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一、函數(shù)思想在多元表達(dá)式中的應(yīng)用
任何數(shù)學(xué)問題的求解模式都是化繁為簡,遇到多個未知參量是首先尋找已知條件逐一消除參量,即消元思想是解決代數(shù)問題的主線。初中階段有關(guān)多元方程的求解相對較少,然而二元表達(dá)式相關(guān)的未知參量求解問題一直是初中數(shù)學(xué)的難題。此類問題的關(guān)鍵在于思維的巧妙轉(zhuǎn)換,其主線依托于一元二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及相關(guān)的圖像特征,因而此類問題中應(yīng)用函數(shù)與方程思想的前提是熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,通常情況下函數(shù)思想的數(shù)學(xué)模型和平面直角坐標(biāo)系緊密相關(guān),包括圖像與坐標(biāo)軸交點以及增減性變化趨勢等。多元表達(dá)式中函數(shù)思想的應(yīng)用核心在于將表達(dá)式巧妙轉(zhuǎn)化,而后和教材中的基本函數(shù)建立聯(lián)系,使得數(shù)學(xué)問題具體化。
分析:該題中出現(xiàn)兩個未知參量,屬于多元等式問題。如果拋開函數(shù)思想通過代數(shù)手法具體求解,很難得到m的取值范圍。因此該問題中應(yīng)該首先考慮到函數(shù)思想能否起到關(guān)鍵作用?從形式上可以將該等式左邊看為以n為未知量一元二次方程,則m滿足的值使得該方程所對應(yīng)的根判別式不能為負(fù),至此將二元問題轉(zhuǎn)換為一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系問題,因此不難得到關(guān)于m的一元二次不等式, 最終求得m的取值范圍。
從該題不難看出方程思想為解決函數(shù)問題提供了具體的量化途徑,其中一元二次方程相關(guān)的基本性質(zhì)成為此類問題的核心和主線,在求解二次項相關(guān)的方程和函數(shù)問題中,務(wù)必深刻理解判別式基本性質(zhì)和拋物線相關(guān)的圖像特征,只有具備扎實的基礎(chǔ)知識,才能將函數(shù)與方程思想融會貫通。
二、方程思想在不等式中的應(yīng)用
不等式問題是初中數(shù)學(xué)的難點,在處理該類問題時通常會用到多種數(shù)學(xué)思想,最常見的有方程組思想以及與之相關(guān)的數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想是該類問題的切入點,不等式值域的分布通常是通過函數(shù)圖像建立數(shù)學(xué)模型,而后根據(jù)方程組思想進(jìn)行定量數(shù)學(xué)求解。
可見,初中數(shù)學(xué)解題技巧是建立在對基本知識熟練掌握的基礎(chǔ)之上,函數(shù)與方程思想也并非孤立存在,通常情況下是系統(tǒng)解題中的環(huán)節(jié)之一,函數(shù)思想與方程思想相輔相成,同時蘊含了數(shù)形結(jié)合思想的精髓,良好的函數(shù)與方程思想離不開抽象意義上的數(shù)學(xué)模型建立和具體的代數(shù)求解。
三、函數(shù)方程思想中構(gòu)造法的使用
【關(guān)鍵詞】初中生 數(shù)學(xué) 解題誤區(qū) 系統(tǒng)分析
1.對待初中學(xué)生解題錯誤的態(tài)度。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師害怕學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤,對錯誤采取嚴(yán)厲禁止的態(tài)度是司空見慣的。在這種懼怕心理支配下,教師只注重教給學(xué)生正確的結(jié)論,而不注重揭示知識形成的過程,害怕啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行討論會得出錯誤的結(jié)論。長此以往,學(xué)生只接受了正確的知識,但對錯誤的出現(xiàn)缺乏心理準(zhǔn)備,看不出錯誤或看出錯誤但改不對。持這種態(tài)度的教師只關(guān)心學(xué)生用對知識而忽視學(xué)生會用知識。例如,在講有理數(shù)運算時,由于只注重得出正確的結(jié)果,強調(diào)運算法則、運算順序,而對運用運算律簡化運算注意不夠,但后者對發(fā)展學(xué)生運算能力卻更為重要??傊?這種對待錯誤的態(tài)度會給教學(xué)帶來一些消極的影響。
事實上,錯誤是正確的先導(dǎo),成功的開始。學(xué)生所犯錯誤及其對錯誤的認(rèn)識,是學(xué)生知識寶庫的重要組成部分。筆者至今仍然對學(xué)生時代的一節(jié)數(shù)學(xué)課記憶猶新。
當(dāng)時老師講過a2-b2=(a+b)(a-b)后,讓學(xué)生自己分解x4-y4。很快大家就做完了。老師一邊巡視一邊督促檢查。但在最后教師宣布只有1人做對時,我們都感到非常吃驚。我們把x4-y4分解為(x2+y2)(x2-y2)錯在哪里呢?做對同學(xué)的答案是(x2+y2)(x+y)(x-y),兩相對照,我們發(fā)現(xiàn)原來(x2-y2)還可以繼續(xù)分解。于是,“分解因式要進(jìn)行到每個因式都不能再分解為止”給每個同學(xué)都留下了深刻的印象。由此也可以看出,利用學(xué)生典型錯誤并進(jìn)行正確誘導(dǎo)會收到良好的教學(xué)效果。
2.初中學(xué)生解題錯誤的原因。學(xué)生順利正確地完成解題,表明其在分析問題,提取、運用相應(yīng)知識的環(huán)節(jié)上沒有受到干擾或者說克服了干擾。在上述環(huán)節(jié)上不能排除干擾,就會出現(xiàn)解題錯誤。就初中學(xué)生解題錯誤而言,造成錯誤的干擾來自以下兩方面:一是小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾,二是初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾。
2.1 小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾。在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的初級階段,學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)形成的某些認(rèn)識會妨礙他們學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識,使其產(chǎn)生解題錯誤。
例如,在小學(xué)數(shù)學(xué)中,解題結(jié)果常常是一個確定的數(shù)。受此影響,學(xué)生在解答下述問題時會出現(xiàn)混亂與錯誤。原題是這樣的:禮堂第一排有a個座位,后面每排都比前1排多1個座位,第2排有幾個座位?第3排呢?設(shè)m為第n排的座位數(shù),那么m是多少?求a=20、n=19時,m的值。學(xué)生在解答上述問題時,受結(jié)果是確定的數(shù)的影響,把用n表示m與求m的值混為一談,暴露出其思考過程受到上述干擾的痕跡。
2.2 初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,初中數(shù)學(xué)知識本身也會前后相互干擾。
例如,在學(xué)有理數(shù)的減法時,教師反復(fù)強調(diào)減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù),因而3-7中7前面的符號“-”是減號給學(xué)生留下了深刻的印象。緊接著學(xué)習(xí)代數(shù)和,又要強調(diào)把3-7看成正3與負(fù)7之和,“-”又成了負(fù)號。學(xué)生不禁產(chǎn)生到底要把“-”看成減號還是負(fù)號的困惑。這個困惑不能很好地消除,學(xué)生就會產(chǎn)生運算錯誤。
又如,了解不等式的解集以及運用不等式基本性質(zhì)3是不等式教學(xué)的一個難點,學(xué)生常常在這里犯錯誤,其原因就有受等式兩邊可以乘以或除以任何一個數(shù)以及方程的解是一個數(shù)有關(guān)。事實也證明,把不等式的有關(guān)內(nèi)容與等式及方程的相應(yīng)內(nèi)容加以比較,使學(xué)生理解兩者的異同,有助于學(xué)生學(xué)好不等式的內(nèi)容。
學(xué)生在解決單一問題與綜合問題時的表現(xiàn)也可以說明這個問題。學(xué)生在解答單一問題時,需要提取、運用的知識少,因而受到知識間的干擾小,產(chǎn)生錯誤的可能性小;而遇到綜合問題,在知識的選取、運用上受到的干擾大,容易出錯。
總之,這種知識的前后干擾,常常使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時出現(xiàn)困惑,在解題時選錯或用錯知識,導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。
3.減少初中學(xué)生解題錯誤的方法。由上所述,學(xué)生不能順利正確地完成解題,產(chǎn)生解題錯誤,表明其在解題過程中受到干擾。因此,減少初中生解題錯誤的方法是預(yù)防和排除干擾。為此,要抓好課前、課內(nèi)、課后三個環(huán)節(jié)。
3.1 課前準(zhǔn)備要有預(yù)見性。預(yù)防錯誤的發(fā)生,是減少初中學(xué)生解題錯誤的主要方法。講課之前,教師如果能預(yù)見到學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容可能產(chǎn)生的錯誤,就能夠在課內(nèi)講解時有意識地指出并加以強調(diào),從而有效地控制錯誤的發(fā)生。例如,講解方程x/0.7-(0.17-0.2x)/0.03=1之前,要預(yù)見到本題要用分式的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì),兩者有可能混淆,因而要在復(fù)習(xí)提問時準(zhǔn)備一些分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì)的練習(xí),幫助學(xué)生弄清兩者的不同,避免產(chǎn)生混亂與錯誤。因此,備課時要仔細(xì)研究教科書正文中的防錯文字、例題后的注意、小結(jié)與復(fù)習(xí)中的應(yīng)該注意的幾個問題等,同時還要揣摩學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的心理過程,授業(yè)解惑,使學(xué)生預(yù)先明了容易出錯之處,防患于未然。如果學(xué)生出現(xiàn)問題而未查覺,錯誤沒有得到及時的糾正,則遺患無窮,不僅影響當(dāng)時的學(xué)習(xí),還會影響以后的學(xué)習(xí)。因此,預(yù)見錯誤并有效防范能夠為揭示錯誤、消滅錯誤打下基礎(chǔ)。
3.2 課內(nèi)講解要有針對性。在課內(nèi)講解時,要對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行有針對性地講解。對于容易混淆的概念,要引導(dǎo)學(xué)生用對比的方法,弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系。對于規(guī)律,應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生搞清它們的來源,分清它們的條件和結(jié)論,了解它們的用途和適用范圍,以及應(yīng)用時應(yīng)注意的問題。教師要給學(xué)生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段,使學(xué)生會識別錯誤、改正錯誤。要通過課堂提問及時了解學(xué)生情況,對學(xué)生的錯誤回答,要分析其原因,進(jìn)行有針對性地講解,利用反面知識鞏固正面知識。課堂練習(xí)是發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤的另一條途徑,出現(xiàn)問題,及時解決??傊?要通過課堂教學(xué),不僅教會學(xué)生知識,而且要使學(xué)生學(xué)會識別對錯,知錯能改。
3.3 課后講評要有總結(jié)性。要認(rèn)真分析學(xué)生作業(yè)中的問題,總結(jié)出典型錯誤,加以評述。通過講評,進(jìn)行適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)與總結(jié),也使學(xué)生再經(jīng)歷一次調(diào)試與修正的過程,增強識別、改正錯誤的能力。
一、正視學(xué)生解題的錯誤
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師害怕學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤,對錯誤采取嚴(yán)厲禁止的態(tài)度是司空見慣的。在這種懼怕心理支配下,教師只注重教給學(xué)生正確的結(jié)論,忽視揭示知識形成的過程,害怕因啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行討論會得出錯誤的結(jié)論。長此以往,學(xué)生雖片面接受了正確的知識,但對錯誤的出現(xiàn)缺乏心理準(zhǔn)備,看不出錯誤或看出錯誤但改不對,甚而弄不清錯誤的緣由。持這種態(tài)度的教師只關(guān)心學(xué)生用對知識而忽視學(xué)生會用知識。例如,在講有理數(shù)運算時,由于只注重得出正確的結(jié)果,強調(diào)運算法則、運算順序,而對運用運算律簡化運算注意不夠,但后者對發(fā)展學(xué)生運算能力卻更為重要。總之,這種對待錯誤的態(tài)度會對教學(xué)帶來一些消極的影響。
事實上,錯誤是正確的先導(dǎo),成功的開始。有道是失敗是成功之母。學(xué)生所犯錯誤及其對錯誤的認(rèn)識,是學(xué)生獲得和鞏固知識的重要途徑。
基于上述原因,教師對待錯誤的懼怕心理和嚴(yán)厲態(tài)度轉(zhuǎn)變?yōu)槌惺苄睦砗蛯捜輵B(tài)度是十分有意義的。因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實際上是不斷地提出假設(shè),修正假設(shè),使學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平不斷復(fù)雜化,甚而趨于成熟。從這個意義上說,錯誤不過是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所做的某種嘗試,它只能反映學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某個階段的水平,而不能代表其最終的實際水平。此外,正是由于這些假設(shè)的不斷提出與修正,才使學(xué)生的能力不斷提高。因此,揭示錯誤是為了盡量減少錯誤,我們所說的承受與寬容也是相對于這一過程而言的。在教學(xué)中給學(xué)生展示的這一嘗試、修正的過程,是與學(xué)生獨立解題的過程相吻合的。因而學(xué)生在教師教學(xué)過程中學(xué)到的不僅僅是正確的結(jié)論,而且領(lǐng)略了探索、嘗試的過程,這對學(xué)生知識的完善和能力的提高會產(chǎn)生有益的影響,使學(xué)生學(xué)會分析,自己發(fā)現(xiàn)錯誤,改正錯誤。教師只有具備這樣的承受心理與寬容態(tài)度,才會耐心尋找學(xué)生解題錯誤的原因,并做出適當(dāng)?shù)奶幚怼?/p>
二、初中學(xué)生解題錯誤的原因
學(xué)生能順利正確地解題,表明其在觀察、分析問題,提取、運用相應(yīng)知識的環(huán)節(jié)上沒有受到干擾或者說克服了干擾。在上述環(huán)節(jié)上不能排除干擾,就會出現(xiàn)解題錯誤。就初中學(xué)生解題錯誤而言,造成錯誤的干擾來自兩方面:一是小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾,二是初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾。
初中開始階段,學(xué)生解題錯誤的原因??勺匪莸叫W(xué)數(shù)學(xué)知識對其新學(xué)知識的影響。講清新學(xué)知識的意義(如用字母表示數(shù))、范圍(正數(shù)、0、負(fù)數(shù))、方法(代數(shù)和、代數(shù)方法)與舊有知識(具體數(shù)字、非負(fù)數(shù)、加減運算、算術(shù)方法)的不同,有助于克服干擾,減少錯誤。
(二)初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾
隨著初中知識的展開,初中數(shù)學(xué)知識本身也會前后相互干擾。
例如,在學(xué)有理數(shù)的減法時,教師反復(fù)強調(diào)減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù),因而3-7中7前面的符號“-”是減號給學(xué)生留下了深刻的印象。緊接著學(xué)習(xí)代數(shù)和,又要強調(diào)把3-7看成正3與負(fù)7之和,“-”又成了負(fù)號。學(xué)生不禁產(chǎn)生到底要把“-”看成減號還是負(fù)號的困惑。這個困惑不能很好地消除,學(xué)生就會產(chǎn)生運算錯誤。
又如,了解不等式的解集以及運用不等式基本性質(zhì)3是不等式教學(xué)的一個難點,學(xué)生常常在這里犯錯誤,其原因就是受等式的性質(zhì)2以及方程的解是一個數(shù)的干擾。事實也證明,把不等式的有關(guān)內(nèi)容與等式及方程的相應(yīng)內(nèi)容加以比較,使學(xué)生理解兩者的異同,有助于學(xué)生學(xué)好不等式的內(nèi)容??梢妼Ρ冉虒W(xué)法對學(xué)生錯誤的形成,前后知識的干擾有一定的影響作用。
學(xué)生在解決簡單問題與綜合問題時的表現(xiàn)也可以說明這個問題。學(xué)生在解答簡單問題時,需要提取、運用的知識少,因而受到知識間的干擾小,產(chǎn)生錯誤的可能性??;而遇到綜合問題,在知識的選取、運用上受到的干擾大,容易出錯。
總之,這種知識的前后干擾,常常使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時出現(xiàn)困惑,在解題時選錯或用錯知識,導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。
三、減少初中學(xué)生解題錯誤的方法
由上所述,學(xué)生不能順利正確地完成解題,產(chǎn)生解題錯誤,表明學(xué)生在解題過程中受到干擾。因此,減少初中解題錯誤的方法是預(yù)防和排除干擾。為此,要抓好課前、課內(nèi)、課后三個環(huán)節(jié)。
(一)課前準(zhǔn)備要有預(yù)見性
預(yù)防錯誤的發(fā)生,是減少初中學(xué)生解題錯誤的主要方法。講課之前,教師應(yīng)預(yù)測到學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容時之前,要預(yù)見到本題要用分式的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì),兩者有可能混淆,因而要在引入新課前須準(zhǔn)備一些分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì)的練習(xí),幫助學(xué)生弄清兩者的不同,避免產(chǎn)生混亂與錯誤。因此備課時,要仔細(xì)研究教科書正文中的關(guān)鍵字眼、例題后的注意、小結(jié)與復(fù)習(xí)中的應(yīng)該注意的幾個問題等,同時還要揣摸學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的心理過程,授業(yè)解惑,預(yù)先明了學(xué)生容易出錯之處,防患于未然。如果學(xué)生出現(xiàn)問題而未查覺,錯誤沒有得到及時的糾正,則遺患無窮,不僅影響當(dāng)時的學(xué)習(xí),還會影響以后的學(xué)習(xí)。因此,預(yù)見錯誤并有效防范能夠為揭示錯誤、降低錯誤打下基礎(chǔ)。
(二)課內(nèi)講解要有針對性
在課內(nèi)講解時,要對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行針對性的講解。對于容易混淆的概念,要引導(dǎo)學(xué)生用對比的方法,弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系。課內(nèi)條件允許的話,可由個別學(xué)生分析解答例題,再由學(xué)生訂正,教師予以總結(jié)。并給學(xué)生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段,使學(xué)生會識別錯誤、改正錯誤。要通過課堂提問及時了解學(xué)生情況,對學(xué)生的錯誤回答,要分析其原因,進(jìn)行針對性講解,利用反面知識鞏固正面知識。課堂練習(xí)是發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤的另一條途徑,出現(xiàn)問題,及時解決??傊ㄟ^課堂教學(xué),不僅教會學(xué)生知識,而且要使學(xué)生學(xué)會識別對錯,知錯能改。
(三)課后講評要有總結(jié)性
本文擬對初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤作粗淺分析。
一、初中學(xué)生解題錯誤的原因
學(xué)生能順利正確地解題,表明其在觀察、分析問題,提取、運用相應(yīng)知識的環(huán)節(jié)上沒有受到干擾或者說克服了干擾。在上述環(huán)節(jié)上不能排除干擾,就會出現(xiàn)解題錯誤。就初中學(xué)生解題錯誤而言,造成錯誤的干擾來自以下兩方面:一是小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾,二是初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾。
1.小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾
在初中一開始,學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)形成的某些認(rèn)識會妨礙他們學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識,使其產(chǎn)生解題錯誤。例如,在小學(xué)數(shù)學(xué)中,解題結(jié)果常常是一個確定的數(shù)。受此影響,學(xué)生在解答下述問題時會出現(xiàn)混亂與錯誤。原題是這樣的:禮堂第一排有a個座位,后面每排都比前1排多1個座位,第2排有幾個座位?第3排呢?設(shè)m為第n排的座位數(shù),那么m是多少?求a=20、n=19時,m的值。學(xué)生在解答上述問題時,受結(jié)果是確定的數(shù)的影響,把用n表示m與求m的值混為一談,暴露出其思考過程受到上述干擾的痕跡。
2.初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾
隨著初中知識的展開,初中數(shù)學(xué)知識本身也會前后相互干擾。例如,在學(xué)有理數(shù)的減法時,教師反復(fù)強調(diào)減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù),因而3-7中7前面的符號“-”是減號給學(xué)生留下了深刻的印象。緊接著學(xué)習(xí)代數(shù)和,又要強調(diào)把3-7看成正3與負(fù)7之和,“-”又成了負(fù)號。學(xué)生不禁產(chǎn)生到底要把“-”看成減號還是負(fù)號的困惑。這個困惑不能很好地消除,學(xué)生就會產(chǎn)生運算錯誤。又如,了解不等式的解集以及運用不等式基本性質(zhì)3是不等式教學(xué)的一個難點,學(xué)生常常在這里犯錯誤,其原因就是受等式的性質(zhì)2以及方程的解是一個數(shù)的干擾 。事實也證明,把不等式的有關(guān)內(nèi)容與等式及方程的相應(yīng)內(nèi)容加以比較,使學(xué)生理解兩者的異同,有助于學(xué)生學(xué)好不等式的內(nèi)容??梢妼Ρ冉虒W(xué)法對學(xué)生錯誤的形成、前后知識的干擾有一定的影響作用。
學(xué)生在解決簡單問題與綜合問題時的表現(xiàn)也可以說明這個問題。學(xué)生在解答簡單問題時,需要提取、運用的知識少,因而受到知識間的干擾小,產(chǎn)生錯誤的可能性??;而遇到綜合問題,在知識的選取、運用上受到的干擾大,容易出錯。
總之,這種知識的前后干擾常常使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時出現(xiàn)困惑,在解題時選錯或用錯知識,導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。
二、減少初中學(xué)生解題錯誤的方法
由上所述,學(xué)生不能順利正確地完成解題,產(chǎn)生解題錯誤,表明學(xué)生在解題過程中受到了干擾。因此,減少初中解題錯誤的方法是預(yù)防和排除干擾。為此,要抓好課前、課內(nèi)、課后三個環(huán)節(jié)。
1.課前準(zhǔn)備要有預(yù)見性
預(yù)防錯誤的發(fā)生,是減少初中學(xué)生解題錯誤的主要方法。講課之前,教師應(yīng)預(yù)測到學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容時可能產(chǎn)生的錯誤,就能夠在課內(nèi)講解時有意識地指出并加以強調(diào),從而 有效地控制錯誤的發(fā)生。例如,在講解方程: - =1之前,要預(yù)見到本題要用分式的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì),兩者有可能混淆,因而要在引入新課前準(zhǔn)備一些分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì)的練習(xí),幫助學(xué)生弄清兩者的不同,避免產(chǎn)生混亂與錯誤。因此備課時,要仔細(xì)研究教科書正文中的關(guān)鍵字眼、例題后的注意、小結(jié)與復(fù)習(xí)中應(yīng)該注意的幾個問題等,同時還要揣摸學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的心理過程,授業(yè)解惑,預(yù)先明了學(xué)生容易出錯之處,防患于未然。如果學(xué)生出現(xiàn)問題而未查覺,錯誤沒有得到及時的糾正,則遺患無窮,不僅會影響當(dāng)時的學(xué)習(xí),還會影響以后的學(xué)習(xí)。因此,預(yù)見錯誤并有效防范能夠為揭示錯誤、降低錯誤打下基礎(chǔ)。
2.課內(nèi)講解要有針對性
在課內(nèi)講解時,要對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行針對性的講解。對于容易混淆的概念,要引導(dǎo)學(xué)生用對比的方法,弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系。課內(nèi)條件允許的話,可由個別學(xué)生分析解答例題,再由學(xué)生訂正,教師予以總結(jié);并給學(xué)生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段,使學(xué)生會識別錯誤、改正錯誤。要通過課堂提問及時了解學(xué)生情況,對學(xué)生的錯誤回答要分析其原因,進(jìn)行針對性講解,利用反面知識鞏固正面知識。課堂練習(xí)是發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤的另一條途徑,出現(xiàn)問題要及時解決??傊ㄟ^課堂教學(xué),不僅要教會學(xué)生知識,而且要使學(xué)生學(xué)會識別對錯,知錯能改。
3.課后講評要有總結(jié)性
關(guān)鍵詞:類比;初中數(shù)學(xué)教學(xué);一元一次方程;一元一次不等式
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用“類比思想”的教學(xué)方法,不僅能突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),提高教學(xué)效率,還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力,同時也培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力?,F(xiàn)以“一元一次不等式”類比“一元一次方程”的教學(xué)為例,例談“類比思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的三個方面的應(yīng)用。
一、類比引入數(shù)學(xué)新概念
義務(wù)教育蘇科版初中課本上的數(shù)學(xué)概念有的非常簡練、有的
比較抽象復(fù)雜,學(xué)生不容易理解透徹,這給基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生對新的數(shù)學(xué)概念的理解帶來了困難,從而造成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的差異。
而對數(shù)學(xué)概念的正確理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),這就需要教師去幫助學(xué)生理清概念,所以在教學(xué)新概念時教師應(yīng)注意使學(xué)生正確理
解概念的意義,掌握概念間的聯(lián)系和區(qū)別,通過類比法可以將新的概念與之前學(xué)過的、熟悉的概念進(jìn)行對比,找出相似之處,使學(xué)生能更好地去認(rèn)識和掌握。
例如,教師在講授七年級下冊第十一章“一元一次不等式”的概念時,可以先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)“一元一次方程”的概念,引導(dǎo)學(xué)生說出:方程的兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是一次,這樣的方程叫做一元一次方程。接著教師提問:“如果我們將‘一元一次方程’概念中的‘等式’轉(zhuǎn)換成‘不等式’又會是什么樣的概念呢?”讓學(xué)生充分討論,調(diào)動參與課堂的積極性。目的是把方程的概念引申到不等式上面來,讓學(xué)生仔細(xì)觀察看以上式子有沒有類似的特征。教師之前已由引例在黑板上列出了幾個一元一次不等式,學(xué)生思考,或者小組交流討論,不難發(fā)現(xiàn)已有不等式“一元一次”的特征,類比一元一次方程的概念很快得出:“用不等號連接的,只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,系數(shù)不等于0,像這樣的不等式叫做一元一次不等式?!比绻麑W(xué)生回答得不完善,如忽略條件“兩邊都是整式”,教師應(yīng)作補充和強調(diào)。這顯然比直接地講一元一次不等式的概念更有效,學(xué)生對于“兩邊都是整式”這一難點印象也更深刻。通過“類比思想”的教學(xué),新概念的建立,完全可以讓學(xué)生自己去思考完成。
我們發(fā)現(xiàn),用概念類比的教學(xué)使得新概念的得出更加自然,還大大降低了學(xué)生對初次接觸新概念的陌生感。課堂上,通過這樣的類比設(shè)問,我們把對新概念下定義的主動權(quán)交給學(xué)生,教師只要適時引導(dǎo),就能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,也能更好地在教學(xué)中去實施《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中提出的培養(yǎng)學(xué)生的“四基”即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的理念。
二、類比啟發(fā)學(xué)生探究思考
在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,課堂上教師是主導(dǎo),學(xué)生是主體,啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究將有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提問、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力。教師可以為學(xué)生提供較為豐富的數(shù)學(xué)探究材料,引導(dǎo)和幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出探究問題。當(dāng)我們學(xué)習(xí)新的知識時,需要用已有的知識經(jīng)驗來引導(dǎo),類比就是一種非常好的教學(xué)手段,例如以“一元一次不等式”的解法探究為例:
先練習(xí)解一道“一元一次方程”的題目,讓學(xué)生回顧復(fù)習(xí)解“一元一次方程”的方法,例如,讓學(xué)生寫出解一元一次方程12x-1=9+7x的完整的解題步驟,接著在每一步后作提問。
12x-1=9+7x
解:移項,得12x-7x=9+1。(你的依據(jù)什么?你是怎么發(fā)現(xiàn)的?需要注意的是什么?)
合并同類項,得5x=10。(你的依據(jù)是什么?)
等式兩邊同除以5,得x=2。(你的依據(jù)是什么?你是怎么發(fā)
現(xiàn)的?)
學(xué)生分小組討論后歸納,我們根據(jù)的是等式的基本性質(zhì):“等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,等式仍成立;等式的兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數(shù),等式仍成立?!眮戆l(fā)現(xiàn)一元一次方程的解法。教師進(jìn)一步對學(xué)生啟發(fā)提問,“那么‘一元一次不等式’是否也可以這樣解呢?”于是學(xué)生就會去嘗試驗證“一元一次不等式”是否也有類似的這兩個性質(zhì),經(jīng)過相同的探究方法,相信會有很多學(xué)生能回答出來,可能大部分學(xué)生對“不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù),不等號要改變方向”這一不同點未能發(fā)現(xiàn),但教學(xué)中,我們需要的正是這種數(shù)學(xué)探究方法,在學(xué)生自己已有的探究下,加上教師的適時點撥,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)他們剛才疏漏的、考慮不周的地方。站在另一個角度看,這更加深了學(xué)生對“不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù),不等號要改變方向”這一教學(xué)難點的印象。
由此可見,數(shù)學(xué)探究方法的類比讓學(xué)生找到了研究問題的方法,使學(xué)生能更好地掌握學(xué)習(xí)方法,深刻地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。在新知探究過程中,我們可以借助形式類比、結(jié)構(gòu)類比和聯(lián)想類比這三個方向去探究,從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。所以,在數(shù)學(xué)新知探究教學(xué)中采用類比教學(xué),可以達(dá)到梳理知識、歸納題型、總結(jié)解題方法,有利于培養(yǎng)學(xué)生探究思維的靈活性,幫助學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識。
三、類比滲透解題方法思路
根據(jù)初中生的個性心理特征,課堂上他們較難長時間集中注意力,新知接受能力也有限。教學(xué)中,我們可以直接用類比得到解題的方法,例如“列一元一次不等式解實際問題”可以這樣講解:
先給出一題用“列一元一次方程”來解應(yīng)用題的題目,讓學(xué)生在做題的過程中回憶列方程解決實際問題的一般步驟:審題、設(shè)未知數(shù)、找出等量關(guān)系、根據(jù)等量關(guān)系列方程、解方程、檢驗、作答。有了以上舊知識作鋪墊,再引入新課,讓學(xué)生用列一元一次不等式來解決實際問題,通過類比,他們很自然就會模仿上面的步驟去解題,關(guān)鍵是要讓學(xué)生注意每一個步驟的區(qū)別:(1)等量關(guān)系變成了不等關(guān)系;(2)列方程變成了列不等式;(3)解方程變成了解不等式。教師引導(dǎo),學(xué)生在探索的過程中也早有了體會,學(xué)生再歸納總結(jié),這時,教師只要對解題的難點“設(shè)的是一個值,解出來的是一個范圍,最后答的要按問的來”做好提示就達(dá)到目的了,而不用在怎樣列一元一次不等式解應(yīng)用題的步驟上花太多的時間和精力。
教學(xué)中,我們發(fā)現(xiàn)用找規(guī)律來解題的方法類比在試題中也經(jīng)常出現(xiàn),比如:如果定義一種運算法則:a*b=b(a+b)-ab+3,則5*2=
。
解:5*2=2×(5+2)-5×2+3=7
此類題目主要是讓學(xué)生讀懂新定義符號的實際意義,它就是一種方法的“類比”。
通過類比“一元一次方程”來教學(xué)“一元一次不等式”的探索實踐,我們看到了“類比思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮了很大的作用。在義務(wù)教育蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中,像有理數(shù)的混合運算與實數(shù)的混合運算、分式與分?jǐn)?shù)、分式方程與整式方程、方程組與不等式組、全等三角形與相似三角形、軸對稱圖形與中心對稱圖形等,都可進(jìn)行類比教學(xué)來促進(jìn)學(xué)生理解、掌握和接受新知識。
從上述三點可以看出,“類比思想”在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,對于新概念的導(dǎo)入、新知識的探究、解題思路的獲取都起著重要作用。教師在用類比法進(jìn)行教學(xué)時也應(yīng)讓學(xué)生形成主動推理的意識,還需對類比得到的結(jié)果給予嚴(yán)格證明。因為,只有經(jīng)過合情推理、嚴(yán)格論證的結(jié)論,才具有真理性。
一、學(xué)生解題錯誤原因分析
1.盲目依靠經(jīng)驗
許多初中生在解題中對題目的解讀存在不仔細(xì)全面的問題,喜歡根據(jù)表象特征,依靠自己的經(jīng)驗對結(jié)果進(jìn)行估算,這種有著較大主觀片面性答案,往往極易出現(xiàn)錯誤.以一元二次方程因式分解法教學(xué)為例,老師以x2-2x=0為例,根據(jù)因式分解將等式轉(zhuǎn)化為x(x-2)=0,進(jìn)而獲得正解x=0或x=2.而當(dāng)學(xué)生在考試中遇到類似(x+5)(x-4)-9(x-4)=4的習(xí)題時,就極易在思維定勢的影響下,根據(jù)老師所講因式分解法,將上式化成(x+5-9)(x-4)=4,從而得出錯解x1=4,x2=4.
2.受自身生活體驗影響
初中生在數(shù)學(xué)題的解答中很容易被自己生活中的實際體驗影響,錯誤地將生活概念同數(shù)學(xué)概念混為一談.而日常生活概念寬泛、多變的特點則可能使得學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識時,形成潛意識的錯誤觀念,而這類錯誤觀念往往根深蒂固,難以去除,進(jìn)而對學(xué)生解題的正常進(jìn)行造成干擾.譬如學(xué)生在日常生活中所見到的直線均是有限的,這會使得其在學(xué)習(xí)有關(guān)“直線”的概念時,難以理解直線可無限伸長的特點,進(jìn)而影響到其在解題中的判斷.
3.課本前后知識的相互影響
隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的不斷深入,學(xué)生在解答數(shù)學(xué)習(xí)題時,時常會對課本中前后所學(xué)的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生矛盾感,從而導(dǎo)致解題錯誤的發(fā)生.譬如在初中不等式有關(guān)知識的學(xué)習(xí)中,學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)不等式解集的知識后,極易在“不等式基本性質(zhì)2”的使用中發(fā)生錯誤,而其原因就是受到之前所學(xué)“等式性質(zhì)2”及“一元一次方程解是一個數(shù)”等知識的干擾.
4.粗心大意、審題不清
在初中數(shù)學(xué)習(xí)題的解答中許多學(xué)生都有粗心大意、審題不清的問題,在讀題時缺乏耐心,往往未徹底理解題意就急于答題,使得自己不經(jīng)意間遺落了重要條件,導(dǎo)致解題錯誤.例如在解答“求整數(shù)a,使得關(guān)于x的一元二次方程式x2-2ax+a2-4a-5=0和ax2-8x+16=0的解均為正數(shù)”一題時,有的學(xué)生會根據(jù)一元二次方程判別式求得關(guān)于a的不等式-54≤a≤1,進(jìn)而根據(jù)已知條件得出a的解為-1、0或1,而正解為a=-1或1,其原因就在于學(xué)生忽略了“一元二次方程”這一題目條件.
二、提升初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果的策略
1.開展錯題教育
在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,預(yù)防錯誤發(fā)生最好的措施就是開展有效的錯題教學(xué).所以教師在授課前應(yīng)根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗,對學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行提前的預(yù)估,隨后在課堂教學(xué)中,教師就可以此對學(xué)生開展重點教學(xué),實現(xiàn)對學(xué)生解題錯誤發(fā)生的有效控制.例如講解“x0.6-0.14-0.3x0.02=1”一題時,教師可以預(yù)見到該題需要同時運用等式的形式與分式的性質(zhì)兩個知識點,而學(xué)生極易將兩者相互混淆.所以,教師可以在講授前先準(zhǔn)備一些具有漸進(jìn)性的題目,對學(xué)生加以引導(dǎo),使其正確區(qū)分整式與分式的不同,從而避免出現(xiàn)解題錯誤的現(xiàn)象.
2.準(zhǔn)確掌握基本概念
對初中生而言,數(shù)學(xué)知識的抽象性較強,課本中對這些抽象知識多是通過各種概念加以定義,因此,教師只有通過感性的講解,確保學(xué)生對基本數(shù)學(xué)概念進(jìn)行精準(zhǔn)的掌握,才能為其解題的高效、高質(zhì)奠定根基.例如在學(xué)習(xí)“互為余角”這一概念時,課本描述為“若兩角之和為直角,則兩角互為余角”.學(xué)生通過字面意思去理解可能會存在不足之處.這時教師可進(jìn)行以下幾點補充說明:一是必須為兩個角的和為90°,兩個以上角之和為90°不可稱為互為余角;二是互為余角只是對角數(shù)量的描述,與其位置關(guān)系無關(guān).通過這種講解學(xué)生對互為余角這一概念的理解必能更加透徹,避免在解題中出現(xiàn)概念不清的現(xiàn)象.
3.課堂講解要有針對性
在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)定期針對學(xué)生一段時間內(nèi)解題中常發(fā)生錯誤的題型進(jìn)行專門的講解.對數(shù)學(xué)概念,教師應(yīng)通過對比法,幫助學(xué)生準(zhǔn)確辨析不同概念間的關(guān)聯(lián)與不同;對數(shù)學(xué)規(guī)律,教師應(yīng)讓學(xué)生對其的起源進(jìn)行詳實的了解,讓學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)規(guī)律中的條件與結(jié)論,掌握其適用的范圍及使用時需注意的要點.此外,教師還可通過課堂提問,讓學(xué)生掌握辨析錯誤的能力,并通過反面習(xí)題的分析增強學(xué)生對正確知識的記憶與掌握.
4.激勵學(xué)生進(jìn)行自主思考
新課改背景下,教師在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中所扮演的角色應(yīng)當(dāng)是一名引導(dǎo)者,其應(yīng)該通過合理的方式,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主的學(xué)習(xí)與探究.根據(jù)有關(guān)實踐調(diào)查顯示,在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,學(xué)生積極主動地自主探究不僅有助于學(xué)生思維深度及廣度的提升,更能促進(jìn)學(xué)生思考能力的增強.例如在數(shù)學(xué)習(xí)題中,很多題的結(jié)果是不唯一的,與此相類似,許多數(shù)學(xué)題其統(tǒng)一結(jié)果的獲得方法也是具有多樣性的.教師在教學(xué)中可適當(dāng)?shù)匾氪祟惲?xí)題,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主的思考,讓學(xué)生以不同的方式進(jìn)行解題,使其在不同解題思路中實現(xiàn)解題思路的不斷交融,豐富學(xué)生的解題思路.
5.開展積極有效的總結(jié)評價
不等式的基本性質(zhì),不等式(組)的解法、解集、特殊解以及不等式(組)的應(yīng)用涉及到的內(nèi)容非常多,幾乎涵蓋了所有學(xué)過的內(nèi)容,多以綜合題的形式出現(xiàn),重點考查同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力.
一、一元一次不等式
1.不等式的基本性質(zhì)
例1 (08年湖北恩施考題)如果a<b<0,下列不等式中錯誤的是().
A. ab>0B. a+b<0C.<1D. a-b<0
分析:本例應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)或有理數(shù)運算的符號法則逐個驗證,最后得出結(jié)論.
解:由a<b<0可知,a,b均為負(fù)數(shù),而兩個負(fù)數(shù)的積為正,故A正確;
由a<b<0可知,a,b均為負(fù)數(shù),而兩個負(fù)數(shù)的和仍然為負(fù),故B正確;
由a<b,兩邊同除以b,因為b<0,不等號應(yīng)改變方向,即應(yīng)為>1,故C不正確;
由a<b,兩邊同減去b,不等號不改變方向,即應(yīng)為a-b<0,故D也正確.
綜上所述,只有C不正確.
評注:牢記不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵。不等式的兩邊同乘以(或同除以)同一個負(fù)數(shù),不等號要改變方向.
2.不等式的解法
例2 (08年江蘇泰州考題)已知關(guān)于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).當(dāng)a=-2時,求此不等式的解,并在數(shù)軸上表示此不等式的解集.
分析:將a=-2代入,得一元一次不等式,通過解不等式得到解集.
解:當(dāng)a=-2時,不等式為-2x+3>0,
移項,得-2x>-3,
化系數(shù)為1得,x<;
解集在數(shù)軸上表示如圖所示:不包括該點,則用空心圓圈表示.
評注: 解一元一次不等式的一般步驟同解一元一次方程的一般步驟相同,但必須注意的是:不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)時,不等號的方向一定要改變.
3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示
例3 (08年湖北武漢考題)不等式x<3的解集在數(shù)軸上表示為()
分析:不等式x<3的解集在數(shù)軸上表示,應(yīng)為在3所對應(yīng)的點的左側(cè),且表示3的點用空心圓圈表示.對照圖形,只有B符合.
評注:不等式的解集在數(shù)軸上的表示要注意兩點:①大于某個數(shù),則表示在該數(shù)所對應(yīng)的點的右側(cè);小于某個數(shù),則表示在該數(shù)所對應(yīng)的點的左側(cè);②包括某個數(shù),應(yīng)將這個數(shù)所對應(yīng)的點用實心圓點表示;不包括某個數(shù),應(yīng)將這個數(shù)所對應(yīng)的點用空心圓圈表示.
二、一元一次不等式組
1.不等式組的解集在數(shù)軸上的表示
例4 (08年四川涼山州考題)不等式組-x≤2x-2<1的解集在數(shù)軸上表示正確的是().
A.B. C. D.
分析:先求出組成不等式組的每一個不等式的解集,再根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法,將它們一一表示出來.不等式-x≤2的解集為x≥-2,在數(shù)軸上表示為在-2所對應(yīng)的點的右側(cè),且表示-2的點用實心圓點表示;不等式x-2<1的解集為x<3,在數(shù)軸上表示為在3所對應(yīng)的點的左側(cè),且表示3的點用空心圓圈表示.
評注:在數(shù)軸上表示解集要注意兩點:①在該點的左側(cè)還是右側(cè);②是否包括該點.
2.求不等式組的解集及其特殊解
例5 (08年江蘇徐州考題)
解不等式組>-12x+1≥5(x-1),并寫出它的所有整數(shù)解.
分析:求不等式組的整數(shù)解,要先求出不等式組的解集,即先求出不等式組中各個不等式的解集的公共部分,然后再列出解集中所包含的整數(shù).
解:不等式>-1的解集為x>-2;
不等式2x+1≥5(x-1)的解集為x≤2.
所以不等式組的解集為-2<x≤2,
所以不等式組的整數(shù)解為-1,0,1,2.
評注:這類試題主要考查解不等式組的能力和對特殊解的理解.確定不等式組的解集可利用口訣,也可借助數(shù)軸.
3.求不等式組中字母系數(shù)的取值范圍
例6 (08年山東聊城考題)已知關(guān)于x的不等式組x-a>01-x>0的整數(shù)解共有3個,則a的取值范圍是 .
分析: 本例有一定難度,先求出不等式組的解集,即x的取值范圍,然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)確定其整數(shù)解,再借助數(shù)軸進(jìn)行直觀分析,得到a的取值范圍.
解:由x-a>0得x>a;由1-x>0,得x<1,
所以a<x<1,
因為不等式組有3個整數(shù)解,故這個整數(shù)只能是0,-1,-2,借助數(shù)軸(如圖所示),得到a的取值范圍是:-3≤a<-2.
評注: 本例要借助數(shù)軸,對不等式組的解集進(jìn)行直觀分析,才能使問題得以解決.
4.不等式(組)的應(yīng)用
例7(08年浙江溫州考題) 一次奧運知識競賽中,一共有25道題,答對一題得10分,答錯(或不答)一題扣5分.設(shè)小明同學(xué)在這次競賽中答對x道題.
(1)根據(jù)所給條件,完成下表:
(2)若小明同學(xué)的競賽成績超過100分,則他至少要答對幾道題?
分析:共有25道題,答對x道題,則答錯或不答為(25-x)道題; 答錯(或不答)一題扣5分,則應(yīng)扣 5(25-x)分,根據(jù)成績超過100分,即大于100,可得不等式.
解:(1)填表如圖:
(2)根據(jù)題意可得不等式:10x-5(25-x)>100,
解得x>15.
【關(guān)鍵詞】中美比較,初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)
【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089(2012)03-0081-02
1.課程難度數(shù)學(xué)模型 N=αS/T+(1-α )G/T
本課程難度模型N=αS/T+(1-α )G/T是由史寧中、孔凡哲等教授構(gòu)建的,用來刻畫課程內(nèi)容難度水平。N表示課程難度,G表示課程廣度,S表示課程深度,T表示課程實施時間。其中G/T表示可比廣度(單位時間下課程的廣度),S/T表示可比深度(單位時間下課程的深度),α稱為加權(quán)系數(shù),0<α<1,是一個經(jīng)驗常數(shù),反映了可比廣度、可比深度對課程難度影響的側(cè)重程度。其中,課程深度是指課程內(nèi)容所需要的思維的深度,目前多是用課程目標(biāo)要求的不同程度或是用抽象度分析法來量化。課程實施時間是指完成課程內(nèi)容所需要的時間,可以用“課時”來量化。課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及范圍和領(lǐng)域的廣泛程度,可以用我們通常所說的“知識點”的多少進(jìn)行量化。為了方便起見,對于同一門課程不同版本的兩個教材A和B,分別用N(A)和N(B)表示其課程難度系數(shù),N (A)>N(B)說明A比B難,難度系數(shù)的差值越大,則說明難度的差別越大。
2.兩國初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容難度的比較
本論文中的教材主要是指教科書。我國的數(shù)學(xué)教材是指人民教育出版社2004年版7-9年級學(xué)段的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書。美國的數(shù)學(xué)教材是由美國Pearson Prentice Hall 出版社2004年出版的7-9年級學(xué)段數(shù)學(xué)教科書,簡稱PH版教材。之所以選用這兩套教科書作為比較的對象,主要有兩個原因。①兩套教材在本國的使用范圍都比較廣泛,具有很強的代表性。②這兩套教材都是新課程改革背景下的教科書。
本文對課程深度、課程廣度和課程時間具體規(guī)定如下:
課程深度: 本文主要應(yīng)用相對抽象度分析法對中美初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行分析。
課程廣度:對知識點的理解和中學(xué)數(shù)學(xué)中知識點的劃分,目前尚無統(tǒng)一認(rèn)識。為了比較的公平性,我們把兩國在新授課中需花費一個課時(40-45分鐘)進(jìn)行的主要內(nèi)容看作為一個大的知識點。通過對兩國相應(yīng)內(nèi)容的比較,發(fā)現(xiàn)兩國每個大的知識點所包括的定理,概念,運算等數(shù)量基本一致。美國的教材每章中的每一小節(jié)基本上就是一個課時,因此每一小節(jié)的主要內(nèi)容就視為一個知識點。我國人教版的初中數(shù)學(xué)教材每個小節(jié)視內(nèi)容的多少,每節(jié)相應(yīng)分成幾個部分,每一部分需一課時。以上對知識點劃分的合理性分別通過對中美兩國初中數(shù)學(xué)教師的訪談得到了驗證。
課程時間:對每部分內(nèi)容所占課時的多少。我國的教材主要是根據(jù)人教社所制定的課時計劃。美國的初中數(shù)學(xué)教材每一小節(jié)就是一個課時,這與美國課程標(biāo)準(zhǔn)所公布的總課時數(shù)約為260課時基本一致。
2.1一次函數(shù)的比較
人教版教材一次函數(shù)內(nèi)容設(shè)置在八年級下冊,內(nèi)容設(shè)置的整體思路是通過對實際問題進(jìn)行分析給出了函數(shù)的定義,接著研究了一次函數(shù)的圖像和表示方法,在研究特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)基礎(chǔ)上研究了一次函數(shù)圖像的性質(zhì)。主要知識點為:變量與函數(shù)的概念,函數(shù)的三種表示法,正比例函數(shù),一次函數(shù),用函數(shù)觀點再認(rèn)識二元一次方程,一元一次不等式和二元一次方程組。共六大知識點,共15課時。
根據(jù)抽象度分析法:A函數(shù)的定義及畫法1.0,B正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.0,C一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)0.5,D一次函數(shù)與二元一次方程0.5,E一次函數(shù)與一元一次不等式0.5,F(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程組。綜合深度deg(F|A)=3.5,即課程深度S=3.5。
美國PH版教材一次函數(shù)的內(nèi)容分布在七、八兩個年級,七年級第12章在研究數(shù)列的基礎(chǔ)上給出了一次函數(shù)的定義,繼而研究了一次函數(shù)的圖像及解析式的求法,一次函數(shù)的實際應(yīng)用。在七年級的基礎(chǔ)上深化,八年級的第五章繼續(xù)研究了一次函數(shù)(線性函數(shù))的實際應(yīng)用,把函數(shù)看成映射,并學(xué)習(xí)了定義域、值域。七、八兩個年級的課時總量為12課時。主要知識點為:數(shù)列與關(guān)系,一次函數(shù)的定義畫法,求解析式,一次函數(shù)(線性函數(shù))的實際應(yīng)用,映射共5大知識點12課時。
根據(jù)抽象度分析法:A一次函數(shù)的定義畫法0.5,B解析式1.0,C一次函數(shù)(線性函數(shù))的實際應(yīng)用1.0,D正比例函數(shù)1.0,E函數(shù)及映射。綜合深度deg(E|A)=3.5,即課程深度S=3.5。
其中0<α<1,所以0.2330<N1<0.400, 0.2920<N2<0.417,如果取α=0.5, 則N1=0.316, N2=0.354
通過比較得出:N2>N1,因而美國PH版初中數(shù)學(xué)教材一次函數(shù)課程難度要高于中國人教版相應(yīng)課程內(nèi)容的難度。
2.2二次函數(shù)內(nèi)容難度的比較
人教版教材二次函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置在九年級第二十六章,本章主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和基本性質(zhì),用二次函數(shù)觀點看一元二次方程,用二次函數(shù)分析和解決簡單的實際問題等,共5個知識點,總課時數(shù)為12,課程深度為3。
美國PH版教材此部分內(nèi)容設(shè)置在八年級的第十章,主要知識點為:二次函數(shù)的概念、圖像、基本性質(zhì)、應(yīng)用,總課時數(shù)為4,課程深度為3。
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師害怕學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤,對錯誤采取嚴(yán)厲禁止的態(tài)度是司空見慣的。在這種懼怕心理支配下,教師只注重教給學(xué)生正確的結(jié)論,忽視揭示知識形成的過程,害怕因啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行討論會得出錯誤的結(jié)論。長此以往,學(xué)生雖片面接受了正確的知識,但對錯誤的出現(xiàn)缺乏心理準(zhǔn)備,看不出錯誤或看出錯誤但改不對,甚而弄不清錯誤的緣由。持這種態(tài)度的教師只關(guān)心學(xué)生用對知識而忽視學(xué)生會用知識。例如,在講有理數(shù)運算時,由于只注重得出正確的結(jié)果,強調(diào)運算法則、運算順序,而對運用運算律簡化運算注意不夠,但后者對發(fā)展學(xué)生運算能力卻更為重要。總之,這種對待錯誤的態(tài)度會對教學(xué)帶來一些消極的影響。
事實上,錯誤是正確的先導(dǎo),成功的開始。有道是失敗是成功之母。學(xué)生所犯錯誤及其對錯誤的認(rèn)識,是學(xué)生獲得和鞏固知識的重要途徑。
基于上述原因,教師對待錯誤的懼怕心理和嚴(yán)厲態(tài)度轉(zhuǎn)變?yōu)槌惺苄睦砗蛯捜輵B(tài)度是十分有意義的。因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實際上是不斷地提出假設(shè),修正假設(shè),使學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平不斷復(fù)雜化,甚而趨于成熟。從這個意義上說,錯誤不過是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所做的某種嘗試,它只能反映學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某個階段的水平,而不能代表其最終的實際水平。此外,正是由于這些假設(shè)的不斷提出與修正,才使學(xué)生的能力不斷提高。因此,揭示錯誤是為了盡量減少錯誤,我們所說的承受與寬容也是相對于這一過程而言的。在教學(xué)中給學(xué)生展示的這一嘗試、修正的過程,是與學(xué)生獨立解題的過程相吻合的。因而學(xué)生在教師教學(xué)過程中學(xué)到的不僅僅是正確的結(jié)論,而且領(lǐng)略了探索、嘗試的過程,這對學(xué)生知識的完善和能力的提高會產(chǎn)生有益的影響,使學(xué)生學(xué)會分析,自己發(fā)現(xiàn)錯誤,改正錯誤。教師只有具備這樣的承受心理與寬容態(tài)度,才會耐心尋找學(xué)生解題錯誤的原因,并做出適當(dāng)?shù)奶幚怼?/p>
二、初中學(xué)生解題錯誤的原因
學(xué)生能順利正確地解題,表明其在觀察、分析問題,提取、運用相應(yīng)知識的環(huán)節(jié)上沒有受到干擾或者說克服了干擾。在上述環(huán)節(jié)上不能排除干擾,就會出現(xiàn)解題錯誤。就初中學(xué)生解題錯誤而言,造成錯誤的干擾來自以下兩方面:一是小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾,二是初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾。
1、小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾
在初中一開始,學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)形成的某些認(rèn)識會妨礙他們學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識,使其產(chǎn)生解題錯誤。
例如,在小學(xué)數(shù)學(xué)中,解題結(jié)果常常是一個確定的數(shù)。受此影響,學(xué)生在解答下述問題時出現(xiàn)混亂與錯誤。原題是這樣的:
禮堂第一排有a個座位,后面每排都比前1排多1個座位,第2排有幾個座位?第3排呢?設(shè)m為第n排的座位數(shù),那么m是多少?求a=20,n=19時,m的值。學(xué)生在解答上述問題時,受結(jié)果是確定的數(shù)的影響,把用n表示m與求m的值混為一談,暴露出其思考過程受到上述干擾的痕跡。
又有,在小學(xué)減法運算中被減數(shù)比減數(shù)大的認(rèn)識根深蒂固,記得在初一上學(xué)期的一次摸底測試中,有這么一道題:2+2—3,部分學(xué)生一看到“2—3”這一部分,就說這道題無法完成,殊不知還有運算順序的問題。
再有,學(xué)生習(xí)慣有理數(shù)的運算,這會對學(xué)生學(xué)次根式的運算產(chǎn)生干擾。如:計算7+3(3)1/2+2(3)1/2,有的學(xué)生的結(jié)果是12(3)1/2,這顯然是錯的。
總之,初中開始階段,學(xué)生解題錯誤的原因??勺匪莸叫W(xué)數(shù)學(xué)知識對其新學(xué)知識的影響。講清新學(xué)知識的意義(如用字母表示數(shù))、范圍(正數(shù)、0、負(fù)數(shù))、方法(代數(shù)和、代數(shù)方法)與舊有知識(具體數(shù)字、非負(fù)數(shù)、加減運算、算術(shù)方法)的不同,有助于克服干擾,減少錯誤。
(二)初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾
隨著初中知識的展開,初中數(shù)學(xué)知識本身也會前后相互干擾。
例如,在學(xué)有理數(shù)的減法時,教師反復(fù)強調(diào)減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù),因而3-7中7前面的符號“-”是減號給學(xué)生留下了深刻的印象。緊接著學(xué)習(xí)代數(shù)和,又要強調(diào)把3-7看成正3與負(fù)7之和,“-”又成了負(fù)號。學(xué)生不禁產(chǎn)生到底要把“-”看成減號還是負(fù)號的困惑。這個困惑不能很好地消除,學(xué)生就會產(chǎn)生運算錯誤。
又如,了解不等式的解集以及運用不等式基本性質(zhì)3是不等式教學(xué)的一個難點,學(xué)生常常在這里犯錯誤,其原因就是受等式的性質(zhì)2以及方程的解是一個數(shù)的干擾。事實也證明,把不等式的有關(guān)內(nèi)容與等式及方程的相應(yīng)內(nèi)容加以比較,使學(xué)生理解兩者的異同,有助于學(xué)生學(xué)好不等式的內(nèi)容??梢妼Ρ冉虒W(xué)法對學(xué)生錯誤的形成,前后知識的干擾有一定的影響作用。
學(xué)生在解決簡單問題與綜合問題時的表現(xiàn)也可以說明這個問題。學(xué)生在解答簡單問題時,需要提取、運用的知識少,因而受到知識間的干擾小,產(chǎn)生錯誤的可能性?。欢龅骄C合問題,在知識的選取、運用上受到的干擾大,容易出錯。
總之,這種知識的前后干擾,常常使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時出現(xiàn)困惑,在解題時選錯或用錯知識,導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。