(0,)時,M′(x)>0,M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故M(x)>M(0)=0,即| f(x)-g(x)|>x2,所以滿足題意的t不存在.
②當(dāng)k0,使得對任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x).
此時| f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,
令N(x)=ln(1+x)-kx-x2, x∈[0,+∞),
則有N′(x)=-k-2x=,
故當(dāng)x∈(0, )時, N′(x)>0, M(x)在[0,]上單調(diào)遞增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,記x0與中較小的為x1, 則當(dāng)x∈(0, x1)時,恒有| f(x)-g(x)|>x2, 故滿足題意的t不存在.
③當(dāng)k=1,由(Ⅰ)知,當(dāng)x(0,+∞),| f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),
令H(x)=x-ln(1+x)-x2, x∈[0,+∞), 則有H′(x)=1--2x=,
當(dāng)x>0時,H′(x)
故當(dāng)x>0時,恒有| f(x)-g(x)|
關(guān)鍵詞: 方法指導(dǎo)類 講練結(jié)合類 純習(xí)題類 高考母題類 工具類
數(shù)學(xué)作為文理學(xué)生必考科目,高考分值150分,數(shù)學(xué)考試成績直接影響高考總成績,進(jìn)而影響被錄取的高校層次,因此數(shù)學(xué)高考成績對每位考生來說都是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)內(nèi)容眾多,體系龐雜,有些學(xué)校甚至在高二結(jié)束時,數(shù)學(xué)課程還沒有上完,因此進(jìn)入高三后,學(xué)生復(fù)習(xí)時間緊迫,而且精力也有限;高考數(shù)學(xué)難度較大,對學(xué)生能力要求較高,這無疑更增加了學(xué)生備考的難度。市場上關(guān)于高考數(shù)學(xué)的教輔資料十分豐富,品牌眾多,琳瑯滿目,風(fēng)格多樣,浩如煙海,而質(zhì)量、層次也是參差不齊,倘若使用不當(dāng),則易導(dǎo)致學(xué)生身心疲憊,學(xué)習(xí)效果極差,高考中難以取得優(yōu)異成績。因此,高三教師和學(xué)生一定要巧用、善用教輔資料,合理備考高考數(shù)學(xué)。
一、方法指導(dǎo)類
方法指導(dǎo)類教輔最重要的是《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》及《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》(以下簡稱“考試說明”)。因?yàn)椤翱荚囌f明”是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的“指揮棒”,“考試說明”對命題指導(dǎo)思想、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)、考核目標(biāo)與要求、考試內(nèi)容與要求都有規(guī)定。凡是“考試說明”中沒有列入的內(nèi)容絕對不考,列入的內(nèi)容都有可能考,并且對所列考點(diǎn)都做了詳細(xì)要求,只有認(rèn)真研讀考試大綱,理解考試要求,備考才有針對性,才能做到事半功倍,少走彎路。剛進(jìn)入高三的學(xué)生可以暫時用本年2月出版的“考試說明”,仔細(xì)閱讀“考試說明”,弄清“考試說明”中每一個考點(diǎn)的考試要求,對知識點(diǎn)的要求依次是知道、理解、掌握三個層次,根據(jù)不同要求進(jìn)行不同程度的備考。第一輪復(fù)習(xí)時,對照考點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行查缺補(bǔ)漏,做到了然于胸。為了節(jié)省時間,高三學(xué)生可以閱讀數(shù)學(xué)高考專家組織編寫的“考試說明”的導(dǎo)讀。根據(jù)考試說明,抓主干知識,突出重點(diǎn)內(nèi)容,比如函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式、圓錐曲線、直線平面簡單幾何體、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)九大章節(jié)知識是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識,在高考數(shù)學(xué)試題中保持較高比例,而且考試極有深度,應(yīng)作為重中之重。
方法指導(dǎo)類教輔,還包括一些名校名師的三輪復(fù)習(xí)指導(dǎo)法,打破模塊、章節(jié)順序的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)圖,應(yīng)試答題技巧,考前心理輔導(dǎo)等。閱讀這些圖書或文章,可緩解心理壓力,備考有章法,目標(biāo)明確,針對性強(qiáng),提高復(fù)習(xí)效率,迅速提高成績及應(yīng)試能力。
二、講練結(jié)合類
講練結(jié)合類教輔比較適合第一輪復(fù)習(xí),大致是按照中學(xué)數(shù)學(xué)章節(jié)順序進(jìn)行編寫的,注重“雙基”訓(xùn)練,所選習(xí)題多以中檔題、容易題為主,每一節(jié)開始都是知識總結(jié)、常用解題方法或技巧簡介,有較少例題演示,主要是大量習(xí)題。每章結(jié)束后,會有本章知識網(wǎng)絡(luò)圖和本章常用解題方法技巧總結(jié),也有單元測試。此類圖書品牌眾多,比如志鴻優(yōu)化、世紀(jì)金榜、步步高、天驕之路,河北衡水中學(xué)、湖北黃岡中學(xué)、江蘇啟東中學(xué)編寫的高三一輪復(fù)習(xí)用書等,太多了,這就要看考生自己就讀的學(xué)校所選圖書了。善用這種圖書對學(xué)生的備考非常關(guān)鍵,不論學(xué)生過去基礎(chǔ)如何,只要在這一輪復(fù)習(xí)中能夠充分利用該種圖書,知識結(jié)構(gòu)就會得到優(yōu)化,解題能力和應(yīng)試技巧也會得到顯著提高。在這一階段的復(fù)習(xí)中,要按照學(xué)科內(nèi)的知識體系,把分散在必修課程與選修課程的同一知識體系的知識點(diǎn)、知識單元進(jìn)行整合,建立條理化的知識結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識體系化,通用解題方法類型化,學(xué)科內(nèi)容綜合化,解題步驟規(guī)范化。通常不少學(xué)生會覺得學(xué)校選的圖書例題太少,自己到書店購買自己喜歡的圖書,所購圖書往往只重形式,不是太難就是太厚,利用率極低。學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)自身情況,選擇難度適中、內(nèi)容精煉的圖書。這里,筆者為高三學(xué)生推薦一本由曲一線科學(xué)備考系列的《高中習(xí)題化知識清單(理數(shù))》(或文數(shù)),該書最大特點(diǎn)是基礎(chǔ)知識和基本解題方法技巧非常詳盡,同時配有難度適宜的高考試題供訓(xùn)練。解題前認(rèn)真閱讀或閑暇時閱讀,對學(xué)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和解題能力的提高是十分有益的。
三、純習(xí)題類
純習(xí)題類教輔是高三學(xué)生必不可少的圖書,也應(yīng)適當(dāng)訓(xùn)練。純習(xí)題類教輔也是多如牛毛,比如2015年全國各省市名校高考試題匯編詳解、2014年全國各省市高考試題匯編全解、最新五年高考真題匯編詳解、五年高考真題分類訓(xùn)練、全國新課標(biāo)卷高考24題等。筆者認(rèn)為高三備考時間緊張,一定要精選習(xí)題,保證質(zhì)量,高考真題是眾多專家心血的結(jié)晶,題目規(guī)范,無疑是題海之精華。筆者認(rèn)為完全沒有必要訓(xùn)練模擬題,近3年高考真題分類訓(xùn)練就夠了,而且應(yīng)當(dāng)以容易題、中檔題為主,不要過多訓(xùn)練難題。天利38套系列中的《高考必做真題課時練》是一本不錯的純習(xí)題類教輔書,題量、難度適中,答案詳盡、規(guī)范。學(xué)生通過高考真題訓(xùn)練,可以熟悉高考題型,明確高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重點(diǎn)、主干知識所在,提高解題能力、技巧、速度,提高答題的規(guī)范性,避免因答題不規(guī)范而丟分。而在第三輪復(fù)習(xí)或沖刺階段,應(yīng)當(dāng)以本省市近5年或3年整套高考數(shù)學(xué)試題來訓(xùn)練,體驗(yàn)高考氛圍,找趨勢、找方向、找規(guī)律,感悟數(shù)學(xué)思想,熟悉解題方法。
四、高考母題類――數(shù)學(xué)教材
數(shù)學(xué)教材是與“考試說明”同等重要的教輔資源,數(shù)學(xué)教材是高考的母題來源,從近幾年高考試題看,整套試卷中約有80%的試題原型來自于數(shù)學(xué)教材的例題或習(xí)題,有的是巧妙改編,有的是多題整合。其實(shí)高考數(shù)學(xué)試題中容易題和中等難度題占80%,對于大多數(shù)同學(xué)來說,能做好容易和中等難度基礎(chǔ)題就已經(jīng)是成功了,教材例題、習(xí)題難度比高考數(shù)學(xué)試題的基礎(chǔ)題難度還要低。因此,對于高三學(xué)生來說,一定要結(jié)合三輪復(fù)習(xí),認(rèn)真研究教材,加強(qiáng)對概念、公式、定理、推論、重要結(jié)論和重要方法的理解記憶,細(xì)心研究例題、課后習(xí)題的解題思路和方法,加強(qiáng)鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能,以不變應(yīng)萬變。
五、工具類和奧賽輔導(dǎo)類
立體幾何在高中數(shù)學(xué)中是非常重要的知識,在立體幾何知識學(xué)習(xí)的過程中,要求學(xué)生具備良好的空間想象能力,因?yàn)榱Ⅲw幾何和解析幾何不同,解析幾何中的很多知識點(diǎn),復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有立體幾何大,有時候我們適當(dāng)?shù)膶ζ溥M(jìn)行理解,遇到題目的時候就可以將其運(yùn)用??墒菍αⅢw幾何,光有理解能力是不夠的,立體幾何對我們之中很多同學(xué)來說,是數(shù)學(xué)知識中非常復(fù)雜的一部分,在解析立體幾何相關(guān)問題時,學(xué)生應(yīng)該要學(xué)會借助其它數(shù)學(xué)知識去解答,通過不斷的練習(xí),才能將立體幾何學(xué)好,本文就高中數(shù)學(xué)立體幾何的解析技巧方面進(jìn)行分析與探討。
關(guān)鍵詞:高中;數(shù)學(xué);立體幾何;解析技巧
隨著許多教師對近幾年高考數(shù)學(xué)試卷的分析,發(fā)現(xiàn)立體幾何題型在高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的越來越頻繁,而且難度也在逐年上升。立體幾何對空間想象能力比較豐富的同學(xué)來說,學(xué)起來可能會比較容易,但是立體幾何中相關(guān)定理、定義也是非常多的,而且對不同的題型,其解析思路也有很大的差別,我們一定要掌握好立體幾何的相關(guān)基礎(chǔ)知識,在平時的學(xué)習(xí)中,多做練習(xí),開發(fā)自己的想象力,總結(jié)平時做題的經(jīng)驗(yàn),這樣才能把握好立體幾何的解析技巧。
一、高中數(shù)學(xué)立體幾何題的特點(diǎn)
立體幾何在高考數(shù)學(xué)中是必出的題型,就題型而言,基本上是選擇題、填空題、解答題都會出現(xiàn),題型不同考察的知識點(diǎn)也不一樣。選擇題一般考察的內(nèi)容可能相對來說會比較簡單,通常會涉及到一些定義、定理,或者是一些簡單的推理與計(jì)算,難度相對來說不高。填空題是偶爾出現(xiàn)的,考察的一般是與函數(shù)或者空間幾何有關(guān)的問題。解答題在高考數(shù)學(xué)中一向被很多同學(xué)認(rèn)為是非常好拿分的一類題型,證明線面平行或者垂直、求二面角等都是高考數(shù)學(xué)特別喜歡出現(xiàn)的一類題型,但是事實(shí)上,立體幾何解答題得分容易,失分也是非常簡單的,因?yàn)槠渲猩婕昂芏喙潭ǖ亩ɡ恚谧鲱}的過程中,一旦弄錯,影響的可能就不止是最后的結(jié)果,中間的步驟可能也會全錯。
二、高中數(shù)學(xué)立體幾何的解析技巧
1、借助函數(shù)知識解決立體幾何問題
立體幾何題中經(jīng)常會出現(xiàn)一些求距離的題,這類題在立體幾何中其實(shí)是屬于難度比較大的一類題型,因?yàn)樵诹Ⅲw幾何學(xué)習(xí)的過程中,本身就需要我們具有非常好的想象力,而求距離其實(shí)又涉及到了解析幾何方面的知識,對很多學(xué)生而言,是難上加難。函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛,在解有關(guān)距離的立體幾何題時,我們可以考慮適當(dāng)借助函數(shù)知識進(jìn)行輔助解析,函數(shù)本身與圖形是不分家的,在立體幾何中,求某些異面直線的距離時,我們首先需要找到該異面直線,而切異面直線一般是面與面之間最短的距離,我們不能直接找出這條直線的時候,就可以借助函數(shù)知識進(jìn)行解析,通過建立中間函數(shù)來表示該異面直線,例如設(shè)x,列出有關(guān)x的函數(shù),在通過異面直線的范圍,去最小值時的x就可以求出異面直線的距離,立體幾何題就迎刃而解了。
2、借助空間幾何解決立體幾何問題
空間幾何與立體幾何有很大的聯(lián)系,在一些證明線面垂直或者面面平行等題時,可以借助空間幾何的知識進(jìn)行解析??臻g向量是空間幾何中經(jīng)常會用到的知識,有時候采用立體幾何的定理證明線面垂直可能會非常的吃力,建立空間直角坐標(biāo)系是解析立體幾何經(jīng)常會用到的方法,例如,在空間坐標(biāo)系中可以將立體幾何的位置明確的表示出來,(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)等,證明線面垂直的時候,我們只要找出該直線的方向向量(m1,n1,p1),該面的法向量(m2,n2,p2),再證明直線的方向向量與面的法向量平行即可證明到線面垂直。
3、學(xué)會在立體幾何中化曲為直
立體幾何本身是非常復(fù)雜的,很多立體解答題題目給出的立體圖形會很復(fù)雜,給出的條件會很多,但是實(shí)際上求解的過程中有很多已知條件是可以簡化的,我們在做題的過程中要學(xué)會在立體幾何中化曲為直。當(dāng)然,化曲為直思想的應(yīng)用只是適用于某類立體幾何解析題中,例如求線段最短,像直線上某個可移動的點(diǎn)M,求該點(diǎn)到某兩個點(diǎn)的距離和的最小值的問題,遇到這種題型的時候,我們要學(xué)會簡化圖形,化曲為直的將有關(guān)直線畫出來,之后根據(jù)簡化的圖形進(jìn)行求解,可以省去很多麻煩的步驟。
4、合理利用立體幾何中的距離和夾角
我們在做題之前一定要認(rèn)真審題,題干中可能會有很多隱藏的條件,對題中給出的一些距離與夾角,我們一定要認(rèn)真的對其進(jìn)行分析,立體幾何雖然復(fù)雜,但是對一個立體圖形,其中很多距離與夾角都是相等的,可能題干中不是直接給出做題時需要的數(shù)值,但是可能只要合理的利用已知條件中給出的,再通過稍微的證明,就可以得到需要的條件。
三、結(jié)語
立體幾何在高中數(shù)學(xué)中可以說是重點(diǎn)兼難點(diǎn),高考數(shù)學(xué)在這方面知識的出題上,有簡單的也有難的,學(xué)生要在平時的學(xué)習(xí)中打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),對簡單的題目,務(wù)必不丟分,比較難的解答題,在解析過程中適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用函數(shù)、向量等一些解析技巧,從而提高解答題的得分率。
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【關(guān)鍵詞】新課程背景下 高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)效率
【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089(2014)03-0143-02
新課程背景下要求學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的方法,打破傳統(tǒng)的死記硬背的方式,從根本上減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。但是,由于高三是學(xué)校教育殊的階段,學(xué)生要備戰(zhàn)高考,課業(yè)負(fù)擔(dān)和心理壓力都會很大。因此,通過采取有效措施幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率,可以讓學(xué)生有充足的時間備戰(zhàn)高考。
一、高三學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)現(xiàn)狀
高三學(xué)生時間緊任務(wù)重,學(xué)生就會擠出更多的時間學(xué)習(xí),但是很多學(xué)生付出的比別人多可就是不出效果,這也正是當(dāng)前我國高三學(xué)生復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀。(1)學(xué)生學(xué)習(xí)存在盲目性。高三學(xué)生面對繁重的學(xué)習(xí)壓力,有的時候復(fù)習(xí)會沒有頭緒,隨便抓起一門科目就復(fù)習(xí),毫無計(jì)劃。(2)復(fù)習(xí)方法不當(dāng)。很多學(xué)生對學(xué)科復(fù)習(xí)的基本方法就是采用題海戰(zhàn)術(shù)或者是大量背誦,對于解題技巧的反思并不重視,這樣既浪費(fèi)了時間,還不能保證復(fù)習(xí)的效果。(3)忽視對于教材的復(fù)習(xí)。教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),只有把握好教材中的教學(xué)內(nèi)容,學(xué)生做題時才能夠運(yùn)用自如。但是目前高中學(xué)生很少重視對于教材的復(fù)習(xí),這也是學(xué)生復(fù)習(xí)效率低下的一個重要原因。(4)課堂上教師給予學(xué)生練習(xí)的時間少。新課程要求教學(xué)要以學(xué)生為主體,但由于傳統(tǒng)教學(xué)的影響,在課堂上教師大篇幅的講解,留給學(xué)生思考的時間很少,這樣就容易導(dǎo)致學(xué)生表面上掌握了教學(xué)內(nèi)容,在實(shí)際練習(xí)中卻不會的現(xiàn)象。(5)教師對于學(xué)生復(fù)習(xí)方法的指導(dǎo)不夠。教師指導(dǎo)是學(xué)生進(jìn)步的關(guān)鍵,目前我國學(xué)校教育中仍有一部分教師只是把完成教學(xué)作為任務(wù),缺乏對于學(xué)生解題的指導(dǎo)。
二、提高高三數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí)的措施
高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)繁重,既要學(xué)習(xí)新的課程,還要對以往的知識進(jìn)行復(fù)習(xí),學(xué)生學(xué)習(xí)可謂是“量大面廣”,加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)。這明顯的與新課程要求存在很大差距,如何才能提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率,減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),可以從以下方面進(jìn)行參考。
1.重視基礎(chǔ),回歸教材
教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),教材上的題都是最基礎(chǔ)的,學(xué)生只有真正的把例題看懂才能夠掌握數(shù)學(xué)做題的技巧。高考數(shù)學(xué)一般都會有專門的考試大綱,學(xué)生應(yīng)該仔細(xì)研究大綱,總結(jié)出考試的重點(diǎn)以及考試的范圍,根據(jù)考試的重點(diǎn)展開復(fù)習(xí)。這樣既有針對性,還能夠減少不必要的復(fù)習(xí)。很多學(xué)生在做題時總是搞不清題目考的重點(diǎn)是什么,原因就是對于教材上基礎(chǔ)的知識沒有掌握好。在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,作為教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生看透課本,扎實(shí)掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識,這樣學(xué)生在做題時就可以一眼看出題目考查的重點(diǎn)。(1)對于重點(diǎn)知識的形成應(yīng)該做到心中有數(shù),重視知識形成過程的數(shù)學(xué)思想。(2)高考考的是整個高中階段學(xué)的數(shù)學(xué)知識,所以學(xué)生應(yīng)該把高中數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)串聯(lián)起來,熟練背誦相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、概念及法則。(3)加強(qiáng)對教材中典型例題的重視,高考試題都是在例題的基礎(chǔ)上演變而來,只有掌握例題才能更好的解題。
2.注重知識整合,提高數(shù)學(xué)解題能力
高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)比較多,學(xué)生掌握起來比較困難,新課程背景要求學(xué)生掌握學(xué)習(xí)技巧、自主學(xué)習(xí),所以學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中應(yīng)該先掌握好方法,運(yùn)用方法進(jìn)行解題。目前,高考數(shù)學(xué)命題更注重各知識點(diǎn)之間的整合,這對于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)要求更加嚴(yán)格。學(xué)生只有真正做到對于數(shù)學(xué)知識體系的整合,才能夠順利看透出題者意圖,結(jié)合知識點(diǎn)熟練解答題目。從最近兩年的高考題看,有函數(shù)與方程、不等式的綜合;函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合;數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合;向量與三角函數(shù),向量與解析幾何,向量與立體幾何的綜合等[1]。因此,學(xué)生通過對高考真題的分析,在對知識點(diǎn)復(fù)習(xí)中,應(yīng)該注意對相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行整合,全面提高學(xué)生的解題能力。作為教師,在設(shè)置練習(xí)題時,也應(yīng)該遵循高考的原則,注意將整合后的知識點(diǎn)作為考點(diǎn),讓學(xué)生在平常的練習(xí)中就鍛煉這種思維,久而久之,學(xué)生在面對高考試題時就能及時梳清知識脈絡(luò),從容應(yīng)對。
3.注意反思,掌握技巧
學(xué)生在高三進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時,經(jīng)常會做一些練習(xí)題檢驗(yàn)自己的水平。但是很多學(xué)生卻并不重視對于錯題的反思,錯必定有原因,究竟是因?yàn)橹R點(diǎn)沒掌握還是由于自己粗心導(dǎo)致,這都是學(xué)生必須考慮的。只有反思這些,學(xué)生才能知道自己在哪些地方欠缺。因?yàn)榉此季褪且环N進(jìn)步,學(xué)生可以在反思中掌握做題技巧,節(jié)省做題的時間。在高考數(shù)學(xué)試卷的答題過程中,學(xué)生用于審題的時間大約是15分鐘,抄寫答題及填涂答題卡的時間大約在20多分鐘,因此,用于思考解題、演算的時間最多只剩85分鐘,若想在高考中數(shù)學(xué)得高分,試卷中至少要有15道題答題順利,不占用過多思考時間[2]。由此可見,高考時間非常緊張,學(xué)生必須在平常練習(xí)中注意對于做題技巧的積累,在不斷地練習(xí)中鞏固技巧的掌握。學(xué)生還通過對一道典型例題的研究,掌握這一類題的做題方法,在研究中不斷反思、不斷進(jìn)步。
4.調(diào)整心態(tài)
心態(tài)決定一切,高三學(xué)生學(xué)習(xí)壓力本來就大,隨著高考倒計(jì)時越來越近,很多學(xué)生都感覺時間緊張,準(zhǔn)備不充分,這無形中就給自己增添了心理負(fù)擔(dān),導(dǎo)致自己無法安心學(xué)習(xí)。越到最后越是考驗(yàn)學(xué)生心理素質(zhì)的時候,學(xué)生心理素質(zhì)好就可以變壓力為動力,更加努力的學(xué)習(xí)。而有些學(xué)生心理素質(zhì)較差,面對高考緊張的環(huán)境,日夜焦慮,無心學(xué)習(xí)。為了更好地備戰(zhàn),學(xué)生應(yīng)該放松心態(tài),努力學(xué)習(xí),多和同學(xué)、老師進(jìn)行溝通,輕松應(yīng)戰(zhàn)。作為教師在關(guān)鍵時刻不能只關(guān)心學(xué)生的成績,而應(yīng)該對學(xué)生進(jìn)行心理疏導(dǎo),幫助學(xué)生慢慢調(diào)試到心里最佳狀態(tài)應(yīng)對高考[3]。
復(fù)習(xí)也是一門功課,有的學(xué)生就能夠在學(xué)習(xí)中找到不斷進(jìn)步的方法。在復(fù)習(xí)中,教師應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生多思考、多總結(jié),讓學(xué)生在反思中取得進(jìn)步,并掌握學(xué)習(xí)的技巧。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)作為備戰(zhàn)高考的關(guān)鍵,需要教師和學(xué)生共同努力,才能夠真正取得最后的勝利。
參考文獻(xiàn):
[1]劉冰.新課程背景下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效教學(xué)策略研究[D].東北師范大學(xué). 2011(05)
透視高考析考綱
本專題精準(zhǔn)剖析了近年高考數(shù)學(xué)的命題趨勢,以幫助提高考生審題、解題能力. 我們通過對近幾年高考試卷的分析并結(jié)合各地的考試要求,梳理出高考的命題重點(diǎn)和熱點(diǎn). 每個子專題圍繞“倡導(dǎo)理性思維,突出學(xué)科特點(diǎn)”,采用表格的形式展現(xiàn)近幾年數(shù)學(xué)高考試題中,考查頻率較高的數(shù)學(xué)知識及考點(diǎn).
猜想考點(diǎn)戰(zhàn)高考
重視綜合題就要重視各知識板塊的聯(lián)系. 本專題文章均由權(quán)威的高考命題一線研究隊(duì)伍精心研制而成. 他們以一線“指戰(zhàn)員”的犀利眼光和獨(dú)到的視角,以提高學(xué)科能力為核心,以全真模擬題和優(yōu)質(zhì)練習(xí)題來精確預(yù)測高考命題思路和趨勢,為同學(xué)們搭建2009年高考的“凱旋門”,告訴同學(xué)們今年高考可能考什么. 總之,只要同學(xué)們很好地嚴(yán)防抄錯、看錯、漏做等情況的發(fā)生,以防止無謂的失分,并且力爭得到一些可能得不到的分?jǐn)?shù),通過精心的準(zhǔn)備,配以可行的技巧,定能讓同學(xué)們在考場上正常發(fā)揮,取得令自己滿意的成績.
猜想切入的七大點(diǎn)
1. 從集合、函數(shù)看
集合函數(shù)作為解答題單獨(dú)成題的可能性小,但有關(guān)知識年年都考. 這一內(nèi)容基礎(chǔ)性強(qiáng),在解答題中往往有著千絲萬縷的聯(lián)系.
2. 從函數(shù)、導(dǎo)數(shù)看
在解答題上的難度是中等偏下,導(dǎo)數(shù)往往與函數(shù)緊密結(jié)合,主要考查函數(shù)的極值、最值和導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.
3. 從三角、向量看
三角函數(shù)往往是考查變形能力及運(yùn)算能力. 同學(xué)們要注意其與其他知識的結(jié)合,特別是與三角形、函數(shù)、向量三者的結(jié)合,這樣的試題難度一般是中等及以下,而且一般是以三角函數(shù)為主線,主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)(周期、奇偶性、單調(diào)性、最值等).
4. 從數(shù)列、不等式看
在解答題上一般是與不等式、函數(shù)結(jié)合起來,難度較大,但會分層推進(jìn). 這類題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和,重點(diǎn)考查錯位相減法與裂項(xiàng)法;最后一小題往往會含參數(shù),結(jié)合不等式考查最值問題或恒成立問題等.
5. 從排列組合、概率看
解答題一般是與排列、組合結(jié)合起來,難度中等,主要考查隨機(jī)變量的分布列及其期望,一般需要計(jì)算隨機(jī)變量的各個概率,隨機(jī)變量有可能是二項(xiàng)分布.
6. 從立體幾何看
解答題難度一般是中等,主要考查立體幾何中的兩個證明,一個計(jì)算. 證明主要以線線、線面、面面的平行和垂直為主;計(jì)算主要以線線、線面、面面角為主,不排除計(jì)算距離.
每年都有一部分同學(xué),考完數(shù)學(xué)以后因?yàn)闆]有打完題而懊悔。下面是小編收集整理的2020高考數(shù)學(xué)解題技巧及解題方法,希望能幫助到大家。
1高考數(shù)學(xué)解題技巧
沉著應(yīng)戰(zhàn),確保旗開得勝,以利振奮精神
良好的開端是成功的一半,從考試的心理角度來說,這確實(shí)是很有道理的,拿到試題后,不要急于求成、立即下手解題,而應(yīng)通覽一遍整套試題,摸透題情,然后穩(wěn)操一兩個易題熟題,讓自己產(chǎn)生“旗開得勝”的快意
“內(nèi)緊外松”,集中注意,消除焦慮怯場
集中注意力是考試成功的保證,一定的神經(jīng)亢奮和緊張,能加速神經(jīng)聯(lián)系,有益于積極思維,要使注意力高度集中,思維異常積極,這叫內(nèi)緊,但緊張程度過重,則會走向反面,形成怯場,產(chǎn)生焦慮,抑制思維,所以又要清醒愉快,放得開,這叫外松。
提高解選擇題的速度、填空題的準(zhǔn)確度
12個選擇題,若能把握得好,容易的一分鐘一題,難題也不超過五分鐘。由于選擇題的特殊性,由此提出解選擇題要求“快、準(zhǔn)、巧”,忌諱“小題大做”。填空題也是只要結(jié)果、不要過程,因此要力求“完整、嚴(yán)密”。
2高中數(shù)學(xué)做題技巧
通過一個既有的模型,數(shù)學(xué)結(jié)論,物理實(shí)驗(yàn),物理現(xiàn)象,通過列舉簡化,或者給出相關(guān)信息,來達(dá)到可以用教材知識思考的程度,有時候干脆直接出成理想實(shí)驗(yàn)題目或者資料類題目,這類題目往往突出的是細(xì)節(jié),因?yàn)樵乇姸唷?/p>
解題過程中卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的,這時可以先承認(rèn)中間結(jié)論,往后推,看能否得到結(jié)論。若題目有兩問,第(1)問想不出來,可把第(1)問當(dāng)作“已知”,先做第(2)問,跳一步解答。對一個問題正面思考發(fā)生思維受阻時,用逆向思維的方法去探求新的解題途徑,往往能得到突破性的進(jìn)展.順向推有困難就逆推,直接證有困難就反證。
“以退求進(jìn)”是一個重要的解題策略,對于一個較一般的問題,如果一時不能解決所提出的問題,那么可以從一般退到特殊,從抽象退到具體,從復(fù)雜退到簡單,從整體退到部分,從參變量退到常量,從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論。總之,退到一個能夠解決的問題,通過對“特殊”的思考與解決,啟發(fā)思維,達(dá)到對“一般”的解決。
3高中數(shù)學(xué)大題答題技巧
認(rèn)真審題
審題要仔細(xì),關(guān)鍵字眼不可疏忽。不要以為是“容易題”“陳題”就一眼帶過,要注意“陳題”中可能有“新意”。也不要一眼看上去認(rèn)為是“新題、難題”就畏難而放棄,要知道“難題”也可能只難在一點(diǎn),“新題”只新在一處。
審題要認(rèn)真仔細(xì)
對于一道具體的習(xí)題,解題時最重要的環(huán)節(jié)是審題。審題的第一步是讀題,這是獲取信息量和思考的過程。讀題要慢,一邊讀,一邊想,應(yīng)特別注意每一句話的內(nèi)在涵義,并從中找出隱含條件。
熟悉習(xí)題中所涉及的內(nèi)容
解題、做練習(xí)只是學(xué)習(xí)過程中的一個環(huán)節(jié),而不是學(xué)習(xí)的全部,你不能為解題而解題。解題時,我們的概念越清晰,對公式、定理和規(guī)則越熟悉,解題速度就越快。
4高中數(shù)學(xué)的答題技巧
正確的心態(tài)
其實(shí)對于所有認(rèn)真復(fù)習(xí)迎考的同學(xué)來說,都有能力與實(shí)力在壓軸題上拿到一半左右的分?jǐn)?shù),要獲取這一半左右的分?jǐn)?shù),不需要大量針對性訓(xùn)練,也不需要復(fù)雜艱深的思考,只需要你有正確的心態(tài)!信心很重要,勇氣不可少。同學(xué)們記住:心理素質(zhì)高者勝!
千萬不要分心
專心于現(xiàn)在做的題目,現(xiàn)在做的步驟?,F(xiàn)在做哪道題目,腦子里就只有做好這道題目?,F(xiàn)在做哪個步驟,腦子里就只有做好這個步驟,不去想這步之前對不對,這步之后怎么做,做好當(dāng)下!
重視審題
你的心態(tài)就是珍惜題目中給你的條件。數(shù)學(xué)題目中的條件都是不多也不少的,一道給出的題目,不會有用不到的條件,而另一方面,你要相信給出的條件一定是可以做到正確答案的。所以,解題時,一切都必須從題目條件出發(fā),只有這樣,一切才都有可能。
5高中數(shù)學(xué)常用的解題方法
審題要慢,做題要快,下手要準(zhǔn)。
題目本身就是破解這道題的信息源,所以審題一定要逐字逐句看清楚,只有細(xì)致地審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息。找到解題方法后,書寫要簡明扼要,快速規(guī)范,不拖泥帶水,牢記高考評分標(biāo)準(zhǔn)是按步給分,關(guān)鍵步驟不能丟,但允許合理省略非關(guān)鍵步驟。答題時,盡量使用數(shù)學(xué)語言、符號,這比文字?jǐn)⑹鲆?jié)省而嚴(yán)謹(jǐn)。
保質(zhì)保量拿下中下等題目。
中下題目通常占全卷的80%以上,是試題的主要部分,是考生得分的主要來源。誰能保質(zhì)保量地拿下這些題目,就已算是打了個勝仗,有了勝利在握的心理,對攻克高難題會更放得開。
要牢記分段得分的原則,規(guī)范答題。
【關(guān)鍵詞】直線;圓錐曲線;常見題型;解題技巧
與圓錐曲線高中解析幾何的核心內(nèi)容及研究對象,學(xué)生通過學(xué)習(xí)圓錐曲線,能夠逐漸培養(yǎng)起自己的數(shù)形結(jié)合思想及解決實(shí)際問題能力,這部分知識內(nèi)容在歷年高考試題中都占據(jù)較大分值,圓錐曲線常常與直線結(jié)合共同出題考查學(xué)生知識、解題技巧,考察形式豐富多樣,但是大致上能分為幾種,下面我們就先來分析下直線與圓錐曲線知識點(diǎn)的考查特點(diǎn).
一、直線與圓錐曲線知識點(diǎn)的考查特點(diǎn)
(一)基本性質(zhì)問題
高中數(shù)學(xué)教材將圓錐曲線性質(zhì)總結(jié)歸納為以下內(nèi)容:圓錐曲線對稱性、范圍、離心率及頂點(diǎn)等等,考查圓錐曲線基本性質(zhì)就各個知識點(diǎn)間聯(lián)系時常常表現(xiàn)出以下特點(diǎn):圓錐曲線定義與焦半徑、離心率結(jié)合;參數(shù)值與離心率結(jié)合;參數(shù)值與漸近線結(jié)合;參數(shù)值與準(zhǔn)線間結(jié)合.
(二)曲線方程與軌跡問題
解析幾何體系內(nèi)部各個知識點(diǎn)之間錯綜復(fù)雜的關(guān)系,使得學(xué)生不能較清晰的理解并系統(tǒng)的掌握其知識體系,求多動點(diǎn)軌跡方程這類問題是解析幾何中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),這類問題中有時不只含有一個的主動點(diǎn)或者從動點(diǎn),動中有靜,因此求軌跡方程只要挖掘已知條件,將動點(diǎn)滿足的規(guī)律找出來,并將規(guī)律用動點(diǎn)的坐標(biāo)表示或成等式即可.
圓錐曲線解答題中出現(xiàn)頻率最高的是方程與軌跡問題,而且常常放在大題第一問,一些設(shè)問一句曲線原本具有性質(zhì)來求解曲線方程,或者是根據(jù)已知條件求曲線參數(shù)值;也有一些解答題依據(jù)平面動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律與滿足條件求軌跡方程,這兩者都是求圓錐曲線方程,屬于一類.除了圓錐曲線方程及參數(shù)值類型題目之外,主要還有以下幾種題目類型:兩種曲線交匯、以焦點(diǎn)弦、切線為條件、以平面圖形周長或面積為條件等等.圓錐曲線軌跡問題中,軌跡生成方式基本上有三種:將圓錐曲線定義及性質(zhì)作為出發(fā)點(diǎn)、將其他曲線作為運(yùn)動載體及將向量關(guān)系作為條件.
(三)定值及定點(diǎn)問題
這部分問題主要是從圓錐曲線的一些性質(zhì)得出的,涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系、兩直線位置關(guān)系、及點(diǎn)與圓錐曲線位置關(guān)系等等.新課程改革實(shí)施之后,高考越來越重視考查學(xué)生的綜合能力,圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題是考查其綜合能力的重要途徑,這些試題具有解法多樣、整體思路令人深思等特點(diǎn),成為高考熱門話題,結(jié)合近幾年高考試題,這類問題大致能分成以下四種形式:曲線過定點(diǎn)或點(diǎn)在曲線上、角或斜率是定值、多個幾何量運(yùn)算結(jié)果是定值、及直線過某定點(diǎn)或點(diǎn)在某定直線上.
(四)最值及值域問題
圓錐曲線中典型問題就是最值及值域問題,而且這部分問題常常與函數(shù)、不等式、向量及導(dǎo)數(shù)等知識進(jìn)行交匯,在考查學(xué)生分析問題、解決問題能力方面具有重要作用.分析近幾年來高考,對這部分問題考查主要有這五種試題類型:距離或長度最值、面積最值、多個幾何量運(yùn)算結(jié)果最值、斜率范圍及最值條件下的參數(shù)值.
二、直線與圓錐曲線常見解題思想方法
直線與圓錐曲線常見解題思想方法有兩種:幾何法與代數(shù)法,下面將具體分析下這兩種解題思想方法.
(一)幾何法
幾何法解決數(shù)學(xué)問題主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想,結(jié)合圓錐曲線定義、圖形、性質(zhì)等題目中已知條件轉(zhuǎn)化成平面幾何圖形,并使用平面幾何有關(guān)基本知識例如兩點(diǎn)間線段最短、點(diǎn)到直線垂線段最短等來巧妙地解題.
(二)代數(shù)法
代數(shù)法主要是依據(jù)已知條件來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題,再結(jié)合使用配方法、不等式法、函數(shù)單調(diào)性法及參數(shù)法等等來求最值.
三、直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實(shí)例分析
(一)題型一:弦的垂直平分線問題
解題技巧及規(guī)律:題干中給出直線與曲線M過點(diǎn)S(-1,0)相交于A,B兩點(diǎn),分析直線存在斜率并且不等于0,然后設(shè)直線方程,列出方程組,消元,對一元二次方程進(jìn)行分析,分析判別式,并使用韋達(dá)定理,得出弦中點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合垂直及中點(diǎn),列出垂直平分線方程,求出N點(diǎn)坐標(biāo),最后結(jié)合正三角形性質(zhì):中線長是邊長的32倍,使用弦長公式求出弦長.
(二)題型二:動弦過定點(diǎn)問題
解題技巧及規(guī)律:第一問是使用待定系數(shù)法求軌跡方程;第二問中,已知點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo),因此可以設(shè)直線PA1、PA2方程,直線PA1與橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M,結(jié)合韋達(dá)定理,能求出點(diǎn)M坐標(biāo),同理求出點(diǎn)N坐標(biāo).動點(diǎn)P在直線L:x=t(t>2)上,這樣就能知道點(diǎn)P橫坐標(biāo),根據(jù)直線PA1,PA2方程求出點(diǎn)P縱坐標(biāo),得出兩條直線斜率關(guān)系,通過計(jì)算出M,N點(diǎn)坐標(biāo),求出直線MN方程,代入交點(diǎn)坐標(biāo),如果解出是t>2,就可以了,否則不存在.
四、結(jié) 語
在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中,圓錐曲線題目不僅分值一直保持穩(wěn)定,而且題型多樣,方法靈活,綜合性強(qiáng),常被安排在試卷的最后作為把關(guān)題或壓軸題.圓錐曲線的最值問題是解析幾何重點(diǎn)出題之一.它涉及知識面廣,常用到函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等重點(diǎn)知識,而且其考查方法靈活多樣.圓錐曲線最值問題不僅能考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度,又能體現(xiàn)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法綜合解決問題的能力,所以是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)重點(diǎn).
圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)解析幾何的重要知識點(diǎn),其中蘊(yùn)含著重要豐富的數(shù)學(xué)思想方法,解析幾何基本思想是使用幾何方法解決問題,也就是數(shù)形結(jié)合思想,所有的數(shù)學(xué)試題都不能離開形只談抽象數(shù)或者是研究圖.另外一種解決問題的數(shù)學(xué)思想方法是代數(shù)方法,主要是依據(jù)已知條件來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題,再結(jié)合使用配方法、不等式法、函數(shù)單調(diào)性法及參數(shù)法等等來求最值.本文在歸納總結(jié)直線與圓錐曲線知識點(diǎn)的考查特點(diǎn)基礎(chǔ)上,結(jié)合使用相應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法,給出直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實(shí)例分析,為學(xué)生解答此類題提供方法借鑒.
【參考文獻(xiàn)】
眾所周知,近年來高考數(shù)學(xué)試題的新穎性、靈活性越來越強(qiáng),不少師生把主要精力放在難度較大的綜合題上,認(rèn)為只有通過解決難題才能培養(yǎng)能力,因而相對地忽視了基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法的教學(xué)。其主要表現(xiàn)在對知識的發(fā)生、發(fā)展過程揭示不夠。教學(xué)中急急忙忙公式、定理推證出來,或草草講一道例題就通過大量的題目來訓(xùn)練學(xué)生。其實(shí)定理、公式推證的過程就蘊(yùn)含著重要的解題方法和規(guī)律,教師沒有充分暴露思維過程,沒有發(fā)掘其內(nèi)在的規(guī)律,就讓學(xué)生去做題,試圖通過讓學(xué)生大量地做題去“悟”出某些道理。結(jié)果是多數(shù)學(xué)生“悟”不出方法、規(guī)律,理解浮淺,記憶不牢,只會機(jī)械地模仿,思維水平較低,有時甚至生搬硬套;照葫蘆畫瓢,將簡單問題復(fù)雜化,從而造成失分。我們一直強(qiáng)調(diào)抓基礎(chǔ),但總是抓得不實(shí),總是不放心。其實(shí)近幾年來高考命題事實(shí)已明確告訴我們:基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法始終是高考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn)。選擇題,填空題以及解答題中的基本常規(guī)題已達(dá)整份試卷的80%左右,特別是選擇題、填空題主要是考查基本知識和基本運(yùn)算,但其命題的敘述或選擇肢往往具有迷惑性,有的選擇肢就是學(xué)生中常見的錯誤。如果教師在教學(xué)中過于粗疏或?qū)W生在學(xué)習(xí)中對基本知識不求甚解,都會導(dǎo)致在考試中判斷錯誤。事實(shí)上,近幾年的高考數(shù)學(xué)試題對基礎(chǔ)知識的要求更高、更嚴(yán)了,只有基礎(chǔ)扎實(shí)的考生才能正確地判斷。另一方面,由于試題量大,解題速度慢的考生往往無法完成全部試卷的解答,而解題速度的快慢主要取決于基本技能、基本方法的熟練程度及能力的高低??梢?,在切實(shí)重視基礎(chǔ)知識的落實(shí)中同時應(yīng)重視基本技能和基本方法的培養(yǎng)。
二、抓綱務(wù)本,落實(shí)教材。
考前復(fù)習(xí),任務(wù)重,時間緊,迫絕不可因此而脫離教材。相反。要緊扣大綱,抓住教材,在總體上把握教材,明確每一章、節(jié)的知識在整體中的地位、作用。
多年來,一些學(xué)校在總復(fù)習(xí)中拋開課本,在大量的復(fù)習(xí)資料中鉆來鉆去,試圖通過多做,反復(fù)做來完成“覆蓋”高考試題的工作,結(jié)果是極大地加重的師生的負(fù)但。為了扭轉(zhuǎn)這一局面,減輕負(fù)擔(dān),全面提高教學(xué)質(zhì)量,近年來高考數(shù)學(xué)命題組做了大量艱苦的導(dǎo)向工作,每年的試題都與教材有著密切的聯(lián)系,有的是直接利用教材中的例題、習(xí)題、公式定理的證明作為高考題;有的是將教材中的題目略加修改、變形后作為高考題目;還有的是將教材中的題目合理拼湊、組合作為高考題的。如果說偶然從教材中找1-2道題作為高考試題作為高考試題可視為獵奇,不足為道的話,那么連續(xù)多年的高考數(shù)學(xué)試題每年都有許多題源于教材,命題者的良苦用心已再清楚不過了!因此,一定要高度重視教材,針對教學(xué)大綱所要求的內(nèi)容和方法,把主要精力放在教材的落實(shí)上,切忌不要刻意追求社會上的偏題、怪題和技巧過強(qiáng)的難題。
三、滲透教學(xué)思想方法,培養(yǎng)綜合運(yùn)用能力。
近幾年的高考數(shù)學(xué)試題不僅緊扣教材,而且還十分講究數(shù)學(xué)思想和方法。這類問題,一般較靈活,技巧性較強(qiáng),解法也多樣。這就要求考生找出最佳解法,以達(dá)到準(zhǔn)確和爭取時間的目的。
常用的數(shù)學(xué)思想方法有:轉(zhuǎn)化的思想,類比歸納與類比聯(lián)想的思想,分類討論的思想,數(shù)形結(jié)合的思想以及配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法等。這些基本思想和方法分散地滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教材的條章節(jié)之中,在平時的教學(xué)中,教師和學(xué)生把主要精力集中于具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容之中,缺乏對基本的數(shù)學(xué)思想和方法的歸納和總結(jié),在高考前的復(fù)習(xí)過程中,教師要在傳授基礎(chǔ)知識的同時,有意識地、恰當(dāng)在講解與滲透基本數(shù)學(xué)思想和方法,幫助學(xué)生掌握科學(xué)的方法,從而達(dá)到傳授知識,培養(yǎng)能力的目的,只有這樣??忌诟呖贾胁拍莒`活運(yùn)用和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識。
四、研究《考試說明》,分析高考試題。
關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué)試題;研究;教學(xué)
2013年是浙江省深化課程改革后的首年高考,在人們的期盼中落下了帷幕.考后師生的反映不一,普遍認(rèn)為有點(diǎn)難,筆者受浙江省教育考試院之邀,參加試卷評析工作,有幸在第一時間細(xì)做全卷,在評析過程中體會到,今年的高考數(shù)學(xué)試題遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》,依據(jù)《2013年浙江省高考考試說明》,依然保持“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的命題特色,全面深入地考查了高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法,多角度、多層次地考查了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力,對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用. 本文闡述2013年浙江省高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)及其對教學(xué)的啟示.
試題特點(diǎn)
1. 回歸基礎(chǔ) 突出本質(zhì)
4. 考查潛能 適度創(chuàng)新
試卷編制立意新穎而問題的解決所需的知識不多的試題,如理科第10題、文科第10題,這兩題都是學(xué)習(xí)型問題,理科題給出一種關(guān)于已知平面的幾何變換,其實(shí)是廣義的函數(shù),解決此題的關(guān)鍵是對新定義的理解及推理論證. 文科題也只需讀懂題目,熟悉不等式的性質(zhì)及推理論證,體現(xiàn)了對考生學(xué)習(xí)潛能的考查.
今年理科試卷在保持往年試題的風(fēng)格的基礎(chǔ)上對試卷做了一些調(diào)整,三角函數(shù)不再作為單獨(dú)的解答題考查,縱觀全卷,三角函數(shù)的考查力度并未弱化,在客觀題中加大了其考查的力度. 填空題第16題、解答題第20題第2問都凸顯了三角函數(shù)的工具性作用,這是克服考試模式化傾向的有益嘗試.
試題的導(dǎo)向
命題設(shè)計(jì)盡可能地從現(xiàn)實(shí)問題或幾何背景出發(fā),構(gòu)造出素材樸實(shí)、內(nèi)涵豐富的試題,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在實(shí)質(zhì),試卷中的題目處處閃現(xiàn)著問題解決的智慧,這樣的試題,加強(qiáng)了概念考查,突出了對學(xué)生能力的考查,這種考查方式對于搞題海戰(zhàn)術(shù)的學(xué)校是一種打擊,而對我們的課堂教學(xué)是一種很好的引導(dǎo),引導(dǎo)教師、學(xué)生避免將大量精力消耗在盲目地套用所謂的解題技巧的教學(xué)和學(xué)習(xí)上.
1. 重視概念建構(gòu) 理解數(shù)學(xué)本質(zhì)
今年參加高考的許多考生因?yàn)閷Ω拍畹囊恢虢舛绊懥私忸},這與當(dāng)前教學(xué)中存在著“輕概念、重訓(xùn)練”現(xiàn)象不無關(guān)系,許多學(xué)校在高一、二年級的新授課教學(xué)中概念一帶而過,在學(xué)生不理解概念的情況下就進(jìn)入訓(xùn)練,學(xué)生對概念自然“囫圇吞棗”. 學(xué)數(shù)學(xué)需要做適量的習(xí)題,但做習(xí)題是為了把握數(shù)學(xué)概念、公式、定理、性質(zhì)等的本質(zhì),把握某種解決問題方法的本質(zhì). 如果只做題而不能把握數(shù)學(xué)本質(zhì),只能是浪費(fèi)復(fù)習(xí)時間,增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),數(shù)學(xué)能力不會得到相應(yīng)提升與發(fā)展. 相反只有把握問題的本質(zhì)才能提高概念、公式等使用的效度、靈活度. 因此,在概念教學(xué)中,要注重揭示概念的發(fā)生、發(fā)展過程,讓學(xué)生明晰概念的內(nèi)涵與外延. 注重基礎(chǔ),回歸教材是教學(xué)的首要環(huán)節(jié),一是幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò);二是再現(xiàn)重要知識的產(chǎn)生過程;三是挖掘教材例題、習(xí)題的潛在價(jià)值.
2. 培養(yǎng)思維能力 以不變應(yīng)萬變
以知識為依托,考查思維能力,使被動學(xué)習(xí)者、題海戰(zhàn)術(shù)者在高考中力不從心、難有大作為,這是當(dāng)今高考的風(fēng)向標(biāo).
研讀今年文理科的數(shù)學(xué)試卷,發(fā)現(xiàn)充滿著思辨性的試題比往年多,解決一道題的方法多種多樣,而不同的方法所花的時間也大不相同,體現(xiàn)了“多考點(diǎn)怎么想”,突出了對考生思維品質(zhì)的考查,這也是考生感到題目難的一個重要原因. 在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,許多教師就題論題,課堂上教師講題,課后學(xué)生模仿做題,課堂上教師唱獨(dú)角戲現(xiàn)象依然嚴(yán)重,這種教學(xué)方式下學(xué)生的思考能力逐漸下降,只會做一些陳題,面對高考題能找到一種方法已難能可貴了,怎么會從多種角度思考問題?基于此,筆者認(rèn)為在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)在學(xué)生的思維能力培養(yǎng)上下工夫,不能只注重知識的掌握、技能的訓(xùn)練及方法的傳授,不能僅僅關(guān)注學(xué)生解題這一層面,而是應(yīng)該看學(xué)生是否通過解題明白了一些原理,不光是明白了怎樣解題,而是學(xué)會了一種數(shù)學(xué)思維,一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟.