初中數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用實踐
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“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)領(lǐng)域兩大研究主題，“數(shù)”就是數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確、可操作、易于掌握，“形”則是空間形式，生動、直觀、易于理解.數(shù)形結(jié)合可以把二者進(jìn)行轉(zhuǎn)化統(tǒng)一，從而結(jié)合二者的優(yōu)勢，達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)的效果.在初中數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行教學(xué)，不僅能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，還能提高課堂效率、優(yōu)化教學(xué)方法.下面本文將從數(shù)變形、形變數(shù)兩方面給出若干教學(xué)設(shè)計實例，從中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.
一、數(shù)變形，直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，有些數(shù)量關(guān)系十分抽象，學(xué)生難以理解，而圖形的優(yōu)點(diǎn)就是直觀、形象.考慮到數(shù)與形本來就存在一種對應(yīng)關(guān)系，我們可以把“數(shù)”轉(zhuǎn)換成“形”，利用圖形解決有關(guān)數(shù)量的問題.數(shù)變形的意義在于：（1）將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何直觀，可以避開復(fù)雜的計算或推理；（2）通過直觀的幾何圖形幫助學(xué)生理解和闡述抽象、難懂的代數(shù)關(guān)系，從而簡化問題解決的過程；（3）優(yōu)化教師的教學(xué)過程，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)習(xí)效率.下面以一道例題來說明如何在教學(xué)中實現(xiàn)數(shù)變形.例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.分析：對于剛學(xué)習(xí)完絕對值知識的學(xué)生而言，解這道題是存在一定難度的.這時便需要教師一步步引導(dǎo)學(xué)生將其與已經(jīng)學(xué)過的知識建立聯(lián)系：將-1、2、3作為三個定點(diǎn)A、B、C，那么x便可以看作一個動點(diǎn)D，絕對值的運(yùn)算可以看作求兩點(diǎn)間距離，此時我們只需要借助數(shù)軸找到定點(diǎn)A、B、C和動點(diǎn)D，便可以找到解題思路.在此過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，借助數(shù)軸畫圖，數(shù)變形貫穿教學(xué)過程的始終，進(jìn)而解決絕對值函數(shù)的最值這一難點(diǎn)，并借助這個例題點(diǎn)明“數(shù)變形”的價值.【教學(xué)片段一】師：題目中給出的式子，你是如何理解的？這個式子又為何會有最小值呢？生1：這個式子表示的是三個絕對值運(yùn)算的和，由于式子中含有未知數(shù)x，x每取一個值這個式子就會有一個值與它相對應(yīng)，所以式子的值是可以變化的，在變化過程中存在一個最小值.師：非常好，你的分析十分到位.怎樣研究這個最小值呢？我們先從簡單的入手.（把難題分解成一個個小問題，由易及難，一步步解決）師：|x+1|有最小值嗎？最小值是什么？此時x的取值是什么？生2：由于絕對值運(yùn)算具有非負(fù)性，即|m|≥0，所以|x+1|≥0，易知|x+1|的值最小是0，此時x=-1.師：（追問）是的，沒錯，絕對值運(yùn)算的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，這是什么原因呢？生2：絕對值代表的是一段距離，是兩個點(diǎn)之間的距離，如|-2|就是-2到原點(diǎn)的距離，|m|就是m到原點(diǎn)的距離，師：這是絕對值的定義，你記得真清楚，給你點(diǎn)贊！那么|x+1|可以看成兩點(diǎn)之間的距離嗎？是哪兩個點(diǎn)之間的距離呢？（引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度思考問題，為下面揭示數(shù)形結(jié)合思想做鋪墊）生3：可以看成x到-1的距離.師：（追問）什么情況下x到-1的距離最短呢？生3：x與-1重合的時候距離最短，最短距離是0.師：很好，這是我們從幾何的角度對|x+1|的最小值進(jìn)行的分析，下面難度升級，我們進(jìn)一步討論|x+1|+|x-2|的最小值.生4：|x+1|+|x-2|的最小值就是x到-1的距離與x到2的距離之和的最小值.師：看來你想從幾何角度解決這個問題，那這個最小值該怎么研究呢？老師給出一個小提示，還記得我們的老朋友“數(shù)軸”嗎？認(rèn)真思考一下，在學(xué)習(xí)小組中交流自己的想法.生5：可以借助數(shù)軸，在數(shù)軸上找到-1、2的位置，記為點(diǎn)A、B，而x由于可以取不同的值，所以x可以看成一個動點(diǎn)C，可以取數(shù)軸上的任意點(diǎn).（如圖1所示）師：你的想法太好了！大家自己動手按照這個思路畫一畫數(shù)軸，標(biāo)出-1和2的位置，觀察在x變化過程中，動點(diǎn)落在哪個位置時式子的值最小，并與同桌交流一下你的想法.學(xué)生自己動手操作，經(jīng)歷畫圖、觀察、討論的過程，借助圖形分析數(shù)量的變化.生6：根據(jù)數(shù)軸分析A、B兩個定點(diǎn)及動點(diǎn)C，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C落在點(diǎn)A、B間任意位置時，點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之和都等于點(diǎn)A與B之間的距離3，而當(dāng)動點(diǎn)C落在點(diǎn)A的左邊和點(diǎn)B的右邊的位置時，點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之和都大于3.因此|x+1|+|x-2|的最小值就是-1與2的距離3.師：大家也是這樣思考的嗎？我們一起來給這位同學(xué)鼓鼓掌，講得真好！師：有沒有同學(xué)從代數(shù)角度思考呢？學(xué)生沉默.師：看來從代數(shù)角度出發(fā)的同學(xué)都遇到了困難，難以找到思路，而當(dāng)我們換一個角度，把數(shù)變形之后，從幾何角度出發(fā)，思路就很清晰了.師：接下來，我們就進(jìn)行最后一步的研究，|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是什么呢？你們有什么想法？生7：還是從幾何角度入手，把-1、2、3看成定點(diǎn)A、B、C，x是動點(diǎn)D，|x+1|+|x-2|+|x-3|就是動點(diǎn)D到定點(diǎn)A、B、C的距離之和，在數(shù)軸上表示出定點(diǎn)的位置（如圖2），觀察在動點(diǎn)D運(yùn)動的過程中距離的變化規(guī)律.師：（追問）隨著動點(diǎn)D的變化，再結(jié)合前面的研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？生7：在研究第二種情形時，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)動點(diǎn)落在點(diǎn)A、B之間時，距離之和最小，推測第三種情形下當(dāng)動點(diǎn)D與定點(diǎn)B重合時，距離和最短，即為點(diǎn)A、C之間的距離4.師：大家同意他的看法嗎？看來大家已經(jīng)初步掌握了借助數(shù)軸分析這類問題的方法，解題過程中最重要的一步便是將絕對值的運(yùn)算變成幾何方面的問題，借助圖形研究數(shù)量把數(shù)變形.你們知道這體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想嗎？生：（齊）數(shù)形結(jié)合思想.
二、形變數(shù)，挖掘圖形中的隱含信息
眾所周知，圖形的優(yōu)點(diǎn)就是形象、直觀，可以將抽象的東西直觀展示出來，但是有的時候也會有圖形無法精確表示的東西，如平面直角坐標(biāo)系中不在格點(diǎn)上的點(diǎn)，我們需要借助有序數(shù)對才可以準(zhǔn)確地描述它的位置，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時可能需要借助代數(shù)計算才可以得到，在這些情況下我們都不得不借助“數(shù)”來分析“形”.利用數(shù)量來解決圖形的問題，要充分利用幾何圖形的性質(zhì)和意義挖掘出圖形中的隱含條件，把圖形問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題，并通過分析計算、邏輯推理解決圖形問題.形變數(shù)的意義在于：（1）利用“數(shù)”的精確性和嚴(yán)密性刻畫出模糊的圖形信息；（2）利用已知的幾何信息并結(jié)合代數(shù)方法找到數(shù)量之間的關(guān)系，彌補(bǔ)空間想象上的不足.下面以勾股定理的應(yīng)用為例來探討一下形變數(shù)在教學(xué)中的體現(xiàn).例2《九章算術(shù)》中記錄了這樣一個問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”（如圖3）你能給出解答嗎？分析：由于勾股定理是典型的數(shù)形結(jié)合問題，所以許多問題都可以通過直角三角形來分析.這道題是非常典型的勾股定理的應(yīng)用，需要先從題目給出的圖形中分析出直角三角形，再結(jié)合勾股定理進(jìn)行計算，從而解決題目中的圖形問題.【教學(xué)片段二】師：同學(xué)們，通過閱讀例2，你們獲得了哪些數(shù)學(xué)信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的長度是5尺，葭出水一尺，所以BC的長度是1尺.師：（追問）很好，這是題目直接告訴我們的信息，還有沒有隱藏著的信息呢？認(rèn)真閱讀題目，你能發(fā)現(xiàn)葭有什么變化嗎？生1：我發(fā)現(xiàn)葭有兩種狀態(tài)，一種是在池中央出水一尺，另一種是葭赴岸與岸齊.師：（再問）這兩種狀態(tài)下，有什么量是不發(fā)生改變的？生1：葭長不變，也就是AB=AB′.師：對，這個隱藏信息是我們解題的一個突破口.還有沒有同學(xué)能發(fā)現(xiàn)其他的隱藏條件呢？生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.師：是的，葭與水平面是垂直的，結(jié)合這個隱藏條件，你們打算怎么解決這個問題呢？生3：運(yùn)用勾股定理解決.師：（追問）對哪個直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些條件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.師：（再問）勾股定理是關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系的，可是在直角三角形ACB′中我們只知道其中一邊，怎么辦呢？生3：可以設(shè)AC長為x尺，則AB長為x+1尺，即AB′為x+1尺.師：你說得非常好！AC和AB′是有聯(lián)系的，設(shè)出一個未知數(shù)，就可以把兩個量都表示出來，這樣直角三角形的三邊就都表示出來了，也就可以用勾股定理了.下面大家動手把完整的解題過程寫一下.師：通過這道習(xí)題，相信大家對勾股定理的應(yīng)用已經(jīng)有了初步了解，在解決這類問題時，我們通常需要先從題目中挖掘出直角三角形模型，然后分析出數(shù)量關(guān)系，再運(yùn)用勾股定理解答，把形變數(shù).由以上兩例可見，數(shù)形結(jié)合思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，在教學(xué)過程中，教師如能有意識地滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，將對學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)有事半功倍的效果.在一些涉及數(shù)形結(jié)合內(nèi)容的教學(xué)中，教師可從“形”和“數(shù)”兩個方面出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)對象的代數(shù)意義和幾何意義，并同時從“數(shù)”與“形”的角度尋求解決方案，深刻領(lǐng)會這些方案之間的本質(zhì)聯(lián)系.致謝：本文得到了沈榮鑫教授的悉心指導(dǎo)，謹(jǐn)此致謝！
參考文獻(xiàn)：
［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.
作者：何穎蕙 單位：泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院
