問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)原則探思

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摘要：問(wèn)題是促動(dòng)學(xué)科發(fā)展的原始動(dòng)力，數(shù)學(xué)也不例外．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)研究依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)“要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的要求，進(jìn)行相應(yīng)的理論思考和實(shí)踐探索．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題并賦予問(wèn)題有效的情境，教師引領(lǐng)學(xué)生在問(wèn)題情境空間中探究生成數(shù)學(xué)知識(shí)，習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法并學(xué)會(huì)思考．基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)理論與數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)剖析問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和基本思想，構(gòu)建針對(duì)具體課時(shí)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)實(shí)施步驟，為教學(xué)的設(shè)計(jì)與組織提供參考．

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)；問(wèn)題情境；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

1問(wèn)題驅(qū)動(dòng)與數(shù)學(xué)教學(xué)

由于數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和教材編寫(xiě)的需要，數(shù)學(xué)教科書(shū)基本上是以概念的描述、定理的證明、法則的論證等構(gòu)成形式化的邏輯演繹體系，而知識(shí)產(chǎn)生的原始問(wèn)題與豐富背景都幾乎消失殆盡．這使學(xué)習(xí)者在一堆符號(hào)化的邏輯推理中很難體會(huì)到所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美及其重要價(jià)值．但“數(shù)學(xué)并不是按照教科書(shū)中的方式發(fā)展的”[1]．問(wèn)題是促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的原始動(dòng)力，數(shù)學(xué)也不例外．M.Kline就曾指出：“每一個(gè)數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類(lèi)問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的．”[2–3]因此，合乎情理和邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)圍繞問(wèn)題展開(kāi)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[4]強(qiáng)調(diào)“教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題……教學(xué)情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境”，并指出“情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”．教師需通過(guò)問(wèn)題與情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會(huì)思考．要求設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問(wèn)題為學(xué)生提供具有挑戰(zhàn)性的實(shí)踐創(chuàng)新平臺(tái)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)研究也正是基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求進(jìn)行相應(yīng)的理論和實(shí)踐探討．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是指要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題并賦予有效的情境，教師引領(lǐng)學(xué)生圍繞問(wèn)題情境探究發(fā)現(xiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，習(xí)得具體的知識(shí)獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法[5]．以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，能再現(xiàn)數(shù)學(xué)豐富多樣的“火熱”思考過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)并教學(xué)生學(xué)會(huì)思考；以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，有助于學(xué)生在問(wèn)題情境中從事探索活動(dòng)，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中生成“形式化”的數(shù)學(xué)概念與原理并習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)教育家張奠宙先生曾提出“以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的新概念數(shù)學(xué)”[6]，李大潛院士也大力提倡“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”[7]，還有許多文獻(xiàn)從不同的角度探討了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)[8–11]．2018和2019年出版的著作《問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》[5，12–13]的理論與實(shí)踐卷、概率與統(tǒng)計(jì)卷、復(fù)數(shù)與三角卷系統(tǒng)地探討了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)理論及其在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用．

2問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)遵循“由問(wèn)題到理論”，是對(duì)荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾“再創(chuàng)造”思想的具體化．弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為任何數(shù)學(xué)都是“數(shù)學(xué)化”的結(jié)果，學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程[14]．從現(xiàn)實(shí)情境發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并抽象出數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)問(wèn)題的符號(hào)化過(guò)程稱(chēng)為“橫向數(shù)學(xué)化”．從不同角度和層次分析、表征與解決數(shù)學(xué)模型或問(wèn)題的形式化過(guò)程稱(chēng)為“縱向數(shù)學(xué)化”．但弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀主要從學(xué)生認(rèn)知層面強(qiáng)調(diào)教學(xué)組織過(guò)程，根據(jù)學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”將一系列的教學(xué)材料通過(guò)“再創(chuàng)造”將之“數(shù)學(xué)化”地組織起來(lái)，即“如何教”．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)除了關(guān)注“如何教”，也重視“教什么”與“為什么教”．它從教育哲學(xué)層面深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部去剖析知識(shí)的背景與價(jià)值，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)能反映本質(zhì)，符合學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題與情境驅(qū)動(dòng)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、科學(xué)問(wèn)題和內(nèi)部矛盾的過(guò)程中逐步完善．所以，數(shù)學(xué)概念或原理的形成可以是源于現(xiàn)實(shí)生活、自然與工程等科學(xué)或者是數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題．只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的”[6]問(wèn)題都是好問(wèn)題、真問(wèn)題．真問(wèn)題又常劃分為“本原性問(wèn)題”和“派生性問(wèn)題”兩類(lèi)[9]：前者指促使事物產(chǎn)生的最初根源，后者是指某個(gè)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生之后根據(jù)自身邏輯發(fā)展產(chǎn)生的問(wèn)題．問(wèn)題有助于數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，但“問(wèn)題不等于問(wèn)題情境”[15]，只有當(dāng)學(xué)生面對(duì)問(wèn)題有解決它的心向和欲望——即具備有意義學(xué)習(xí)的條件時(shí)，問(wèn)題才能構(gòu)成問(wèn)題情境，才能真正做到以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)．從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，有效的問(wèn)題情境材料應(yīng)“具有一定的生活意義、數(shù)學(xué)價(jià)值或科學(xué)價(jià)值”[9]．要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題及其情境，需追溯數(shù)學(xué)史回答以下3個(gè)問(wèn)題：這個(gè)內(nèi)容當(dāng)初是怎么產(chǎn)生與發(fā)展的？人們?yōu)槭裁匆パ芯克?？它有什么價(jià)值？通過(guò)歷史挖掘承載在具體數(shù)學(xué)知識(shí)之上的問(wèn)題背景、思想方法以及數(shù)學(xué)家的研究精神．由此可見(jiàn)，基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施至少需遵循以下3個(gè)原則．

2.1問(wèn)題驅(qū)動(dòng)原則

正如哈爾莫斯所言，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟．問(wèn)題也是數(shù)學(xué)課堂的核心，教學(xué)應(yīng)依據(jù)歷史與學(xué)生實(shí)際對(duì)教材重組“再創(chuàng)造”，提出合適的真實(shí)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境驅(qū)動(dòng)概念與原理的教學(xué)．教師為學(xué)生提供探索活動(dòng)的適當(dāng)問(wèn)題空間，引導(dǎo)他們?cè)凇白鰯?shù)學(xué)”的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并習(xí)得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想、學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)解決具體問(wèn)題、鞏固新知、體驗(yàn)“用數(shù)學(xué)”的過(guò)程．圍繞恰當(dāng)問(wèn)題情境展開(kāi)教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．

2.2密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原則

這里的“現(xiàn)實(shí)”有兩層含義：一是指學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，二是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題并賦予有效的情境，教師進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì)與組織時(shí)必須考慮學(xué)習(xí)主體——學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，使提出的問(wèn)題在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使依據(jù)數(shù)學(xué)產(chǎn)生背景所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境是學(xué)生所能理解的現(xiàn)實(shí)情境、科學(xué)情境或數(shù)學(xué)情境．?dāng)?shù)學(xué)在解決各種各樣的問(wèn)題中形成相應(yīng)的概念和原理，教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題及其情境反映這個(gè)過(guò)程并讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性、深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性與趣味性．學(xué)生在問(wèn)題情境中經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界向數(shù)學(xué)世界和符號(hào)世界過(guò)渡的完整“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，在獲得基本知識(shí)與技能、基本思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”[4]，促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

2.3知識(shí)生成原則

學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要支架．新知應(yīng)在舊知的基礎(chǔ)上引發(fā)，學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中建立起知識(shí)間的實(shí)質(zhì)和意義聯(lián)系，進(jìn)而形成良好的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解并實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的遷移．這也要求教師深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部剖析教材內(nèi)容，確定教學(xué)的困難或存在的問(wèn)題，明確單元的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)以及各知識(shí)點(diǎn)在單元內(nèi)部、單元之間、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部和外部之間的聯(lián)系，理清知識(shí)脈絡(luò)與所體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想，以尋找教學(xué)的合適生長(zhǎng)點(diǎn)．

3問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想

有效實(shí)施問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的前提是教師能依據(jù)歷史和學(xué)生實(shí)際重構(gòu)教材，整體把握教學(xué)內(nèi)容，確定核心問(wèn)題，設(shè)置恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的完整過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)具有“原始形態(tài)”“學(xué)術(shù)形態(tài)”“教育形態(tài)”3種存在形式[16]．教師應(yīng)具備將知識(shí)在數(shù)學(xué)史中的“原始形態(tài)”和教科書(shū)中的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為再現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的“教育形態(tài)”的能力．如果說(shuō)，研究數(shù)學(xué)史和教科書(shū)是為了揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與教學(xué)價(jià)值，以厘清“教什么”與“為什么教”．那么將數(shù)學(xué)的“原始形態(tài)”和“學(xué)術(shù)形態(tài)”有效轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生接受的“教育形態(tài)”，就是為了解決“如何教”的問(wèn)題．因此，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的組織與實(shí)施需把握以下4個(gè)基本思想．

3.1基于對(duì)教學(xué)單元的整體把握

深入理解具體課時(shí)內(nèi)容課時(shí)內(nèi)容是單元的一個(gè)部分，單元?jiǎng)t是數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)中最小的整體．要掌握局部的課時(shí)內(nèi)容，就需理解其在單元中的地位與作用．進(jìn)一步地，還需了解單元與數(shù)學(xué)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，甚至是與其它學(xué)科的聯(lián)系．這樣才能設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題與情境更好地組織具體課時(shí)的教學(xué)．要整體把握數(shù)學(xué)單元，就是要依據(jù)課程與單元專(zhuān)題的總體目標(biāo)、教材的體系、數(shù)學(xué)史和學(xué)生的實(shí)際去深入剖析教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值與地位．換句話(huà)說(shuō)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)是為了服務(wù)局部的課時(shí)內(nèi)容，為了更好地揭示知識(shí)背后的思想及相互間的聯(lián)系．而充滿(mǎn)各種聯(lián)系的局部?jī)?nèi)容構(gòu)成了具有生命力的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

3.2基于歷史與學(xué)生現(xiàn)實(shí)“再創(chuàng)造”教材內(nèi)容呈現(xiàn)知識(shí)的教育形態(tài)

數(shù)學(xué)專(zhuān)著的內(nèi)容基本以學(xué)術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)一堆數(shù)學(xué)化的形式結(jié)果，看不到知識(shí)的起源與發(fā)展，感受不到數(shù)學(xué)家曲折而豐富的思考過(guò)程．教科書(shū)雖然不同于數(shù)學(xué)專(zhuān)著，但為了便于組織也基本按照“定義→定理或公式法則的證明→應(yīng)用”的順序組織教材．?dāng)?shù)學(xué)史則是以原始形態(tài)表現(xiàn)數(shù)學(xué)，反映知識(shí)的發(fā)生發(fā)展和思想方法的形成過(guò)程，但也包含了各種細(xì)節(jié)以及數(shù)學(xué)家所走過(guò)的彎路．弗賴(lài)登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要經(jīng)歷歷史上的重要步驟卻并非要重復(fù)歷史，而是要依據(jù)歷史結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和原始形態(tài)轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教育形態(tài)．所以，教師需整體把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)和學(xué)生實(shí)際重構(gòu)教材，圍繞問(wèn)題在課堂教學(xué)組織中有的放矢地再現(xiàn)數(shù)學(xué)家“火熱的思考”過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.3基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)揭示概念與原理的本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念特別是基礎(chǔ)的核心概念是數(shù)學(xué)這座大廈的基石，相應(yīng)的理論和定理構(gòu)成了大廈的框架，各個(gè)定理、命題之間的相互關(guān)系及其蘊(yùn)含的思想方法則充實(shí)了框架結(jié)構(gòu)，形成了有血有肉的整體．以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是生成概念和獲得原理的最佳途徑，學(xué)生在合適的問(wèn)題空間中進(jìn)行探索活動(dòng)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程．雖然在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不可能每節(jié)課都圍繞著一個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)．但對(duì)于在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中起著基礎(chǔ)作用的重要概念和定理，最適合也最需要以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式展開(kāi)教學(xué)來(lái)揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念與原理背后所隱藏的思想方法，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值、作用與魅力．一般而言，對(duì)于新課——如概念、定理、性質(zhì)或公式的講授，應(yīng)盡可能地選擇恰當(dāng)問(wèn)題設(shè)置真實(shí)有效的情境展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)親歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程．而在圍繞一節(jié)課的核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的過(guò)程中，為了幫助學(xué)生更好地開(kāi)展探究活動(dòng)，教師仍需要給合學(xué)生的實(shí)際設(shè)置一系列有啟發(fā)性的、有前后邏輯關(guān)系的問(wèn)題鏈．如果把核心問(wèn)題比作“大問(wèn)題”，那么問(wèn)題鏈就是為了大問(wèn)題的解決而設(shè)置的一個(gè)個(gè)小臺(tái)階，讓不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生都有機(jī)會(huì)到達(dá)目標(biāo)——解決大問(wèn)題并揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)．為鞏固新知，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵與外延、原理的適用范圍與限制條件等，同樣也要設(shè)置一系列反映概念本質(zhì)屬性、原理實(shí)質(zhì)的變式問(wèn)題進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué)．可見(jiàn)，問(wèn)題總是教學(xué)的中心，但“問(wèn)題鏈”與本原性問(wèn)題、派生性問(wèn)題在教學(xué)中的意義及作用不盡相同．

3.4基于“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建相互聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)

將數(shù)學(xué)內(nèi)容問(wèn)題化，將問(wèn)題情境化，并以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是為了更好地實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”．讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過(guò)程的實(shí)質(zhì)也是要求教師用“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容的過(guò)程．弗賴(lài)登塔爾指出要教充滿(mǎn)聯(lián)系的數(shù)學(xué)，才有利于學(xué)生理解、記憶與運(yùn)用知識(shí)，才能形成數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)．學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程將數(shù)學(xué)與外部現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來(lái)，經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程則是在數(shù)學(xué)的內(nèi)部建立起彼此間豐富的聯(lián)系．通過(guò)“數(shù)學(xué)化”，幫助學(xué)生將一個(gè)個(gè)概念、原理、公式、法則有機(jī)組織在一起形成完善的知識(shí)體系獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部及其與其它學(xué)科之間的密切聯(lián)系．

4問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本步驟

數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題也可以是科學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中抽象出數(shù)學(xué)的概念與原理，進(jìn)而運(yùn)用結(jié)論解決其它的數(shù)學(xué)問(wèn)題、科學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)研究的過(guò)程也反映了數(shù)學(xué)教育的基本過(guò)程，如圖1[5]，從“數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”與從“現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)教育的兩條基本主線(xiàn)．“數(shù)學(xué)化”的出發(fā)點(diǎn)指研究的起點(diǎn)是數(shù)學(xué)問(wèn)題，“生活化”的出發(fā)點(diǎn)指研究的起點(diǎn)為科學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．不管是從數(shù)學(xué)本身出發(fā)還是從現(xiàn)實(shí)開(kāi)始，研究所獲得的結(jié)論既可用以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題也可處理實(shí)際問(wèn)題．圖1數(shù)學(xué)教育的基本過(guò)程數(shù)學(xué)教學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，是要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程．如果數(shù)學(xué)來(lái)源于生活問(wèn)題或科學(xué)問(wèn)題，教學(xué)情境就盡可能與學(xué)生生活實(shí)際密切聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活價(jià)值或科學(xué)價(jià)值．強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系也是“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[1718]的教學(xué)體現(xiàn)．如果知識(shí)產(chǎn)生于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需要，問(wèn)題就應(yīng)融于適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，反映知識(shí)的數(shù)學(xué)價(jià)值．這或許與徐利治先生所說(shuō)的“數(shù)學(xué)教育不必強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，可以完全從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)教育”[19]有一定的相通之處．圖1給出了數(shù)學(xué)教育的基本路線(xiàn)與框架．對(duì)于具體課時(shí)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為便于教師的把握與操作，可根據(jù)數(shù)學(xué)教育的基本過(guò)程，構(gòu)建出更具操作性的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課時(shí)教學(xué)的基本步驟，如圖2．課時(shí)教學(xué)組織過(guò)程經(jīng)歷Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個(gè)步驟．教學(xué)的起點(diǎn)可以是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)問(wèn)題的科學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境，也可以就是反映知識(shí)本質(zhì)的數(shù)學(xué)情境，不管是哪種起點(diǎn)形式都要經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)組織過(guò)程．而且教學(xué)的終點(diǎn)都指向應(yīng)用，用獲得的數(shù)學(xué)概念或原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或者實(shí)際問(wèn)題．問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的形成過(guò)程．學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中激發(fā)了探究精神，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模能力和思辨能力，提升了問(wèn)題意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

5問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾種形式

根據(jù)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)課時(shí)教學(xué)的基本步驟，由于不同的問(wèn)題情境，教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)也略有不同．

5.1若促使數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景是來(lái)自現(xiàn)實(shí)或科學(xué)的本原性問(wèn)題

此時(shí)教學(xué)過(guò)程基本按照?qǐng)D2經(jīng)歷從Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個(gè)步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境抽象出數(shù)學(xué)模型或問(wèn)題到解決問(wèn)題獲得新知，再到應(yīng)用新知的過(guò)程，學(xué)生同時(shí)經(jīng)歷了“橫向數(shù)學(xué)化”與“縱向數(shù)學(xué)化”．比如“平面向量”單元“向量”概念的教學(xué)．向量本身就有極強(qiáng)的物理背景，自然可以通過(guò)分析學(xué)生所熟悉的既有大小又有方向的力（如重力、浮力、彈力等）后歸納抽象出向量的概念，從物理世界過(guò)渡到數(shù)學(xué)的符號(hào)世界，經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化．然后再深入探討向量的幾何表示方法、相等向量與共線(xiàn)向量的定義，在數(shù)學(xué)內(nèi)部盡可能建立與向量的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)縱向數(shù)學(xué)化．再在解決問(wèn)題中鞏固和運(yùn)用向量的概念．

5.2若促使數(shù)學(xué)知識(shí)的形成源于數(shù)學(xué)自身邏輯的本原性問(wèn)題

這時(shí)教學(xué)則需從Ⅰ→Ⅲ→Ⅳ讓學(xué)生從實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境經(jīng)歷“縱向數(shù)學(xué)化”獲得新知，再應(yīng)用新知解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程．比如復(fù)數(shù)概念的教學(xué)．復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生并非為了處理類(lèi)似012x的一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的問(wèn)題，由此引入復(fù)數(shù)不僅不符合歷史事實(shí)，也會(huì)給學(xué)生的理解帶來(lái)更多的困惑[20]．從古希臘丟番圖時(shí)期一直到16世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)家們對(duì)類(lèi)似方程012x的解的問(wèn)題也都是置之不理，那為什么非要引進(jìn)新數(shù)讓它有解呢？事實(shí)上，復(fù)數(shù)是在解一元三次方程時(shí)遇到了現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾而產(chǎn)生的．1545年，卡丹在他的《重要的藝術(shù)》里發(fā)表了形如03qpxx的三次方程解法和其中一個(gè)根的表達(dá)式，即于是人們不得不考慮負(fù)數(shù)平方根的性質(zhì)及其與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，由此引入新數(shù)——虛數(shù)單位i和復(fù)數(shù)的概念．教學(xué)完全可以結(jié)合這樣的數(shù)學(xué)背景創(chuàng)設(shè)情境激起學(xué)生的認(rèn)知沖突自然進(jìn)入“縱向數(shù)學(xué)化”，然后從不同的角度理解和用不同的方式表征新知識(shí)，進(jìn)而形成完善的概念并應(yīng)用概念．

5.3若數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是源于數(shù)學(xué)內(nèi)部形式邏輯推導(dǎo)的派生性問(wèn)題

這種情況教學(xué)需從Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)歷推導(dǎo)和歸納過(guò)程，通過(guò)豐富的“縱向數(shù)學(xué)化”或直觀形象的解釋獲得新知，再鞏固應(yīng)用新知．比如，平方差公式22))((bababa，它是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式衍生出來(lái)的一個(gè)特殊結(jié)論．教學(xué)自然可以從一類(lèi)滿(mǎn)足公式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的例題入手進(jìn)行“縱向數(shù)學(xué)化”，在復(fù)習(xí)舊知的過(guò)程中讓學(xué)生觀察結(jié)構(gòu)、歸納規(guī)律．由特殊例子到結(jié)論一般化使學(xué)生經(jīng)歷形式的代數(shù)證明和直觀的幾何解釋?zhuān)ㄈ鐖D3），有助于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和直觀的形象思維的養(yǎng)成．例題與習(xí)題的處理由淺入深重點(diǎn)剖析公式的結(jié)構(gòu)與字母a、b代表的意義．通過(guò)多視角、多維度的“縱向數(shù)學(xué)化”讓學(xué)生對(duì)平方差公式形成整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

作者:王海青 曹廣福 單位:惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院